Κεφάλαιο 2.10 – Μελέτη και Χάραξη της Γραφικής Παράστασης μιας Συνάρτησης (σελ. 172-180) – Λύσεις Ασκήσεων

§2.10 Μελέτη και Χάραξη της Γραφικής Παράστασης μιας Συνάρτησης — Λύσεις Ασκήσεων

Άσκηση Α1 (σελ. 172)

Εκφώνηση: Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ι) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+11\) ιι) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) ιιι) \(f(x)=x^4-2x^2\).

Σκέψη: Ακολουθούμε τα 5 βήματα μελέτης για κάθε συνάρτηση: πεδίο ορισμού, συνέχεια, \(f',f''\) (μονοτονία/ακρότατα/κυρτότητα/καμπή), ασύμπτωτες, πίνακας μεταβολών.

Λύση:

1. ι) Πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}\), συνεχής (πολυωνυμική). \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)\): αύξουσα \((-\infty,-1]\), φθίνουσα \([-1,3]\), αύξουσα \([3,+\infty)\)· τοπικό μέγιστο \(f(-1)=16\), τοπικό ελάχιστο \(f(3)=-16\). \(f''(x)=6x-6\): κοίλη \((-\infty,1]\), κυρτή \([1,+\infty)\), σημείο καμπής \((1,0)\). Χωρίς ασύμπτωτες· \(f\to\mp\infty\) στο \(\mp\infty\).
2. ιι) Πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}-\{1\}\), συνεχής. \(f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0\) παντού — γνησίως φθίνουσα σε καθένα από \((-\infty,1)\),\((1,+\infty)\), χωρίς ακρότατα. \(f''(x)=\dfrac{4}{(x-1)^3}\): κοίλη \((-\infty,1)\), κυρτή \((1,+\infty)\), χωρίς σημείο καμπής (καμία ρίζα). Ασύμπτωτες: \(x=1\) κατακόρυφη (\(\lim_{x\to1^-}f=-\infty,\lim_{x\to1^+}f=+\infty\)), \(y=1\) οριζόντια σε \(\pm\infty\).
3. ιιι) Άρτια συνάρτηση (αρκεί μελέτη για \(x\geq0\)). Πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}\), συνεχής. \(f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\): φθίνουσα \((-\infty,-1]\), αύξουσα \([-1,0]\), φθίνουσα \([0,1]\), αύξουσα \([1,+\infty)\)· τοπικά ελάχιστα \(f(\pm1)=-1\), τοπικό μέγιστο \(f(0)=0\). \(f''(x)=12x^2-4\), ρίζες \(\pm\frac{1}{\sqrt3}\): κυρτή \(\left(-\infty,-\frac1{\sqrt3}\right]\), κοίλη \(\left[-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right]\), κυρτή \(\left[\frac1{\sqrt3},+\infty\right)\), σημεία καμπής \(\left(\pm\frac1{\sqrt3},-\frac59\right)\). Χωρίς ασύμπτωτες· \(f\to+\infty\) σε \(\pm\infty\).

Απάντηση: ι) Μονοτονία/ακρότατα/κυρτότητα/σ.κ. όπως παραπάνω, χωρίς ασύμπτωτες. ιι) Γνησίως φθίνουσα σε κάθε κλάδο, \(x=1\) και \(y=1\) ασύμπτωτες. ιιι) Άρτια, δύο τοπικά ελάχιστα \(-1\), τοπικό μέγιστο \(0\), δύο σημεία καμπής.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με τη μεθοδολογία της επίσημης απάντησης («1. i) f'(x)=3(x²-2x+3)...» — σημειώνεται ότι το επίσημο κείμενο γράφει «x²-2x+3» ενώ ο σωστός υπολογισμός δίνει \(3(x^2-2x-3)\); πιθανό τυπογραφικό/OCR λάθος πρόσημου του βιβλίου, αφού το παράγοντας \((x-3)(x+1)=x^2-2x-3\) (ΟΧΙ \(+3\)) — κρατάμε τον δικό μας, αλγεβρικά επαληθευμένο υπολογισμό.
• Στο ιι) το επίσημο κείμενο δίνει σωστά f'(x)=2/(x-1)² — προσοχή, εδώ μας βγαίνει ΑΡΝΗΤΙΚΟ -2/(x-1)² επειδή η συνάρτησή μας f(x)=(x+1)/(x-1) διαφέρει από την f(x)=(x-1)/(x+1) ή αντίστροφη μορφή του επίσημου παραδείγματος του βιβλίου — τα πρόσημα εξαρτώνται από την ακριβή μορφή, ο δικός μας υπολογισμός είναι εσωτερικά συνεπής και επαληθευμένος για την f(x)=(x+1)/(x-1) της παρούσας εκφώνησης.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση Α2 (σελ. 172)

Εκφώνηση: Ομοίως τις συναρτήσεις: ι) \(f(x)=x+\dfrac1x\) ιι) \(f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-1}\).

Σκέψη: Ίδια πλήρης μεθοδολογία μελέτης.

Λύση:

1. ι) Περιττή συνάρτηση, πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}^*\), συνεχής. \(f'(x)=1-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\), ρίζες \(\pm1\): αύξουσα \((-\infty,-1]\), φθίνουσα \([-1,0)\cup(0,1]\), αύξουσα \([1,+\infty)\)· τοπικό μέγιστο \(f(-1)=-2\), τοπικό ελάχιστο \(f(1)=2\). \(f''(x)=\dfrac2{x^3}\): κοίλη \((-\infty,0)\), κυρτή \((0,+\infty)\), χωρίς σημείο καμπής. Ασύμπτωτες: \(x=0\) κατακόρυφη, \(y=x\) πλάγια σε \(\pm\infty\).
2. ιι) \(f(x)=x-\dfrac2{x-1}\) (μετά από διαίρεση). Πεδίο ορισμού \(\mathbb{R}-\{1\}\), συνεχής. \(f'(x)=1+\dfrac2{(x-1)^2}>0\) παντού — γνησίως αύξουσα σε κάθε κλάδο, χωρίς ακρότατα. \(f''(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^3}\): κυρτή \((-\infty,1)\), κοίλη \((1,+\infty)\), χωρίς σημείο καμπής. Ασύμπτωτες: \(x=1\) κατακόρυφη, \(y=x\) πλάγια σε \(\pm\infty\).

Απάντηση: ι) Περιττή, τοπικό μέγιστο \(-2\), τοπικό ελάχιστο \(2\), \(x=0\) και \(y=x\) ασύμπτωτες. ιι) Γνησίως αύξουσα σε κάθε κλάδο, \(x=1\) και \(y=x\) ασύμπτωτες, χωρίς ακρότατα.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («2. i) f'(x)=(x²-1)/x², f''(x)=2/x³, ασύμπτωτες x=0 και y=x»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Α3 (σελ. 172)

Εκφώνηση: Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f(x)=x+\eta\mu x\) στο διάστημα \([-\pi,\pi]\).

Σκέψη: Περιττή συνάρτηση σε συμμετρικό διάστημα. \(f'(x)=1+\sigma\upsilon\nu x\geq0\) πάντα (μηδέν μόνο στα άκρα).

Λύση:

1. Περιττή (αρκεί μελέτη \(x\geq0\)). Πεδίο ορισμού \([-\pi,\pi]\), συνεχής (κλειστό διάστημα, χωρίς ασύμπτωτες).
2. \(f'(x)=1+\sigma\upsilon\nu x\geq0\) για κάθε \(x\), με ισότητα μόνο στα άκρα \(x=\pm\pi\) (\(\sigma\upsilon\nu(\pm\pi)=-1\)). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \([-\pi,\pi]\), με ολικό ελάχιστο \(f(-\pi)=-\pi\) και ολικό μέγιστο \(f(\pi)=\pi\).
3. \(f''(x)=-\eta\mu x\), ρίζες \(0,\pm\pi\) (τα άκρα δεν είναι εσωτερικά): κυρτή \([-\pi,0]\) (\(\eta\mu x<0\) εκεί, άρα \(f''>0\)), κοίλη \([0,\pi]\)· σημείο καμπής \((0,0)\) (μοναδικό εσωτερικό).

Απάντηση: Γνησίως αύξουσα σε όλο το \([-\pi,\pi]\) (ολικό ελάχιστο \(f(-\pi)=-\pi\), ολικό μέγιστο \(f(\pi)=\pi\)), κυρτή \([-\pi,0]\), κοίλη \([0,\pi]\), σημείο καμπής \((0,0)\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («3. f'(x)=1+συνx, f''(x)=-ημx»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ1 (σελ. 173)

Εκφώνηση: ι) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f(x)=\dfrac1x\) και \(g(x)=x^2-3x+3,\ x\in(0,+\infty)\) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο \(A(1,1)\). ιι) Να βρείτε τη σχετική θέση των \(C_f\) και \(C_g\) στο διάστημα \((0,+\infty)\).

Σκέψη: ι) Ελέγχουμε ίδια τιμή και ίδια παράγωγο στο \(x=1\). ιι) Μελετούμε το πρόσημο της διαφοράς \(\varphi=g-f\) μέσω παραγώγων.

Λύση:

1. ι) \(f(1)=1\), \(g(1)=1-3+3=1\) — κοινό σημείο. \(f'(x)=-\dfrac1{x^2}\Rightarrow f'(1)=-1\). \(g'(x)=2x-3\Rightarrow g'(1)=-1\). Ίσες κλίσεις — κοινή εφαπτομένη \(y=-x+2\).
2. ιι) Έστω \(\varphi(x)=g(x)-f(x)=x^2-3x+3-\dfrac1x\). \(\varphi(1)=0\). \(\varphi'(x)=2x-3+\dfrac1{x^2}\), \(\varphi'(1)=2-3+1=0\). \(\varphi''(x)=2-\dfrac2{x^3}\), \(\varphi''(1)=0\): κοίλη \((0,1)\) (\(\varphi''<0\)), κυρτή \((1,+\infty)\) (\(\varphi''>0\)) — άρα η \(\varphi'\) έχει τοπικό ΕΛΑΧΙΣΤΟ στο \(x=1\), με τιμή \(\varphi'(1)=0\)· δηλαδή \(\varphi'(x)\geq0\) για ΚΑΘΕ \(x>0\) (ισότητα μόνο στο \(1\)).
3. Άρα η \(\varphi\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \((0,+\infty)\). Αφού \(\varphi(1)=0\): \(\varphi(x)<0\) για \(0<x<1\) (η \(C_g\) είναι ΚΑΤΩ από την \(C_f\)), \(\varphi(x)>0\) για \(x>1\) (η \(C_g\) είναι ΠΑΝΩ από την \(C_f\)), με τομή/εφαπτομενικό σημείο ακριβώς στο \(x=1\).

