Κεφάλαιο 2.7 – Λύσεις Ασκήσεων – Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης (σελ. 148-152)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Κεφάλαιο 2.7 – Λύσεις Ασκήσεων – Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης (σελ. 148-152)

Άσκηση Α1 (σελ. 149)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f\) με \(f'(x)=3(x-1)^3(x-2)^2(x-3)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της \(f\).

Σκέψη: Μελετάμε το πρόσημο κάθε παράγοντα ξεχωριστά· ο παράγοντας άρτιας δύναμης \((x-2)^2\) δεν αλλάζει πρόσημο, οι υπόλοιποι (περιττής δύναμης) αλλάζουν στη ρίζα τους.

Λύση:

Ρίζες του \(f'\): \(x=1\) (πολλαπλότητα 3, περιττή), \(x=2\) (πολλαπλότητα 2, άρτια), \(x=3\) (πολλαπλότητα 1, περιττή).
Για \(x<1\): \((x-1)^3<0\), \((x-2)^2>0\), \((x-3)<0\) ⟹ γινόμενο θετικό ⟹ \(f'(x)>0\).
Για \(1<x<2\): \((x-1)^3>0\), \((x-2)^2>0\), \((x-3)<0\) ⟹ γινόμενο αρνητικό ⟹ \(f'(x)<0\).
Για \(2<x<3\): \((x-1)^3>0\), \((x-2)^2>0\), \((x-3)<0\) ⟹ γινόμενο αρνητικό ⟹ \(f'(x)<0\) (ίδιο πρόσημο με πριν, αφού το \((x-2)^2\) δεν αλλάζει πρόσημο).
Για \(x>3\): όλοι θετικοί ⟹ \(f'(x)>0\).
Στο \(x=1\): αλλαγή \(+\to-\) ⟹ τοπικό μέγιστο. Στο \(x=2\): καμία αλλαγή (\(-\) και στις δύο πλευρές) ⟹ ΔΕΝ είναι ακρότατο. Στο \(x=3\): αλλαγή \(-\to+\) ⟹ τοπικό ελάχιστο.

Απάντηση: Τοπικό μέγιστο στο \(x=1\), τοπικό ελάχιστο στο \(x=3\)· στο \(x=2\) δεν υπάρχει ακρότατο.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
Παγίδα: άρτιας τάξης ρίζα της παραγώγου (εδώ \(x=2\)) δεν δίνει ακρότατο, όσο μεγάλη κι αν είναι η πολλαπλότητα, αν δεν αλλάζει πρόσημο ο υπόλοιπος παράγοντας.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α2 (σελ. 149)

Εκφώνηση: α) Να μελετήσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: i) \(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\) ii) \(g(x)=x^3-3x+2\) iii) \(h(x)=2x^3-3x^2-1\). β) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων \(x^3-3x^2+3x+1=0\), \(x^3-3x+2=0\), \(2x^3-3x^2-1=0\).

Σκέψη: Παραγωγίζουμε κάθε συνάρτηση, βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία και το πρόσημο. Για το (β), χρησιμοποιούμε τις τιμές των τοπικών ακροτάτων (ή την απουσία τους) σε συνδυασμό με τη συμπεριφορά στο \(\pm\infty\) για να μετρήσουμε πόσες φορές ο γράφος τέμνει τον άξονα \(x'x\).

Λύση:

α.i) \(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0\) πάντα, μηδέν μόνο στο \(x=1\) (χωρίς αλλαγή προσήμου). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\), χωρίς τοπικά ακρότατα.
α.ii) \(g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\), ρίζες \(-1,1\). Πρόσημο: \(+\) στο \((-\infty,-1)\), \(-\) στο \((-1,1)\), \(+\) στο \((1,+\infty)\). Τοπικό μέγιστο \(g(-1)=-1+3+2=4\), τοπικό ελάχιστο \(g(1)=1-3+2=0\).
α.iii) \(h'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\), ρίζες \(0,1\). Πρόσημο: \(+\) στο \((-\infty,0)\), \(-\) στο \((0,1)\), \(+\) στο \((1,+\infty)\). Τοπικό μέγιστο \(h(0)=-1\), τοπικό ελάχιστο \(h(1)=2-3-1=-2\).
β) Για \(x^3-3x^2+3x+1=0\): η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\) (συνεχής, 1–1), με \(f\to-\infty\) στο \(-\infty\) και \(f\to+\infty\) στο \(+\infty\) — ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ πραγματική ρίζα.
Για \(x^3-3x+2=0\): παραγοντοποιώντας (δοκιμή \(x=1\): \(1-3+2=0\)) παίρνουμε \(x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)\). Δύο ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ πραγματικές ρίζες: \(x=1\) (διπλή) και \(x=-2\) — συνεπές με το ότι το τοπικό ελάχιστο \(g(1)=0\) εφάπτεται στον άξονα.
Για \(2x^3-3x^2-1=0\): το τοπικό μέγιστο \(h(0)=-1<0\) και το τοπικό ελάχιστο \(h(1)=-2<0\) είναι ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ αρνητικά, άρα ο γράφος (που πάει από \(-\infty\) σε \(+\infty\)) τέμνει τον άξονα \(x'x\) ΜΟΝΟ στον τελευταίο αύξοντα κλάδο μετά το \(x=1\) — ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ πραγματική ρίζα, στο \((1,+\infty)\).

Απάντηση: α.i) Καμία τοπική ακρότατη τιμή (γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\)). α.ii) Τοπικό μέγιστο \(g(-1)=4\), τοπικό ελάχιστο \(g(1)=0\). α.iii) Τοπικό μέγιστο \(h(0)=-1\), τοπικό ελάχιστο \(h(1)=-2\). β) 1 ρίζα, 2 διακεκριμένες ρίζες, 1 ρίζα αντίστοιχα.

Πρόσεξε:

Το μέρος α) ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
Το μέρος β) δεν έχει δοσμένη επίσημη απάντηση στο παράρτημα — πλήρως ανεξάρτητη ανάλυση με βάση το πρόσημο των τοπικών ακροτάτων σε σχέση με το μηδέν.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α3 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq1\\ e^{1-x}, & x>1\end{cases}\) ii) \(g(x)=\begin{cases}x^2-2x+1, & x<1\\ x^2-4x+3, & x\geq1\end{cases}\).

Σκέψη: Επαληθεύουμε πρώτα τη συνέχεια στο σημείο συρραφής, μετά μελετάμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε κλάδο.

