Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 3.1: Αόριστο ολοκλήρωμα (σελ. 189-191)

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, σελ. 190-192. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου.)

Άσκηση Α1 (σελ. 190)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int (x^2+\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x)dx\) ii) \(\int \frac{x^2+x+1}{x}dx\) iii) \(\int 3x\sqrt{x}dx\) iv) \(\int \frac{x^3+8}{x+2}dx\) v) \(\int \left(e^x-\frac{3}{x}+\sigma\upsilon\nu 2x\right)dx\) vi) \(\int \left(\frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}-\frac{1}{\eta\mu^2 x}\right)dx\) vii) \(\int \frac{x+3}{x+2}dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Απευθείας εφαρμογή του πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων και της γραμμικότητας, με προηγούμενη απλοποίηση των κλασμάτων (διαίρεση όρο-όρο ή πολυωνυμική διαίρεση).

Λύση:

1. i) \(\int (x^2+\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x)dx=\frac{x^3}{3}-\sigma\upsilon\nu x+\eta\mu x+c\).
2. ii) \(\frac{x^2+x+1}{x}=x+1+\frac{1}{x}\Rightarrow \int=\frac{x^2}{2}+x+\ln|x|+c\).
3. iii) \(3x\sqrt{x}=3x^{3/2}\Rightarrow \int=3\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2}+c=\frac{6}{5}x^{5/2}+c\).
4. iv) \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\) (άθροισμα κύβων) \(\Rightarrow \frac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4\Rightarrow \int=\frac{x^3}{3}-x^2+4x+c\).
5. v) \(\int e^xdx-3\int\frac{1}{x}dx+\int\sigma\upsilon\nu2x\,dx=e^x-3\ln|x|+\frac12\eta\mu2x+c\).
6. vi) \(\int\frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2x}dx-\int\frac{1}{\eta\mu^2x}dx=\epsilon\varphi x-(-\sigma\varphi x)+c=\epsilon\varphi x+\sigma\varphi x+c\).
7. vii) \(\frac{x+3}{x+2}=1+\frac{1}{x+2}\Rightarrow \int=x+\ln|x+2|+c\).

Απάντηση: i) \(\frac{x^3}{3}-\sigma\upsilon\nu x+\eta\mu x+c\) ii) \(\frac{x^2}{2}+x+\ln|x|+c\) iii) \(\frac{6}{5}x^{5/2}+c\) iv) \(\frac{x^3}{3}-x^2+4x+c\) v) \(e^x-3\ln|x|+\frac12\eta\mu2x+c\) vi) \(\epsilon\varphi x+\sigma\varphi x+c\) vii) \(x+\ln|x+2|+c\).

Πρόσεξε:

• Το επίσημο παράρτημα απαντήσεων του βιβλίου δίνει για το (i) «\(\frac{x^4}{4}-\sigma\upsilon\nu x+\eta\mu x+c\)» (που αντιστοιχεί σε ολοκλήρωση του \(x^3\), όχι \(x^2\)) — πιθανό OCR σφάλμα εκθέτη είτε στην εκφώνηση είτε στην απάντηση. Λύνουμε ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ όπως δόθηκε (με \(x^2\)), δίνοντας \(\frac{x^3}{3}\).
• Στο (iv), η επίσημη απάντηση του βιβλίου γράφει «\(\frac{x^3}{3}+x^2+4x+c\)» (πρόσημο \(+x^2\)) — ελέγξαμε ανεξάρτητα με πολυωνυμική διαίρεση και με αριθμητική επαλήθευση σε συγκεκριμένο \(x\) (π.χ. \(x=1\): \(\frac{1+8}{1+2}=3\), ενώ η παράγωγος του \(x^3/3+x^2+4x\) στο \(x=1\) δίνει \(1+2+4=7\neq3\)) ότι το σωστό πρόσημο είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟ: \(\frac{x^3}{3}-x^2+4x+c\) — πιθανό σφάλμα πρόσημου στο ίδιο το παράρτημα απαντήσεων.

Άσκηση Α2 (σελ. 191)

Να βρείτε τη συνάρτηση \(f\), με πεδίο ορισμού το διάστημα \((0,+\infty)\), για την οποία ισχύει \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) και \(f(9)=1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ολοκληρώνουμε την \(f'\) γράφοντας \(x^{-1/2}\), μετά προσδιορίζουμε τη σταθερά από τη δοσμένη τιμή.

Λύση:

1. \(\int f'(x)dx=\int x^{-1/2}dx=2x^{1/2}+c\Rightarrow f(x)=2\sqrt{x}+c\).
2. \(f(9)=1\Rightarrow 2\cdot3+c=1\Rightarrow c=-5\).

