Κεφάλαιο 1.5 – Ιδιότητες των Ορίων (σελ. 56-58) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση 1 (σελ. 56)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to0}(x^5-4x^3-2x+5)\) ii) \(\lim_{x\to1}(x^{10}-2x^3+x-1)\) iii) \(\lim_{x\to-1}(x^8+2x+3)^{20}\) iv) \(\lim_{x\to3}[(x-5)^3|x^2-2x-3|]\) v) \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^4+2x-5}{x+3}\) vi) \(\lim_{x\to0}\dfrac{|x^2-3x|+|x-2|}{x^2+x+1}\) vii) \(\lim_{x\to1}\sqrt[3]{(x+2)^2}\) viii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x^2+4x+3}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε όλα τα υποερωτήματα ο παρονομαστής (όπου υπάρχει) δεν μηδενίζεται στο \(x_0\), άρα εφαρμόζεται απευθείας αντικατάσταση με τις ιδιότητες ορίων (πολυώνυμο/ρητή/απόλυτη τιμή/ρίζα).

Λύση:

1. i) \(0^5-4\cdot0^3-2\cdot0+5=5\).
2. ii) \(1-2+1-1=-1\).
3. iii) \(((-1)^8+2(-1)+3)^{20}=(1-2+3)^{20}=2^{20}\).
4. iv) \((3-5)^3\cdot|9-6-3|=(-2)^3\cdot|0|=-8\cdot0=0\).
5. v) \(\dfrac{1+2-5}{1+3}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12\).
6. vi) \(\dfrac{|0-0|+|0-2|}{0+0+1}=\dfrac{0+2}{1}=2\).
7. vii) \(\sqrt[3]{(1+2)^2}=\sqrt[3]{9}\).
8. viii) Ο παρονομαστής στο \(x=1\) είναι \(1+4+3=8\neq0\), άρα άμεση αντικατάσταση: \(\dfrac{\sqrt{1+1+2}-2}{8}=\dfrac{\sqrt4-2}{8}=\dfrac{0}{8}=0\).

Απάντηση: i) 5 ii) -1 iii) \(2^{20}\) iv) 0 v) \(-\dfrac12\) vi) 2 vii) \(\sqrt[3]{9}\) viii) 0.

Άσκηση 2 (σελ. 56)

Έστω μια συνάρτηση \(f\) με \(\lim_{x\to2}f(x)=4\). Να βρείτε το \(\lim g(x)\) αν: i) \(g(x)=3(f(x))^2-5\) ii) \(g(x)=\dfrac{|2f(x)-11|}{(f(x))^2+1}\) iii) \(g(x)=(f(x)+2)(f(x)-3)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θέτουμε \(L=\lim_{x\to2}f(x)=4\) και αντικαθιστούμε σε κάθε παράσταση, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες πράξεων ορίων.

Λύση:

1. i) \(3\cdot4^2-5=3\cdot16-5=48-5=43\).
2. ii) \(\dfrac{|2\cdot4-11|}{4^2+1}=\dfrac{|8-11|}{17}=\dfrac{3}{17}\).
3. iii) \((4+2)(4-3)=6\cdot1=6\).

Απάντηση: i) 43 ii) \(\dfrac{3}{17}\) iii) 6.

Άσκηση 3 (σελ. 56)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^4-16}{x^3-8}\) ii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}\) iii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{1-\frac1x}{1-\frac1{x^2}}\) iv) \(\lim_{x\to0}\dfrac{(x+3)^3-27}{x}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση ο παρονομαστής μηδενίζεται στο \(x_0\)· παραγοντοποιούμε αριθμητή/παρονομαστή και απλοποιούμε τον κοινό παράγοντα πριν την αντικατάσταση.

Λύση:

1. i) \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\), \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). Απλοποίηση: \(\dfrac{(x+2)(x^2+4)}{x^2+2x+4}\to\dfrac{4\cdot8}{12}=\dfrac{32}{12}=\dfrac83\).
2. ii) \(2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Απλοποίηση: \(\dfrac{2x-1}{x+1}\to\dfrac{1}{2}\).
3. iii) \(1-\frac1x=\dfrac{x-1}{x}\), \(1-\frac1{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}\). Λόγος: \(\dfrac{(x-1)/x}{(x-1)(x+1)/x^2}=\dfrac{x}{x+1}\to\dfrac12\).
4. iv) \((x+3)^3-27=x^3+9x^2+27x+27-27=x^3+9x^2+27x=x(x^2+9x+27)\). Διαιρώντας με \(x\): \(x^2+9x+27\to27\).