Λύση:

i) Συνέχεια στο \(x=1\): \(f(1)=1\) και \(\lim_{x\to1^+}e^{1-x}=e^0=1\) — συνεχής. Για \(x<1\): \(f'(x)=2x\), αρνητική για \(x<0\), θετική για \(0<x<1\). Για \(x>1\): \(f'(x)=-e^{1-x}<0\) πάντα.
Άρα: φθίνουσα σε \((-\infty,0]\), αύξουσα σε \([0,1]\) — τοπικό ΕΛΑΧΙΣΤΟ \(f(0)=0\). Μετά, αύξουσα σε \([0,1]\) και φθίνουσα σε \([1,+\infty)\) (αφού \(f'<0\) για \(x>1\)) — τοπικό ΜΕΓΙΣΤΟ \(f(1)=1\).
ii) Συνέχεια στο \(x=1\): αριστερό όριο \(1-2+1=0\), τιμή \(g(1)=1-4+3=0\) — συνεχής. Για \(x<1\): \(g'(x)=2x-2<0\) (αφού \(x<1\)). Για \(x>1\): \(g'(x)=2x-4\), αρνητική για \(1<x<2\), θετική για \(x>2\).
Άρα: \(g'<0\) σε όλο το \((-\infty,1)\) ΚΑΙ σε όλο το \((1,2)\) — καμία αλλαγή προσήμου γύρω από το \(x=1\), άρα ΔΕΝ είναι ακρότατο εκεί (η \(g\) είναι φθίνουσα σε όλο το \((-\infty,2]\)). Στο \(x=2\): αλλαγή \(-\to+\) — τοπικό (και ολικό) ΕΛΑΧΙΣΤΟ \(g(2)=4-8+3=-1\).

Απάντηση: i) Τοπικό ελάχιστο \(f(0)=0\), τοπικό μέγιστο \(f(1)=1\). ii) Τοπικό (ολικό) ελάχιστο \(g(2)=-1\)· στο \(x=1\) δεν υπάρχει ακρότατο.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («3. i) Το f(0)=0 τοπικό ελάχιστο, το f(1)=1 τοπικό μέγιστο. ii) Ελάχιστο το g(2)=-1»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α4 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) \(f(x)=e^x-x\), \(x\in\mathbb{R}\) ii) \(f(x)=x^x\), \(x>0\).

Σκέψη: i) Άμεση παραγώγιση. ii) Γράφουμε \(x^x=e^{x\ln x}\) και παραγωγίζουμε τη σύνθετη εκθετική συνάρτηση.

Λύση:

i) \(f'(x)=e^x-1\). Ρίζα στο \(x=0\): αρνητική για \(x<0\), θετική για \(x>0\). Τοπικό (ολικό) ελάχιστο \(f(0)=1\).
ii) \(f(x)=e^{x\ln x}\), \(f'(x)=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)\). Αφού \(x^x>0\) πάντα (για \(x>0\)), το πρόσημο του \(f'\) καθορίζεται από \((\ln x+1)\), που μηδενίζεται στο \(x=e^{-1}=1/e\): αρνητικό για \(x<1/e\), θετικό για \(x>1/e\). Τοπικό (ολικό) ελάχιστο \(f(1/e)=(1/e)^{1/e}\).

Απάντηση: i) Ελάχιστο \(f(0)=1\). ii) Ελάχιστο \(f(1/e)=(1/e)^{1/e}\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («4. i) Ελάχιστο το f(0)=1. ii) Ελάχιστο το f(1/e)=(1/e)^(1/e)»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α5 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Η συνάρτηση \(f(x)=\alpha x^3+\beta x^2-3x+1\) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις \(x=-1\) και \(x=1\). Να βρείτε τα \(\alpha,\beta\) και να προσδιορίσετε τα τοπικά ακρότατα.

Σκέψη: Θέτουμε \(f'(-1)=0\) και \(f'(1)=0\) (αναγκαία συνθήκη Fermat), λύνουμε το σύστημα, μετά επαληθεύουμε με πρόσημο ότι πρόκειται όντως για ακρότατα (όχι μόνο κρίσιμα σημεία).

Λύση:

\(f'(x)=3\alpha x^2+2\beta x-3\). Οι συνθήκες δίνουν: \(f'(1)=3\alpha+2\beta-3=0\) και \(f'(-1)=3\alpha-2\beta-3=0\).
Προσθέτοντας: \(6\alpha-6=0\Rightarrow\alpha=1\). Αφαιρώντας: \(4\beta=0\Rightarrow\beta=0\). Άρα \(f(x)=x^3-3x+1\).
Επαλήθευση: \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Πρόσημο: \(+\) στο \((-\infty,-1)\), \(-\) στο \((-1,1)\), \(+\) στο \((1,+\infty)\). Στο \(x=-1\): \(+\to-\) (τοπικό μέγιστο), στο \(x=1\): \(-\to+\) (τοπικό ελάχιστο) — επιβεβαιώνονται και τα δύο ως γνήσια ακρότατα.
\(f(-1)=-1+3+1=3\), \(f(1)=1-3+1=-1\).

Απάντηση: \(\alpha=1,\ \beta=0\)· τοπικό μέγιστο \(f(-1)=3\), τοπικό ελάχιστο \(f(1)=-1\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («5. α=1, β=0, τοπικό μέγιστο f(-1)=3, τοπικό ελάχιστο f(1)=-1»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α6 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει εμβαδόν \(400\ \text{m}^2\). Να αποδείξετε ότι το οικόπεδο με τη μικρότερη περίμετρο (άρα και το φθηνότερο περίφραγμα) είναι τετράγωνο, και να βρείτε αυτή την ελάχιστη περίμετρο.

Σκέψη: Θέτουμε τη μία πλευρά \(x>0\), οπότε η άλλη είναι \(400/x\). Εκφράζουμε την περίμετρο ως συνάρτηση του \(x\) και ελαχιστοποιούμε.

Λύση:

Έστω πλευρές \(x\) και \(400/x\), \(x>0\). Περίμετρος \(p(x)=2\left(x+\dfrac{400}{x}\right)\).
\(p'(x)=2\left(1-\dfrac{400}{x^2}\right)\). Ρίζα: \(x^2=400\Rightarrow x=20\) (θετική λύση).
\(p''(x)=2\cdot\dfrac{800}{x^3}>0\) για \(x>0\), άρα στο \(x=20\) έχουμε τοπικό (και, λόγω μοναδικότητας κρίσιμου σημείου σε \((0,+\infty)\), ολικό) ελάχιστο.
Στο \(x=20\): η άλλη πλευρά είναι \(400/20=20\) — δηλαδή πράγματι τετράγωνο. \(p(20)=2(20+20)=80\) m.

Απάντηση: Το οικόπεδο ελάχιστης περιμέτρου είναι τετράγωνο πλευράς \(20\) m, με ελάχιστη περίμετρο \(p(20)=80\) m.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («6. p(x)=2(x+400/x), x>0 και ελάχιστο το p(20)=80»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α7 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Από σύρμα μήκους \(80\) m θέλουμε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο πλαίσιο μέγιστου εμβαδού. Να βρείτε τις διαστάσεις και το μέγιστο εμβαδόν.

Σκέψη: Η περίμετρος είναι σταθερή (\(80\) m), άρα οι δύο διαστάσεις συνδέονται γραμμικά· εκφράζουμε το εμβαδόν ως συνάρτηση μιας μεταβλητής.

Λύση:

Έστω πλευρές \(x,y\) με \(2(x+y)=80\Rightarrow y=40-x\), \(x\in(0,40)\).
Εμβαδόν \(E(x)=x(40-x)=-x^2+40x\). \(E'(x)=-2x+40=0\Rightarrow x=20\).
\(E''(x)=-2<0\) — τοπικό (ολικό, στο διάστημα) μέγιστο στο \(x=20\). Τότε \(y=40-20=20\).
\(E(20)=20\cdot20=400\ \text{m}^2\).

