Κεφάλαιο 2.2 – Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις – Παράγωγος Συνάρτηση (σελ. 109-110) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση 1 (σελ. 109)

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \(f\) στο σημείο \(x_0\) όταν: i) \(f(x)=x^4,\ x_0=-1\) ii) \(f(x)=\sqrt{x},\ x_0=9\) iii) \(f(x)=\cos x,\ x_0=\frac{\pi}{6}\) iv) \(f(x)=\ln x,\ x_0=e\) v) \(f(x)=e^x,\ x_0=\ln2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε απευθείας τον πίνακα βασικών παραγώγων του §2.2, αντικαθιστώντας το \(x_0\).

Λύση:

1. i) \(f'(x)=4x^3\Rightarrow f'(-1)=4(-1)^3=-4\).
2. ii) \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow f'(9)=\dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac16\).
3. iii) \(f'(x)=-\sin x\Rightarrow f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\dfrac12\).
4. iv) \(f'(x)=\dfrac1x\Rightarrow f'(e)=\dfrac1e\).
5. v) \(f'(x)=e^x\Rightarrow f'(\ln2)=e^{\ln2}=2\).

Απάντηση: i) \(-4\). ii) \(\dfrac16\). iii) \(-\dfrac12\). iv) \(\dfrac1e\). v) \(2\).

Άσκηση 2 (σελ. 109)

Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: i) \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x<1\\\sqrt{x}, & x\geq1\end{cases}\) ii) \(f(x)=\begin{cases}\sin x, & x<0\\x, & x\geq0\end{cases}\) iii) \(f(x)=\begin{cases}x^3, & x<2\\x^4, & x\geq2\end{cases}\) iv) \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq2/3\\x^3, & x>2/3\end{cases}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε κλάδο εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο τύπο παραγώγου. Στο σημείο ραφής ελέγχουμε πρώτα τη συνέχεια (αν είναι ασυνεχής, αποκλείεται η παραγωγισιμότητα εκεί)· αν είναι συνεχής, συγκρίνουμε τις πλευρικές παραγώγους.

Λύση:

1. i) Συνέχεια στο \(1\): \(\lim_{x\to1^-}x^2=1=\lim_{x\to1^+}\sqrt{x}=f(1)\) ✓. Αριστερή παράγωγος: \(\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim(x+1)=2\). Δεξιά παράγωγος: \(\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac12\). Άνισες (\(2\neq\frac12\)) \(\Rightarrow\) ΔΕΝ παραγωγίσιμη στο \(1\). Αλλού: \(f'(x)=2x\) για \(x<1\), \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) για \(x>1\).
2. ii) Συνέχεια στο \(0\): \(\sin0=0=f(0)\) ✓. Αριστερή παράγωγος: \(\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x-0}{x}=1\). Δεξιά παράγωγος: \(\lim_{x\to0^+}\frac{x-0}{x}=1\). Ίσες \(\Rightarrow\) παραγωγίσιμη ΠΑΝΤΟΥ, με \(f'(x)=\cos x\) για \(x<0\), \(f'(0)=1\), \(f'(x)=1\) για \(x>0\) (σημειώστε ότι \(\cos0=1\), οπότε η \(f'\) είναι μάλιστα συνεχής στο \(0\)).
3. iii) Συνέχεια στο \(2\): \(\lim_{x\to2^-}x^3=8\), \(\lim_{x\to2^+}x^4=16\), \(f(2)=16\). Επειδή \(8\neq16\), η \(f\) είναι ΑΣΥΝΕΧΗΣ στο \(2\) \(\Rightarrow\) δεν παραγωγίζεται εκεί. Αλλού: \(f'(x)=3x^2\) για \(x<2\), \(f'(x)=4x^3\) για \(x>2\).
4. iv) Συνέχεια στο \(\frac23\): \(\left(\frac23\right)^2=\frac49\), \(\left(\frac23\right)^3=\frac{8}{27}\). Επειδή \(\frac49=\frac{12}{27}\neq\frac{8}{27}\), η \(f\) είναι ΑΣΥΝΕΧΗΣ στο \(\frac23\) \(\Rightarrow\) δεν παραγωγίζεται εκεί. Αλλού: \(f'(x)=2x\) για \(x<\frac23\), \(f'(x)=3x^2\) για \(x>\frac23\).

Απάντηση: i) Παραγωγίσιμη παντού εκτός \(x=1\). ii) Παραγωγίσιμη ΠΑΝΤΟΥ (και στο \(0\), με \(f'(0)=1\)). iii) Ασυνεχής (άρα μη παραγωγίσιμη) στο \(x=2\), παραγωγίσιμη αλλού. iv) Ασυνεχής (άρα μη παραγωγίσιμη) στο \(x=2/3\), παραγωγίσιμη αλλού.

Πρόσεξε:

• Πριν ελέγξουμε τις πλευρικές παραγώγους σε σημείο ραφής, ΠΑΝΤΑ πρώτα έλεγχος συνέχειας — στα (iii),(iv) η ασυνέχεια αποκλείει αμέσως την παραγωγισιμότητα, χωρίς να χρειάζεται καν υπολογισμός πλευρικών παραγώγων.

Άσκηση 3 (σελ. 110)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής \(y=x^2\) στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=x^3\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δύο εφαπτόμενες σε σημεία \(x_1\neq x_2\) είναι παράλληλες ⟺ έχουν ίσες κλίσεις, δηλαδή \(f'(x_1)=f'(x_2)\). Εξετάζουμε αν η συνάρτηση κλίσης \(f'\) είναι 1-1 (τότε δεν υπάρχουν τέτοια ζεύγη) ή όχι (τότε υπάρχουν).

Λύση:

1. Για \(y=x^2\): \(f'(x)=2x\). Αν \(x_1\neq x_2\) έδιναν παράλληλες εφαπτόμενες, θα ίσχυε \(2x_1=2x_2\Rightarrow x_1=x_2\), άτοπο. Άρα η \(f'(x)=2x\) είναι 1-1 (γνησίως αύξουσα), οπότε ΔΕΝ υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία με παράλληλες εφαπτόμενες.
2. Για \(f(x)=x^3\): \(f'(x)=3x^2\). Αυτή η συνάρτηση ΔΕΝ είναι 1-1, αφού \(f'(-\alpha)=3\alpha^2=f'(\alpha)\) για κάθε \(\alpha\neq0\). Άρα σε κάθε ζεύγος συμμετρικών σημείων \(x_0=\alpha\) και \(x_0=-\alpha\) (\(\alpha\neq0\)) οι εφαπτόμενες ΕΙΝΑΙ παράλληλες (ίδια κλίση \(3\alpha^2\)). Π.χ. στο \(\alpha=1\): οι εφαπτόμενες στα \(x_0=1\) και \(x_0=-1\) έχουν και οι δύο κλίση \(3\).

Απάντηση: Στην \(y=x^2\) δεν υπάρχουν τέτοια σημεία (η \(f'=2x\) είναι 1-1). Στην \(f(x)=x^3\) ΥΠΑΡΧΟΥΝ — κάθε συμμετρικό ζεύγος \(\pm\alpha\), \(\alpha\neq0\), έχει παράλληλες εφαπτόμενες (η \(f'=3x^2\) δεν είναι 1-1).

Άσκηση 4 (σελ. 110)

Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης \(f\) της οποίας η γραφική παράσταση είναι τεθλασμένη γραμμή διαδοχικά από τα σημεία \((-2,0)\), \((0,2)\), \((2,-2)\), \((4,-2)\), \((6,4)\), \((9,0)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα, η παράγωγος είναι σταθερή και ίση με την κλίση του τμήματος \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Στα σημεία-«γωνίες» όπου αλλάζει η κλίση, η παράγωγος δεν ορίζεται (άνισες πλευρικές παράγωγοι).

Λύση:

1. Τμήμα \((-2,0)\to(0,2)\): κλίση \(\frac{2-0}{0-(-2)}=1\Rightarrow f'(x)=1\) για \(x\in(-2,0)\).
2. Τμήμα \((0,2)\to(2,-2)\): κλίση \(\frac{-2-2}{2-0}=-2\Rightarrow f'(x)=-2\) για \(x\in(0,2)\).
3. Τμήμα \((2,-2)\to(4,-2)\): οριζόντιο, κλίση \(0\Rightarrow f'(x)=0\) για \(x\in(2,4)\).
4. Τμήμα \((4,-2)\to(6,4)\): κλίση \(\frac{4-(-2)}{6-4}=3\Rightarrow f'(x)=3\) για \(x\in(4,6)\).
5. Τμήμα \((6,4)\to(9,0)\): κλίση \(\frac{0-4}{9-6}=-\frac43\Rightarrow f'(x)=-\frac43\) για \(x\in(6,9)\).
6. Στα σημεία \(x=0,2,4,6\) οι διαδοχικές κλίσεις διαφέρουν (\(1\to-2\), \(-2\to0\), \(0\to3\), \(3\to-\frac43\)) \(\Rightarrow\) η \(f'\) ΔΕΝ ορίζεται σε αυτά τα σημεία.

Απάντηση: Η \(f'\) είναι βηματική (κλιμακωτή) συνάρτηση: \(1\) στο \((-2,0)\), \(-2\) στο \((0,2)\), \(0\) στο \((2,4)\), \(3\) στο \((4,6)\), \(-\frac43\) στο \((6,9)\)· δεν ορίζεται στα \(x=0,2,4,6\).

Πρόσεξε:

• Η γραφική απεικόνιση (σχεδίαση σε άξονες) απαιτεί την πραγματική εικόνα του βιβλίου· η αναλυτική περιγραφή πάνω είναι πλήρης και επαρκής για τον προσδιορισμό της \(f'\) σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού.

Άσκηση 5 (σελ. 110)

Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f:[0,8]\to\mathbb{R}\), η οποία είναι συνεχής, με \(f(0)=0\), και της οποίας η παράγωγος είναι: \(f'(x)=2\) για \(0\leq x<2\), \(f'(x)=-1\) για \(2<x<4\), \(f'(x)=1\) για \(4<x\leq8\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε διάστημα όπου η παράγωγος είναι σταθερή \(c\), η \(f\) είναι γραμμική με κλίση \(c\)· προσδιορίζουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης σε κάθε κομμάτι επιβάλλοντας συνέχεια στο σημείο σύνδεσης με το προηγούμενο κομμάτι.

Λύση:

1. Στο \([0,2]\): \(f'=2\Rightarrow f(x)=2x+C_1\). Από \(f(0)=0\): \(C_1=0\Rightarrow f(x)=2x\). Άρα \(f(2)=4\).
2. Στο \([2,4]\): \(f'=-1\Rightarrow f(x)=-x+C_2\). Συνέχεια στο \(2\): \(f(2)=4=-2+C_2\Rightarrow C_2=6\Rightarrow f(x)=-x+6\). Άρα \(f(4)=2\).
3. Στο \([4,8]\): \(f'=1\Rightarrow f(x)=x+C_3\). Συνέχεια στο \(4\): \(f(4)=2=4+C_3\Rightarrow C_3=-2\Rightarrow f(x)=x-2\). Άρα \(f(8)=6\).

Απάντηση: Τεθλασμένη γραμμή από \((0,0)\) σε \((2,4)\) (κλίση \(2\)), από \((2,4)\) σε \((4,2)\) (κλίση \(-1\)), από \((4,2)\) σε \((8,6)\) (κλίση \(1\)).

Άσκηση Β1 (σελ. 110)

Να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\) για τις οποίες η συνάρτηση \(f(x)=\begin{cases}\sin x, & x<\pi\\\alpha x+\beta, & x\geq\pi\end{cases}\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0=\pi\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγισιμότητα απαιτεί (α) συνέχεια στο \(\pi\) και (β) ίσες πλευρικές παραγώγους — δύο εξισώσεις για τα δύο άγνωστα \(\alpha,\beta\).

Λύση:

1. Συνέχεια στο \(\pi\): \(\lim_{x\to\pi^-}\sin x=\sin\pi=0\) και \(f(\pi)=\alpha\pi+\beta\). Απαιτούμε \(\alpha\pi+\beta=0\).
2. Αριστερή παράγωγος: \(f'(\pi^-)=(\sin x)'|_{x=\pi}=\cos\pi=-1\). Δεξιά παράγωγος: \(f'(\pi^+)=(\alpha x+\beta)'=\alpha\). Απαιτούμε \(\alpha=-1\).
3. Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση: \(-\pi+\beta=0\Rightarrow\beta=\pi\).

Απάντηση: \(\alpha=-1,\ \beta=\pi\).

Άσκηση Β2 (σελ. 110)

Έστω η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{x}\) και το σημείο \(A(\xi,f(\xi))\), \(\xi\neq0\), της γραφικής παράστασης της \(f\). Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(A(\xi,f(\xi))\) και \(B(-\xi,0)\) εφάπτεται της \(C_f\) στο \(A\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αρκεί να δείξουμε ότι η κλίση της ευθείας \(AB\) ισούται με \(f'(\xi)\), αφού η \(AB\) ήδη διέρχεται από το σημείο \(A\) της καμπύλης.

Λύση:

1. Επειδή \(\xi\neq0\) και το \(A\) είναι σημείο της \(C_f\) (πεδίο ορισμού \((0,+\infty)\)), έχουμε \(\xi>0\), άρα \(f(\xi)=\sqrt{\xi}\).
2. Κλίση της \(AB\): \(\dfrac{f(\xi)-0}{\xi-(-\xi)}=\dfrac{\sqrt{\xi}}{2\xi}=\dfrac{1}{2\sqrt{\xi}}\) (πολλαπλασιάζοντας αριθμητή-παρονομαστή με \(\frac{1}{\sqrt\xi}\): \(\frac{\sqrt\xi}{2\xi}=\frac{1}{2\sqrt\xi}\)).
3. Από τον πίνακα παραγώγων, \(f'(\xi)=\dfrac{1}{2\sqrt{\xi}}\), δηλαδή ακριβώς η κλίση της \(AB\).
4. Αφού η \(AB\) διέρχεται από το \(A(\xi,f(\xi))\) και έχει κλίση \(f'(\xi)\), ταυτίζεται με την εφαπτομένη της \(C_f\) στο \(A\).

Απάντηση: Η κλίση της \(AB\) ισούται με \(f'(\xi)=\frac{1}{2\sqrt\xi}\), άρα η \(AB\) είναι η εφαπτομένη στο \(A\).

Άσκηση Β3 (σελ. 110)

Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f(x)=x^3\), σε οποιοδήποτε σημείο της \(M(\alpha,\alpha^3)\), \(\alpha\neq0\), έχει με αυτή και άλλο κοινό σημείο \(N\) εκτός του \(M\). Στο σημείο \(N\) η κλίση της \(C_f\) είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο \(M\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο \(M\) και λύνουμε το σύστημα με την \(y=x^3\)· το \(x=\alpha\) θα είναι διπλή ρίζα (σημείο επαφής), οπότε παραγοντοποιούμε για να βρούμε την τρίτη ρίζα \(N\).

Λύση:

1. \(f'(x)=3x^2\Rightarrow f'(\alpha)=3\alpha^2\). Εφαπτομένη στο \(M\): \(y-\alpha^3=3\alpha^2(x-\alpha)\Rightarrow y=3\alpha^2x-2\alpha^3\).
2. Τομή με \(y=x^3\): \(x^3=3\alpha^2x-2\alpha^3\Rightarrow x^3-3\alpha^2x+2\alpha^3=0\).
3. Επαληθεύουμε ότι \(x=\alpha\) είναι (τουλάχιστον διπλή) ρίζα: \(\alpha^3-3\alpha^3+2\alpha^3=0\) ✓. Παραγοντοποιώντας: \(x^3-3\alpha^2x+2\alpha^3=(x-\alpha)^2(x+2\alpha)\) (επαλήθευση με ανάπτυξη: \((x-\alpha)^2(x+2\alpha)=(x^2-2\alpha x+\alpha^2)(x+2\alpha)=x^3-3\alpha^2x+2\alpha^3\) ✓).
4. Άρα οι ρίζες είναι \(x=\alpha\) (διπλή, σημείο επαφής \(M\)) και \(x=-2\alpha\) (απλή, το ζητούμενο \(N\)), με \(N(-2\alpha,-8\alpha^3)\) — υπαρκτό και διαφορετικό από \(M\) αφού \(\alpha\neq0\).
5. Κλίση στο \(N\): \(f'(-2\alpha)=3(-2\alpha)^2=12\alpha^2=4\cdot(3\alpha^2)=4f'(\alpha)\), δηλαδή τετραπλάσια της κλίσης στο \(M\).

Απάντηση: Το δεύτερο κοινό σημείο είναι \(N(-2\alpha,-8\alpha^3)\), με \(f'(-2\alpha)=4f'(\alpha)\).

Άσκηση Β4 (σελ. 110)

Έστω \(\varepsilon\) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f(x)=\dfrac1x\) σε ένα σημείο της \(M\left(\xi,\dfrac1\xi\right)\). Αν \(A,B\) είναι τα σημεία στα οποία η \(\varepsilon\) τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι: i) Το \(M\) είναι μέσο του \(AB\). ii) Το εμβαδόν του τριγώνου \(OAB\) είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του \(\xi\in\mathbb{R}^*\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης, μετά τα σημεία τομής της με τους δύο άξονες, και ελέγχουμε το μέσο του \(AB\) και το εμβαδόν \(OAB=\frac12|OA||OB|\) (ορθογώνιο τρίγωνο στους άξονες).

Λύση:

1. \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow f'(\xi)=-\dfrac{1}{\xi^2}\). Εφαπτομένη \(\varepsilon\): \(y-\dfrac1\xi=-\dfrac{1}{\xi^2}(x-\xi)\Rightarrow y=-\dfrac{x}{\xi^2}+\dfrac1\xi+\dfrac1\xi=-\dfrac{x}{\xi^2}+\dfrac2\xi\).
2. Τομή με \(x'x\) (\(y=0\)): \(0=-\dfrac{x}{\xi^2}+\dfrac2\xi\Rightarrow x=2\xi\Rightarrow A(2\xi,0)\). Τομή με \(y'y\) (\(x=0\)): \(y=\dfrac2\xi\Rightarrow B\left(0,\dfrac2\xi\right)\).
3. i) Μέσο του \(AB\): \(\left(\dfrac{2\xi+0}{2},\dfrac{0+2/\xi}{2}\right)=\left(\xi,\dfrac1\xi\right)=M\). Άρα το \(M\) είναι μέσο του \(AB\).
4. ii) Το τρίγωνο \(OAB\) είναι ορθογώνιο στο \(O\) (οι κάθετες πλευρές βρίσκονται πάνω στους άξονες): \(E=\dfrac12|OA|\cdot|OB|=\dfrac12|2\xi|\cdot\left|\dfrac2\xi\right|=\dfrac12\cdot\dfrac{4|\xi|}{|\xi|}=\dfrac12\cdot4=2\), ανεξάρτητο του \(\xi\).

Απάντηση: i) Το \(M(\xi,1/\xi)\) είναι μέσο του \(AB\) με \(A(2\xi,0)\), \(B(0,2/\xi)\). ii) \(E_{OAB}=2\) (σταθερό, ανεξάρτητο του \(\xi\)).