Απάντηση: ι) Κοινό σημείο \(A(1,1)\), κοινή εφαπτομένη \(y=-x+2\). ιι) Για \(0<x<1\): \(C_g\) κάτω από \(C_f\)· για \(x>1\): \(C_g\) πάνω από \(C_f\)· τέμνονται/εφάπτονται ακριβώς στο \(x=1\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με τη μεθοδολογία της επίσημης απάντησης («1. i) f'(1)=g'(1). ii) Να πάρετε τη διαφορά φ(x)=g(x)-f(x) και να εξετάσετε το πρόσημό της»)· το συμπέρασμα προσδιορίστηκε πλήρως ανεξάρτητα (η επίσημη απάντηση δίνει μόνο τη μέθοδο, όχι το τελικό πρόσημο).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ2 (σελ. 173)

Εκφώνηση: Αν \(f,g\) είναι παραγωγίσιμες στο \(\mathbb{R}\), με \(f(0)=g(0)\) και \(f'(x)>g'(x)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), να αποδείξετε ότι \(f(x)<g(x)\) στο \((-\infty,0)\) και \(f(x)>g(x)\) στο \((0,+\infty)\).

Σκέψη: Ορίζουμε \(\varphi=f-g\), δείχνουμε γνησίως αύξουσα, χρησιμοποιούμε \(\varphi(0)=0\).

Λύση:

1. Έστω \(\varphi(x)=f(x)-g(x)\). \(\varphi(0)=f(0)-g(0)=0\). \(\varphi'(x)=f'(x)-g'(x)>0\) για κάθε \(x\) (από την υπόθεση) — η \(\varphi\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\).
2. Για \(x<0\): αφού \(\varphi\) αύξουσα και \(x<0\), \(\varphi(x)<\varphi(0)=0\Rightarrow f(x)-g(x)<0\Rightarrow f(x)<g(x)\).
3. Για \(x>0\): \(\varphi(x)>\varphi(0)=0\Rightarrow f(x)>g(x)\).

Απάντηση: Από τη γνήσια αύξουσα μονοτονία της \(\varphi=f-g\) με \(\varphi(0)=0\), προκύπτει \(f<g\) στο \((-\infty,0)\) και \(f>g\) στο \((0,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («2. Να πάρετε τη συνάρτηση φ(x)=f(x)-g(x)»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ3 (σελ. 173)

Εκφώνηση: Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα \(1\). Αν \(\theta\) είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι \(E=(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\eta\mu\theta\). Να βρείτε την τιμή της γωνίας \(\theta\in(0,\pi)\) για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.

Σκέψη: Με νόμο ημιτόνων σε περιγεγραμμένο κύκλο ακτίνας \(R=1\), κάθε πλευρά ισούται με \(2R\eta\mu(\text{απέναντι γωνία})\)· εναλλακτικά, εμβαδόν \(=\frac12(\text{πλευρά})^2\eta\mu\theta\) με τις δύο ίσες πλευρές. Μεγιστοποιούμε παραγωγίζοντας.

Λύση:

1. Οι δύο ίσες πλευρές του τριγώνου (χορδές του κύκλου) απέναντι από τις ίσες βάσεις γωνίες \(\frac{\pi-\theta}{2}\) η καθεμιά έχουν μήκος \(2R\eta\mu\left(\frac{\pi-\theta}{2}\right)=2\sigma\upsilon\nu\frac\theta2\) (αφού \(R=1\)).
2. Εμβαδόν τριγώνου με δύο πλευρές \(\ell=2\sigma\upsilon\nu\frac\theta2\) και περιεχόμενη γωνία \(\theta\): \(E=\frac12\ell^2\eta\mu\theta=\frac12\left(2\sigma\upsilon\nu\frac\theta2\right)^2\eta\mu\theta=2\sigma\upsilon\nu^2\frac\theta2\cdot\eta\mu\theta=(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\eta\mu\theta\) (χρησιμοποιώντας \(2\sigma\upsilon\nu^2\frac\theta2=1+\sigma\upsilon\nu\theta\)).
3. \(E(\theta)=\eta\mu\theta+\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta=\eta\mu\theta+\frac12\eta\mu2\theta\). \(E'(\theta)=\sigma\upsilon\nu\theta+\sigma\upsilon\nu2\theta\).
4. Θέτοντας \(c=\sigma\upsilon\nu\theta\) (και \(\sigma\upsilon\nu2\theta=2c^2-1\)): \(2c^2+c-1=0\), διακρίνουσα \(=9\), \(c=\frac{-1\pm3}{4}\Rightarrow c=\frac12\) ή \(c=-1\). Στο \((0,\pi)\): \(c=\frac12\Rightarrow\theta=\frac\pi3\) (αποδεκτή)· \(c=-1\Rightarrow\theta=\pi\) (άκρο, απορρίπτεται).
5. \(E\left(\frac\pi3\right)=\left(1+\frac12\right)\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac32\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}4\).

Απάντηση: \(E(\theta)=(1+\sigma\upsilon\nu\theta)\eta\mu\theta\)· μέγιστο εμβαδόν στο \(\theta=\dfrac\pi3\), με \(E\left(\frac\pi3\right)=\dfrac{3\sqrt3}4\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («3. E'(θ)=συν2θ+συνθ. Μέγιστο το Ε(π/3)=3√3/4»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ4 (σελ. 173)

Εκφώνηση: Ένα σύρμα μήκους \(20\ \text{m}\) διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα. Να βρείτε την ακτίνα \(r\) του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου.

Σκέψη: Περίμετρος τομέα = \(2r+r\theta\) (δύο ακτίνες + τόξο). Λύνουμε ως προς \(\theta\) και αντικαθιστούμε στο εμβαδόν \(E=\frac12r^2\theta\).

Λύση:

1. Περίμετρος: \(2r+r\theta=20\Rightarrow\theta=\dfrac{20-2r}r=\dfrac{20}r-2,\ r\in(0,10)\) (ώστε \(\theta>0\)).
2. Εμβαδόν: \(E(r)=\dfrac12r^2\theta=\dfrac12r^2\left(\dfrac{20}r-2\right)=10r-r^2\).
3. \(E'(r)=10-2r=0\Rightarrow r=5\). \(E''(r)=-2<0\) — μέγιστο.
4. \(E(5)=50-25=25\ \text{m}^2\).

Απάντηση: Ακτίνα \(r=5\) m, με μέγιστο εμβαδόν \(E(5)=25\ \text{m}^2\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («4. Το εμβαδόν του τομέα είναι E=(1/2)r²θ ή E(r)=10r-r². Μέγιστο το E(5)=25»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ5 (σελ. 173)

Εκφώνηση: Δύο διάδρομοι πλάτους \(1\ \text{m}\) τέμνονται κάθετα. Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία. Υποδείξεις: ι) Να εκφράσετε τα \(OA,OB\) συναρτήσει της γωνίας \(\theta,\ 0<\theta<\frac\pi2\) ιι) Να αποδείξετε ότι \((AB)=\dfrac1{\eta\mu\theta}+\dfrac1{\sigma\upsilon\nu\theta}=f(\theta)\) ιιι) Να βρείτε την τιμή της γωνίας \(\theta\), για την οποία το \(AB\) γίνεται ελάχιστο.

Σκέψη: Το μέγιστο μήκος σκάλας που περνάει τη γωνία ισούται με το ΕΛΑΧΙΣΤΟ μήκος τμήματος \(AB\) (ευθεία εφαπτόμενη στην εσωτερική γωνία, ακουμπώντας τους δύο εξωτερικούς τοίχους) καθώς μεταβάλλεται η κλίση \(\theta\) — η σκάλα περνά μόνο αν το μήκος της είναι \(\leq\) το ελάχιστο τέτοιο \(AB\).

Λύση:

1. ι) Έστω \(\theta\) η γωνία που σχηματίζει η ευθεία \(AB\) (θέση της σκάλας τη στιγμή της στροφής) με τον έναν τοίχο. Με το πλάτος κάθε διαδρόμου ίσο με \(1\), από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται στην εσωτερική γωνία: \(OA=\dfrac1{\eta\mu\theta}\) και \(OB=\dfrac1{\sigma\upsilon\nu\theta}\) (η κάθετη απόσταση \(1\) είναι η απέναντι πλευρά της γωνίας \(\theta\) στο ένα τρίγωνο, και της συμπληρωματικής γωνίας στο άλλο).
2. ιι) \((AB)=OA+OB=\dfrac1{\eta\mu\theta}+\dfrac1{\sigma\upsilon\nu\theta}=f(\theta),\ \theta\in\left(0,\dfrac\pi2\right)\).
3. ιιι) \(f'(\theta)=-\dfrac{\sigma\upsilon\nu\theta}{\eta\mu^2\theta}+\dfrac{\eta\mu\theta}{\sigma\upsilon\nu^2\theta}=\dfrac{\eta\mu^3\theta-\sigma\upsilon\nu^3\theta}{\eta\mu^2\theta\,\sigma\upsilon\nu^2\theta}\). Μηδενίζεται όταν \(\eta\mu^3\theta=\sigma\upsilon\nu^3\theta\Leftrightarrow\epsilon\varphi\theta=1\Leftrightarrow\theta=\dfrac\pi4\) (μοναδική λύση στο \(\left(0,\frac\pi2\right)\), αφού \(\eta\mu\theta,\sigma\upsilon\nu\theta>0\) εκεί επιτρέπουν κυβική ρίζα).
4. Πρόσημο: \(f'<0\) για \(\theta<\pi/4\) (αφού \(\eta\mu\theta<\sigma\upsilon\nu\theta\Rightarrow\eta\mu^3\theta<\sigma\upsilon\nu^3\theta\)), \(f'>0\) για \(\theta>\pi/4\) — ελάχιστο στο \(\theta=\pi/4\).
5. \(f\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{\sqrt2/2}+\dfrac1{\sqrt2/2}=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}8\ \text{m}\).

Απάντηση: Το μέγιστο μήκος σκάλας που μπορεί να στρίψει στη γωνία είναι \(2\sqrt2\approx2{,}8\) m (ελάχιστο του \(f(\theta)\) στο \(\theta=\pi/4\)).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («5. iii) θ=π/4 και το μήκος της σκάλας είναι 2√2=2,8 m»).
• Το ερώτημα ι) απαιτεί την ακριβή γεωμετρική διάταξη από το σχήμα (θέση σημείων O,A,B) — παρουσιάζουμε την τυπική/καθιερωμένη διάταξη αυτού του κλασικού προβλήματος, συνεπή με τον τύπο του ερωτήματος ιι) που δίνεται έτοιμος στην ίδια την εκφώνηση.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση Γ6 (σελ. 174)

Εκφώνηση: ι) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{\ln x}x\). ιι) Να αποδείξετε ότι \(a^{a+1}>(a+1)^a\) για κάθε \(a>e\). ιιι) Να αποδείξετε ότι για \(x>0\) ισχύει \(2^x=x^2\Leftrightarrow f(x)=f(2)\) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση \(2^x=x^2\) έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις \(x_1=2,\ x_2=4\).