Απάντηση: Οι διαστάσεις είναι \(20\ \text{m}\times20\ \text{m}\) (τετράγωνο), με μέγιστο εμβαδόν \(E(20)=400\ \text{m}^2\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («7. E(x)=-x²+40x, x∈(0,40) και μέγιστο το E(20)=400»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α8 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Η θερμοκρασία \(T\) (σε βαθμούς Κελσίου) ενός ασθενή, \(x\) ώρες μετά τη χορήγηση \(x\) mgr ενός φαρμάκου, δίνεται (κατά προσέγγιση, για \(0<x<3\)) από τον τύπο \(T(x)=x^2-\dfrac{x^3}{4}\). Να βρείτε τη δόση \(x\) για την οποία ο ρυθμός μείωσης της θερμοκρασίας είναι μέγιστος.

Σκέψη: Ο ζητούμενος ρυθμός είναι η \(T'(x)\) (ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας ως προς τη δόση). Μεγιστοποιούμε την \(T'\) ψάχνοντας πού μηδενίζεται η \(T''\) με αλλαγή προσήμου.

Λύση:

\(T'(x)=2x-\dfrac{3x^2}{4}\) (ο ρυθμός μεταβολής προς εξέταση).
\(T''(x)=2-\dfrac{3x}{2}\). Ρίζα: \(x=\dfrac{4}{3}\).
\(T'''(x)=-\dfrac32<0\) σταθερά, άρα η \(T''\) αλλάζει πρόσημο από \(+\) σε \(-\) στο \(x=4/3\) — δηλαδή η \(T'\) (που είναι η συνάρτηση προς μεγιστοποίηση) παρουσιάζει εκεί τοπικό ΜΕΓΙΣΤΟ.

Απάντηση: Η δόση για μέγιστο ρυθμό μείωσης της θερμοκρασίας είναι \(x=\dfrac{4}{3}\) mgr.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («8. 4/3 mgr»).
Λεπτό σημείο: το ζητούμενο μέγεθος προς βελτιστοποίηση είναι η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ T'(x), όχι η ίδια η T(x) — γι' αυτό χρειάζεται 2η και 3η παράγωγος της T.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α9 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Σε τετράγωνο \(ABΓΔ\) πλευράς \(2\) cm είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο \(EZHΘ\) με τις κορυφές του πάνω στις πλευρές του \(ABΓΔ\), έτσι ώστε, αν \(A\Theta=x\ (0\leq x\leq2)\), οι υπόλοιπες αντίστοιχες αποστάσεις στις γειτονικές πλευρές να είναι επίσης \(x\) και \(2-x\) εναλλάξ (λόγω συμμετρίας της περιστροφής). i) Να εκφράσετε το εμβαδόν \(E(x)\) του \(EZHΘ\) συναρτήσει του \(x\). ii) Για ποια τιμή του \(x\) το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο;

Σκέψη: Κάθε πλευρά του εσωτερικού τετραγώνου είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές \(x\) και \(2-x\)· άρα το εμβαδόν (=πλευρά στο τετράγωνο) είναι \(x^2+(2-x)^2\).

Λύση:

i) Με Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(x\) και \(2-x\): \((EΘ)^2=x^2+(2-x)^2\). Άρα \(E(x)=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4,\ x\in[0,2]\).
ii) \(E'(x)=4x-4=0\Rightarrow x=1\). \(E''(x)=4>0\) — τοπικό (και ολικό στο \([0,2]\)) ελάχιστο.
\(E(1)=2-4+4=2\ \text{cm}^2\) (τότε το εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά \(\sqrt2\), δηλαδή είναι το τετράγωνο με κορυφές στα μέσα των πλευρών).

Απάντηση: i) \(E(x)=2x^2-4x+4\). ii) Ελάχιστο εμβαδόν στο \(x=1\), με \(E(1)=2\ \text{cm}^2\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («9. i) Ε(x)=2x²-4x+4. ii) 1»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α10 (σελ. 150)

Εκφώνηση: Το κόστος παραγωγής \(x\) μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από τη συνάρτηση \(K(x)=\dfrac{x^3}{3}-20x^2+600x+1000\) και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους από τη συνάρτηση \(E(x)=420x-2x^2\), \(0\leq x\leq105\). Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παραχθούν και να πωληθούν ώστε το κέρδος να είναι μέγιστο.

Σκέψη: Το κέρδος είναι \(P(x)=E(x)-K(x)\)· παραγωγίζουμε, βρίσκουμε κρίσιμα σημεία, διακρίνουμε ανάμεσα σε τοπικό μέγιστο/ελάχιστο με την 2η παράγωγο.

Λύση:

\(P(x)=E(x)-K(x)=420x-2x^2-\dfrac{x^3}{3}+20x^2-600x-1000=-\dfrac{x^3}{3}+18x^2-180x-1000\).
\(P'(x)=-x^2+36x-180\). Λύνουμε \(x^2-36x+180=0\): διακρίνουσα \(=1296-720=576=24^2\), \(x=\dfrac{36\pm24}{2}\Rightarrow x=6\) ή \(x=30\).
\(P''(x)=-2x+36\). Στο \(x=6\): \(P''=24>0\) (τοπικό ελάχιστο — δεν μας ενδιαφέρει). Στο \(x=30\): \(P''=-24<0\) (τοπικό μέγιστο).
Αφού \(x=30\in[0,105]\) είναι το μοναδικό τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό, και τα άκρα δίνουν μικρότερο κέρδος (τυπική συμπεριφορά τέτοιων προβλημάτων, με \(P(0)=-1000\)), το μέγιστο κέρδος επιτυγχάνεται στο \(x=30\).

Απάντηση: Πρέπει να παραχθούν και να πωληθούν \(30\) μονάδες για μέγιστο κέρδος.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («10. 30 μονάδες»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β1 (σελ. 151)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=2\eta\mu x-x+3,\ x\in[0,\pi]\). i) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \(f\). ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(\eta\mu x=\dfrac{x}{2}-\dfrac32\) έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα \(\left(\dfrac{\pi}{3},\pi\right)\).

Σκέψη: i) Παραγωγίζουμε, βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο. ii) Ξαναγράφουμε την εξίσωση ως \(f(x)=0\) και χρησιμοποιούμε τη μονοτονία σε συνδυασμό με πρόσημα στα άκρα.

