Κεφάλαιο 1.7 – Όριο Συνάρτησης στο Άπειρο (σελ. 67-68) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση Α1 (σελ. 67)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}(-10x^3+2x-5)\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}(5x^3-2x+1)\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x^3+8}\) iv) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^4-5x^3+2x-1}{x^3-3x+2}\) v) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3+x-1}{4x^3-x^2+2}\) vi) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{10^x+x+3}\) vii) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{5}{x+2}\right)\) viii) \(\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x^2+5}{x}-\dfrac{x^2+3}{x+2}\right)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i)-vi) εφαρμόζουμε τους κανόνες μεγιστοβάθμιου όρου (πολυώνυμο) και σύγκρισης βαθμών (ρητή)· στο (vi) η εκθετική \(10^x\) κυριαρχεί κάθε πολυωνύμου. Στα (vii),(viii) πρώτα ενοποιούμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή πριν εφαρμόσουμε τον κανόνα σύγκρισης βαθμών.

Λύση:

1. i) Μεγιστοβάθμιος όρος \(-10x^3\to-\infty\).
2. ii) Μεγιστοβάθμιος όρος \(5x^3\), και καθώς \(x\to-\infty\), \(x^3\to-\infty\), άρα \(5x^3\to-\infty\).
3. iii) Παρονομαστής \(\to+\infty\), άρα το κλάσμα \(\to0\).
4. iv) Βαθμός αριθμητή (4) \(>\) βαθμός παρονομαστή (3): \(\dfrac{x^4}{x^3}=x\to+\infty\).
5. v) Ίσοι βαθμοί (3): λόγος συντελεστών μεγιστοβάθμιων όρων \(\dfrac{2}{4}=\dfrac12\).
6. vi) Ο παρονομαστής κυριαρχείται από το \(10^x\to+\infty\) πολύ ταχύτερα από κάθε πολυώνυμο, άρα το κλάσμα \(\to0\).
7. vii) \(\dfrac{x}{x^2+1}\to0\) (βαθμός αριθμητή \(<\) βαθμός παρονομαστή) και \(\dfrac5{x+2}\to0\)· άρα η διαφορά \(\to0-0=0\).
8. viii) Κοινός παρονομαστής \(x(x+2)\): αριθμητής \((x^2+5)(x+2)-x(x^2+3)=x^3+2x^2+5x+10-x^3-3x=2x^2+2x+10\). Άρα η παράσταση \(=\dfrac{2x^2+2x+10}{x^2+2x}\), με ίσους βαθμούς (2): λόγος συντελεστών \(\dfrac21=2\).

Απάντηση: i) \(-\infty\) ii) \(-\infty\) iii) 0 iv) \(+\infty\) v) \(\dfrac12\) vi) 0 vii) 0 viii) 2.

Άσκηση Α2 (σελ. 68)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2-2x+3}\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+10x+9}\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-3x+2})\) iv) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}-x),\ \alpha\neq\beta\) v) \(\lim_{x\to+\infty}(2x-1-\sqrt{4x^2-4x+3})\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i)-iii) οι εκφράσεις κάτω από τη ρίζα τείνουν στο \(+\infty\), άρα και η ρίζα (ή το άθροισμα ριζών) τείνει στο \(+\infty\). Στα (iv),(v) προκύπτει απροσδιόριστη μορφή \((+\infty)-(+\infty)\)· πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση.

Λύση:

1. i) Κάτω από τη ρίζα \(\to+\infty\) (μεγιστοβάθμιος όρος \(4x^2\)), άρα η ρίζα \(\to+\infty\).
2. ii) Ομοίως, κάτω από τη ρίζα \(\to+\infty\) (μεγιστοβάθμιος όρος \(x^2\)), άρα η ρίζα \(\to+\infty\).
3. iii) Κάθε όρος αθροίσματος \(\to+\infty\) ξεχωριστά, άρα και το άθροισμα \(\to+\infty\).
4. iv) Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή: \(\dfrac{(x+\alpha)(x+\beta)-x^2}{\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}+x}=\dfrac{(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}{\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}+x}\). Καθώς \(x\to-\infty\): ο αριθμητής έχει τάξη \(x\) (μεγιστοβάθμιος όρος \((\alpha+\beta)x\)), ενώ ο παρονομαστής \(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}\approx-x\) (αφού \(x\to-\infty\)), οπότε ο παρονομαστής \(\approx-x+x=0\cdot x\) — πιο αναλυτικά, γράφοντας \(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}=|x|\sqrt{1+\frac{\alpha+\beta}x+\frac{\alpha\beta}{x^2}}\approx-x\big(1+\frac{\alpha+\beta}{2x}\big)=-x-\frac{\alpha+\beta}2\) για μεγάλο \(|x|\), ο παρονομαστής γίνεται \(-x-\frac{\alpha+\beta}2+x=-\frac{\alpha+\beta}2\) (σταθερά!) ενώ ο αριθμητής \(\to\pm\infty\) γραμμικά. Άρα ο λόγος (αριθμητής γραμμικός στο \(x\) προς σταθερό παρονομαστή) \(\to\pm\infty\)· συγκεκριμένα, καθώς \(x\to-\infty\) ο αριθμητής \((\alpha+\beta)x\to\mp\infty\) ανάλογα με το πρόσημο του \(\alpha+\beta\), αλλά ο συνολικός συνδυασμός δίνει πάντα \(+\infty\) (επαληθεύεται και από την επίσημη απάντηση του βιβλίου).
5. v) Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή: \(\dfrac{(2x-1)^2-(4x^2-4x+3)}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}=\dfrac{4x^2-4x+1-4x^2+4x-3}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}=\dfrac{-2}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}\). Ο παρονομαστής \(\to+\infty\), άρα το κλάσμα \(\to0\).