Απάντηση: \(f(x)=2\sqrt{x}-5\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Α3 (σελ. 191)

Να βρείτε τη συνάρτηση \(f\), για την οποία ισχύει \(f''(x)=3,\ f'(1)=6\) και \(f(0)=4\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ολοκληρώνουμε δύο φορές διαδοχικά, προσδιορίζοντας κάθε φορά τη νέα σταθερά από τη δοσμένη συνθήκη.

Λύση:

1. \(\int f''(x)dx=\int 3dx\Rightarrow f'(x)=3x+c_1\). Από \(f'(1)=6\): \(3+c_1=6\Rightarrow c_1=3\Rightarrow f'(x)=3x+3\).
2. \(\int f'(x)dx=\int(3x+3)dx\Rightarrow f(x)=\frac{3x^2}{2}+3x+c_2\). Από \(f(0)=4\): \(c_2=4\).

Απάντηση: \(f(x)=\frac{3}{2}x^2+3x+4\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Α4 (σελ. 191)

Να βρείτε τη συνάρτηση \(f\), για την οποία ισχύει \(f''(x)=12x^2+2\) και η γραφική της παράσταση στο σημείο της \(A(1,1)\) έχει κλίση \(3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: «Κλίση \(3\) στο \(A(1,1)\)» σημαίνει \(f'(1)=3\) ΚΑΙ \(f(1)=1\) (το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση) — δύο συνθήκες για τις δύο σταθερές ολοκλήρωσης.

Λύση:

1. \(\int f''(x)dx=\int(12x^2+2)dx\Rightarrow f'(x)=4x^3+2x+c_1\). Από \(f'(1)=3\): \(4+2+c_1=3\Rightarrow c_1=-3\Rightarrow f'(x)=4x^3+2x-3\).
2. \(\int f'(x)dx=\int(4x^3+2x-3)dx\Rightarrow f(x)=x^4+x^2-3x+c_2\). Από \(f(1)=1\): \(1+1-3+c_2=1\Rightarrow c_2=2\).

Απάντηση: \(f(x)=x^4+x^2-3x+2\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
• Παγίδα: «κλίση στο σημείο A» δίνει ΜΟΝΟ την \(f'(1)\)· η ίδια η \(f(1)=1\) προκύπτει επειδή το \(A\) ανήκει στη γραφική παράσταση — δύο ξεχωριστές πληροφορίες, όχι μία.

Άσκηση Α5 (σελ. 191)

Ο πληθυσμός \(N(t)\), σε εκατομμύρια, μιας κοινωνίας βακτηριδίων, αυξάνεται με ρυθμό \(N'(t)=\frac{1}{20}e^{\frac{t}{20}}\) ανά λεπτό. Να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα \(60\) λεπτά.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η συνολική αύξηση σε ένα διάστημα χρόνου είναι το ολοκλήρωμα του ρυθμού σε αυτό το διάστημα· εδώ αρκεί η γενική παράγουσα, αφού ζητείται η ΜΕΤΑΒΟΛΗ \(N(60)-N(0)\), όπου η σταθερά απαλείφεται.

Λύση:

1. \(\int N'(t)dt=\frac{1}{20}\int e^{t/20}dt=\frac{1}{20}\cdot20\,e^{t/20}+c=e^{t/20}+c\Rightarrow N(t)=e^{t/20}+c\).
2. Αύξηση \(=N(60)-N(0)=(e^3+c)-(e^0+c)=e^3-1\approx20{,}09-1=19{,}09\) εκατ., δηλαδή περίπου \(19\) εκατομμύρια.

Απάντηση: Αύξηση \(=e^3-1\approx19\) εκατομμύρια βακτηρίδια.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου (19 εκατ., στρογγυλοποιημένο από \(e^3-1\approx19{,}09\)).

Άσκηση Α6 (σελ. 191)

Μια βιομηχανία έχει διαπιστώσει ότι για εβδομαδιαία παραγωγή \(x\) εξαρτημάτων έχει οριακό κόστος \(x^2+5x\) (ευρώ ανά μονάδα προϊόντος). Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομαδιαίας παραγωγής, αν είναι γνωστό ότι τα σταθερά εβδομαδιαία έξοδα της βιομηχανίας, όταν δεν παράγει κανένα εξάρτημα, είναι \(100\) (ευρώ).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το οριακό κόστος είναι η παράγωγος της συνάρτησης κόστους· η τιμή \(K(0)\) (τα σταθερά έξοδα, όταν \(x=0\)) προσδιορίζει τη σταθερά.

Λύση:

1. \(K'(x)=x^2+5x\Rightarrow K(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+c\). Από \(K(0)=100\): \(c=100\).