Λύση:

i) \(f'(x)=2\sigma\upsilon\nu x-1\). Μηδενίζεται όταν \(\sigma\upsilon\nu x=\dfrac12\), δηλ. \(x=\dfrac{\pi}{3}\) (μοναδική λύση στο \([0,\pi]\)). Θετική για \(x<\pi/3\), αρνητική για \(x>\pi/3\). Η \(f\) είναι αύξουσα στο \([0,\pi/3]\) και φθίνουσα στο \([\pi/3,\pi]\).
ii) Η εξίσωση \(\eta\mu x=\dfrac{x}{2}-\dfrac32\Leftrightarrow2\eta\mu x=x-3\Leftrightarrow2\eta\mu x-x+3=0\Leftrightarrow f(x)=0\).
\(f(0)=0-0+3=3>0\). Στο \([0,\pi/3]\) η \(f\) είναι αύξουσα με ελάχιστη τιμή \(f(0)=3>0\), άρα \(f>0\) σε όλο το \([0,\pi/3]\) — καμία ρίζα εκεί.
Στο \([\pi/3,\pi]\): \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{3}+3=\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}+3\approx3{,}685>0\) και \(f(\pi)=0-\pi+3=3-\pi\approx-0{,}14<0\). Αφού η \(f\) είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο \([\pi/3,\pi]\), με τιμές αντίθετου προσήμου στα άκρα, υπάρχει ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ρίζα στο \((\pi/3,\pi)\) (μοναδικότητα από τη γνήσια μονοτονία, ύπαρξη από Bolzano).

Απάντηση: i) Αύξουσα στο \([0,\pi/3]\), φθίνουσα στο \([\pi/3,\pi]\). ii) Ακριβώς μία ρίζα στο \((\pi/3,\pi)\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β2 (σελ. 151)

Εκφώνηση: Δίνονται οι συναρτήσεις \(g(x)=x\ln x\) και \(h(x)=-\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac32\), \(x>0\). i) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \(h(x)=\ln x+x-1\) (βοηθητική). ii) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση \(\varphi(x)=2x\ln x+x^2-4x+3\). iii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(g,h\) έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.

Σκέψη: i) Παραγωγίζουμε την βοηθητική. ii) Παρατηρούμε ότι \(\varphi'(x)=2\)(βοηθητική), αξιοποιώντας το (i). iii) Το κοινό σημείο προκύπτει λύνοντας \(g(x)=h(x)\Leftrightarrow\varphi(x)=0\), και συγκρίνουμε παραγώγους στο κοινό σημείο.

Λύση:

i) Έστω βοηθητική \(f(x)=\ln x+x-1,\ x>0\). \(f'(x)=\dfrac1x+1>0\) πάντα — γνησίως αύξουσα. \(f(1)=0+1-1=0\): άρα \(f(x)<0\) για \(0<x<1\), \(f(x)>0\) για \(x>1\).
ii) \(\varphi'(x)=2\ln x+2+2x-4=2(\ln x+x-1)=2f(x)\). Από το (i): \(\varphi'(x)<0\) για \(0<x<1\), \(\varphi'(x)>0\) για \(x>1\). Η \(\varphi\) είναι φθίνουσα στο \((0,1]\), αύξουσα στο \([1,+\infty)\), με τοπικό (ολικό) ελάχιστο \(\varphi(1)=0+1-4+3=0\).
iii) Κοινό σημείο: \(g(x)=h(x)\Leftrightarrow x\ln x+\dfrac{x^2}{2}-2x+\dfrac32=0\Leftrightarrow2x\ln x+x^2-4x+3=0\Leftrightarrow\varphi(x)=0\). Από το (ii), το ελάχιστο της \(\varphi\) είναι ακριβώς \(0\), στο \(x=1\), και είναι η μοναδική ρίζα (αφού \(\varphi\geq0\) παντού με ισότητα μόνο εκεί).
Στο \(x=1\): \(g(1)=1\cdot\ln1=0\), \(h(1)=-\dfrac12+2-\dfrac32=0\) — κοινό σημείο \((1,0)\). Παράγωγοι: \(g'(x)=\ln x+1\Rightarrow g'(1)=1\)· \(h'(x)=-x+2\Rightarrow h'(1)=1\). Ίσες κλίσεις — κοινή εφαπτομένη \(y=1\cdot(x-1)+0=x-1\).

Απάντηση: i) Η βοηθητική \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, με \(f(1)=0\). ii) Η \(\varphi\) είναι φθίνουσα στο \((0,1]\), αύξουσα στο \([1,+\infty)\), με ελάχιστο \(\varphi(1)=0\). iii) Μοναδικό κοινό σημείο \((1,0)\), κοινή εφαπτομένη \(y=x-1\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («ii) Γνησίως φθίνουσα στο (0,1] και γνησίως αύξουσα στο [1,+∞). Ελάχιστο το φ(1)=0.» και «iii) Κοινό σημείο (1,0), κοινή εφαπτομένη y=x-1»).
Το εκφώνημα ονομάζει τη βοηθητική συνάρτηση «h» στο πρωτότυπο ενώ και η δεύτερη καμπύλη λέγεται επίσης h — για σαφήνεια, ονομάσαμε τη βοηθητική «f» εδώ.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β3 (σελ. 151)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x>0\): i) α) \(e^x>1+x\) β) \(e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}\). ii) α) \(\sigma\upsilon\nu x>1-\dfrac{x^2}{2}\) β) \(\eta\mu x>x-\dfrac{x^3}{6}\). iii) α) \((1+x)^\nu>1+\nu x\), \(\nu\in\mathbb{N}, \nu\geq2\) β) \((1+x)^\nu>1+\nu x+\dfrac{\nu(\nu-1)}{2}x^2\), \(\nu\geq3\).

Σκέψη: Σε κάθε περίπτωση ορίζουμε βοηθητική συνάρτηση ίση με «αριστερό μέλος μείον δεξί μέλος», δείχνουμε ότι μηδενίζεται στο \(0\) και ότι η παράγωγός της είναι θετική για \(x>0\) — συχνά χρησιμοποιώντας το προηγούμενο υποερώτημα ως βοηθητικό αποτέλεσμα.

Λύση:

i.α) Έστω \(F(x)=e^x-1-x\). \(F'(x)=e^x-1>0\) για \(x>0\), \(F(0)=0\)· άρα \(F\) αύξουσα στο \([0,+\infty)\), οπότε \(F(x)>F(0)=0\) για \(x>0\): \(e^x>1+x\).
i.β) Έστω \(G(x)=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}\). \(G'(x)=e^x-1-x=F(x)>0\) για \(x>0\) (από i.α), \(G(0)=0\)· άρα \(G(x)>0\) για \(x>0\): \(e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}\).
ii.α) Έστω \(f(x)=\sigma\upsilon\nu x-1+\dfrac{x^2}{2}\). \(f'(x)=-\eta\mu x+x\). Έστω \(p(x)=x-\eta\mu x\): \(p'(x)=1-\sigma\upsilon\nu x\geq0\) πάντα, \(p(0)=0\)· άρα \(p(x)\geq0\) για \(x\geq0\), δηλαδή \(f'(x)\geq0\). Αφού \(f(0)=0\), η \(f\) είναι αύξουσα, άρα \(f(x)>f(0)=0\) για \(x>0\): \(\sigma\upsilon\nu x>1-\dfrac{x^2}{2}\).
ii.β) Έστω \(g(x)=\eta\mu x-x+\dfrac{x^3}{6}\). \(g'(x)=\sigma\upsilon\nu x-1+\dfrac{x^2}{2}=f(x)>0\) για \(x>0\) (από ii.α), \(g(0)=0\)· άρα \(g(x)>0\) για \(x>0\): \(\eta\mu x>x-\dfrac{x^3}{6}\).
iii.α) Έστω \(f(x)=(1+x)^\nu-1-\nu x\). \(f'(x)=\nu(1+x)^{\nu-1}-\nu=\nu\left[(1+x)^{\nu-1}-1\right]\). Για \(x>0\) και \(\nu-1\geq1\) (αφού \(\nu\geq2\)): \(1+x>1\Rightarrow(1+x)^{\nu-1}>1\), άρα \(f'(x)>0\). Αφού \(f(0)=0\), \(f(x)>0\) για \(x>0\): \((1+x)^\nu>1+\nu x\).
iii.β) Έστω \(g(x)=(1+x)^\nu-1-\nu x-\dfrac{\nu(\nu-1)}{2}x^2\). \(g'(x)=\nu(1+x)^{\nu-1}-\nu-\nu(\nu-1)x=\nu\left[(1+x)^{\nu-1}-1-(\nu-1)x\right]\). Εφαρμόζοντας το (iii.α) με εκθέτη \(\nu-1\) (έγκυρο αφού \(\nu\geq3\Rightarrow\nu-1\geq2\)): η αγκύλη είναι θετική για \(x>0\), άρα \(g'(x)>0\). Αφού \(g(0)=0\), \(g(x)>0\) για \(x>0\): \((1+x)^\nu>1+\nu x+\dfrac{\nu(\nu-1)}{2}x^2\).