Σκέψη: ι) Πλήρης μελέτη τυπικής μορφής. ιι) Ανάγουμε την ανισότητα σε σύγκριση \(f(a)\) με \(f(a+1)\), χρησιμοποιώντας τη φθίνουσα μονοτονία της \(f\) στο \([e,+\infty)\). ιιι) Λογαριθμίζουμε την εξίσωση για να την ανάγουμε σε \(f(x)=f(2)\), μετά χρησιμοποιούμε το σχήμα της \(f\) (αύξουσα-φθίνουσα) για να εντοπίσουμε τις (το πολύ δύο) λύσεις.

Λύση:

1. ι) Πεδίο ορισμού \((0,+\infty)\), συνεχής. \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\), ρίζα \(x=e\): αύξουσα \((0,e]\), φθίνουσα \([e,+\infty)\), ολικό μέγιστο \(f(e)=\dfrac1e\). \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\Rightarrow x=0\) κατακόρυφη ασύμπτωτη· \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\Rightarrow y=0\) οριζόντια ασύμπτωτη στο \(+\infty\). Ρίζα της \(f\): \(x=1\) (\(f(1)=0\)), αρνητική για \(0<x<1\), θετική για \(x>1\).
2. ιι) Λογαριθμίζοντας την ανισότητα \(a^{a+1}>(a+1)^a\Leftrightarrow(a+1)\ln a>a\ln(a+1)\Leftrightarrow\dfrac{\ln a}a>\dfrac{\ln(a+1)}{a+1}\) (διαιρώντας με \(a(a+1)>0\)) \(\Leftrightarrow f(a)>f(a+1)\). Αφού \(a>e\Rightarrow a+1>a>e\), και η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \([e,+\infty)\), το μεγαλύτερο όρισμα \((a+1)\) δίνει μικρότερη τιμή: \(f(a)>f(a+1)\). Ισχύει, άρα η αρχική ανισότητα αληθεύει.
3. ιιι) \(2^x=x^2\Leftrightarrow x\ln2=2\ln x\Leftrightarrow\dfrac{\ln2}2=\dfrac{\ln x}x=f(x)\). Αφού \(f(2)=\dfrac{\ln2}2\), η εξίσωση γίνεται \(f(x)=f(2)\).
4. Επαλήθευση \(x_1=2\): προφανώς \(f(2)=f(2)\). Επαλήθευση \(x_2=4\): \(f(4)=\dfrac{\ln4}4=\dfrac{2\ln2}4=\dfrac{\ln2}2=f(2)\) ✓.
5. Αφού η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((0,e]\) και γνησίως φθίνουσα στο \([e,+\infty)\) (άρα 1–1 σε καθένα ξεχωριστά), η εξίσωση \(f(x)=f(2)\) έχει ΤΟ ΠΟΛΥ μία λύση σε κάθε κλάδο: μία στο \((0,e]\) (η \(x_1=2\), αφού \(2<e\)) και μία στο \([e,+\infty)\) (η \(x_2=4\), αφού \(4>e\)) — άρα ΑΚΡΙΒΩΣ δύο λύσεις συνολικά.

Απάντηση: ι) Μέγιστο \(f(e)=1/e\), \(x=0\) κατακόρυφη και \(y=0\) οριζόντια ασύμπτωτη. ιι) Αποδεικνύεται από τη φθίνουσα μονοτονία της \(f\) στο \([e,+\infty)\). ιιι) Η εξίσωση \(2^x=x^2\) έχει ακριβώς δύο λύσεις, \(x_1=2,x_2=4\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου για αυτή την άσκηση — λύση πλήρως ανεξάρτητη, με επαλήθευση αριθμητικών ριζών \(x_1=2,x_2=4\) που δίνονται στην ίδια την εκφώνηση.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ7 (σελ. 174)

Εκφώνηση: ι) Αν \(\alpha,\beta>0\) και για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(\alpha^x+\beta^x\geq2\), να αποδείξετε ότι \(\alpha\beta=1\). ιι) Αν \(a>0\) και για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ισχύει \(a^x\geq x+1\), να αποδείξετε ότι \(a=e\).

Σκέψη: Και στα δύο, το \(x=0\) είναι το σημείο όπου η ανισότητα γίνεται ισότητα (ελέγχεται άμεσα), άρα είναι θέση καθολικού ελαχίστου της κατάλληλης βοηθητικής συνάρτησης — εφαρμόζουμε Fermat.

Λύση:

1. ι) Έστω \(h(x)=\alpha^x+\beta^x\). \(h(0)=1+1=2\). Η υπόθεση λέει \(h(x)\geq2=h(0)\) για κάθε \(x\) — το \(x=0\) είναι θέση ολικού ελαχίστου της \(h\). Αφού η \(h\) είναι παραγωγίσιμη παντού, από Fermat: \(h'(0)=0\).
2. \(h'(x)=\alpha^x\ln\alpha+\beta^x\ln\beta\Rightarrow h'(0)=\ln\alpha+\ln\beta=\ln(\alpha\beta)=0\Rightarrow\alpha\beta=1\).
3. ιι) Έστω \(\varphi(x)=a^x-x-1\). \(\varphi(0)=1-0-1=0\). Η υπόθεση \(a^x\geq x+1\) γράφεται \(\varphi(x)\geq0=\varphi(0)\) για κάθε \(x\) — το \(x=0\) είναι θέση ολικού ελαχίστου. Από Fermat: \(\varphi'(0)=0\).
4. \(\varphi'(x)=a^x\ln a-1\Rightarrow\varphi'(0)=\ln a-1=0\Rightarrow\ln a=1\Rightarrow a=e\).

Απάντηση: ι) \(\alpha\beta=1\) (από \(h'(0)=0\)). ιι) \(a=e\) (από \(\varphi'(0)=0\)).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη, βασισμένη στην τυπική τεχνική «ισότητα σε σημείο ⟹ ολικό ακρότατο ⟹ Fermat».

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ8 (σελ. 174)

Εκφώνηση: ι) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x)=e^x\) είναι κυρτή, ενώ η \(g(x)=\ln x\) είναι κοίλη. ιι) Να βρείτε την εφαπτομένη της \(C_f\) στο σημείο \(A(0,1)\) και της \(C_g\) στο \(B(1,0)\). ιιι) Να αποδείξετε ότι: α) \(e^x\geq x+1,\ x\in\mathbb{R}\) β) \(\ln x\leq x-1,\ x\in(0,+\infty)\). Πότε ισχύουν οι ισότητες; ιv) Η \(C_f\) βρίσκεται πάνω από την \(C_g\).

Σκέψη: ι) Άμεσος έλεγχος 2ης παραγώγου. ιι) Στάνταρ εφαπτομένη. ιιι) Χρησιμοποιούμε ότι κυρτή/κοίλη συνάρτηση βρίσκεται πάνω/κάτω από κάθε εφαπτομένη της. ιv) Συνδυάζουμε τις δύο ανισότητες.

Λύση:

1. ι) \(f''(x)=e^x>0\) πάντα — κυρτή στο \(\mathbb{R}\). \(g''(x)=-\dfrac1{x^2}<0\) για κάθε \(x>0\) — κοίλη στο \((0,+\infty)\).
2. ιι) \(f'(x)=e^x\Rightarrow f'(0)=1\): εφαπτομένη στο \(A(0,1)\): \(y=1+1\cdot(x-0)=x+1\). \(g'(x)=\dfrac1x\Rightarrow g'(1)=1\): εφαπτομένη στο \(B(1,0)\): \(y=0+1\cdot(x-1)=x-1\).
3. ιιι) α) Επειδή η \(f\) είναι κυρτή σε όλο το \(\mathbb{R}\), η \(C_f\) βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της (εκτός του σημείου επαφής): \(e^x\geq x+1\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), με ισότητα ΜΟΝΟ στο \(x=0\).
4. β) Επειδή η \(g\) είναι κοίλη σε όλο το \((0,+\infty)\), η \(C_g\) βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της: \(\ln x\leq x-1\) για κάθε \(x>0\), με ισότητα ΜΟΝΟ στο \(x=1\).
5. ιv) Από β): \(\ln x\leq x-1\) για \(x>0\). Από α) (ισχύει για ΚΑΘΕ πραγματικό, άρα και για \(x>0\)): \(e^x\geq x+1\). Αφού \(x-1<x+1\) (πάντα), έχουμε την αλυσίδα \(\ln x\leq x-1<x+1\leq e^x\), άρα \(\ln x<e^x\) ΓΝΗΣΙΑ για κάθε \(x>0\) — η \(C_f\) βρίσκεται (γνήσια) πάνω από την \(C_g\) σε όλο το κοινό πεδίο ορισμού \((0,+\infty)\).

Απάντηση: ι) \(f\) κυρτή, \(g\) κοίλη. ιι) Εφαπτομένες \(y=x+1\) (στο \(A\)) και \(y=x-1\) (στο \(B\)). ιιι) Και οι δύο ανισότητες αποδεικνύονται από κυρτότητα/κοιλότητα, με ισότητα στο \(x=0\) (α) και \(x=1\) (β) αντίστοιχα. ιv) \(e^x>\ln x\) για κάθε \(x>0\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη, αξιοποιώντας το γεωμετρικό σχόλιο κυρτότητας/εφαπτομένης του §2.8.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ9 (σελ. 174)

Εκφώνηση: ι) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \(f(x)=e^x-\lambda x,\ \lambda>0\). ιι) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του \(\lambda>0\) για την οποία ισχύει \(e^x\geq\lambda x\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). ιιι) Για την τιμή του \(\lambda\) που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία \(y=\lambda x\) εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(g(x)=e^x\).

Σκέψη: ι) Κλασική ελαχιστοποίηση. ιι) Η ανισότητα ισχύει παντού ακριβώς όταν το ελάχιστο του (ι) είναι \(\geq0\). ιιι) Ελέγχουμε κοινό σημείο+ίση κλίση στο σημείο του ελαχίστου.

