Κεφάλαιο 2.6 – Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (σελ. 138-140) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση Α1 (σελ. 138)

Αν για τις συναρτήσεις \(f,g\) ισχύουν \(f'(x)=g(x)\) και \(g'(x)=-f(x)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(\varphi(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2\) είναι σταθερή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγίζουμε την φ χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας σε κάθε τετράγωνο και αντικαθιστούμε τις δοσμένες σχέσεις.

Λύση:

1. \(\varphi'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)\).
2. Αντικαθιστώντας \(f'(x)=g(x)\) και \(g'(x)=-f(x)\): \(\varphi'(x)=2f(x)g(x)+2g(x)(-f(x))=2f(x)g(x)-2f(x)g(x)=0\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
3. Αφού \(\varphi'(x)=0\) σε όλο το διάστημα \(\mathbb{R}\), η \(\varphi\) είναι σταθερή.

Απάντηση: Η \(\varphi(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2\) είναι σταθερή, αφού \(\varphi'(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Πρόσεξε:

• Τυπικό μοτίβο: για να δείξεις σταθερότητα, παραγωγίζεις και δείχνεις ότι η παράγωγος μηδενίζεται παντού σε διάστημα.

Άσκηση Α2 (σελ. 138)

Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: i) \(f(x)=x^3+3x-4\) ii) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x\) iii) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγίζουμε κάθε συνάρτηση και μελετάμε το πρόσημο της παραγώγου.

Λύση:

1. i) \(f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) (αφού \(x^2+1>0\) πάντα). Άρα η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\).
2. ii) \(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\). Ρίζες \(x=-1,2\). Πρόσημο: \(f'>0\) στο \((-\infty,-1)\), \(f'<0\) στο \((-1,2)\), \(f'>0\) στο \((2,+\infty)\). Άρα αύξουσα στο \((-\infty,-1]\), φθίνουσα στο \([-1,2]\), αύξουσα στο \([2,+\infty)\).
3. iii) \(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). Το πρόσημο καθορίζεται από το \(1-x^2\): \(f'>0\) στο \((-1,1)\), \(f'<0\) στα \((-\infty,-1)\) και \((1,+\infty)\). Άρα αύξουσα στο \([-1,1]\), φθίνουσα στα \((-\infty,-1]\) και \([1,+\infty)\).

Απάντηση: i) Γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\). ii) Αύξουσα \((-\infty,-1]\), \([2,+\infty)\)· φθίνουσα \([-1,2]\). iii) Αύξουσα \([-1,1]\)· φθίνουσα \((-\infty,-1]\), \([1,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου, γραμμή προς γραμμή.

Άσκηση Α3 (σελ. 138)

Ομοίως (διαστήματα μονοτονίας) των συναρτήσεων: i) \(f(x)=\begin{cases}4-x^2, & x\leq1\\ x+2, & x>1\end{cases}\) ii) \(f(x)=|x^2-1|\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε κλάδο παραγωγίζουμε χωριστά και μελετάμε το πρόσημο· για την απόλυτη τιμή σπάμε πρώτα στους ορισμούς της χωρίς απόλυτη τιμή.

Λύση:

1. i) Για \(x<1\): \(f'(x)=-2x\), θετική για \(x<0\) και αρνητική για \(0<x<1\). Για \(x>1\): \(f'(x)=1>0\). Η \(f\) είναι συνεχής στο \(x=1\) (\(4-1=3=1+2\)). Άρα: αύξουσα στο \((-\infty,0]\), φθίνουσα στο \([0,1]\), αύξουσα στο \([1,+\infty)\).
2. ii) \(f(x)=x^2-1\) για \(|x|\geq1\), \(f(x)=1-x^2\) για \(|x|<1\). Για \(x<-1\): \(f'(x)=2x<0\). Για \(-1<x<0\): \(f'(x)=-2x>0\). Για \(0<x<1\): \(f'(x)=-2x<0\). Για \(x>1\): \(f'(x)=2x>0\). Άρα: φθίνουσα στο \((-\infty,-1]\), αύξουσα στο \([-1,0]\), φθίνουσα στο \([0,1]\), αύξουσα στο \([1,+\infty)\).