Απάντηση: Και οι έξι ανισότητες αποδεικνύονται με τη μέθοδο «βοηθητική συνάρτηση μηδενική στο 0 + θετική παράγωγος για x>0», η καθεμία αξιοποιώντας την προηγούμενή της.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με τη δομή της επίσημης απάντησης του βιβλίου (ίδια αλυσίδα επιχειρημάτων, ελαφρώς διαφορετική επιλογή ενδιάμεσης \(p(x)\) στο ii.α).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β4 (σελ. 151)

Εκφώνηση: Έστω \(f\) παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\), για την οποία ισχύει \(2[f(x)]^3+6f(x)=2x^3+6x+1\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Να αποδείξετε ότι η \(f\) δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα.

Σκέψη: Παραγωγίζουμε πεπλεγμένα και λύνουμε ως προς \(f'(x)\)· αν αποδείξουμε ότι το \(f'(x)\) είναι πάντα διάφορο του μηδενός, τότε από το (αντιθετοαντίστροφο του) Θεώρημα Fermat δεν μπορεί να υπάρχει ακρότατο.

Λύση:

Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη ως προς \(x\) (με κανόνα αλυσίδας στο αριστερό): \(6[f(x)]^2f'(x)+6f'(x)=6x^2+6\).
\(f'(x)\left(6[f(x)]^2+6\right)=6(x^2+1)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{x^2+1}{[f(x)]^2+1}\).
Ο αριθμητής \(x^2+1>0\) για κάθε \(x\) και ο παρονομαστής \([f(x)]^2+1>0\) για κάθε \(x\) (άθροισμα τετραγώνου με θετικό αριθμό). Άρα \(f'(x)>0\) για ΚΑΘΕ \(x\in\mathbb{R}\) — το \(f'(x)=0\) είναι αδύνατο.
Αφού η αναγκαία συνθήκη του Fermat (\(f'(x_0)=0\) σε εσωτερικό σημείο ακροτάτου) δεν μπορεί ποτέ να ικανοποιηθεί, η \(f\) δεν έχει κανένα τοπικό ακρότατο (είναι μάλιστα γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\)).

Απάντηση: Η \(f'(x)=\dfrac{x^2+1}{[f(x)]^2+1}>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), άρα \(f'(x)=0\) είναι αδύνατο και η \(f\) δεν έχει τοπικά ακρότατα.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («4. Η f'(x)=0 είναι αδύνατο στη R»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β5 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Οι γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων \(f,g\) στο διάστημα \([\alpha,\beta]\) έχουν τη μέγιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ τους στο σημείο \(x=\xi\in(\alpha,\beta)\) (με \(f(\xi)>g(\xi)\)). Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των δύο καμπυλών στο \(x=\xi\) είναι παράλληλες.

Σκέψη: Ορίζουμε \(h(x)=f(x)-g(x)\), που παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο εσωτερικό σημείο \(\xi\)· εφαρμόζουμε Fermat.

Λύση:

Έστω \(h(x)=f(x)-g(x)\), παραγωγίσιμη στο \([\alpha,\beta]\) (ως διαφορά παραγωγίσιμων). Η \(h\) παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο εσωτερικό σημείο \(\xi\in(\alpha,\beta)\) (αφού εκεί η κατακόρυφη απόσταση \(f(x)-g(x)\) μεγιστοποιείται).
Από το Θεώρημα του Fermat (η \(h\) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο όπου είναι παραγωγίσιμη): \(h'(\xi)=0\), δηλαδή \(f'(\xi)-g'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=g'(\xi)\).
Οι κλίσεις των εφαπτομένων στα σημεία \((\xi,f(\xi))\) και \((\xi,g(\xi))\) είναι \(f'(\xi)\) και \(g'(\xi)\) αντίστοιχα· αφού είναι ίσες, οι εφαπτομένες είναι παράλληλες.

Απάντηση: Επειδή η \(h=f-g\) μεγιστοποιείται σε εσωτερικό σημείο \(\xi\), το Θεώρημα Fermat δίνει \(f'(\xi)=g'(\xi)\), άρα οι εφαπτομένες στο \(\xi\) είναι παράλληλες.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με τη δομή της επίσημης απάντησης του βιβλίου («5. Θεωρούμε την h(x)=f(x)-g(x), οπότε f'(ξ)=g'(ξ)»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β6 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2(x-\gamma)^2\), όπου \(\alpha<\beta<\gamma\). Να αποδείξετε ότι η \(f\) παρουσιάζει (τουλάχιστον) τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.

Σκέψη: Η \(f\) είναι άθροισμα... γινόμενο τετραγώνων, άρα \(f\geq0\) παντού, με μηδενισμό ακριβώς στα \(\alpha,\beta,\gamma\) — αυτά είναι αυτόματα τοπικά ελάχιστα. Ανάμεσά τους, η \(f\) είναι θετική και συνεχής, άρα παρουσιάζει εσωτερικό μέγιστο (Weierstrass) σε κάθε ένα από τα δύο ενδιάμεσα διαστήματα.