Λύση:

1. ι) \(f'(x)=e^x-\lambda\), ρίζα \(x=\ln\lambda\). \(f''(x)=e^x>0\) πάντα — κυρτή, άρα το κρίσιμο σημείο είναι ολικό ελάχιστο. \(f(\ln\lambda)=\lambda-\lambda\ln\lambda=\lambda(1-\ln\lambda)\).
2. ιι) Η ανισότητα \(e^x\geq\lambda x\Leftrightarrow f(x)\geq0\) για κάθε \(x\) ισχύει ακριβώς όταν το ελάχιστο της \(f\) είναι \(\geq0\): \(\lambda(1-\ln\lambda)\geq0\). Αφού \(\lambda>0\): \(1-\ln\lambda\geq0\Leftrightarrow\ln\lambda\leq1\Leftrightarrow\lambda\leq e\). Η μεγαλύτερη τιμή είναι \(\lambda=e\).
3. ιιι) Για \(\lambda=e\): το σημείο ελαχίστου είναι \(x=\ln e=1\), με τιμή \(f(1)=e(1-\ln e)=e(1-1)=0\). Δηλαδή \(g(1)-e\cdot1=0\Rightarrow g(1)=e\), άρα το σημείο \((1,e)\) ανήκει ΚΑΙ στην \(C_g\) ΚΑΙ στην ευθεία \(y=ex\) — κοινό σημείο.
4. Αφού \(f(x)=g(x)-ex\geq0\) για κάθε \(x\) (με ισότητα μόνο στο \(x=1\)), η \(C_g\) βρίσκεται πάντα πάνω ή πάνω στην ευθεία \(y=ex\), αγγίζοντάς την ακριβώς στο \((1,e)\) χωρίς να τη διασχίζει — δηλαδή η ευθεία εφάπτεται. (Επιβεβαίωση με κλίσεις: \(g'(x)=e^x\Rightarrow g'(1)=e\), ίδια με την κλίση της ευθείας.)

Απάντηση: ι) Ελάχιστο \(f(\ln\lambda)=\lambda(1-\ln\lambda)\). ιι) Μεγαλύτερη τιμή \(\lambda=e\). ιιι) Για \(\lambda=e\), η \(y=ex\) εφάπτεται της \(C_g\) στο σημείο \((1,e)\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ10 (σελ. 174)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\begin{cases}x^2\eta\mu\frac1x,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\). Να αποδείξετε ότι: ι) Η \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0=0\) και στη συνέχεια ότι η ευθεία \(y=0\) είναι η εφαπτομένη της \(C_f\) στο \(O(0,0)\). ιι) Ο άξονας \(x'x\) έχει με την \(C_f\) άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που εφάπτεται της \(C_f\). ιιι) Η ευθεία \(y=x\) είναι ασύμπτωτη της \(C_f\) στο \(+\infty\) και στο \(-\infty\).

Σκέψη: ι) Κριτήριο παρεμβολής στο πηλίκο διαφορών. ιι) Λύνουμε \(f(x)=0\) απευθείας. ιιι) Ανάπτυγμα \(\eta\mu(1/x)\approx1/x\) για μεγάλο \(|x|\), ή απευθείας υπολογισμός ορίου.

Λύση:

1. ι) \(f'(0)=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\eta\mu(1/x)}x=\lim_{x\to0}x\,\eta\mu\dfrac1x\). Αφού \(-|x|\leq x\eta\mu(1/x)\leq|x|\) και \(|x|\to0\), από κριτήριο παρεμβολής \(f'(0)=0\). Εφαπτομένη στο \(O\): \(y=0+0\cdot(x-0)=0\) — ο άξονας \(x'x\).
2. ιι) \(f(x)=0\Leftrightarrow x^2\eta\mu(1/x)=0\Leftrightarrow\eta\mu(1/x)=0\) (αφού \(x^2\neq0\) για \(x\neq0\)) \(\Leftrightarrow\dfrac1x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}^*\Leftrightarrow x=\dfrac1{k\pi}\). Για κάθε ακέραιο \(k\neq0\) παίρνουμε διαφορετική ρίζα \(x=\frac1{k\pi}\to0\) καθώς \(|k|\to\infty\) — άπειρα σημεία τομής με τον άξονα, όλα διαφορετικά από το \(O\) αλλά συσσωρευόμενα σ' αυτό.
3. ιιι) \(\lim_{x\to+\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\to+\infty}\left[x^2\eta\mu\dfrac1x-x\right]\). Θέτοντας \(t=1/x\to0^+\): \(=\lim_{t\to0^+}\dfrac{\eta\mu t-t}{t^2}\). Χρησιμοποιώντας το γνωστό ανάπτυγμα \(\eta\mu t-t\sim-\frac{t^3}6\) κοντά στο \(0\): το πηλίκο \(\sim-\frac t6\to0\). Ομοίως στο \(-\infty\) (με \(t\to0^-\), ίδιο αποτέλεσμα λόγω περιττότητας της \(\eta\mu t-t\)). Άρα \(y=x\) ασύμπτωτη και στα δύο άκρα.

Απάντηση: ι) \(f'(0)=0\), εφαπτομένη \(y=0\). ιι) Άπειρα κοινά σημεία στα \(x=\frac1{k\pi},\ k\in\mathbb{Z}^*\). ιιι) \(y=x\) ασύμπτωτη σε \(\pm\infty\).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη.
• Κλασικό παράδειγμα που δείχνει ότι «εφαπτομένη» δεν σημαίνει «μοναδικό κοινό σημείο τοπικά σε κάθε γειτονιά» — αντίθετα με τον αρχαιοελληνικό ορισμό εφαπτομένης που αναφέρεται στο ιστορικό σημείωμα του κεφαλαίου.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ11Α (σελ. 174)

Εκφώνηση: Έστω μια συνάρτηση \(\varphi\) τέτοια, ώστε \(\varphi(0)=0,\ \varphi'(0)=0\) και \(\varphi''(x)+\varphi(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Να αποδείξετε ότι: ι) Η συνάρτηση \(\psi(x)=[\varphi'(x)]^2+[\varphi(x)]^2\) είναι σταθερή στο \(\mathbb{R}\) και να βρείτε τον τύπο της. ιι) \(\varphi(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Σκέψη: Παραγωγίζουμε την \(\psi\), χρησιμοποιούμε την ΑΔΕ για να δείξουμε \(\psi'=0\)· μετά, αφού \(\psi\) είναι άθροισμα τετραγώνων ίσο με σταθερά μηδέν, και τα δύο τετράγωνα πρέπει να είναι μηδέν.

Λύση:

1. ι) \(\psi'(x)=2\varphi'(x)\varphi''(x)+2\varphi(x)\varphi'(x)=2\varphi'(x)[\varphi''(x)+\varphi(x)]=2\varphi'(x)\cdot0=0\) (χρησιμοποιώντας την υπόθεση). Αφού \(\psi'(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η \(\psi\) είναι σταθερή.
2. \(\psi(0)=[\varphi'(0)]^2+[\varphi(0)]^2=0+0=0\). Άρα \(\psi(x)=0\) για κάθε \(x\).
3. ιι) Αφού \(\psi(x)=[\varphi'(x)]^2+[\varphi(x)]^2=0\) (άθροισμα δύο μη αρνητικών όρων ίσο με μηδέν), και οι δύο όροι πρέπει να είναι μηδέν: ειδικότερα \([\varphi(x)]^2=0\Rightarrow\varphi(x)=0\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Απάντηση: ι) \(\psi(x)=0\) για κάθε \(x\) (σταθερή, μηδενική). ιι) \(\varphi(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) (μοναδική λύση της ΑΔΕ με τις δοσμένες αρχικές συνθήκες).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη· θεμελιώνει το επόμενο ερώτημα (11Β) που αποδεικνύει μοναδικότητα λύσης της y''+y=0 με δοσμένες αρχικές συνθήκες.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ11Β (σελ. 174)

Εκφώνηση: Έστω δύο συναρτήσεις \(f\) και \(g\) τέτοιες ώστε: \(f(0)=0,\ f'(0)=1\) και \(f''(x)+f(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\)· \(g(0)=1,\ g'(0)=0\) και \(g''(x)+g(x)=0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\). Να αποδείξετε ότι: ι) Οι συναρτήσεις \(\varphi(x)=f(x)-\eta\mu x\) και \(\psi(x)=g(x)-\sigma\upsilon\nu x\) ικανοποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α. ιι) \(f(x)=\eta\mu x\) και \(g(x)=\sigma\upsilon\nu x\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Σκέψη: Ελέγχουμε απευθείας ότι οι νέες βοηθητικές συναρτήσεις \(\varphi,\psi\) πληρούν τις ίδιες τρεις συνθήκες (τιμή+παράγωγος στο 0 μηδέν, ΑΔΕ) του ερωτήματος 11Α, μετά επικαλούμαστε το ήδη αποδειγμένο συμπέρασμα \(\varphi=0,\psi=0\).

Λύση:

1. ι) \(\varphi(x)=f(x)-\eta\mu x\): \(\varphi(0)=f(0)-\eta\mu0=0-0=0\). \(\varphi'(x)=f'(x)-\sigma\upsilon\nu x\Rightarrow\varphi'(0)=f'(0)-\sigma\upsilon\nu0=1-1=0\). \(\varphi''(x)=f''(x)+\eta\mu x\) (αφού η δεύτερη παράγωγος του \(-\eta\mu x\) είναι \(+\eta\mu x\)): \(\varphi''(x)+\varphi(x)=f''(x)+\eta\mu x+f(x)-\eta\mu x=f''(x)+f(x)=0\) (από υπόθεση). Άρα η \(\varphi\) πληροί ακριβώς τις υποθέσεις του ερωτήματος 11Α.
2. Ομοίως \(\psi(x)=g(x)-\sigma\upsilon\nu x\): \(\psi(0)=g(0)-\sigma\upsilon\nu0=1-1=0\). \(\psi'(x)=g'(x)+\eta\mu x\Rightarrow\psi'(0)=g'(0)+\eta\mu0=0+0=0\). \(\psi''(x)=g''(x)+\sigma\upsilon\nu x\): \(\psi''(x)+\psi(x)=g''(x)+\sigma\upsilon\nu x+g(x)-\sigma\upsilon\nu x=g''(x)+g(x)=0\). Άρα η \(\psi\) επίσης πληροί τις υποθέσεις του 11Α.
3. ιι) Από το αποδεδειγμένο συμπέρασμα του 11Α (μια συνάρτηση με μηδενική τιμή, μηδενική παράγωγο στο 0, και που ικανοποιεί την ΑΔΕ, είναι ταυτοτικά μηδέν), εφαρμοσμένο στην \(\varphi\): \(\varphi(x)=0\) για κάθε \(x\Rightarrow f(x)=\eta\mu x\). Εφαρμοσμένο στην \(\psi\): \(\psi(x)=0\Rightarrow g(x)=\sigma\upsilon\nu x\), για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Απάντηση: ι) Οι \(\varphi,\psi\) πληρούν τις υποθέσεις του 11Α. ιι) \(f(x)=\eta\mu x\) και \(g(x)=\sigma\upsilon\nu x\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) — μοναδικές λύσεις της \(y''+y=0\) με τις δοσμένες αρχικές συνθήκες.

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου — λύση πλήρως ανεξάρτητη, βασισμένη άμεσα στο αποτέλεσμα του 11Α.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ12 (σελ. 175)

Εκφώνηση: Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει ακτίνα \(1\ \text{cm}\) και η \(\varepsilon\) εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο \(A\). Το τόξο \(AM\) είναι \(\theta\ \text{rad}\) και το ευθ. τμήμα \(AN\) είναι \(\theta\ \text{cm}\). Ευθεία \(MN\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(P(x,0)\). Να αποδείξετε ότι: ι) \(x=\dfrac{\theta\sigma\upsilon\nu\theta-\eta\mu\theta}{\theta-\eta\mu\theta}=x(\theta)\) ιι) \(\lim_{\theta\to0}x(\theta)=-2\).

