Κεφάλαιο 1.3 – Μονότονες Συναρτήσεις – Αντίστροφη Συνάρτηση (σελ. 38-39) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση 1 (σελ. 38)

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες: i) \(f(x)=\sqrt{1-x}\) ii) \(f(x)=2\ln(x-2)-1\) iii) \(f(x)=3e^{1-x}+1\) iv) \(f(x)=(x-1)^2-1,\ x\leq 1\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση εντοπίζουμε το εσωτερικό γραμμικό κομμάτι (\(1-x\), \(x-2\), \(1-x\), \(x-1\)) και συνδυάζουμε τη μονοτονία του με τη μονοτονία της εξωτερικής βασικής συνάρτησης (ρίζα/λογάριθμος/εκθετική/τετράγωνο — όλες αύξουσες στο θετικό τους πεδίο).

Λύση:

1. i) Το \(1-x\) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του \(x\)· η \(\sqrt{\cdot}\) είναι αύξουσα. Σύνθεση αύξουσας με φθίνουσα ⟹ \(f\) γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,1]\).
2. ii) Το \(x-2\) είναι γνησίως αύξουσα· ο \(\ln\) είναι αύξουσα· ο συντελεστής \(2>0\) διατηρεί τη φορά. Άρα \(f\) γνησίως αύξουσα στο \((2,+\infty)\).
3. iii) Το \(1-x\) είναι γνησίως φθίνουσα· η εκθετική \(e^{\cdot}\) είναι αύξουσα· σύνθεση αύξουσας με φθίνουσα ⟹ φθίνουσα. Άρα \(f\) γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\).
4. iv) Για \(x\leq 1\), το \(x-1\leq 0\) είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του \(x\), αλλά παίρνει μη θετικές τιμές· το τετράγωνο σε μη θετικό διάστημα είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση (καθώς το \(x-1\) πλησιάζει το \(0\) από τα αριστερά, το τετράγωνό του ελαττώνεται). Άρα \(f\) γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,1]\).

Απάντηση: i) γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,1]\) ii) γνησίως αύξουσα στο \((2,+\infty)\) iii) γνησίως φθίνουσα στο \(\mathbb{R}\) iv) γνησίως φθίνουσα στο \((-\infty,1]\).

Πρόσεξε:

• Κανόνας σύνθεσης μονοτονίας: αύξουσα∘αύξουσα=αύξουσα, φθίνουσα∘φθίνουσα=αύξουσα, αύξουσα∘φθίνουσα=φθίνουσα∘αύξουσα=φθίνουσα.

Άσκηση 2 (σελ. 38)

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 και για καθεμία να βρείτε την αντίστροφή της: i) \(f(x)=3x-2\) ii) \(f(x)=x^2+1\) iii) \(f(x)=(x-1)(x-2)+1\) iv) \(f(x)=\sqrt[3]{1-x}\) v) \(f(x)=\ln(1-x)\) vi) \(f(x)=e^x+1\) vii) \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\) viii) \(f(x)=|x-1|\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για κάθε περίπτωση: αν βρούμε δύο τιμές \(x_1\ne x_2\) με \(f(x_1)=f(x_2)\), τότε ΔΕΝ είναι 1-1· αλλιώς λύνουμε \(y=f(x)\) ως προς \(x\).

Λύση:

1. i) Γραμμική με \(\alpha=3\neq0\) ⟹ 1-1. \(y=3x-2\Rightarrow x=\dfrac{y+2}{3}\): \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3},\ x\in\mathbb{R}\).
2. ii) \(f(-1)=f(1)=2\) με \(-1\neq1\) ⟹ ΔΕΝ είναι 1-1.
3. iii) \(f(x)=x^2-3x+3\), παραβολή με άξονα συμμετρίας \(x=3/2\), π.χ. \(f(1)=1=f(2)\) ⟹ ΔΕΝ είναι 1-1.
4. iv) Πεδίο ορισμού \(x\leq1\) (σύμβαση βιβλίου, βλ. §1.2). Το \(1-x\geq0\) είναι γνησίως φθίνουσα, η \(\sqrt[3]{\cdot}\) αύξουσα ⟹ \(f\) γνησίως φθίνουσα ⟹ 1-1. \(y=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow y^3=1-x\Rightarrow x=1-y^3\): \(f^{-1}(x)=1-x^3,\ x\geq0\) (αφού το σύνολο τιμών της \(f\) είναι \([0,+\infty)\)).
5. v) Πεδίο ορισμού \(x<1\). Το \(1-x\) γνησίως φθίνουσα, ο \(\ln\) αύξουσα ⟹ \(f\) γνησίως φθίνουσα ⟹ 1-1. \(y=\ln(1-x)\Rightarrow e^y=1-x\Rightarrow x=1-e^y\): \(f^{-1}(x)=1-e^x,\ x\in\mathbb{R}\) (το σύνολο τιμών της \(f\) είναι όλο το \(\mathbb{R}\)).
6. vi) Γνησίως αύξουσα (εκθετική) ⟹ 1-1. \(y=e^x+1\Rightarrow e^x=y-1\Rightarrow x=\ln(y-1)\): \(f^{-1}(x)=\ln(x-1),\ x>1\).
7. vii) Έστω \(f(x_1)=f(x_2)\): \(\dfrac{e^{x_1}-1}{e^{x_1}+1}=\dfrac{e^{x_2}-1}{e^{x_2}+1}\Rightarrow (e^{x_1}-1)(e^{x_2}+1)=(e^{x_2}-1)(e^{x_1}+1)\Rightarrow e^{x_1}e^{x_2}+e^{x_1}-e^{x_2}-1=e^{x_1}e^{x_2}+e^{x_2}-e^{x_1}-1\Rightarrow 2e^{x_1}=2e^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\) ⟹ 1-1. Για την αντίστροφη: \(y(e^x+1)=e^x-1\Rightarrow e^x(y-1)=-(y+1)\Rightarrow e^x=\dfrac{1+y}{1-y}\Rightarrow x=\ln\dfrac{1+y}{1-y}\): \(f^{-1}(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x},\ x\in(-1,1)\).
8. viii) \(f(0)=f(2)=1\) με \(0\neq2\) ⟹ ΔΕΝ είναι 1-1.

Απάντηση: 1-1 και αντιστρέφονται: i) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}\) iv) \(f^{-1}(x)=1-x^3,\ x\geq0\) v) \(f^{-1}(x)=1-e^x\) vi) \(f^{-1}(x)=\ln(x-1),\ x>1\) vii) \(f^{-1}(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x},\ x\in(-1,1)\). ΔΕΝ είναι 1-1: ii, iii, viii.

Πρόσεξε:

• Στο (vi) η επίσημη απάντηση του βιβλίου τυπώνει «\(f^{-1}(x)=\ln\frac{1}{x-1}\)» — αυτό είναι λάθος/εξαγωγικό σφάλμα: για \(f(x)=e^x+1\), η ορθή αντίστροφη είναι \(f^{-1}(x)=\ln(x-1)\) (ΧΩΡΙΣ το κλάσμα \(1/(x-1)\)), όπως προκύπτει άμεσα λύνοντας \(y=e^x+1\). Η γειτονική άσκηση (vii) της ίδιας πηγής επαληθεύτηκε bit-for-bit σωστή, γεγονός που ενισχύει την υπόθεση μεμονωμένου σφάλματος μόνο στο (vi).

Άσκηση 3 (σελ. 38)

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f,g,\varphi\) και \(\psi\) (βλ. σχήματα βιβλίου). Να βρείτε ποιες από αυτές έχουν αντίστροφη και να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε το κριτήριο της οριζόντιας ευθείας σε κάθε γραφική παράσταση: αν μια οριζόντια ευθεία την τέμνει σε περισσότερα από ένα σημεία, η συνάρτηση δεν είναι 1-1.

Λύση:

1. \(f\): καμπύλη τύπου S, γνησίως μονότονη (αύξουσα) σε όλο το πεδίο ορισμού ⟹ 1-1 ⟹ έχει αντίστροφη.
2. \(g\): παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και μετά τοπικό ελάχιστο (δεν είναι μονότονη) — μια οριζόντια ευθεία κοντά στο ύψος αυτών των ακροτάτων την τέμνει σε περισσότερα από ένα σημεία ⟹ ΔΕΝ είναι 1-1 ⟹ δεν έχει αντίστροφη.
3. \(\varphi\): ευθύγραμμο τμήμα (αύξον) για \(x<0\) συνδεδεμένο με αύξουσα καμπύλη για \(x>0\) — συνολικά γνησίως αύξουσα ⟹ 1-1 ⟹ έχει αντίστροφη.
4. \(\psi\): φθίνουσα και στους δύο κλάδους της, χωρίς τοπικά ακρότατα ενδιάμεσα ⟹ γνησίως φθίνουσα ⟹ 1-1 ⟹ έχει αντίστροφη.
5. Η γραφική παράσταση κάθε αντίστροφης προκύπτει με συμμετρία της αντίστοιχης \(C_f, C_\varphi, C_\psi\) ως προς την ευθεία \(y=x\).

Απάντηση: Έχουν αντίστροφη οι \(f,\varphi,\psi\) (γνησίως μονότονες). Η \(g\) ΔΕΝ έχει αντίστροφη (παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και ελάχιστο, άρα δεν είναι 1-1).

(⚠️ υπό επαλήθευση — βλ. σημείωση παρακάτω)

Πρόσεξε:

• Χρειάζεται η εικόνα του βιβλίου για την ακριβή χάραξη — η αναγνώριση 1-1/όχι-1-1 βασίστηκε σε λεκτική περιγραφή της μορφής κάθε γραφικής, όχι σε άμεση όραση του σχήματος.

Άσκηση 4 (σελ. 39)

Να δείξετε ότι: i) Αν η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα σε \(\Delta\), τότε η \(-f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\Delta\). ii) Αν \(f,g\) γνησίως αύξουσες σε \(\Delta\), τότε η \(f+g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\Delta\). iii) Αν \(f,g\) γνησίως αύξουσες σε \(\Delta\) με \(f(x)\geq0,\ g(x)\geq0\) για κάθε \(x\in\Delta\), τότε η \(fg\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\Delta\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ξεκινάμε πάντα από \(x_1,x_2\in\Delta\) με \(x_1<x_2\) και δουλεύουμε με τις ανισότητες που δίνει η υπόθεση.

Λύση:

1. i) Έστω \(x_1<x_2\) στο \(\Delta\). Αφού \(f\) γνησίως αύξουσα: \(f(x_1)<f(x_2)\). Πολλαπλασιάζοντας με \(-1\) (αντιστροφή φοράς): \(-f(x_1)>-f(x_2)\), δηλαδή \((-f)(x_1)>(-f)(x_2)\). Άρα \(-f\) γνησίως φθίνουσα.
2. ii) Έστω \(x_1<x_2\). Τότε \(f(x_1)<f(x_2)\) και \(g(x_1)<g(x_2)\). Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο ανισότητες: \(f(x_1)+g(x_1)<f(x_2)+g(x_2)\), δηλαδή \((f+g)(x_1)<(f+g)(x_2)\). Άρα \(f+g\) γνησίως αύξουσα.
3. iii) Έστω \(x_1<x_2\). Τότε \(0\leq f(x_1)<f(x_2)\) και \(0\leq g(x_1)<g(x_2)\). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη δύο ανισότητες μη αρνητικών αριθμών (ιδιότητα διάταξης): \(f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_2)\), δηλαδή \((fg)(x_1)<(fg)(x_2)\). Άρα \(fg\) γνησίως αύξουσα.

Απάντηση: Και οι τρεις ιδιότητες αποδεικνύονται απευθείας από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας/φθίνουσας συνάρτησης, όπως στη λύση. Ανάλογα αποδεικνύονται και για γνησίως φθίνουσες \(f,g\).

Πρόσεξε:

• Στο (iii) η υπόθεση \(f(x)\geq0, g(x)\geq0\) είναι απαραίτητη — χωρίς αυτήν, το γινόμενο δύο αυξουσών συναρτήσεων ΔΕΝ είναι υποχρεωτικά αύξον (π.χ. \(f(x)=g(x)=x\) και τα δύο αύξοντα, αλλά \(fg(x)=x^2\) δεν είναι μονότονη σε όλο το \(\mathbb{R}\)).