Απάντηση: i) \(\dfrac83\) ii) \(\dfrac12\) iii) \(\dfrac12\) iv) 27.

Άσκηση 4 (σελ. 57)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to9}\dfrac{3-\sqrt{x}}{9-x}\) ii) \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\) iii) \(\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x^2+5}-3}\) iv) \(\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^2-5x+4}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την κατάλληλη συζυγή παράσταση ώστε να εξαφανιστεί η ρίζα και να προκύψει κοινός παράγοντας προς απλοποίηση.

Λύση:

1. i) \(9-x=(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})\), άρα ο λόγος \(=\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}\to\dfrac{1}{6}\).
2. ii) Πολλαπλασιάζουμε με \(1+\sqrt{1-x^2}\): \(\dfrac{1-(1-x^2)}{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}\to\dfrac{1}{2}\).
3. iii) Αριθμητής: \(\sqrt{x+2}-2=\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}\). Παρονομαστής: \(\sqrt{x^2+5}-3=\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}\). Λόγος \(=\dfrac{\sqrt{x^2+5}+3}{(x+2)(\sqrt{x+2}+2)}\to\dfrac{6}{4\cdot4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38\).
4. iv) \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\), \(\sqrt{x}-2=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}+2}\). Λόγος \(=\dfrac{1}{(\sqrt{x}+2)(x-1)}\to\dfrac{1}{4\cdot3}=\dfrac1{12}\).

Απάντηση: i) \(\dfrac16\) ii) \(\dfrac12\) iii) \(\dfrac38\) iv) \(\dfrac1{12}\).

Άσκηση 5 (σελ. 57)

Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της \(f\) στο \(x_0\), αν: i) \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq1\\5x, & x>1\end{cases}\) και \(x_0=1\) ii) \(f(x)=\begin{cases}-2x, & x<-1\\x^2+1, & x\geq-1\end{cases}\) και \(x_0=-1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε χωριστά το αριστερό και το δεξιό πλευρικό όριο από τον αντίστοιχο κλάδο και συγκρίνουμε.

Λύση:

1. i) \(\lim_{x\to1^-}x^2=1\), \(\lim_{x\to1^+}5x=5\). Διαφορετικά ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο.
2. ii) \(\lim_{x\to-1^-}(-2x)=2\), \(\lim_{x\to-1^+}(x^2+1)=1+1=2\). Ίσα ⟹ \(\lim_{x\to-1}f(x)=2\).

Απάντηση: i) Δεν υπάρχει. ii) 2.

Άσκηση 6 (σελ. 57)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\eta\mu3x}{x}\) ii) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\epsilon\varphi x}{x}\) iii) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\epsilon\varphi4x}{\eta\mu2x}\) iv) \(\lim_{x\to0}\dfrac{x-\eta\mu x}{x}\) v) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\eta\mu x}{x^3+x}\) vi) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\eta\mu5x}{\sqrt{5x+4}-2}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάγουμε κάθε παράσταση στο θεμελιώδες όριο \(\lim_{u\to0}\frac{\eta\mu u}{u}=1\) με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής (\(u=\kappa x\)), χρησιμοποιώντας \(\epsilon\varphi x=\eta\mu x/\sigma\upsilon\nu x\) όπου χρειάζεται, και συζυγή παράσταση στο (vi).

Λύση:

1. i) \(\dfrac{\eta\mu3x}{x}=3\cdot\dfrac{\eta\mu3x}{3x}\to3\cdot1=3\).
2. ii) \(\dfrac{\epsilon\varphi x}{x}=\dfrac{\eta\mu x}{x}\cdot\dfrac1{\sigma\upsilon\nu x}\to1\cdot1=1\).
3. iii) \(\dfrac{\epsilon\varphi4x}{\eta\mu2x}=\dfrac{\eta\mu4x}{\sigma\upsilon\nu4x\cdot\eta\mu2x}=\dfrac{4\cdot\frac{\eta\mu4x}{4x}}{2\cdot\sigma\upsilon\nu4x\cdot\frac{\eta\mu2x}{2x}}\to\dfrac{4\cdot1}{2\cdot1\cdot1}=2\).
4. iv) \(\dfrac{x-\eta\mu x}{x}=1-\dfrac{\eta\mu x}{x}\to1-1=0\).
5. v) \(\dfrac{\eta\mu x}{x^3+x}=\dfrac{\eta\mu x}{x}\cdot\dfrac1{x^2+1}\to1\cdot1=1\).
6. vi) Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τη συζυγή: \((\sqrt{5x+4}-2)(\sqrt{5x+4}+2)=5x\). Άρα \(\dfrac{\eta\mu5x}{\sqrt{5x+4}-2}=\eta\mu5x\cdot\dfrac{\sqrt{5x+4}+2}{5x}=\dfrac{\eta\mu5x}{5x}\cdot(\sqrt{5x+4}+2)\to1\cdot(2+2)=4\).