Σκέψη: ι) Με τυπικές συντεταγμένες κύκλου μοναδιαίας ακτίνας για το \(M(\sigma\upsilon\nu\theta,\eta\mu\theta)\) (γωνία \(\theta\) από το \(A(1,0)\)) και \(N\) πάνω στην εφαπτομένη \(\varepsilon\) στο \(A\) σε απόσταση \(\theta\) από αυτό, η συνθήκη ότι το \(P(x,0)\) βρίσκεται πάνω στην ευθεία \(MN\) ισοδυναμεί με μηδενισμό της ορίζουσας (συνευθειακότητα) \(\det(\overrightarrow{PM},\overrightarrow{PN})=0\), η οποία, λυμένη ως προς \(x\), δίνει τον ζητούμενο τύπο. ιι) Εφαρμόζουμε επανειλημμένα De L'Hospital στο προκύπτον όριο μορφής \(\frac00\).

Λύση:

1. ι) Με \(A(1,0)\), \(M(\sigma\upsilon\nu\theta,\eta\mu\theta)\) πάνω στον κύκλο, και \(N(1,\theta)\) πάνω στην κατακόρυφη εφαπτομένη \(\varepsilon\) στο \(A\) (σε απόσταση \(\theta\) από το \(A\)): η συνθήκη συνευθειακότητας των \(P(x,0),M,N\) γράφεται \(\det(\overrightarrow{PM},\overrightarrow{PN})=0\), δηλαδή \((\sigma\upsilon\nu\theta-x)\cdot\theta-\eta\mu\theta\cdot(1-x)=0\). Λύνοντας ως προς \(x\): \(\theta\sigma\upsilon\nu\theta-\theta x-\eta\mu\theta+\eta\mu\theta\cdot x=0\Rightarrow x(\eta\mu\theta-\theta)=\eta\mu\theta-\theta\sigma\upsilon\nu\theta\Rightarrow x=\dfrac{\eta\mu\theta-\theta\sigma\upsilon\nu\theta}{\eta\mu\theta-\theta}=\dfrac{\theta\sigma\upsilon\nu\theta-\eta\mu\theta}{\theta-\eta\mu\theta}\).
2. ιι) Καθώς \(\theta\to0\): αριθμητής \(\theta\sigma\upsilon\nu\theta-\eta\mu\theta\to0\), παρονομαστής \(\theta-\eta\mu\theta\to0\) — μορφή \(\frac00\). De L'Hospital: παράγωγος αριθμητή \(=\sigma\upsilon\nu\theta-\theta\eta\mu\theta-\sigma\upsilon\nu\theta=-\theta\eta\mu\theta\), παράγωγος παρονομαστή \(=1-\sigma\upsilon\nu\theta\). Νέο όριο: \(\lim_{\theta\to0}\dfrac{-\theta\eta\mu\theta}{1-\sigma\upsilon\nu\theta}\) — πάλι \(\frac00\).
3. Δεύτερη εφαρμογή: παράγωγος αριθμητή \(=-\eta\mu\theta-\theta\sigma\upsilon\nu\theta\), παράγωγος παρονομαστή \(=\eta\mu\theta\). Νέο όριο: \(\lim_{\theta\to0}\dfrac{-\eta\mu\theta-\theta\sigma\upsilon\nu\theta}{\eta\mu\theta}\) — και πάλι \(\frac00\).
4. Τρίτη εφαρμογή: παράγωγος αριθμητή \(=-\sigma\upsilon\nu\theta-\sigma\upsilon\nu\theta+\theta\eta\mu\theta=-2\sigma\upsilon\nu\theta+\theta\eta\mu\theta\), παράγωγος παρονομαστή \(=\sigma\upsilon\nu\theta\). Όριο: \(\dfrac{-2\sigma\upsilon\nu0+0}{\sigma\upsilon\nu0}=\dfrac{-2}1=-2\).

Απάντηση: ι) \(x(\theta)=\dfrac{\theta\sigma\upsilon\nu\theta-\eta\mu\theta}{\theta-\eta\mu\theta}\) (από τη συνθήκη συνευθειακότητας \(P,M,N\)). ιι) \(\lim_{\theta\to0}x(\theta)=-2\) (τριπλή εφαρμογή De L'Hospital).

Πρόσεξε:

• Το ερώτημα ιι) ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («12. ii) lim θ→0 x(θ)=-2 [υπόδειξη: εφαρμόστε De L'Hospital]») και επαληθεύτηκε ανεξάρτητα με τριπλή εφαρμογή του κανόνα.
• Το ερώτημα ι) απαιτεί την ακριβή θέση των σημείων \(M,N,P\) από το σχήμα — παρουσιάζουμε την πιο φυσική/καθιερωμένη συντεταγμένη διάταξη συνεπή με τον δοσμένο τύπο και την επίσημη υπόδειξη «det(PM,PN)=0», αλλά χωρίς οπτική επιβεβαίωση του ίδιου του σχήματος.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση Γ13 (σελ. 175)

Εκφώνηση: Ένας πεζοπόρος \(\Pi\) ξεκινάει από σημείο \(A\) και βαδίζει γύρω από κυκλική λίμνη ακτίνας \(\rho=2\ \text{km}\) με ταχύτητα \(u=4\ \text{km/h}\). Αν \(S\) το μήκος του τόξου \(A\Pi\) και \(\ell\) η απόσταση \(A\Pi\) τη στιγμή \(t\): Α) Να αποδείξετε ότι ι) \(\theta=\dfrac S2\) και \(\ell=4\eta\mu\dfrac\theta2\) ιι) \(S=4t,\ \theta=2t\) και \(\ell=4\eta\mu t\). Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης \(\ell\) ως προς τον χρόνο \(t\)· ειδικά όταν α) \(\theta=\frac{2\pi}3\) β) \(\theta=\pi\) γ) \(\theta=\frac{4\pi}3\).

Σκέψη: Α.ι) Γωνία στο κέντρο = τόξο/ακτίνα· χορδή μέσω ισοσκελούς τριγώνου (\(2\rho\eta\mu(\theta/2)\)). Α.ιι) Άμεση αντικατάσταση \(S=ut\). Β) Παραγωγίζουμε \(\ell(t)\) ως προς \(t\) και αντικαθιστούμε τις δοσμένες τιμές του \(\theta\) (άρα του \(t=\theta/2\)).

Λύση:

1. Α.ι) Γωνία στο κέντρο \(\theta=\dfrac S\rho=\dfrac S2\) (αφού \(\rho=2\)). Στο ισοσκελές τρίγωνο \(OA\Pi\) με \(OA=O\Pi=\rho=2\) και γωνία κορυφής \(\theta\), η χορδή (βάση) είναι \(\ell=2\rho\eta\mu\dfrac\theta2=4\eta\mu\dfrac\theta2\).
2. Α.ιι) Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή \(u=4\) km/h: \(S=ut=4t\). Άρα \(\theta=\dfrac S2=\dfrac{4t}2=2t\). Και \(\ell=4\eta\mu\dfrac\theta2=4\eta\mu\dfrac{2t}2=4\eta\mu t\).
3. Β) \(\ell(t)=4\eta\mu t\Rightarrow\ell'(t)=4\sigma\upsilon\nu t\). Αφού \(\theta=2t\Rightarrow t=\theta/2\):
4. α) \(\theta=\frac{2\pi}3\Rightarrow t=\frac\pi3\): \(\ell'\left(\frac\pi3\right)=4\sigma\upsilon\nu\frac\pi3=4\cdot\frac12=2\) km/h.
5. β) \(\theta=\pi\Rightarrow t=\frac\pi2\): \(\ell'\left(\frac\pi2\right)=4\sigma\upsilon\nu\frac\pi2=4\cdot0=0\) km/h.
6. γ) \(\theta=\frac{4\pi}3\Rightarrow t=\frac{2\pi}3\): \(\ell'\left(\frac{2\pi}3\right)=4\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}3=4\cdot\left(-\frac12\right)=-2\) km/h.

Απάντηση: Α) \(\theta=S/2\), \(\ell=4\eta\mu(\theta/2)\)· \(S=4t,\theta=2t,\ell=4\eta\mu t\). Β) \(\ell'(t)=4\sigma\upsilon\nu t\): α) \(2\) km/h β) \(0\) km/h γ) \(-2\) km/h.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση («13. Α. ... Β. Γ'(t)=4συνt. α) 2 km/h β) 0 km/h γ) -2 km/h» — η ετικέτα «Γ'» στο πρωτότυπο είναι OCR-παραλλαγή του «ℓ'»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Γ14 (σελ. 175)

Εκφώνηση: Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν \(12500\) κιλά ντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει \(125\) κιλά τη μέρα και πληρώνεται \(6\) ευρώ την ώρα. Θα προσλάβει και έναν επιστάτη, με \(10\) ευρώ την ώρα. Θα πληρώνει επιπλέον στο σωματείο εισφορά \(10\) ευρώ για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει για ελάχιστο κόστος και ποιο είναι αυτό.

Σκέψη: Με \(x\) εργάτες, ο απαιτούμενος αριθμός ημερών είναι \(100/x\) (αφού \(12500/(125x)=100/x\))· εκφράζουμε το συνολικό κόστος (μισθοί εργατών+επιστάτη+εισφορές) ως συνάρτηση του \(x\) και ελαχιστοποιούμε.

Λύση:

1. Το συνολικό κόστος (σύμφωνα με τα δεδομένα ημερομισθίων/ωρών της άσκησης) διαμορφώνεται ως \(K(x)=600+\dfrac{1000}x+10(x+1)\), \(x\geq1\) φυσικός αριθμός (η ακριβής σύνθεση της σταθεράς \(600\) και του όρου \(1000/x\) προκύπτει από το ωρομίσθιο \(6\)€ επί τις ώρες εργασίας ανά ημέρα επί τις \(100/x\) ημέρες, όπως δίνεται έτοιμη στο βιβλίο).
2. \(K(x)=610+\dfrac{1000}x+10x\). \(K'(x)=-\dfrac{1000}{x^2}+10=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=10\) (θετική λύση).
3. \(K''(x)=\dfrac{2000}{x^3}>0\) για \(x>0\) — ελάχιστο στο \(x=10\).
4. \(K(10)=610+100+100=810\) ευρώ.

Απάντηση: Πρέπει να προσλάβει \(10\) εργάτες, με ελάχιστο συνολικό κόστος \(810\) ευρώ.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση («14. Συνολικό κόστος K(x)=600+1000/x+10(x+1). Πρέπει να προσλάβει 10 εργάτες»).
• Η ακριβής αριθμητική σύνθεση της σταθεράς 600 και του συντελεστή 1000 από τα ωρομίσθια (6€/ώρα εργάτη, 10€/ώρα επιστάτη) απαιτεί υπόθεση για τις ώρες εργασίας/ημέρα που δεν αναφέρεται ρητά στο αποσπασματικό κείμενο της εκφώνησης — χρησιμοποιούμε τον τύπο όπως δίνεται έτοιμος στο επίσημο παράρτημα, και επαληθεύσαμε ανεξάρτητα μόνο το ίδιο το βήμα βελτιστοποίησης (x=10, ελάχιστο 810€).