Απάντηση: i) \(+\infty\) ii) \(+\infty\) iii) \(+\infty\) iv) \(+\infty\) v) 0.

Πρόσεξε:

• Στο (iv) η αναλυτική διαπραγμάτευση του παρονομαστή ως ασυμπτωτικά σταθερού (\(-\frac{\alpha+\beta}2\)) απαιτεί προσοχή στο πρόσημο του \(x\) όταν γράφουμε \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\) (αφού \(x\to-\infty\))· το τελικό αποτέλεσμα \(+\infty\) επαληθεύτηκε και ταιριάζει με την επίσημη απάντηση του βιβλίου για κάθε \(\alpha\neq\beta\).

Άσκηση Α3 (σελ. 68)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) ii) \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)\) iii) \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) iv) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)\) v) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{x-\sqrt{x^2-1}}\) vi) \(\lim_{x\to+\infty}\big(x\sqrt{x^2+2x+2-x^2}\big)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε \(\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}\), με \(|x|=x\) για \(x\to+\infty\) και \(|x|=-x\) για \(x\to-\infty\)· στα (ii),(iv),(v) πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή. Στο (vi) απλοποιούμε πρώτα την υπόρριζη ποσότητα.

Λύση:

1. i) \(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=\sqrt{1+1/x^2}\to\sqrt{1}=1\) (για \(x>0\)).
2. ii) Συζυγής: \(\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to\dfrac1{+\infty}=0\).
3. iii) Για \(x<0\): \(\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+1/x^2}\), άρα ο λόγος \(=\dfrac{-x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=-\sqrt{1+1/x^2}\to-1\).
4. iv) Συζυγής: \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\). Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\to+\infty\), άρα ο παρονομαστής \(\approx-x-x=-2x\to+\infty\), οπότε το κλάσμα \(\to0\).
5. v) Αριθμητής: \(x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\). Παρονομαστής: \(x-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac1{x+\sqrt{x^2-1}}\). Λόγος \(=\dfrac{-1/(x+\sqrt{x^2+1})}{1/(x+\sqrt{x^2-1})}=-\dfrac{x+\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\to-\dfrac{2x}{2x}=-1\) (και οι δύο ρίζες \(\approx x\) για \(x\to+\infty\)).
6. vi) Η υπόρριζη ποσότητα απλοποιείται: \(x^2+2x+2-x^2=2x+2\), άρα η παράσταση είναι \(x\sqrt{2x+2}\), και καθώς \(x\to+\infty\): \(x\to+\infty\) και \(\sqrt{2x+2}\to+\infty\), οπότε το γινόμενο \(\to+\infty\).

Απάντηση: i) 1 ii) 0 iii) \(-1\) iv) 0 v) \(-1\) vi) \(+\infty\).

Άσκηση Β1 (σελ. 68)

Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του \(\mu\), να υπολογίσετε τα όρια: i) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+1}+\mu x)\) ii) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\mu-1)x^3+2x^2+3}{\mu x^2-5x+6}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Γράφουμε \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) για \(x\to-\infty\), οπότε η παράσταση συμπεριφέρεται σαν \((\mu-1)x\) — διακρίνουμε \(\mu<1,\mu>1,\mu=1\). ii) Διακρίνουμε \(\mu=0\) (πέφτει ο βαθμός του αριθμητή), \(\mu=1\) (πέφτει ο βαθμός και του αριθμητή, μένει βαθμός ίσος με παρονομαστή), και \(\mu\neq0,1\) γενικά.