Απάντηση: i) 3 ii) 1 iii) 2 iv) 0 v) 1 vi) 4.

Άσκηση 7 (σελ. 57)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to\pi}\dfrac{\eta\mu^2x}{1+\sigma\upsilon\nu x}\) ii) \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu^2x}{\eta\mu2x}\) iii) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\eta\mu x}{\eta\mu2x}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε \(\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\) και \(\sin2x=2\sin x\cos x\) για να απλοποιήσουμε τη μορφή \(0/0\) πριν την αντικατάσταση.

Λύση:

1. i) \(\eta\mu^2x=(1-\sigma\upsilon\nu x)(1+\sigma\upsilon\nu x)\), άρα ο λόγος \(=1-\sigma\upsilon\nu x\to1-(-1)=2\).
2. ii) \(1-\sigma\upsilon\nu^2x=\eta\mu^2x\), \(\eta\mu2x=2\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x\). Λόγος \(=\dfrac{\eta\mu^2x}{2\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x}=\dfrac{\eta\mu x}{2\sigma\upsilon\nu x}\to\dfrac{0}{2}=0\).
3. iii) \(\eta\mu2x=2\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x\), άρα \(\dfrac{\eta\mu x}{\eta\mu2x}=\dfrac{1}{2\sigma\upsilon\nu x}\to\dfrac12\).

Απάντηση: i) 2 ii) 0 iii) \(\dfrac12\).

Άσκηση 8 (σελ. 57)

Να βρείτε το \(\lim_{x\to0}f(x)\), αν: i) \(1-x^2\leq f(x)\leq1+x^2\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) ii) \(1-x^4\leq f(x)\leq\dfrac1{\sigma\upsilon\nu^2x}\) για κάθε \(x\in\left(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε απευθείας το κριτήριο παρεμβολής: υπολογίζουμε τα όρια των δύο ορίων-φραγμάτων στο \(x\to0\) και, αν συμπίπτουν, αυτό είναι και το όριο της \(f\).

Λύση:

1. i) \(\lim_{x\to0}(1-x^2)=1=\lim_{x\to0}(1+x^2)\) ⟹ \(\lim_{x\to0}f(x)=1\).
2. ii) \(\lim_{x\to0}(1-x^4)=1\), \(\lim_{x\to0}\dfrac1{\sigma\upsilon\nu^2x}=\dfrac1{1}=1\) ⟹ \(\lim_{x\to0}f(x)=1\).

Απάντηση: i) 1 ii) 1.

Άσκηση 9 (σελ. 57)

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\begin{cases}2\alpha x+\beta, & x\leq3\\\alpha x+3\beta, & x>3\end{cases}\). Να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), για τις οποίες ισχύει \(\lim_{x\to3}f(x)=10\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το όριο υπάρχει και ισούται με 10 ακριβώς όταν και τα δύο πλευρικά όρια στο \(x_0=3\) ισούνται με 10 — αυτό δίνει γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων στα \(\alpha,\beta\).

Λύση:

1. Αριστερό όριο: \(\lim_{x\to3^-}(2\alpha x+\beta)=6\alpha+\beta\). Δεξιό όριο: \(\lim_{x\to3^+}(\alpha x+3\beta)=3\alpha+3\beta\).
2. Απαιτούμε και τα δύο ίσα με 10: \(6\alpha+\beta=10\) και \(3\alpha+3\beta=10\).
3. Από την πρώτη: \(\beta=10-6\alpha\). Αντικαθιστούμε στη δεύτερη: \(3\alpha+3(10-6\alpha)=10\Rightarrow3\alpha+30-18\alpha=10\Rightarrow-15\alpha=-20\Rightarrow\alpha=\dfrac{4}{3}\).
4. Τότε \(\beta=10-6\cdot\dfrac43=10-8=2\).

Απάντηση: \(\alpha=\dfrac43\) και \(\beta=2\).

Άσκηση Β1 (σελ. 57)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^3-x^2-x-2}{x^3-8}\) ii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^{\nu+1}-(\nu+1)x+\nu}{x-1}\) iii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Παραγοντοποιούμε με το σχήμα Horner (ρίζα \(x=2\)). ii) Αναγνωρίζουμε ότι \(x^{\nu+1}-(\nu+1)x+\nu=x^{\nu+1}-1-(\nu+1)(x-1)\), δηλαδή είναι το "υπόλοιπο" της εφαπτομένης της \(x^{\nu+1}\) στο \(x=1\) — ελέγχουμε το αποτέλεσμα και για συγκεκριμένες τιμές του \(\nu\) (π.χ. \(\nu=1,2\)) ώστε να επιβεβαιώσουμε το γενικό πρότυπο. iii) Θέτουμε \(t=\sqrt{x}\) για να μετατρέψουμε την παράσταση σε πολυωνυμική στο \(t\).

Λύση:

1. i) Με Horner στο \(x^3-x^2-x-2\) με ρίζα \(x=2\): πηλίκο \(x^2+x+1\), άρα αριθμητής \(=(x-2)(x^2+x+1)\). Παρονομαστής: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). Λόγος \(\to\dfrac{4+2+1}{4+4+4}=\dfrac7{12}\).
2. ii) Έλεγχος για \(\nu=1\): αριθμητής \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), λόγος \(=(x-1)\to0\). Για \(\nu=2\): αριθμητής \(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\) (επαλήθευση: \(x=1\Rightarrow0\), παραγοντοποίηση με Horner δύο φορές), λόγος \(=(x-1)(x+2)\to0\). Το πρότυπο επαληθεύεται: γενικά \(x^{\nu+1}-(\nu+1)x+\nu=x^{\nu+1}-1-(\nu+1)(x-1)\), και το πηλίκο διά \((x-1)\) τείνει πάντα στο 0 καθώς \(x\to1\) (η παράσταση μηδενίζεται σε τάξη \((x-1)^2\)).
3. iii) Θέτουμε \(t=\sqrt{x}\ (t>0)\), οπότε \(x=t^2\) και \(x\to1\Leftrightarrow t\to1\). Αριθμητής: \(t^2-1=(t-1)(t+1)\). Παρονομαστής: \(t^2\cdot t+t-2=t^3+t-2\); με Horner (ρίζα \(t=1\)): \(=(t-1)(t^2+t+2)\). Λόγος \(=\dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+2)}=\dfrac{t+1}{t^2+t+2}\to\dfrac{2}{4}=\dfrac12\).

Απάντηση: i) \(\dfrac7{12}\) ii) 0 (για κάθε \(\nu\in\mathbb{N}^*\)) iii) \(\dfrac12\).

Πρόσεξε:

• Στο (ii) το αποτέλεσμα 0 επαληθεύτηκε με άμεση αντικατάσταση για \(\nu=1\) και \(\nu=2\) (όχι μόνο θεωρητικό επιχείρημα), ενισχύοντας την εμπιστοσύνη στη γενική απάντηση.

Άσκηση Β2 (σελ. 58)

Να βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν: i) \(\lim_{x\to-5}\dfrac{\sqrt{x^2+10x+25}}{x+5}\) ii) \(\lim_{x\to5^-}\dfrac{|x-5|+x^2-4x-5}{x-5}\) iii) \(\lim_{x\to5^+}\dfrac{|x-5|+x^2-4x-5}{x-5}\) iv) \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στα (i)-(iii) η απόλυτη τιμή αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου — εξετάζουμε πλευρικά. Στο (iv) θέτουμε \(t=\sqrt{x}\) για να απαλείψουμε τη ρίζα.

Λύση:

1. i) \(x^2+10x+25=(x+5)^2\), άρα \(\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\) και ο λόγος \(=\dfrac{|x+5|}{x+5}\). Για \(x>-5\): \(=1\)· για \(x<-5\): \(=-1\). Διαφορετικά πλευρικά όρια ⟹ το (αμφίπλευρο) όριο ΔΕΝ υπάρχει.
2. ii) Για \(x<5\): \(|x-5|=5-x\). Αριθμητής: \((5-x)+x^2-4x-5=x^2-5x=x(x-5)\). Λόγος \(=x\to5\) καθώς \(x\to5^-\).
3. iii) Για \(x>5\): \(|x-5|=x-5\). Αριθμητής: \((x-5)+x^2-4x-5=x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\). Λόγος \(=x+2\to7\) καθώς \(x\to5^+\).
4. iv) Θέτουμε \(t=\sqrt{x}\to1\). Αριθμητής: \(t^4-t=t(t-1)(t^2+t+1)\). Παρονομαστής: \(t-1\). Λόγος \(=t(t^2+t+1)\to1\cdot3=3\).

Απάντηση: i) Δεν υπάρχει. ii) 5. iii) 7. iv) 3.

Άσκηση Β3 (σελ. 58)

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο \(AB\Gamma\) είναι ορθογώνιο (ορθή στο \(A\)) με \(\gamma=AB=1\), \(\beta=A\Gamma\), \(\alpha=B\Gamma\) (υποτείνουσα), και γωνία \(\theta\) στο \(B\). Να υπολογίσετε τα όρια: i) \(\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}(\alpha-\beta)\) ii) \(\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}(\alpha^2-\beta^2)\) iii) \(\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\beta}{\alpha}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από το ορθογώνιο τρίγωνο με \(\gamma=1\) προσδιορίζουμε \(\alpha=\sec\theta=\dfrac1{\sigma\upsilon\nu\theta}\) (υποτείνουσα \(=\) προσκείμενη/\(\cos\theta\)) και \(\beta=\epsilon\varphi\theta=\dfrac{\eta\mu\theta}{\sigma\upsilon\nu\theta}\) (απέναντι \(=\) υποτείνουσα\(\cdot\sin\theta\)), και μετά υπολογίζουμε κάθε όριο.

Λύση:

1. Από \(\cos\theta=\gamma/\alpha=1/\alpha\Rightarrow\alpha=1/\cos\theta\), και \(\sin\theta=\beta/\alpha\Rightarrow\beta=\alpha\sin\theta=\eta\mu\theta/\sigma\upsilon\nu\theta\).
2. i) \(\alpha-\beta=\dfrac{1-\eta\mu\theta}{\sigma\upsilon\nu\theta}\). Θέτουμε \(\varphi=\frac{\pi}{2}-\theta\to0\): \(\sigma\upsilon\nu\theta=\eta\mu\varphi\), \(\eta\mu\theta=\sigma\upsilon\nu\varphi\), άρα η παράσταση γίνεται \(\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu\varphi}{\eta\mu\varphi}=\dfrac{(1-\sigma\upsilon\nu\varphi)/\varphi}{\eta\mu\varphi/\varphi}\to\dfrac{0}{1}=0\).
3. ii) \(\alpha^2-\beta^2=\sec^2\theta-\epsilon\varphi^2\theta=1\) (τριγωνομετρική ταυτότητα, σταθερή τιμή ανεξάρτητη του \(\theta\)) ⟹ το όριο είναι \(1\).
4. iii) \(\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\epsilon\varphi\theta}{\sec\theta}=\epsilon\varphi\theta\cdot\sigma\upsilon\nu\theta=\eta\mu\theta\to\eta\mu\dfrac{\pi}{2}=1\).

Απάντηση: i) 0 ii) 1 iii) 1.

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Χρειάζεται το σχήμα του βιβλίου για επιβεβαίωση της ακριβούς τοποθέτησης των πλευρών/γωνίας — η αντιστοίχιση \(\alpha=\sec\theta,\beta=\tan\theta\) βασίστηκε στη λεκτική περιγραφή (ορθή γωνία στο A, γ=AB=1 προσκείμενη στο θ).

Άσκηση Β4 (σελ. 58)

Να βρείτε το \(\lim_{x\to1}f(x)\), αν: i) \(\lim_{x\to1}(4f(x)+2-4x)=-10\) ii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Γράφουμε \(4f(x)=[4f(x)+2-4x]-(2-4x)\) και χρησιμοποιούμε ότι και οι δύο όροι στα δεξιά έχουν γνωστό όριο. ii) Γράφουμε \(f(x)=\dfrac{f(x)}{x-1}\cdot(x-1)\) και χρησιμοποιούμε το γινόμενο ορίων.

Λύση:

1. i) \(4f(x)=[4f(x)+2-4x]+4x-2\). Το πρώτο αγκύλωμα έχει όριο \(-10\), το \(4x-2\) έχει όριο \(4\cdot1-2=2\). Άρα \(\lim_{x\to1}4f(x)=-10+2=-8\Rightarrow\lim_{x\to1}f(x)=-2\).
2. ii) \(f(x)=\dfrac{f(x)}{x-1}\cdot(x-1)\). Το πρώτο έχει όριο \(1\), το δεύτερο όριο \(0\). Άρα \(\lim_{x\to1}f(x)=1\cdot0=0\).

Απάντηση: i) \(-2\) ii) 0.