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση Ι1 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Αν η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \([0,1]\), παραγωγίσιμη στο \((0,1)\) και \(f'(x)\neq0\) για όλα τα \(x\in(0,1)\), τότε \(f(0)\neq f(1)\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Rolle αντιθετοαντίστροφα: αν ίσχυε \(f(0)=f(1)\), το Rolle θα εξασφάλιζε ρίζα της \(f'\) στο εσωτερικό, άτοπο.

Λύση:

1. Έστω, προς άτοπο, ότι \(f(0)=f(1)\). Η \(f\) πληροί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Rolle (συνεχής στο κλειστό, παραγωγίσιμη στο ανοικτό, ίσες τιμές στα άκρα), άρα υπάρχει \(x_0\in(0,1)\) με \(f'(x_0)=0\) — άτοπο, αφού \(f'(x)\neq0\) για κάθε \(x\in(0,1)\).
2. Άρα η υπόθεση \(f(0)=f(1)\) είναι αδύνατη, δηλαδή \(f(0)\neq f(1)\).

Απάντηση: Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι2 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Αν η συνάρτηση \(f\) παραγωγίζεται στο \([\alpha,\beta]\) με \(f(\beta)<f(\alpha)\), τότε υπάρχει \(x_0\in(\alpha,\beta)\) τέτοιο, ώστε \(f'(x_0)<0\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Άμεση εφαρμογή ΘΜΤ: το πηλίκο διαφορών ισούται με κάποια τιμή της παραγώγου σε ενδιάμεσο σημείο.

Λύση:

1. Η \(f\) είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο \([\alpha,\beta]\), οπότε από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει \(x_0\in(\alpha,\beta)\) με \(f'(x_0)=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\).
2. Αφού \(f(\beta)<f(\alpha)\Rightarrow f(\beta)-f(\alpha)<0\), και \(\beta-\alpha>0\), το πηλίκο είναι αρνητικό: \(f'(x_0)<0\).

Απάντηση: Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι3 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Αν οι \(f,g\) είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο \([\alpha,\beta]\), με \(f(\alpha)=g(\alpha)\) και \(f(\beta)=g(\beta)\), τότε υπάρχει \(x_0\in(\alpha,\beta)\) τέτοιο, ώστε στα σημεία \(A(x_0,f(x_0))\) και \(B(x_0,g(x_0))\) οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Ορίζουμε \(h=f-g\), ελέγχουμε \(h(\alpha)=h(\beta)=0\), εφαρμόζουμε Rolle.

Λύση:

1. Έστω \(h(x)=f(x)-g(x)\), παραγωγίσιμη στο \([\alpha,\beta]\). \(h(\alpha)=f(\alpha)-g(\alpha)=0\), \(h(\beta)=f(\beta)-g(\beta)=0\) — ίσες τιμές στα άκρα.
2. Από Θεώρημα Rolle, υπάρχει \(x_0\in(\alpha,\beta)\) με \(h'(x_0)=0\Rightarrow f'(x_0)=g'(x_0)\). Ίσες κλίσεις στο ίδιο \(x_0\) σημαίνει παράλληλες εφαπτόμενες στα σημεία \(A(x_0,f(x_0))\) και \(B(x_0,g(x_0))\).

Απάντηση: Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι4 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Αν \(f'(x)=(x-1)^2(x-2)\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), τότε: α) το \(f(1)\) είναι τοπικό μέγιστο της \(f\) β) το \(f(2)\) είναι τοπικό ελάχιστο της \(f\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση σε κάθε υποερώτημα)

Σκέψη: Μελετάμε πρόσημο \(f'\): ο παράγοντας \((x-1)^2\) δεν αλλάζει πρόσημο (άρτια δύναμη), ο \((x-2)\) αλλάζει.

Λύση:

1. α) Για \(x<1\): \((x-1)^2>0,(x-2)<0\Rightarrow f'<0\). Για \(1<x<2\): \((x-1)^2>0,(x-2)<0\Rightarrow f'<0\) (ίδιο πρόσημο, καμία αλλαγή στο \(x=1\)). Άρα το \(x=1\) ΔΕΝ είναι θέση ακροτάτου.
2. β) Για \(x>2\): \((x-1)^2>0,(x-2)>0\Rightarrow f'>0\). Συγκρίνοντας με το \(f'<0\) για \(1<x<2\): αλλαγή προσήμου \(-\to+\) στο \(x=2\) — τοπικό ΕΛΑΧΙΣΤΟ.

Απάντηση: α) Ψ (Ψευδής, δεν υπάρχει ακρότατο στο \(x=1\)). β) Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι5 (σελ. 176)

Εκφώνηση: α) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. β) Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση σε κάθε υποερώτημα)

Σκέψη: α) Άρτιος βαθμός ⟹ ίδιο πρόσημο ορίου στα δύο άκρα ⟹ ύπαρξη ολικού ακροτάτου σε εσωτερικό σημείο ⟹ Fermat. β) Αναζητούμε αντιπαράδειγμα με παντού θετική παράγωγο.

Λύση:

1. α) Πολυώνυμο άρτιου βαθμού \(n\) με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου \(a\): \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) (αν \(a>0\)) ή \(-\infty\) (αν \(a<0\)) — ΙΔΙΟ πρόσημο και στα δύο άκρα. Άρα η \(f\) (συνεχής) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο (ή μέγιστο) σε κάποιο εσωτερικό σημείο \(x_0\in\mathbb{R}\). Από Fermat, \(f'(x_0)=0\) — υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη.
2. β) Αντιπαράδειγμα: \(f(x)=x^3+x\) (περιττού βαθμού 3). \(f'(x)=3x^2+1>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) — ΠΟΤΕ δεν μηδενίζεται, άρα ΚΑΜΙΑ οριζόντια εφαπτομένη πουθενά. Η πρόταση είναι ψευδής.

Απάντηση: α) Α (Αληθής). β) Ψ (Ψευδής· αντιπαράδειγμα \(f(x)=x^3+x\)).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι6 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Η συνάρτηση \(f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta\) με \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) και \(\alpha\neq0\) έχει πάντα ένα σημείο καμπής. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Η \(f''\) είναι γραμμική με μη μηδενικό συντελεστή (αφού \(\alpha\neq0\)), άρα έχει ακριβώς μία ρίζα και αναγκαστικά αλλάζει πρόσημο εκεί.

Λύση:

1. \(f''(x)=6\alpha x+2\beta\), γραμμική συνάρτηση με συντελεστή \(x\) ίσο με \(6\alpha\neq0\) (αφού \(\alpha\neq0\)). Έχει ΑΚΡΙΒΩΣ μία ρίζα: \(x_0=-\dfrac\beta{3\alpha}\).
2. Ως γραμμική με μη μηδενική κλίση, η \(f''\) αλλάζει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ πρόσημο γύρω από τη μοναδική της ρίζα (από αρνητική σε θετική ή αντίστροφα). Αφού η \(f\) είναι πολυωνυμική (παντού παραγωγίσιμη, άρα πάντα υπάρχει εφαπτομένη), το \(x_0\) είναι σημείο καμπής.

Απάντηση: Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι7 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Αν οι συναρτήσεις \(f,g\) έχουν στο \(x_0\) σημείο καμπής, τότε και η \(h=f\cdot g\) έχει στο \(x_0\) σημείο καμπής. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Αναζητούμε αντιπαράδειγμα: παίρνουμε \(f=g=x^3\) (κοινό σημείο καμπής στο 0) και ελέγχουμε το γινόμενο.

Λύση:

1. Αντιπαράδειγμα: \(f(x)=x^3\), \(g(x)=x^3\). Και οι δύο έχουν σημείο καμπής στο \(x_0=0\) (\(f''(x)=6x\) αλλάζει πρόσημο εκεί, ομοίως η \(g''\)).
2. \(h(x)=f(x)g(x)=x^6\). \(h''(x)=30x^4\geq0\) για κάθε \(x\), ΧΩΡΙΣ αλλαγή προσήμου γύρω από το \(0\) (μηδενίζεται μόνο εκεί, παραμένει μη αρνητική και πριν και μετά). Άρα το \(x_0=0\) ΔΕΝ είναι σημείο καμπής της \(h\) (η \(h\) είναι κυρτή σε όλο το \(\mathbb{R}\)).

Απάντηση: Ψ (Ψευδής· αντιπαράδειγμα \(f=g=x^3\), γινόμενο \(x^6\) χωρίς σημείο καμπής στο 0).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι8 (σελ. 176)

Εκφώνηση: Δίνεται ότι η συνάρτηση \(f\) παραγωγίζεται στο \(\mathbb{R}\) και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα \(x'x\). Αν υπάρχει κάποιο σημείο \(A(x_0,f(x_0))\) της \(C_f\), του οποίου η απόσταση από τον άξονα \(x'x\) είναι μέγιστη (ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της \(C_f\) είναι οριζόντια. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Αφού η \(f\) είναι παντού θετική, η απόσταση από τον άξονα ισούται ακριβώς με \(f(x)\)· άρα μέγιστη/ελάχιστη απόσταση σημαίνει ακριβώς ολικό μέγιστο/ελάχιστο της \(f\) σε εσωτερικό σημείο — εφαρμόζουμε Fermat.

Λύση:

1. Αφού \(f(x)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), η απόσταση του σημείου \(A(x_0,f(x_0))\) από τον άξονα \(x'x\) ισούται ακριβώς με \(f(x_0)\).
2. Αν αυτή η απόσταση είναι μέγιστη (αντ. ελάχιστη), τότε το \(f(x_0)\) είναι ολικό μέγιστο (αντ. ελάχιστο) της \(f\) σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού \(\mathbb{R}\), όπου η \(f\) είναι παραγωγίσιμη.
3. Από το Θεώρημα του Fermat, \(f'(x_0)=0\) — η εφαπτομένη στο \(A\) είναι οριζόντια, σε ΚΑΘΕ μία από τις δύο περιπτώσεις (μέγιστο ή ελάχιστο).

Απάντηση: Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι9 (σελ. 177)

Εκφώνηση: Η ευθεία \(x=1\) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: α) \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}\) β) \(g(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{(x-1)^2}\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση σε κάθε υποερώτημα)

Σκέψη: Παραγοντοποιούμε \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) και εξετάζουμε αν ο παράγοντας \((x-1)\) απλοποιείται πλήρως ή αφήνει γνήσιο πόλο.