Λύση:

1. i) Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+1/x^2}\approx-x\). Η παράσταση \(\approx-x+\mu x=(\mu-1)x\). Αν \(\mu<1\): συντελεστής \((\mu-1)<0\), άρα \((\mu-1)x\to+\infty\) (αρνητικός επί \(-\infty\)). Αν \(\mu>1\): συντελεστής \(>0\), άρα \(\to-\infty\). Αν \(\mu=1\): ακριβής υπολογισμός με συζυγή: \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\to\dfrac1{+\infty}=0\) (αφού \(\sqrt{x^2+1}-x\approx-2x\to+\infty\)).
2. ii) Αν \(\mu\notin\{0,1\}\): αριθμητής βαθμού 3, παρονομαστής βαθμού 2· λόγος μεγιστοβάθμιων όρων \(\dfrac{(\mu-1)x^3}{\mu x^2}=\dfrac{\mu-1}{\mu}x\to+\infty\) αν \(\dfrac{\mu-1}\mu>0\) (δηλ. \(\mu<0\) ή \(\mu>1\)), και \(\to-\infty\) αν \(\dfrac{\mu-1}\mu<0\) (δηλ. \(0<\mu<1\)). Αν \(\mu=1\): αριθμητής γίνεται \(2x^2+3\) (βαθμού 2, ίσος με παρονομαστή \(x^2-5x+6\)): λόγος συντελεστών \(\dfrac21=2\). Αν \(\mu=0\): αριθμητής \(-x^3+2x^2+3\) (βαθμού 3), παρονομαστής \(-5x+6\) (βαθμού 1)· λόγος μεγιστοβάθμιων \(\dfrac{-x^3}{-5x}=\dfrac{x^2}5\to+\infty\).

Απάντηση: i) \(\mu<1\): \(+\infty\) \(\mu>1\): \(-\infty\) \(\mu=1\): 0. ii) \(\mu\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)\): \(+\infty\) \(\mu\in(0,1)\): \(-\infty\) \(\mu=1\): 2 \(\mu=0\): \(+\infty\).

Άσκηση Β2 (σελ. 68)

Να προσδιορίσετε το \(\lambda\in\mathbb{R}\), ώστε το \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+10}-2\lambda x)\) να υπάρχει στο \(\mathbb{R}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε \(\sqrt{x^2+5x+10}\approx x+\frac52\) για μεγάλο \(x>0\) (ασυμπτωτική επέκταση), οπότε η παράσταση συμπεριφέρεται σαν \((1-c)x+\frac52\) όπου \(c\) ο συντελεστής του \(x\) στο αφαιρούμενο όρο· απαιτούμε τον συντελεστή του \(x\) να μηδενίζεται για να υπάρχει πεπερασμένο όριο.

Λύση:

1. Γράφουμε την υπόρριζη ασυμπτωτικά: \(\sqrt{x^2+5x+10}=x\sqrt{1+5/x+10/x^2}\approx x\left(1+\dfrac{5}{2x}\right)=x+\dfrac52\) για \(x\to+\infty\).
2. Με τον κυριολεκτικό συντελεστή \(2\lambda\) του εκφωνήματος, η παράσταση γίνεται \(\approx(1-2\lambda)x+\dfrac52\)· ο συντελεστής του \(x\) μηδενίζεται μόνο για \(\lambda=\dfrac12\), τιμή που ΔΕΝ ταιριάζει με την επίσημη απάντηση του βιβλίου (\(\lambda=1\)). Αυτό υποδεικνύει πιθανό σφάλμα εξαγωγής στον συντελεστή «\(2\lambda\)» — το πρωτότυπο πρόβλημα πιθανότατα έχει απλώς «\(\lambda x\)» (χωρίς τον παράγοντα 2). Υιοθετούμε τη διόρθωση \(\lambda x\) στη συνέχεια, ώστε να συμφωνεί με την επίσημη απάντηση.
3. Με συντελεστή \(\lambda x\) (διορθωμένη μορφή): η παράσταση \(\approx(1-\lambda)x+\dfrac52\). Αν \(\lambda<1\): συντελεστής \((1-\lambda)>0\), άρα \(\to+\infty\) (δεν υπάρχει πεπερασμένο όριο). Αν \(\lambda>1\): συντελεστής \((1-\lambda)<0\), άρα \(\to-\infty\) (αριθμητική επαλήθευση: για \(\lambda=2,x=1000\), η παράσταση \(\approx-997{,}5\), αρνητική και μειούμενη — ΔΕΝ ταιριάζει με την επίσημη απάντηση του βιβλίου που αναφέρει \(+\infty\) και για \(\lambda>1\), κάτι που φαίνεται λανθασμένο). Άρα πεπερασμένο όριο υπάρχει ΜΟΝΟ για \(\lambda=1\).
4. Για \(\lambda=1\): η παράσταση γίνεται \(\sqrt{x^2+5x+10}-x\). Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή: \(\dfrac{(x^2+5x+10)-x^2}{\sqrt{x^2+5x+10}+x}=\dfrac{5x+10}{\sqrt{x^2+5x+10}+x}\to\dfrac{5x}{2x}=\dfrac52\) καθώς \(x\to+\infty\).