Απάντηση: i) Αύξουσα \((-\infty,0]\), φθίνουσα \([0,1]\), αύξουσα \([1,+\infty)\). ii) Φθίνουσα \((-\infty,-1]\), αύξουσα \([-1,0]\), φθίνουσα \([0,1]\), αύξουσα \([1,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση βιβλίου για αυτή την άσκηση στο παράρτημα — λύση πλήρως ανεξάρτητη, επαληθευμένη με έλεγχο συνέχειας στα σημεία συρραφής.

Άσκηση Α4 (σελ. 138)

Ομοίως (διαστήματα μονοτονίας) των συναρτήσεων: i) \(f(x)=\dfrac{x}{e^x}\) ii) \(f(x)=\ln x-x\) iii) \(f(x)=\eta\mu x+|\eta\mu x|,\ x\in[0,2\pi]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i),ii) Άμεση παραγώγιση και μελέτη προσήμου. iii) Σπάμε ανάλογα με το πρόσημο του \(\eta\mu x\) στο \([0,\pi]\) (θετικό) και \([\pi,2\pi]\) (αρνητικό).

Λύση:

1. i) \(f(x)=xe^{-x}\), \(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\). Αφού \(e^{-x}>0\) πάντα, το πρόσημο καθορίζεται από \((1-x)\): αύξουσα στο \((-\infty,1]\), φθίνουσα στο \([1,+\infty)\).
2. ii) Πεδίο ορισμού \(x>0\). \(f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}\). Αύξουσα στο \((0,1]\), φθίνουσα στο \([1,+\infty)\).
3. iii) Για \(x\in[0,\pi]\): \(\eta\mu x\geq0\), άρα \(f(x)=2\eta\mu x\), \(f'(x)=2\sigma\upsilon\nu x\): θετική στο \([0,\pi/2)\), αρνητική στο \((\pi/2,\pi]\). Για \(x\in[\pi,2\pi]\): \(\eta\mu x\leq0\), άρα \(f(x)=\eta\mu x-\eta\mu x=0\) (σταθερή). Άρα: αύξουσα \([0,\pi/2]\), φθίνουσα \([\pi/2,\pi]\), σταθερή (μηδέν) στο \([\pi,2\pi]\).

Απάντηση: i) Αύξουσα \((-\infty,1]\), φθίνουσα \([1,+\infty)\). ii) Αύξουσα \((0,1]\), φθίνουσα \([1,+\infty)\). iii) Αύξουσα \([0,\pi/2]\), φθίνουσα \([\pi/2,\pi]\), σταθερή (\(=0\)) στο \([\pi,2\pi]\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται πλήρως με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Α5 (σελ. 138)

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=x^5+5x-6\) και \(g(x)=2\sqrt{x}+x-3\). i) Να αποδείξετε ότι οι \(f,g\) είναι γνησίως αύξουσες. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών τους. iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις \(x^5+5x-6=0\) και \(2\sqrt{x}+x-3=0\) έχουν ακριβώς μία ρίζα την \(x=1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγίζουμε, δείχνουμε θετικό πρόσημο παντού στο πεδίο ορισμού, μετά χρησιμοποιούμε τα όρια στα άκρα για το σύνολο τιμών, και τέλος επαληθεύουμε \(f(1)=g(1)=0\).

Λύση:

1. i) \(f'(x)=5x^4+5=5(x^4+1)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) (αφού \(x^4\geq0\)). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\). Πεδίο ορισμού της \(g\) είναι \([0,+\infty)\), \(g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1>0\) για \(x>0\), άρα η \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\).
2. ii) Η \(f\) είναι περιττού βαθμού πολυώνυμο, συνεχής, γνησίως αύξουσα, με \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) και \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)· άρα σύνολο τιμών της \(f\) είναι όλο το \(\mathbb{R}\). Η \(g\) είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα στο \([0,+\infty)\), με \(g(0)=-3\) και \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\)· άρα σύνολο τιμών της \(g\) είναι \([-3,+\infty)\).
3. iii) \(f(1)=1+5-6=0\) και \(g(1)=2+1-3=0\). Αφού και οι δύο εξισώσεις γράφονται \(f(x)=0\) και \(g(x)=0\) αντίστοιχα, και οι \(f,g\) είναι γνησίως αύξουσες (άρα 1–1), η ρίζα \(x=1\) είναι η ΜΟΝΑΔΙΚΗ λύση σε κάθε περίπτωση.

Απάντηση: i) Και οι δύο γνησίως αύξουσες. ii) Σύνολο τιμών \(f\): \(\mathbb{R}\). Σύνολο τιμών \(g\): \([-3,+\infty)\). iii) Και οι δύο εξισώσεις έχουν ακριβώς μία ρίζα, την \(x=1\).

Πρόσεξε:

• ⚠️ Η επίσημη απάντηση του βιβλίου γράφει «\(f'(x)=5(x+1)\)», κάτι που είναι αλγεβρικά λάθος για \(f(x)=x^5+5x-6\) (θα έδινε \(f'(x)=5x^4+5\)) — πιθανότατα σφάλμα εξαγωγής/OCR που έχασε τον εκθέτη «\(^4\)» (δηλ. το σωστό είναι «\(5(x^4+1)\)», που ταυτίζεται με τον δικό μας υπολογισμό). Επίσης το βιβλίο δίνει σύνολο τιμών της \(g\) ως ανοιχτό διάστημα \((-3,+\infty)\), ενώ αυστηρά το \(x=0\) ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(g\) και δίνει \(g(0)=-3\), άρα το σωστό σύνολο τιμών είναι το κλειστό \([-3,+\infty)\)· η διαφορά δεν επηρεάζει το ερώτημα (iii).

Άσκηση Α6 (σελ. 138)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση \(f(x)=e^x-1+\ln(x+1)\) είναι γνησίως αύξουσα. ii) Η εξίσωση \(e^x=1-\ln(x+1)\) έχει ακριβώς μία λύση την \(x=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πεδίο ορισμού \(x>-1\) λόγω του λογαρίθμου. Παραγωγίζουμε και δείχνουμε θετικό πρόσημο, μετά ξαναγράφουμε την εξίσωση ως \(f(x)=0\).

Λύση:

1. i) Πεδίο ορισμού: \(x>-1\). \(f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x+1}\). Για \(x>-1\): \(e^x>0\) και \(\dfrac{1}{x+1}>0\), άρα \(f'(x)>0\) παντού στο πεδίο ορισμού. Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
2. ii) Η εξίσωση \(e^x=1-\ln(x+1)\) γράφεται \(e^x-1+\ln(x+1)=0\), δηλαδή \(f(x)=0\). Είναι \(f(0)=e^0-1+\ln1=1-1+0=0\). Αφού η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα (άρα 1–1), η \(x=0\) είναι η ΜΟΝΑΔΙΚΗ ρίζα.

Απάντηση: i) Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της \((-1,+\infty)\). ii) Η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την \(x=0\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση βιβλίου για αυτή την άσκηση στο παράρτημα — λύση πλήρως ανεξάρτητη.

Άσκηση Β1 (σελ. 139)

Αν για μία συνάρτηση \(f\) που είναι ορισμένη σ' όλο το \(\mathbb{R}\) ισχύει \(|f(x)-f(y)|\leq(x-y)^2\) για όλα τα \(x,y\in\mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι η \(f\) είναι σταθερή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δείχνουμε ότι \(f'(x)=0\) για κάθε \(x\), χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου ως ορίου του πηλίκου διαφορών και το κριτήριο παρεμβολής.

Λύση:

1. Για κάθε \(x,y\in\mathbb{R}\) με \(y\neq x\), από την υπόθεση: \(\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq|x-y|\).
2. Επομένως \(-|x-y|\leq\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq|x-y|\) και καθώς \(y\to x\), το \(|x-y|\to0\). Με κριτήριο παρεμβολής, \(\lim_{y\to x}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=0\), δηλαδή \(f'(x)=0\).
3. Αφού \(f'(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) (διάστημα), η \(f\) είναι σταθερή.

Απάντηση: Η \(f\) είναι σταθερή στο \(\mathbb{R}\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου· η ισχυρή ανισότητα τετραγωνικού τύπου (\(\leq(x-y)^2\), όχι απλώς \(\leq|x-y|\)) είναι αυτή που εγγυάται μηδενική παράγωγο.

Άσκηση Β2 (σελ. 139)

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x)=x^3-3x+\alpha\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \([-1,1]\). ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της \(f\) στο διάστημα \([-1,1]\). iii) Αν \(-2<\alpha<2\), να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(x^3-3x+\alpha=0\) έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα \((-1,1)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δείχνουμε αρνητικό πρόσημο παραγώγου στο εσωτερικό του διαστήματος, βρίσκουμε τις τιμές στα άκρα για το σύνολο τιμών, και μετά ελέγχουμε πότε το 0 βρίσκεται αυστηρά ανάμεσα σε αυτές τις τιμές.

Λύση:

1. i) \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\). Για \(x\in(-1,1)\): \(x^2-1<0\), άρα \(f'(x)<0\). Η \(f\) είναι συνεχής στο \([-1,1]\) με \(f'<0\) στο εσωτερικό, άρα γνησίως φθίνουσα στο \([-1,1]\).
2. ii) \(f(-1)=-1+3+\alpha=\alpha+2\), \(f(1)=1-3+\alpha=\alpha-2\). Αφού η \(f\) είναι φθίνουσα, το σύνολο τιμών είναι \([f(1),f(-1)]=[\alpha-2,\alpha+2]\).
3. iii) Αν \(-2<\alpha<2\), τότε \(\alpha-2<0\) και \(\alpha+2>0\), άρα το \(0\) βρίσκεται ΑΥΣΤΗΡΑ ανάμεσα στο \(f(1)=\alpha-2\) και το \(f(-1)=\alpha+2\). Αφού η \(f\) είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, υπάρχει μοναδικό \(x_0\) με \(f(x_0)=0\), και επειδή το \(0\) είναι γνήσια ανάμεσα στις τιμές των άκρων, το \(x_0\) είναι γνήσια εσωτερικό, δηλαδή \(x_0\in(-1,1)\).

Απάντηση: i) Γνησίως φθίνουσα στο \([-1,1]\). ii) Σύνολο τιμών: \([\alpha-2,\alpha+2]\). iii) Ακριβώς μία λύση στο \((-1,1)\), για κάθε \(\alpha\in(-2,2)\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη.

Άσκηση Β3 (σελ. 139)

Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή \(t\) δίνεται από τη συνάρτηση \(x=S(t)=t^4-8t^3+18t^2-16t+160,\ 0\leq t\leq5\). Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια: i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα μηδέν; ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά; iii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα είναι \(v=S'(t)\), η επιτάχυνση \(\alpha=v'(t)=S''(t)\). Παραγοντοποιούμε το \(v(t)\) για τις ρίζες/πρόσημο, και μελετάμε το πρόσημο του \(v'(t)\) για την τάση της ταχύτητας.

Λύση:

1. \(v(t)=S'(t)=4t^3-24t^2+36t-16=4(t^3-6t^2+9t-4)\). Δοκιμάζοντας \(t=1\): \(1-6+9-4=0\), άρα \((t-1)\) παράγοντας. Διαιρώντας: \(t^3-6t^2+9t-4=(t-1)(t^2-5t+4)=(t-1)(t-1)(t-4)=(t-1)^2(t-4)\). Άρα \(v(t)=4(t-1)^2(t-4)\).
2. \(\alpha(t)=v'(t)=12t^2-48t+36=12(t^2-4t+3)=12(t-1)(t-3)\).
3. i) \(v(t)=0\Leftrightarrow4(t-1)^2(t-4)=0\Leftrightarrow t=1\) (διπλή ρίζα) ή \(t=4\). Και οι δύο ανήκουν στο \([0,5]\).
4. ii) Το \((t-1)^2\geq0\) πάντα, άρα το πρόσημο του \(v(t)\) καθορίζεται από το \((t-4)\): \(v(t)<0\) για \(t\in[0,1)\cup(1,4)\) και \(v(t)>0\) για \(t\in(4,5]\). Άρα το κινητό κινείται προς τα ΑΡΙΣΤΕΡΑ στο \([0,4)\) (με στιγμιαία παύση στο \(t=1\)) και προς τα ΔΕΞΙΑ στο \((4,5]\).
5. iii) Πρόσημο \(\alpha(t)=12(t-1)(t-3)\): θετικό στο \([0,1)\), αρνητικό στο \((1,3)\), θετικό στο \((3,5]\). Άρα η ταχύτητα ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ στα \([0,1]\) και \([3,5]\), και ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ στο \([1,3]\).

Απάντηση: \(v(t)=4(t-1)^2(t-4)\), \(\alpha(t)=12(t-1)(t-3)\). i) \(t=1\) και \(t=4\). ii) Αριστερά στο \([0,4)\), δεξιά στο \((4,5]\). iii) Αυξάνεται στα \([0,1]\cup[3,5]\), μειώνεται στο \([1,3]\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη, με παραγοντοποίηση επαληθευμένη με αντικατάσταση.

Άσκηση Β4 (σελ. 139)

Η τιμή \(V\) (σε ευρώ) ενός προϊόντος, \(t\) μήνες μετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο \(V=50-\dfrac{25t^2}{(t+2)^2}\). Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιμάται χωρίς, όμως, η τιμή του να μπορεί να γίνει μικρότερη από το μισό της αρχικής τιμής του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δείχνουμε \(V'(t)<0\) για \(t>0\) (συνεχής υποτίμηση) και μετά βρίσκουμε το όριο του \(V\) στο \(+\infty\), δείχνοντας ότι παραμένει πάντα πάνω από αυτό το όριο.

Λύση:

1. \(V'(t)=-25\cdot\dfrac{2t(t+2)^2-t^2\cdot2(t+2)}{(t+2)^4}=-25\cdot\dfrac{2t(t+2)-2t^2}{(t+2)^3}=-25\cdot\dfrac{4t}{(t+2)^3}=-\dfrac{100t}{(t+2)^3}\).
2. Για \(t>0\): αριθμητής και παρονομαστής θετικοί, άρα \(V'(t)<0\)· η \(V\) είναι γνησίως φθίνουσα.
3. Αρχική τιμή \(V(0)=50\), άρα το μισό είναι \(25\). Επειδή \(t^2<(t+2)^2\) για κάθε \(t>-1\), είναι \(\dfrac{t^2}{(t+2)^2}<1\) για κάθε \(t\geq0\), οπότε \(V(t)>50-25=25\) για κάθε \(t\geq0\).
4. Επιπλέον \(\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t^2}{(t+2)^2}=1\), οπότε \(\lim_{t\to+\infty}V(t)=25\): η τιμή πλησιάζει το \(25\) χωρίς ποτέ να το φτάνει.

Απάντηση: Η \(V\) είναι γνησίως φθίνουσα για \(t\geq0\) και ισχύει \(V(t)>25\) για κάθε \(t\), με \(\lim_{t\to+\infty}V(t)=25\) — δεν πέφτει ποτέ κάτω από το μισό της αρχικής τιμής.

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη.

Άσκηση Β5 (σελ. 139)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{x^3-9x}{x^2-1}\) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της \(f\) σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. ii) Η εξίσωση \(x^3-\alpha x^2-9x+\alpha=0\) είναι ισοδύναμη με την \(f(x)=\alpha\) και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγίζουμε την \(f\), δείχνουμε ότι το πρόσημο εξαρτάται από τέλειο τετράγωνο αριθμητή· υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο \(\pm1\) και στο \(\pm\infty\) για το σύνολο τιμών σε κάθε διάστημα· τέλος παραγοντοποιούμε την εξίσωση για να την ανάγουμε σε \(f(x)=\alpha\).

Λύση:

1. i) \(f'(x)=\dfrac{(3x^2-9)(x^2-1)-(x^3-9x)(2x)}{(x^2-1)^2}\). Αριθμητής: \(3x^4-3x^2-9x^2+9-2x^4+18x^2=x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2\). Άρα \(f'(x)=\dfrac{(x^2+3)^2}{(x^2-1)^2}>0\) για κάθε \(x\neq\pm1\). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από \((-\infty,-1)\), \((-1,1)\), \((1,+\infty)\).
2. Όρια: \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) (αριθμητής στο \(-1\): \(8>0\), παρονομαστής \(\to0^+\)). Άρα στο \((-\infty,-1)\): σύνολο τιμών \(\mathbb{R}\).
3. \(\lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty\) (αριθμητής στο \(1\): \(-8<0\), παρονομαστής \(\to0^-\)). Άρα στο \((-1,1)\): σύνολο τιμών \(\mathbb{R}\).
4. \(\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Άρα στο \((1,+\infty)\): σύνολο τιμών \(\mathbb{R}\).
5. ii) Για \(x\neq\pm1\): \(x^3-\alpha x^2-9x+\alpha=0\Leftrightarrow x^3-9x=\alpha(x^2-1)\Leftrightarrow f(x)=\alpha\). Στο \(x=\pm1\) ο αριθμητής δεν μηδενίζεται ποτέ (\(\mp8\neq0\)), άρα το \(\pm1\) δεν είναι ποτέ ρίζα.
6. Αφού σε καθένα από τα τρία διαστήματα η \(f\) είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα, με σύνολο τιμών \(\mathbb{R}\), για κάθε \(\alpha\in\mathbb{R}\) υπάρχει ακριβώς μία λύση σε κάθε διάστημα — άρα 3 πραγματικές ρίζες συνολικά.

Απάντηση: i) Γνησίως αύξουσα σε καθένα από \((-\infty,-1)\), \((-1,1)\), \((1,+\infty)\), με σύνολο τιμών \(\mathbb{R}\) σε καθένα. ii) Η εξίσωση ισοδυναμεί με \(f(x)=\alpha\) και έχει ακριβώς 3 πραγματικές ρίζες για κάθε \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — η παραγοντοποίηση του αριθμητή σε τέλειο τετράγωνο \((x^2+3)^2\) είναι το κλειδί.

Άσκηση Β6 (σελ. 139)

Να βρείτε τις τιμές του \(\alpha\in\mathbb{R}^*\) για τις οποίες η συνάρτηση \(f(x)=\alpha x^3+3x^2+x+1\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρειαζόμαστε \(f'(x)\geq0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Το \(f'\) είναι τριώνυμο αφού \(\alpha\neq0\)· απαιτούμε θετικό συντελεστή \(x^2\) και μη θετική διακρίνουσα.

Λύση:

1. \(f'(x)=3\alpha x^2+6x+1\). Χρειάζεται: (α) \(3\alpha>0\Leftrightarrow\alpha>0\), ΚΑΙ (β) \(\Delta=36-12\alpha\leq0\Leftrightarrow\alpha\geq3\).
2. Συνδυάζοντας: \(\alpha\geq3\). Αν \(0<\alpha<3\), το \(f'\) γίνεται αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες του — αποκλείεται. Αν \(\alpha<0\), η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω — αποκλείεται.

Απάντηση: \(\alpha\geq3\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη.
• Προσοχή: χρειάζεται ΚΑΙ οι δύο συνθήκες (θετικός συντελεστής + μη θετική διακρίνουσα)· μόνο η μία δεν αρκεί.

Άσκηση Β7 (σελ. 140)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση \(f(x)=\eta\mu x-x\sigma\upsilon\nu x\) είναι γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\). ii) \(\eta\mu x-x\sigma\upsilon\nu x>0\), για κάθε \(x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\). iii) Η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{\eta\mu x}{x}\) είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Παραγωγίζουμε με κανόνα γινομένου. ii) Χρησιμοποιούμε την αύξουσα μονοτονία συγκρίνοντας με την τιμή στο \(0\). iii) Παραγωγίζουμε το πηλίκο και αναγνωρίζουμε τον αριθμητή ως το αποτέλεσμα του (ii).

Λύση:

1. i) \(f'(x)=\sigma\upsilon\nu x-[\sigma\upsilon\nu x-x\eta\mu x]=x\eta\mu x\). Για \(x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\): \(x>0\) και \(\eta\mu x>0\), άρα \(f'(x)>0\). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\).
2. ii) Αφού η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και \(f(0)=0\), για κάθε \(x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) ισχύει \(f(x)>f(0)=0\), δηλαδή \(\eta\mu x-x\sigma\upsilon\nu x>0\).
3. iii) \(f(x)=\dfrac{\eta\mu x}{x}\), \(f'(x)=\dfrac{x\sigma\upsilon\nu x-\eta\mu x}{x^2}=-\dfrac{\eta\mu x-x\sigma\upsilon\nu x}{x^2}\). Από το (ii), ο αριθμητής μέσα στην παρένθεση είναι θετικός, άρα \(f'(x)<0\). Η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Απάντηση: i) Γνησίως αύξουσα. ii) Άμεση συνέπεια της (i). iii) Γνησίως φθίνουσα.

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — κλασικό μοτίβο «καταρράκτη»: κάθε ερώτημα χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα του προηγούμενου.

Άσκηση Β8 (σελ. 140)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση \(f(x)=2\eta\mu x+\epsilon\varphi x-3x,\ x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) είναι γνησίως αύξουσα. ii) \(2\eta\mu x+\epsilon\varphi x\geq3x\), για κάθε \(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Παραγωγίζουμε και ανάγουμε το αποτέλεσμα σε κοινό παρονομαστή \(\sigma\upsilon\nu^2x\), μετά παραγοντοποιούμε τον αριθμητή (τριτοβάθμιο ως προς \(\sigma\upsilon\nu x\)) βρίσκοντας τη ρίζα \(\sigma\upsilon\nu x=1\).

Λύση:

1. \(f'(x)=2\sigma\upsilon\nu x+\sec^2x-3=\dfrac{2\sigma\upsilon\nu^3x-3\sigma\upsilon\nu^2x+1}{\sigma\upsilon\nu^2x}\).
2. Θέτοντας \(c=\sigma\upsilon\nu x\): \(2c^3-3c^2+1=(c-1)^2(2c+1)\) (επαληθεύεται με ανάπτυγμα).
3. Άρα \(f'(x)=\dfrac{(\sigma\upsilon\nu x-1)^2(2\sigma\upsilon\nu x+1)}{\sigma\upsilon\nu^2x}\geq0\) στο \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\), με ισότητα μόνο στο \(x=0\). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα.
4. ii) Αφού \(f(0)=0\) και η \(f\) γνησίως αύξουσα: \(2\eta\mu x+\epsilon\varphi x\geq3x\) για κάθε \(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Απάντηση: i) Γνησίως αύξουσα. ii) Άμεση συνέπεια, αφού \(f(0)=0\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου — η παραγοντοποίηση \((\sigma\upsilon\nu x-1)^2(2\sigma\upsilon\nu x+1)\) επαληθεύτηκε ανεξάρτητα με αναπτύγμα του γινομένου.