Λύση:

1. α) \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\) για \(x\neq1\) — αφαιρέσιμη ασυνέχεια, \(\lim_{x\to1}f(x)=-1\) (πεπερασμένο). ΔΕΝ υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.
2. β) \(g(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-2}{x-1}\) για \(x\neq1\). Καθώς \(x\to1\): αριθμητής \(\to-1\neq0\), παρονομαστής \(\to0\) — το όριο είναι άπειρο (\(\pm\infty\) ανάλογα την πλευρά). Άρα \(x=1\) ΕΙΝΑΙ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Απάντηση: α) Ψ (Ψευδής). β) Α (Αληθής).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι10 (σελ. 177)

Εκφώνηση: Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) δίνεται από σχήμα (ημικύκλιο πάνω από τον άξονα, με άκρα στα \(x=1\) και \(x=4\)), τότε: i) το πεδίο ορισμού της \(\frac1{f'}\) είναι το \((1,4)\) ii) το πεδίο ορισμού της \(\frac1{f'}\) είναι το \([1,4]\) iii) \(f'(x)>0\) για κάθε \(x\in(1,4)\) iv) υπάρχει \(x_0\in(1,4)\) με \(f'(x_0)=0\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση σε κάθε υποερώτημα)

Σκέψη: Στα άκρα \(x=1,4\) (όπου η ημικυκλική καμπύλη ακουμπάει τον άξονα) η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη — η \(f'\) δεν ορίζεται εκεί (αποκλείονται από το πεδίο ορισμού της \(1/f'\)). Στο εσωτερικό σημείο-κορυφή (μέγιστο) η \(f'=0\) — εκεί το \(1/f'\) επίσης δεν ορίζεται.

Λύση:

1. i),ii) Στα άκρα \(x=1,4\), η ημικυκλική καμπύλη έχει κατακόρυφη εφαπτομένη — η \(f\) δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί, άρα η \(f'\) δεν ορίζεται στα \(1,4\) (πρέπει να αποκλειστούν). Επιπλέον, στο εσωτερικό σημείο της κορυφής (μέγιστο της ημικυκλικής καμπύλης), η \(f'\) μηδενίζεται — η \(\frac1{f'}\) δεν ορίζεται ΟΥΤΕ εκεί. Άρα το πεδίο ορισμού της \(\frac1{f'}\) είναι το \((1,4)\) ΜΕΙΟΝ το σημείο της κορυφής — ΔΕΝ είναι απλά το \((1,4)\) ούτε το \([1,4]\). Και οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς.
2. iii) Η \(f'\) είναι θετική στο πρώτο μισό (αύξουσα, ανερχόμενη καμπύλη) αλλά ΑΡΝΗΤΙΚΗ στο δεύτερο μισό (φθίνουσα μετά την κορυφή) — ΔΕΝ είναι θετική σε ΟΛΟ το \((1,4)\).
3. iv) Στο σημείο της κορυφής (εσωτερικό μέγιστο της ημικυκλικής καμπύλης), υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη — \(f'(x_0)=0\) για κάποιο \(x_0\in(1,4)\).

Απάντηση: i) Ψ. ii) Ψ. iii) Ψ. iv) Α.

Πρόσεξε:

• Βασίζεται στη λεκτική περιγραφή ενός ημικυκλικού γραφήματος (η ίδια η εικόνα δεν είναι διαθέσιμη σε εμάς) — η ερμηνεία μας (κατακόρυφη εφαπτομένη στα άκρα, οριζόντια στην κορυφή) είναι η φυσική/τυπική για σχήμα ημικυκλίου, αλλά δεν έχει επιβεβαιωθεί οπτικά.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση Ι11 (σελ. 177)

Εκφώνηση: Η συνάρτηση \(f(x)=x^3+x+1\) έχει: α) μια, τουλάχιστον, ρίζα στο \((0,1)\) β) μια, ακριβώς, ρίζα στο \((-1,0)\) γ) τρεις πραγματικές ρίζες. (Α/Ψ, με αιτιολόγηση σε κάθε υποερώτημα)

Σκέψη: Ελέγχουμε πρόσημα στα άκρα των διαστημάτων και τη συνολική μονοτονία της \(f\) (η οποία, αν είναι παντού γνησίως αύξουσα, περιορίζει σε το πολύ μία ρίζα συνολικά).

Λύση:

1. \(f'(x)=3x^2+1>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) — η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\) (άρα 1–1, το πολύ μία ρίζα συνολικά).
2. α) \(f(0)=0+0+1=1>0\), \(f(1)=1+1+1=3>0\). ΙΔΙΟ πρόσημο στα άκρα — δεν εξασφαλίζεται ρίζα από Bolzano, και αφού η \(f\) είναι αύξουσα με \(f(0)=1>0\), είναι θετική σε όλο το \([0,1]\) — ΔΕΝ υπάρχει ρίζα εκεί.
3. β) \(f(-1)=-1-1+1=-1<0\), \(f(0)=1>0\) — αλλαγή προσήμου, από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα· αφού η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα (1–1), η ρίζα είναι ΑΚΡΙΒΩΣ μία.
4. γ) Αφού η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\), είναι 1–1, άρα έχει ΤΟ ΠΟΛΥ μία πραγματική ρίζα συνολικά (η ίδια που εντοπίστηκε στο β) — ΟΧΙ τρεις.

Απάντηση: α) Ψ. β) Α. γ) Ψ.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση Ι12 (σελ. 177)

Εκφώνηση: Αν για τις παραγωγίσιμες στο \(\mathbb{R}\) συναρτήσεις \(f,g\) ισχύουν \(f(0)=4,\ f'(0)=3,\ f'(5)=6,\ g(0)=5,\ g'(0)=1,\ g'(4)=2\), τότε \((f\circ g)'(0)=(g\circ f)'(0)\). (Α/Ψ, με αιτιολόγηση)

Σκέψη: Εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσίδας για κάθε σύνθεση χωριστά, χρησιμοποιώντας τις δοσμένες τιμές \(g(0)=5\) (αντίστοιχο του \(f'(5)\)) και \(f(0)=4\) (αντίστοιχο του \(g'(4)\)).

Λύση:

1. \((f\circ g)'(0)=f'(g(0))\cdot g'(0)=f'(5)\cdot g'(0)=6\cdot1=6\).
2. \((g\circ f)'(0)=g'(f(0))\cdot f'(0)=g'(4)\cdot f'(0)=2\cdot3=6\).
3. Και οι δύο παράγωγοι ισούνται με \(6\) — η πρόταση ισχύει.

Απάντηση: Α (Αληθής, και οι δύο παράγωγοι ισούνται με \(6\)).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ1 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Το \(\lim_{h\to0}\dfrac{\epsilon\varphi\left(\frac\pi6+h\right)-\epsilon\varphi\frac\pi6}h\) ισούται με: Α) \(\frac{\sqrt3}3\) Β) \(\frac43\) Γ) \(\sqrt3\) Δ) \(0\) Ε) \(\frac34\).

Σκέψη: Το όριο είναι ακριβώς ο ορισμός της παραγώγου \((\epsilon\varphi x)'\) στο \(x=\pi/6\).

Λύση:

1. Το ζητούμενο όριο ισούται με \((\epsilon\varphi)'\left(\dfrac\pi6\right)=\dfrac1{\sigma\upsilon\nu^2(\pi/6)}\).
2. \(\sigma\upsilon\nu\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2\Rightarrow\sigma\upsilon\nu^2\dfrac\pi6=\dfrac34\).
3. Άρα το όριο \(=\dfrac1{3/4}=\dfrac43\).

Απάντηση: Β) \(\dfrac43\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ2 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Το \(\lim_{h\to0}\dfrac{\frac1{x+h}-\frac1x}h\) ισούται με: Α) \(\frac1{x^2}\) Β) \(-\frac2{x^2}\) Γ) \(-\frac1{x^2}\) Δ) \(-\frac2x\) Ε) \(0\).

Σκέψη: Το όριο είναι ο ορισμός της παραγώγου της \(1/x\) στο τυχόν σημείο \(x\).

Λύση:

1. Το ζητούμενο όριο ισούται με \(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac1{x^2}\).

Απάντηση: Γ) \(-\dfrac1{x^2}\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ3 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν \(f(x)=5^{3x}\) τότε η \(f'(x)\) ισούται με: Α) \(3x5^{3x-1}\) Β) \(\frac{5^{3x}}{3\ln5}\) Γ) \(3\cdot5^{2x}\) Δ) \(3\cdot5^{3x}\) Ε) \(5^{3x}\ln125\).

Σκέψη: Κανόνας αλυσίδας στην εκθετική \(a^{g(x)}\): \((a^{g(x)})'=a^{g(x)}\ln a\cdot g'(x)\)· μετά απλοποιούμε \(3\ln5\) ως \(\ln(5^3)=\ln125\).

Λύση:

1. \(f'(x)=5^{3x}\cdot\ln5\cdot3=3\ln5\cdot5^{3x}\).
2. Αφού \(3\ln5=\ln(5^3)=\ln125\): \(f'(x)=5^{3x}\ln125\).

Απάντηση: Ε) \(5^{3x}\ln125\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ4 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν \(f(x)=\sigma\upsilon\nu^3(x+1)\) τότε η \(f'(\pi)\) ισούται με: Α) \(3\sigma\upsilon\nu(\pi+1)\eta\mu(\pi+1)\) Β) \(3\sigma\upsilon\nu^2(\pi+1)\) Γ) \(-3\sigma\upsilon\nu^2(\pi+1)\eta\mu(\pi+1)\) Δ) \(3\sigma\upsilon\nu^2(\pi+1)\).

Σκέψη: Διπλή εφαρμογή κανόνα αλυσίδας: δύναμη 3 επί εσωτερικό \(\sigma\upsilon\nu(x+1)\), μετά παράγωγος συνημιτόνου.

Λύση:

1. \(f'(x)=3\sigma\upsilon\nu^2(x+1)\cdot\left[-\eta\mu(x+1)\right]\cdot1=-3\sigma\upsilon\nu^2(x+1)\eta\mu(x+1)\).
2. Στο \(x=\pi\): \(f'(\pi)=-3\sigma\upsilon\nu^2(\pi+1)\eta\mu(\pi+1)\).

Απάντηση: Γ) \(-3\sigma\upsilon\nu^2(\pi+1)\eta\mu(\pi+1)\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ5 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν \(f(x)=(x^2-1)^3\) τότε η έβδομη παράγωγος αυτής στο \(0\) ισούται με: Α) \(1\) Β) \(-1\) Γ) \(0\) Δ) \(27\) Ε) δεν υπάρχει.

Σκέψη: Αναπτύσσουμε το \((x^2-1)^3\) ως πολυώνυμο βαθμού \(6\)· κάθε παράγωγος πέραν του βαθμού μηδενίζεται ταυτοτικά.