Λύση:

Η \(f(x)\geq0\) για κάθε \(x\) (γινόμενο τετραγώνων) και \(f(x)=0\Leftrightarrow x\in\{\alpha,\beta,\gamma\}\). Σε κάθε ένα από αυτά τα σημεία, αφού η \(f\) παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιμή της (\(0\)) τοπικά (και ολικά), έχουμε τρία τοπικά ΕΛΑΧΙΣΤΑ: \(f(\alpha)=f(\beta)=f(\gamma)=0\).
Στο κλειστό διάστημα \([\alpha,\beta]\): η \(f\) είναι συνεχής, με \(f(\alpha)=f(\beta)=0\) και \(f(x)>0\) για \(x\in(\alpha,\beta)\) (κανένας παράγοντας δεν μηδενίζεται εκεί). Από Θεώρημα Weierstrass, η \(f\) έχει μέγιστο στο \([\alpha,\beta]\), το οποίο (αφού είναι \(>0>f(\alpha)=f(\beta)\)) βρίσκεται σε εσωτερικό σημείο — τοπικό ΜΕΓΙΣΤΟ. Ομοίως στο \([\beta,\gamma]\).
Έτσι προκύπτουν τουλάχιστον 3 τοπικά ελάχιστα (στα \(\alpha,\beta,\gamma\)) και τουλάχιστον 2 τοπικά μέγιστα (ένα σε \((\alpha,\beta)\), ένα σε \((\beta,\gamma)\)). Επιπρόσθετα, αφού τα \(\alpha,\beta,\gamma\) είναι ρίζες άρτιας πολλαπλότητας της \(f\), είναι και ρίζες της \(f'\) (Fermat), και σε συνδυασμό με Rolle στα \([\alpha,\beta]\),\([\beta,\gamma]\) εξασφαλίζονται ακριβώς 2 επιπλέον ρίζες της \(f'\) — συνολικά 5 κρίσιμα σημεία, όσα και ο βαθμός του \(f'\) (5ου βαθμού πολυώνυμο), που επιβεβαιώνει πως δεν υπάρχουν άλλα ακρότατα πέρα από τα 3+2.

Απάντηση: Η \(f\) έχει ακριβώς 3 τοπικά ελάχιστα (στα \(x=\alpha,\beta,\gamma\), όλα με τιμή \(0\)) και ακριβώς 2 τοπικά μέγιστα (ένα στο \((\alpha,\beta)\), ένα στο \((\beta,\gamma)\)).

Πρόσεξε:

Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου για αυτή την άσκηση — λύση πλήρως ανεξάρτητη, συνδυάζοντας το γεγονός ότι το άθροισμα τετραγώνων έχει καθολικό ελάχιστο 0 με το Θεώρημα Weierstrass για τα ενδιάμεσα μέγιστα.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β7 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Σύρμα μήκους \(4\) m κόβεται σε δύο κομμάτια. Με το ένα κατασκευάζεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς \(x\) και με το άλλο τετράγωνο πλευράς \(y\). i) Να εκφράσετε το συνολικό εμβαδόν \(S(x)\) των δύο σχημάτων συναρτήσει του \(x\), προσδιορίζοντας και το πεδίο ορισμού. ii) Για ποια τιμή του \(x\) το συνολικό εμβαδόν είναι ελάχιστο;

Σκέψη: Η περίμετρος του τριγώνου είναι \(3x\), του τετραγώνου \(4y\)· το άθροισμά τους είναι \(4\) m. Λύνουμε ως προς \(y\) και αντικαθιστούμε στο άθροισμα εμβαδών.

Λύση:

i) \(3x+4y=4\Rightarrow y=\dfrac{4-3x}{4}\), με απαίτηση \(x>0\) και \(y>0\Rightarrow x<\dfrac43\)· άρα \(x\in\left(0,\dfrac43\right)\).
Εμβαδόν τριγώνου: \(\dfrac{\sqrt3}{4}x^2\). Εμβαδόν τετραγώνου: \(y^2=\left(\dfrac{4-3x}{4}\right)^2\). Άρα \(S(x)=\dfrac{\sqrt3}{4}x^2+\dfrac{(4-3x)^2}{16}\).
ii) \(S'(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}x+2\cdot\dfrac{(4-3x)}{16}\cdot(-3)=\dfrac{\sqrt3}{2}x-\dfrac{3(4-3x)}{8}\). Θέτοντας ίσο με \(0\) και πολλαπλασιάζοντας επί \(8\): \(4\sqrt3x-3(4-3x)=0\Rightarrow4\sqrt3x-12+9x=0\Rightarrow x(4\sqrt3+9)=12\Rightarrow x=\dfrac{12}{9+4\sqrt3}\).
Ορθολογοποιώντας: \(x=\dfrac{12(9-4\sqrt3)}{(9+4\sqrt3)(9-4\sqrt3)}=\dfrac{12(9-4\sqrt3)}{81-48}=\dfrac{12(9-4\sqrt3)}{33}=\dfrac{4}{11}(9-4\sqrt3)\ (\approx0{,}75\text{ m}). 5. Η \(S(x)\) είναι άθροισμα δύο όρων δευτέρου βαθμού με θετικούς συντελεστές μεγίστου βαθμού (\(\frac{\sqrt3}{4}\) και \(\frac{9}{16}\)), άρα κυρτή (\(S''(x)=\frac{\sqrt3}{2}+\frac98>0\) σταθερά) — το μοναδικό κρίσιμο σημείο είναι ολικό ελάχιστο.

Απάντηση: i) \(S(x)=\dfrac{\sqrt3}{4}x^2+\dfrac{(4-3x)^2}{16},\ x\in\left(0,\dfrac43\right)\). ii) Ελάχιστο εμβαδόν στο \(x=\dfrac{4}{11}(9-4\sqrt3)\approx0{,}75\) m.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («7. ii) x=(4/11)(9-4√3)≈0,75 m»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β8 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{x},\ x\geq0\), και το σημείο \(A\left(\dfrac92,0\right)\). i) Να βρείτε το σημείο \(M\) της γραφικής παράστασης της \(f\) που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το \(A\). ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της \(C_f\) στο \(M\) είναι κάθετη στην ευθεία \(AM\).

Σκέψη: Παραμετρικοποιούμε \(M=(x,\sqrt x)\), ελαχιστοποιούμε το τετράγωνο της απόστασης (ισοδύναμα και απλούστερα από την ίδια την απόσταση). Για το (ii), συγκρίνουμε τις κλίσεις.

Λύση:

i) Έστω \(M(x,\sqrt x)\), \(x\geq0\). \((MA)^2=\left(x-\dfrac92\right)^2+(\sqrt x-0)^2=\left(x-\dfrac92\right)^2+x\).
Έστω \(d(x)=\left(x-\dfrac92\right)^2+x\). \(d'(x)=2\left(x-\dfrac92\right)+1=2x-9+1=2x-8\). Ρίζα: \(x=4\). \(d''(x)=2>0\) — ελάχιστο.
Στο \(x=4\): \(M(4,2)\) (αφού \(\sqrt4=2\)).
ii) Κλίση εφαπτομένης της \(f\) στο \(x=4\): \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\dfrac14\). Κλίση της \(AM\): από \(A\left(\dfrac92,0\right)\) σε \(M(4,2)\): \(\lambda_{AM}=\dfrac{2-0}{4-9/2}=\dfrac{2}{-1/2}=-4\).
Γινόμενο κλίσεων: \(\dfrac14\cdot(-4)=-1\) — άρα οι δύο ευθείες είναι κάθετες.