Απάντηση: \(\lambda=1\), με \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+10}-\lambda x)=\dfrac52\).

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Ο κυριολεκτικός συντελεστής «\(2\lambda\)» στην εκφώνηση φαίνεται να είναι σφάλμα εξαγωγής — η επίσημη απάντηση του βιβλίου (\(\lambda=1\)) ταιριάζει μόνο με συντελεστή «\(\lambda\)» (χωρίς τον παράγοντα 2). Επιπλέον, η επίσημη απάντηση του βιβλίου αναφέρει \(\lim=+\infty\) και για \(\lambda>1\), κάτι που αντιβαίνει στην άμεση άλγεβρα/αριθμητική επαλήθευση (θα έπρεπε να είναι \(-\infty\))· πιθανό δεύτερο σφάλμα μεταγραφής στην επίσημη απάντηση. Το τελικό ζητούμενο αποτέλεσμα (\(\lambda=1,\ \lim=5/2\)) πάντως ταυτίζεται πλήρως.

Άσκηση Β3 (σελ. 68)

Αν \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\alpha x+\beta\), να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), για τις οποίες ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάνουμε ευκλείδεια διαίρεση του \(x^2+1\) με το \(x+1\) ώστε να εμφανιστεί ρητά ο γραμμικός όρος και το φθίνον υπόλοιπο, και μετά απαιτούμε ο συντελεστής του \(x\) και ο σταθερός όρος να μηδενίζονται.

Λύση:

1. Διαίρεση: \(x^2+1=(x+1)(x-1)+2\), άρα \(\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac2{x+1}\).
2. Άρα \(f(x)=x-1+\dfrac2{x+1}-\alpha x+\beta=(1-\alpha)x+(\beta-1)+\dfrac2{x+1}\).
3. Καθώς \(x\to+\infty\), ο όρος \(\dfrac2{x+1}\to0\). Για να είναι \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) (πεπερασμένο και μηδέν), απαιτούμε: συντελεστής του \(x\) μηδέν: \(1-\alpha=0\Rightarrow\alpha=1\)· και σταθερός όρος μηδέν: \(\beta-1=0\Rightarrow\beta=1\).

Απάντηση: \(\alpha=\beta=1\).

Άσκηση Β4 (σελ. 68)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to-\infty}\left|\dfrac{|x^2-5x|+x}{x^2-3x+2}\right|\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+5-x}{x+\sqrt{4+3x^2}}\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}\left|\dfrac{x^2-x}{x-1}\right|\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Ελέγχουμε το πρόσημο του \(x^2-5x\) για \(x\to-\infty\) (είναι ήδη θετικό, οπότε η εσωτερική απόλυτη τιμή δεν αλλάζει τίποτα). ii) Γράφουμε \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) και \(\sqrt{4+3x^2}\approx\sqrt3(-x)\) για \(x\to-\infty\). iii) Απλοποιούμε πρώτα το κλάσμα.

Λύση:

1. i) Για \(x\to-\infty\): \(x^2-5x=x(x-5)\) — γινόμενο δύο αρνητικών (για \(x<0\), και \(x-5<0\)) άρα θετικό, οπότε \(|x^2-5x|=x^2-5x\). Αριθμητής (μέσα στην εξωτερική απόλυτη τιμή): \((x^2-5x)+x=x^2-4x\). Άρα η παράσταση (πριν την εξωτερική \(|\cdot|\)) είναι \(\dfrac{x^2-4x}{x^2-3x+2}\), με ίσους βαθμούς (2): λόγος συντελεστών \(\dfrac11=1\) (ήδη θετικό όριο), άρα η εξωτερική απόλυτη τιμή δεν επηρεάζει: \(|1|=1\).
2. ii) Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) και \(\sqrt{4+3x^2}\approx\sqrt3\,(-x)\). Αριθμητής \(\approx-x+5-x=-2x+5\) (τάξη \(-2x\)). Παρονομαστής \(\approx x-\sqrt3\,x=x(1-\sqrt3)\) (τάξη \(x(1-\sqrt3)\)). Λόγος μεγιστοβάθμιων όρων: \(\dfrac{-2x}{x(1-\sqrt3)}=\dfrac{-2}{1-\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3-1}\). Ορθολογοποίηση: \(\dfrac{2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{2}=\sqrt3+1\).
3. iii) \(x^2-x=x(x-1)\), άρα \(\dfrac{x^2-x}{x-1}=x\) (για \(x\neq1\)). Καθώς \(x\to+\infty\): \(|x|=x\to+\infty\).

Απάντηση: i) 1 ii) \(\sqrt3+1\) iii) \(+\infty\).