Λύση:

1. \((x^2-1)^3=x^6-3x^4+3x^2-1\), πολυώνυμο βαθμού \(6\).
2. Η \(7\)η παράγωγος οποιουδήποτε πολυωνύμου βαθμού \(\leq6\) είναι ΤΑΥΤΟΤΙΚΑ μηδέν (κάθε παραγώγιση μειώνει τον βαθμό κατά \(1\)· μετά την \(6\)η παράγωγο μένει σταθερά, και η \(7\)η παράγωγος αυτής είναι \(0\)).
3. Άρα \(f^{(7)}(x)=0\) για κάθε \(x\), ειδικότερα \(f^{(7)}(0)=0\).

Απάντηση: Γ) \(0\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ6 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων \(f(x)=\ln x\) και \(g(x)=2x^2\) στα σημεία με τετμημένες \(x_0\) είναι παράλληλες, τότε το \(x_0\) είναι: Α) \(0\) Β) \(\frac14\) Γ) \(\frac12\) Δ) \(1\) Ε) \(2\).

Σκέψη: Παράλληλες εφαπτόμενες ⟺ ίσες παράγωγοι στο ίδιο \(x_0\).

Λύση:

1. \(f'(x)=\dfrac1x\), \(g'(x)=4x\). Θέτουμε \(f'(x_0)=g'(x_0)\): \(\dfrac1{x_0}=4x_0\Rightarrow4x_0^2=1\Rightarrow x_0^2=\dfrac14\Rightarrow x_0=\pm\dfrac12\).
2. Αφού \(x_0\) πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της \(\ln x\) (\(x_0>0\)), απορρίπτουμε το \(-\frac12\): \(x_0=\dfrac12\).

Απάντηση: Γ) \(\dfrac12\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙ7 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν \(f(x)=e^{\beta x},\ g(x)=e^{\alpha x}\) και \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\), τότε το \(\beta\) ως συνάρτηση του \(\alpha\) ισούται με: Α) \(\frac{\alpha-1}{\alpha^2}\) Β) \(\frac{\alpha^2}{\alpha+1}\) Γ) \(\frac{\alpha+1}{\alpha^2}\) Δ) \(\frac{\alpha^2}{\alpha^2-1}\) Ε) \(\frac{\alpha^2}{\alpha-1}\).

Σκέψη: Υπολογίζουμε και τα δύο μέλη ως εκθετικές παραστάσεις και συγκρίνουμε.

Λύση:

1. \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{e^{\beta x}}{e^{\alpha x}}=e^{(\beta-\alpha)x}\).
2. \(f'(x)=\beta e^{\beta x}\), \(g'(x)=\alpha e^{\alpha x}\Rightarrow\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac\beta\alpha e^{(\beta-\alpha)x}\).
3. Εξισώνοντας: \(e^{(\beta-\alpha)x}=\dfrac\beta\alpha e^{(\beta-\alpha)x}\) για κάθε \(x\), οπότε (διαιρώντας με τον κοινό μη μηδενικό εκθετικό παράγοντα) \(\dfrac\beta\alpha=1\Rightarrow\beta=\alpha\).

Απάντηση: Με αυστηρή αλγεβρική επεξεργασία προκύπτει \(\beta=\alpha\), τιμή που ΔΕΝ εμφανίζεται στις δοσμένες επιλογές Α–Ε.

Πρόσεξε:

• ΔΙΑΦΩΝΙΑ: η άμεση αλγεβρική επίλυση της δοσμένης εξίσωσης δίνει \(\beta=\alpha\) (απλή ταυτότητα), ενώ καμία από τις πέντε επιλογές πολλαπλής επιλογής δεν είναι ίση με \(\alpha\) το ίδιο. Αυτό υποδηλώνει είτε σφάλμα μεταγραφής/OCR στην εκφώνηση (π.χ. πιθανώς λείπει κάποιος πρόσθετος όρος ή η εξίσωση αφορά διαφορετικό συνδυασμό των \(f,g,f',g'\) — για παράδειγμα \(f'(x)/f(x)=g(x)/g'(x)\) ή κάτι αντίστοιχο με μη τετριμμένη λύση), είτε σφάλμα στο ίδιο το βιβλίο. Δεν επιλέγουμε αυθαίρετα κάποια από τις δοσμένες απαντήσεις μόνο και μόνο για να ταιριάξει, αφού αυτό θα ήταν μαθηματικά ανακριβές — παραθέτουμε τη σωστή, επαληθευμένη λύση της εξίσωσης όπως δόθηκε.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση ΙΙ8 (σελ. 178)

Εκφώνηση: Αν \(f'(x)>0\) για κάθε \(x\in[-1,1]\) και \(f(0)=0\), τότε: Α) \(f(1)=-1\) Β) \(f(-1)>0\) Γ) \(f(1)>0\) Δ) \(f(-1)=0\).

Σκέψη: Αφού \(f'>0\) παντού στο \([-1,1]\), η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα εκεί· συγκρίνουμε με την τιμή αναφοράς \(f(0)=0\).

Λύση:

1. Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([-1,1]\) (αφού \(f'>0\) παντού εκεί). Αφού \(1>0\): \(f(1)>f(0)=0\Rightarrow f(1)>0\). Αφού \(-1<0\): \(f(-1)<f(0)=0\).

Απάντηση: Γ) \(f(1)>0\).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---

Άσκηση ΙΙΙ1 (σελ. 179)

Εκφώνηση: Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις συναρτήσεις α,β,γ,δ (περιγραφή σχήματος: (α) παραβολή κοίλη προς τα πάνω με κορυφή \((0,1)\)· (β) \(|x|\)-σχήμα με αιχμή στο \(O\)· (γ) τεταρτοβάθμια με δύο τοπικά ελάχιστα κάτω από τον άξονα και τοπικό μέγιστο κοντά στο \(O\)· (δ) ευθεία θετικής κλίσης από την αρχή) σε εκείνη από τις Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ (περιγραφή: (Α) βηματική με δύο οριζόντια τμήματα, αρνητικό/θετικό, ασυνεχής στο \(0\)· (Β) κυβική με τοπικό μέγιστο αριστερά, τοπικό ελάχιστο δεξιά· (Γ) παραβολή κοίλη προς τα πάνω με κορυφή \((0,-1)\)· (Δ) οριζόντια θετική σταθερά· (Ε) ευθεία θετικής κλίσης από το \(O\)· (Ζ) ευθεία αρνητικής κλίσης από το \(O\)) που νομίζετε ότι είναι η παράγωγός της.

Σκέψη: Συγκρίνουμε τη μορφή κάθε αρχικής συνάρτησης με το αναμενόμενο σχήμα της παραγώγου της: παραβολή ⟹ γραμμική παράγωγος μέσω \(O\)· \(|x|\) ⟹ βηματική ασυνεχής παράγωγος· τεταρτοβάθμια "W" ⟹ κυβική παράγωγος με τρία μηδενικά· ευθεία ⟹ σταθερή παράγωγος.

Λύση:

1. (α) παραβολή \(y=x^2+1\)-τύπου (κοίλη προς τα πάνω, κορυφή \((0,1)\)): παράγωγος γραμμική, μηδέν στο \(x=0\), αρνητική αριστερά, θετική δεξιά — ευθεία θετικής κλίσης από το \(O\): αντιστοιχεί στην (Ε).
2. (β) \(|x|\)-σχήμα: παράγωγος \(-1\) για \(x<0\), \(+1\) για \(x>0\), ασυνεχής στο \(0\) — βηματική συνάρτηση: αντιστοιχεί στην (Α).
3. (γ) τεταρτοβάθμια "διπλού πηγαδιού" (δύο τοπικά ελάχιστα, ένα τοπικό μέγιστο ενδιάμεσα): η παράγωγός της είναι τριτοβάθμια με τρεις ρίζες (μία σε κάθε ακρότατο), αρνητική-θετική-αρνητική-θετική εναλλάξ, σχήματος «τοπικό μέγιστο αριστερά, τοπικό ελάχιστο δεξιά»: αντιστοιχεί στην (Β).
4. (δ) ευθεία θετικής κλίσης από το \(O\): η παράγωγός της είναι ΣΤΑΘΕΡΗ (η ίδια η κλίση, θετικός αριθμός) — οριζόντια ευθεία πάνω από τον άξονα: αντιστοιχεί στην (Δ).
5. Οι επιλογές (Γ) και (Ζ) παραμένουν αχρησιμοποίητες (αποσπερδικτικές επιλογές, όπως αναμένεται σε άσκηση αντιστοίχισης με περισσότερες επιλογές από αντικείμενα).

Απάντηση: α→Ε, β→Α, γ→Β, δ→Δ (οι Γ,Ζ αχρησιμοποίητες αποσπερδικτικές επιλογές).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου για αυτή την άσκηση αντιστοίχισης· η ανάλυσή μας βασίζεται στη λεκτική περιγραφή του σχήματος (η ίδια η εικόνα δεν είναι διαθέσιμη σε εμάς) — η αντιστοίχιση είναι η μαθηματικά αναμενόμενη για τα περιγραφόμενα σχήματα, αλλά χρειάζεται οπτική επιβεβαίωση με την πραγματική εικόνα του βιβλίου.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

---

Άσκηση ΙΙΙ2 (σελ. 180)

Εκφώνηση: Καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να αντιστοιχήσετε στην ευθεία που είναι ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης στο \(+\infty\): 1. \(f(x)=x+\dfrac1{x^2}\) 2. \(f(x)=-x+1+\dfrac1{e^x}\) 3. \(f(x)=2+\dfrac3{x-2}\). Επιλογές: Α. \(y=2\) Β. \(y=x-1\) Γ. \(y=-x+1\) Δ. \(y=x\) Ε. \(y=-x\).

Σκέψη: Σε κάθε περίπτωση, ο διορθωτικός όρος τείνει στο μηδέν καθώς \(x\to+\infty\), αφήνοντας την κύρια γραμμική/σταθερή παράσταση ως ασύμπτωτη.

Λύση:

1. 1. Καθώς \(x\to+\infty\), \(\dfrac1{x^2}\to0\Rightarrow f(x)-x\to0\) — ασύμπτωτη \(y=x\) (Δ).
2. 2. Καθώς \(x\to+\infty\), \(\dfrac1{e^x}\to0\Rightarrow f(x)-(-x+1)\to0\) — ασύμπτωτη \(y=-x+1\) (Γ).
3. 3. Καθώς \(x\to+\infty\), \(\dfrac3{x-2}\to0\Rightarrow f(x)\to2\) — ασύμπτωτη \(y=2\) (Α).

Απάντηση: 1→Δ, 2→Γ, 3→Α (οι Β,Ε αχρησιμοποίητες αποσπερδικτικές επιλογές).

Πρόσεξε:

• Δεν δίνεται επίσημη απάντηση στο παράρτημα βιβλίου για αυτή την άσκηση — λύση πλήρως ανεξάρτητη, άμεση εφαρμογή του ορισμού ασύμπτωτης.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

---