Απάντηση: i) \(M(4,2)\). ii) Οι κλίσεις \(\frac14\) και \(-4\) έχουν γινόμενο \(-1\), άρα η εφαπτομένη είναι κάθετη στην \(AM\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («8. i) (MA)²=(x-9/2)²+x και M(4,2). ii) l_εφαπτομένης ⟂ l_AM»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β9 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Ένας στίβος αποτελείται από ένα ορθογώνιο με δύο ημικύκλια ακτίνας \(r\) στις απέναντι πλευρές του (σχήμα «στάδιο»). Η συνολική περίμετρος του στίβου είναι \(400\) m. Να βρείτε την ακτίνα \(r\) και το μήκος \(L\) της ορθογώνιας πλευράς ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τμήματος να είναι μέγιστο.

Σκέψη: Η περίμετρος αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα μήκους \(L\) και την περιφέρεια ενός πλήρους κύκλου ακτίνας \(r\) (τα δύο ημικύκλια μαζί). Εκφράζουμε το \(L\) συναρτήσει του \(r\) και μεγιστοποιούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου \(L\times2r\).

Λύση:

Περίμετρος: \(2L+2\pi r=400\Rightarrow L=200-\pi r,\ r\in\left(0,\dfrac{200}{\pi}\right)\).
Εμβαδόν ορθογωνίου: \(E(r)=L\cdot2r=2r(200-\pi r)=400r-2\pi r^2\).
\(E'(r)=400-4\pi r=0\Rightarrow r=\dfrac{100}{\pi}\). \(E''(r)=-4\pi<0\) — μέγιστο.
\(L=200-\pi\cdot\dfrac{100}{\pi}=200-100=100\).

Απάντηση: \(r=\dfrac{100}{\pi}\ \text{m}\), \(L=100\ \text{m}\) (μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου \(E=400\cdot\frac{100}{\pi}-2\pi\cdot\frac{10000}{\pi^2}=\frac{20000}{\pi}\ \text{m}^2\)).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («9. 100/π and 100»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β10 (σελ. 152)

Εκφώνηση: Ένα ταξιδιωτικό γραφείο οργανώνει κρουαζιέρα με βασική συμμετοχή \(100\) ατόμων και τιμή \(1000\) ευρώ/άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο πάνω από τα \(100\), η τιμή μειώνεται κατά \(5\) ευρώ για ΟΛΟΥΣ τους συμμετέχοντες. Πόσα άτομα πρέπει να συμμετάσχουν ώστε οι συνολικές εισπράξεις να είναι μέγιστες;

Σκέψη: Εκφράζουμε τις συνολικές εισπράξεις ως συνάρτηση του συνολικού πλήθους συμμετεχόντων \(x\) (όχι μόνο των επιπλέον), όπου η τιμή ανά άτομο είναι γραμμική συνάρτηση του \(x\).

Λύση:

Αν \(x\) είναι το συνολικό πλήθος συμμετεχόντων (\(x\geq100\)), τα επιπλέον άτομα πέρα από τα \(100\) είναι \(x-100\), οπότε η τιμή ανά άτομο είναι \(1000-5(x-100)=1000-5x+500=1500-5x\).
Συνολικές εισπράξεις: \(E(x)=x(1500-5x)=1500x-5x^2\).
\(E'(x)=1500-10x=0\Rightarrow x=150\). \(E''(x)=-10<0\) — μέγιστο.
\(E(150)=150(1500-750)=150\cdot750=112.500\) ευρώ.

Απάντηση: Πρέπει να συμμετάσχουν \(150\) άτομα συνολικά για μέγιστες εισπράξεις (\(112.500\) ευρώ).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («10. Οι εισπράξεις είναι E(x)=x(1500-5x). E'(x)=0, οπότε x=150»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β11 (σελ. 153)

Εκφώνηση: Δύο ομόκεντροι κύκλοι ακτίνας \(r_1(t)=3+0{,}05t\) και \(r_2(t)=5+0{,}04t\) (σε cm, \(t\) σε δευτερόλεπτα, \(t\geq0\)) σχηματίζουν δακτύλιο εμβαδού \(E(t)=\pi\left[r_2(t)^2-r_1(t)^2\right]\). i) Να βρείτε πότε το εμβαδόν του δακτυλίου μηδενίζεται. ii) Να βρείτε πότε το εμβαδόν γίνεται μέγιστο.

Σκέψη: i) Το εμβαδόν μηδενίζεται όταν οι δύο ακτίνες γίνουν ίσες (αφού η \(r_1\) αυξάνεται γρηγορότερα, τελικά την προσπερνά). ii) Αναπτύσσουμε το \(E(t)\) ως τριώνυμο και μεγιστοποιούμε.

Λύση:

i) \(E(t)=0\Leftrightarrow r_2(t)=r_1(t)\Leftrightarrow5+0{,}04t=3+0{,}05t\Leftrightarrow2=0{,}01t\Leftrightarrow t=200\) s.
ii) Αναπτύσσοντας: \(r_2^2=25+0{,}4t+0{,}0016t^2\), \(r_1^2=9+0{,}3t+0{,}0025t^2\). Διαφορά: \(16+0{,}1t-0{,}0009t^2\). Άρα \(E(t)=\pi(16+0{,}1t-0{,}0009t^2)\).
\(E'(t)=\pi(0{,}1-0{,}0018t)=0\Rightarrow t=\dfrac{0{,}1}{0{,}0018}=\dfrac{500}{9}\approx55{,}6\) s. \(E''(t)=-0{,}0018\pi<0\) — μέγιστο.

Απάντηση: i) Το εμβαδόν μηδενίζεται στα \(t=200\) s. ii) Το εμβαδόν γίνεται μέγιστο στα \(t=\dfrac{500}{9}\approx55{,}6\) s.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («11. i) t=200s ii) t≈55,6s»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β12 (σελ. 153)

Εκφώνηση: Η διατομή ενός καναλιού άρδευσης έχει σχήμα ισοσκελούς τραπεζίου με τη μικρή (κάτω) βάση \(AB=2\) m και πλάγιες πλευρές \(A\Delta=B\Gamma=2\) m, οι οποίες σχηματίζουν γωνία \(\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) με την προέκταση της κάτω βάσης (το τραπέζιο ανοίγει προς τα πάνω). i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής είναι \(E(\theta)=4\eta\mu\theta(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\). ii) Για ποια τιμή του \(\theta\) το εμβαδόν γίνεται μέγιστο;

Σκέψη: Το ύψος του τραπεζίου είναι \(2\eta\mu\theta\), η οριζόντια προβολή κάθε πλάγιας πλευράς είναι \(2\sigma\upsilon\nu\theta\), οπότε η άνω βάση είναι \(2+4\sigma\upsilon\nu\theta\). Εφαρμόζουμε τον τύπο εμβαδού τραπεζίου. Για το μέγιστο, παραγωγίζουμε και παραγοντοποιούμε ως προς \(c=\sigma\upsilon\nu\theta\).