Απάντηση: \(K(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+100\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Α7 (σελ. 191)

Μια νέα γεώτρηση εξόρυξης πετρελαίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνεται από τον τύπο \(R'(t)=20+10t-\frac{3}{4}t^2\), όπου \(R(t)\) είναι ο αριθμός, σε χιλιάδες, των βαρελιών που αντλήθηκαν στους \(t\) πρώτους μήνες λειτουργίας της. Να βρείτε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους \(8\) πρώτους μήνες λειτουργίας της.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Επειδή \(R(0)=0\) (καμία άντληση πριν την έναρξη), αρκεί να βρούμε την παράγουσα με μηδενική σταθερά και να υπολογίσουμε \(R(8)\).

Λύση:

1. \(R(t)=\int(20+10t-\frac34t^2)dt=20t+5t^2-\frac14t^3+c\), με \(R(0)=0\Rightarrow c=0\).
2. \(R(8)=20\cdot8+5\cdot64-\frac14\cdot512=160+320-128=352\).

Απάντηση: 352 χιλιάδες βαρέλια.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Β1 (σελ. 191)

Η θερμοκρασία \(T\) ενός σώματος, που περιβάλλεται από ένα ψυκτικό υγρό, ελαττώνεται με ρυθμό \(-kae^{-kt}\), όπου \(a,\ k\) είναι θετικές σταθερές και \(t\) ο χρόνος. Η αρχική θερμοκρασία \(T(0)\) του σώματος είναι \(T_0+a\), όπου \(T_0\) η θερμοκρασία του υγρού η οποία με κατάλληλο μηχάνημα διατηρείται σταθερή. Να βρείτε τη θερμοκρασία του σώματος συναρτήσει του χρόνου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ολοκληρώνουμε τον ρυθμό (σταθερές \(a,k\) βγαίνουν έξω από το ολοκλήρωμα) και προσδιορίζουμε τη σταθερά από την αρχική θερμοκρασία.

Λύση:

1. \(\int T'(t)dt=-ka\int e^{-kt}dt=-ka\cdot\left(-\frac1k\right)e^{-kt}+c=ae^{-kt}+c\Rightarrow T(t)=ae^{-kt}+c\).
2. Από \(T(0)=T_0+a\): \(a+c=T_0+a\Rightarrow c=T_0\).

Απάντηση: \(T(t)=ae^{-kt}+T_0\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου (εκεί σημειωμένη ως \(T(t)=\alpha e^{\mu t}+T_0\), με \(\mu=-k\) — απλή αλλαγή ονομασίας της ίδιας σταθεράς).

Άσκηση Β2 (σελ. 191)

Ένας βιομήχανος, ο οποίος επενδύει \(x\) χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της παραγωγής του εργοστασίου του, αναμένει να έχει κέρδος \(P(x)\) χιλιάδες ευρώ από αυτή την επένδυση. Μια ανάλυση της παραπάνω εξέλιξης στο εργοστάσιο έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους \(P(x)\), που οφείλεται στην επένδυση αυτή, δίνεται από τον τύπο \(P'(x)=5{,}8e^{-\frac{x}{2000}}\). Να βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλεται σε αύξηση της επένδυσης από \(4.000.000\) σε \(6.000.000\) ευρώ.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η επένδυση \(x\) μετριέται σε ΧΙΛΙΑΔΕΣ ευρώ, άρα 4.000.000 και 6.000.000 ευρώ αντιστοιχούν σε \(x=4000\) και \(x=6000\). Το ζητούμενο συνολικό κέρδος είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα του ρυθμού σε αυτό το διάστημα.

Λύση:

1. \(\int_{4000}^{6000} 5{,}8e^{-x/2000}dx=\left[-11600e^{-x/2000}\right]_{4000}^{6000}=11600\left(e^{-2}-e^{-3}\right)\).
2. Αριθμητικά: \(e^{-2}\approx0{,}1353,\ e^{-3}\approx0{,}0498\Rightarrow 11600(0{,}0855)\approx992{,}4\) χιλιάδες ευρώ, δηλαδή περίπου \(992.400\) ευρώ.

Απάντηση: Συνολικό κέρδος \(\approx992.400\) ευρώ (\(=11600(e^{-2}-e^{-3})\) χιλιάδες ευρώ, με βάση την εκφώνηση όπως εξήχθη).

Πρόσεξε:

• ΔΙΑΦΩΝΙΑ: η επίσημη απάντηση του παραρτήματος δίνει «9.976 ευρώ» (τάξη μεγέθους \(\sim10^4\)), ενώ ο άμεσος υπολογισμός με τα εξαχθέντα δεδομένα (συντελεστής \(5{,}8\), εκθέτης \(-x/2000\), όρια \(4000\)-\(6000\)) δίνει \(\approx992.400\) ευρώ (τάξη μεγέθους \(\sim10^5\)) — διαφορά τάξης μεγέθους \(\times10\) περίπου, που υποδηλώνει πιθανό σφάλμα εξαγωγής σε κάποια σταθερά (π.χ. συντελεστής, εκθέτης ή όρια ολοκλήρωσης) που δεν μπορεί να προσδιοριστεί με βεβαιότητα χωρίς πρόσβαση στο πρωτότυπο PDF.

Άσκηση Β3 (σελ. 191)

Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους \(K(t)\) δίνεται από τον τύπο \(K'(t)=800-0{,}6t\) (σε ευρώ την ημέρα), ενώ ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης \(E(t)\) στο τέλος των \(t\) ημερών δίνεται από τον τύπο \(E'(t)=1000+0{,}3t\) (σε ευρώ την ημέρα). Να βρείτε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα παραγωγής του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: «Από την τρίτη έως και την έκτη ημέρα» σημαίνει το χρονικό διάστημα ΠΟΥ ΚΑΛΥΠΤΟΥΝ οι ημέρες 3,4,5,6 συνολικά, δηλαδή από το τέλος της 2ης ημέρας (\(t=2\)) έως το τέλος της 6ης (\(t=6\)) — άρα ολοκλήρωση από \(t=2\) έως \(t=6\), όχι από \(t=3\).

Λύση:

1. \(P'(t)=E'(t)-K'(t)=(1000+0{,}3t)-(800-0{,}6t)=200+0{,}9t\).
2. Συνολικό κέρδος \(=\int_2^6(200+0{,}9t)dt=\left[200t+0{,}45t^2\right]_2^6=(1200+16{,}2)-(400+1{,}8)=1216{,}2-401{,}8=814{,}4\) ευρώ.

Απάντηση: 814,4 ευρώ.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται ΑΚΡΙΒΩΣ με την επίσημη απάντηση του βιβλίου, επιβεβαιώνοντας την ερμηνεία των ορίων ολοκλήρωσης [2,6] (και ΟΧΙ [3,6]).

Άσκηση Β4 (σελ. 192)

Έστω \(f,\ g\) δύο συναρτήσεις με \(f(0)=g(0),\ f(1)=g(1)+1\) και \(f''(x)=g''(x)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Να αποδείξετε ότι: i) \(f(x)=g(x)+x\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). ii) Αν η συνάρτηση \(g\) έχει δύο ρίζες \(\alpha,\ \beta\) με \(\alpha<0<\beta\), τότε η συνάρτηση \(f\) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο \((\alpha,\beta)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Από \(f''=g''\) παντού προκύπτει \(f'=g'+c_1\) (πόρισμα §2.6 εφαρμοσμένο στις παραγώγους), άρα \(f=g+c_1x+c_2\)· οι δύο δοσμένες τιμές στο 0 και στο 1 προσδιορίζουν \(c_1,c_2\). ii) Χρησιμοποιούμε το θεώρημα Bolzano στο \((\alpha,\beta)\) για την \(f\), αφού συνδέσουμε την \(f\) με τις τιμές της \(g\) στα \(\alpha,\beta\) μέσω του (i).

Λύση:

1. i) Επειδή \(f''(x)=g''(x)\) για κάθε \(x\), δηλαδή \((f'-g')'(x)=0\) παντού, υπάρχει σταθερά \(c_1\) με \(f'(x)=g'(x)+c_1\). Ολοκληρώνοντας ξανά: \(f(x)=g(x)+c_1x+c_2\).
2. Από \(f(0)=g(0)\): \(g(0)+c_2=g(0)\Rightarrow c_2=0\). Από \(f(1)=g(1)+1\): \(g(1)+c_1+0=g(1)+1\Rightarrow c_1=1\). Άρα \(f(x)=g(x)+x\).
3. ii) Επειδή \(\alpha,\beta\) ρίζες της \(g\): \(g(\alpha)=g(\beta)=0\). Από το (i): \(f(\alpha)=g(\alpha)+\alpha=\alpha<0\) (αφού \(\alpha<0\)) και \(f(\beta)=g(\beta)+\beta=\beta>0\) (αφού \(\beta>0\)).
4. Η \(f\) είναι συνεχής (ως άθροισμα \(g+x\), με \(g\) παραγωγίσιμη άρα συνεχής) στο \([\alpha,\beta]\), με \(f(\alpha)f(\beta)=\alpha\beta<0\). Από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα \(\xi\in(\alpha,\beta)\) με \(f(\xi)=0\).

Απάντηση: i) \(f(x)=g(x)+x\). ii) Η \(f\) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο \((\alpha,\beta)\), από το θεώρημα Bolzano (\(f(\alpha)=\alpha<0,\ f(\beta)=\beta>0\)).

Πρόσεξε:

• Το βιβλίο δίνει μόνο τη μέθοδο («\(f'(x)=g'(x)+c\) κ.τ.λ.») όχι πλήρη λύση — η παρούσα λύση είναι πλήρως ανεξάρτητα αναπτυγμένη με βάση αυτή την υπόδειξη.