Λύση:

i) Ύψος \(h=2\eta\mu\theta\). Άνω βάση \(\Gamma\Delta=AB+2\cdot2\sigma\upsilon\nu\theta=2+4\sigma\upsilon\nu\theta\). Εμβαδόν \(E=\dfrac{AB+\Gamma\Delta}{2}\cdot h=\dfrac{2+(2+4\sigma\upsilon\nu\theta)}{2}\cdot2\eta\mu\theta=(2+2\sigma\upsilon\nu\theta)(2\eta\mu\theta)=4\eta\mu\theta(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\).
ii) \(E'(\theta)=4\left[\sigma\upsilon\nu\theta(1+\sigma\upsilon\nu\theta)+\eta\mu\theta(-\eta\mu\theta)\right]=4\left[\sigma\upsilon\nu\theta+\sigma\upsilon\nu^2\theta-\eta\mu^2\theta\right]=4\left[\sigma\upsilon\nu\theta+\sigma\upsilon\nu^2\theta-(1-\sigma\upsilon\nu^2\theta)\right]=4\left[2\sigma\upsilon\nu^2\theta+\sigma\upsilon\nu\theta-1\right]\).
Θέτοντας \(c=\sigma\upsilon\nu\theta\): \(2c^2+c-1=0\), διακρίνουσα \(=1+8=9\), \(c=\dfrac{-1\pm3}{4}\Rightarrow c=\dfrac12\) ή \(c=-1\).
Αφού \(\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\Rightarrow\sigma\upsilon\nu\theta\in(0,1)\), μόνο η \(c=\dfrac12\) είναι αποδεκτή, δηλαδή \(\sigma\upsilon\nu\theta=\dfrac12\Rightarrow\theta=\dfrac{\pi}{3}\) (η άλλη ρίζα \(c=-1\) απορρίπτεται).

Απάντηση: i) \(E(\theta)=4\eta\mu\theta(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\). ii) Μέγιστο εμβαδόν στο \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («12. ii) θ=π/3»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β13 (σελ. 153)

Εκφώνηση: Ένας κολυμβητής βρίσκεται σε σημείο \(K\) στη θάλασσα, σε απόσταση \(100\) πόδια από το πλησιέστερο σημείο \(A\) της ευθύγραμμης ακτής. Το σπίτι του \(\Sigma\) βρίσκεται πάνω στην ακτή, σε απόσταση \(300\) πόδια από το \(A\). Κολυμπάει με ταχύτητα \(3\) πόδια/δευτερόλεπτο και τρέχει στην ακτή με \(5\) πόδια/δευτερόλεπτο. Κολυμπάει σε ευθεία γραμμή μέχρι ένα σημείο \(M\) της ακτής, σε απόσταση \(x\) από το \(A\) (\(0\leq x\leq300\)), και μετά τρέχει από το \(M\) στο \(\Sigma\). i) Να αποδείξετε ότι ο συνολικός χρόνος είναι \(T(x)=\dfrac{\sqrt{100^2+x^2}}{3}+\dfrac{300-x}{5}\). ii) Για ποια τιμή του \(x\) ο χρόνος γίνεται ελάχιστος;

Σκέψη: Η απόσταση \(KM\) είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές \(100\) και \(x\)· η απόσταση \(M\Sigma\) είναι \(300-x\). Διαιρούμε κάθε απόσταση με την αντίστοιχη ταχύτητα.

Λύση:

i) \(KM=\sqrt{100^2+x^2}\) (Πυθαγόρειο), χρόνος κολύμβησης \(=\dfrac{\sqrt{100^2+x^2}}{3}\). \(M\Sigma=300-x\), χρόνος τρεξίματος \(=\dfrac{300-x}{5}\). Άθροισμα: \(T(x)=\dfrac{\sqrt{100^2+x^2}}{3}+\dfrac{300-x}{5}\).
ii) \(T'(x)=\dfrac13\cdot\dfrac{x}{\sqrt{100^2+x^2}}-\dfrac15\). Θέτοντας ίσο με \(0\): \(\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+10000}}=\dfrac15\Rightarrow5x=3\sqrt{x^2+10000}\Rightarrow25x^2=9(x^2+10000)\Rightarrow16x^2=90000\Rightarrow x^2=5625\Rightarrow x=75\) (θετική λύση).
Η \(T\) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με \(T''(x)>0\) (τυπική συμπεριφορά αυτού του κλασικού προβλήματος ελάχιστου χρόνου· ο πρώτος όρος είναι κυρτή συνάρτηση του \(x\)), άρα το \(x=75\) δίνει ολικό ελάχιστο στο \([0,300]\).

Απάντηση: i) Επαληθεύεται ο τύπος \(T(x)\). ii) Ο χρόνος ελαχιστοποιείται στο \(x=75\) πόδια.

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («13. ii) 75»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β14 (σελ. 153)

Εκφώνηση: Δύο εργοστάσια \(E_1,E_2\) απέχουν \(12\) km. Το \(E_2\) ρυπαίνει \(8\) φορές περισσότερο από το \(E_1\) (ίδιος συντελεστής αναλογικότητας \(k\)). Η πυκνότητα ρύπανσης σε ένα σημείο είναι ανάλογη της εκπομπής και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης από την πηγή. Σε ποιο σημείο \(x\) της ευθείας \(E_1E_2\) (μετρούμενο από το \(E_1\)) η συνολική πυκνότητα ρύπανσης είναι ελάχιστη;

Σκέψη: Εκφράζουμε τη συνολική πυκνότητα ως άθροισμα δύο όρων αντιστρόφου τετραγώνου, ελαχιστοποιούμε ως προς \(x\in(0,12)\).

Λύση:

Συνολική πυκνότητα: \(r(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{8k}{(12-x)^2},\ x\in(0,12)\).
\(r'(x)=-\dfrac{2k}{x^3}+\dfrac{16k}{(12-x)^3}\). Θέτοντας ίσο με \(0\): \(\dfrac{16}{(12-x)^3}=\dfrac{2}{x^3}\Rightarrow\dfrac{8}{(12-x)^3}=\dfrac{1}{x^3}\Rightarrow8x^3=(12-x)^3\).
Παίρνοντας κυβικές ρίζες (και οι δύο πλευρές θετικές για \(x\in(0,12)\)): \(2x=12-x\Rightarrow3x=12\Rightarrow x=4\).
Για \(x<4\): \(8x^3<(12-x)^3\Rightarrow r'(x)<0\) (έλεγχος πρόσημου)· για \(x>4\): \(r'(x)>0\) — τοπικό (ολικό στο \((0,12)\)) ελάχιστο στο \(x=4\).

Απάντηση: Η συνολική ρύπανση ελαχιστοποιείται σε απόσταση \(x=4\) km από το εργοστάσιο \(E_1\) (δηλαδή \(8\) km από το \(E_2\)).

Πρόσεξε:

Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («14. r=r1+r2=k/x²+κ·8p/(12-x)², κ∈R. Σε 4 km από το εργοστάσιο...») — η ετικέτα του εργοστασίου στο πρωτότυπο κείμενο του βιβλίου εμφανίζεται αλλοιωμένη (πιθανό OCR artifact), αλλά η αριθμητική απάντηση x=4 (μετρούμενο από το E1, όπως ορίζεται η μεταβλητή x στην ίδια την εκφώνηση) ταυτίζεται πλήρως με τον δικό μας υπολογισμό.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο