Κεφάλαιο 1.6 – Μη Πεπερασμένο Όριο στο x0∈ℝ (σελ. 63-64) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση Α1 (σελ. 63)

Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της \(f\) στο \(x_0\), όταν: i) \(f(x)=\dfrac{x+5}{x^4+3x^2},\ x_0=0\) ii) \(f(x)=\dfrac{2x-3}{4(x-1)^4},\ x_0=1\) iii) \(f(x)=\dfrac1x-\dfrac1{|x|},\ x_0=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στα (i),(ii) ο παρονομαστής έχει ζυγό εκθέτη ⟹ πρόσημο σταθερό (θετικό) και από τις δύο πλευρές, άρα δεν χρειάζεται πλευρικός διαχωρισμός. Στο (iii) εξετάζουμε χωριστά \(x>0\) και \(x<0\) λόγω της \(|x|\).

Λύση:

1. i) \(x^4+3x^2=x^2(x^2+3)\geq0\), με ισότητα μόνο στο \(x=0\)· κοντά στο 0 (\(x\neq0\)) είναι \(>0\). Άρα \(\lim_{x\to0}\dfrac1{x^4+3x^2}=+\infty\). Αφού \(\lim_{x\to0}(x+5)=5>0\): \(\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\).
2. ii) \(4(x-1)^4\geq0\), κοντά στο 1 (\(x\neq1\)) είναι \(>0\). Άρα \(\lim_{x\to1}\dfrac1{4(x-1)^4}=+\infty\). Αφού \(\lim_{x\to1}(2x-3)=-1<0\): \(\lim_{x\to1}f(x)=-\infty\).
3. iii) Για \(x>0\): \(|x|=x\), άρα \(f(x)=\frac1x-\frac1x=0\), οπότε \(\lim_{x\to0^+}f(x)=0\). Για \(x<0\): \(|x|=-x\), άρα \(f(x)=\frac1x+\frac1x=\frac2x\), οπότε \(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac2x=-\infty\). Τα πλευρικά όρια διαφέρουν (ένα πεπερασμένο, ένα άπειρο) ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο.

Απάντηση: i) \(+\infty\) ii) \(-\infty\) iii) Δεν υπάρχει.

Πρόσεξε:

• Οι υπο-ασκήσεις 1 (αυτή) και 2 (επόμενη εγγραφή) βρίσκονται στον ΙΔΙΟ κόμβο-πηγή του βιβλίου (ενιαίο block «ΑΣΚΗΣΕΙΣ | Α΄ ΟΜΑΔΑΣ» χωρίς ξεχωριστά id ανά αριθμημένη άσκηση) — γι' αυτό μοιράζονται το ίδιο πραγματικό id_πηγης, όπως τεκμηριώνεται και εδώ.

Άσκηση Α2 (σελ. 63)

Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της \(f\) στο \(x_0\), όταν: i) \(f(x)=\dfrac3{1-x}-\dfrac4{1-x^2},\ x_0=1\) ii) \(f(x)=\dfrac{x^2+3x-2}{x|x|},\ x_0=0\) iii) \(f(x)=x^2\left(1+\dfrac1{x^3}\right),\ x_0=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Κοινός παρονομαστής \(1-x^2=(1-x)(1+x)\), απλοποίηση σε ενιαίο κλάσμα και μετά ανάλυση προσήμου. ii),iii) Εξετάζουμε χωριστά \(x>0\) και \(x<0\).

Λύση:

1. i) \(\dfrac3{1-x}=\dfrac{3(1+x)}{(1-x)(1+x)}\), άρα \(f(x)=\dfrac{3(1+x)-4}{(1-x)(1+x)}=\dfrac{3x-1}{(1-x)(1+x)}\). Κοντά στο 1: αριθμητής \(\to2>0\), \((1+x)\to2>0\)· το \((1-x)\) αλλάζει πρόσημο: \(>0\) για \(x<1\), \(<0\) για \(x>1\). Άρα \(\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty\) και \(\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty\) — διαφορετικά ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο.
2. ii) Για \(x>0\): \(x|x|=x^2\), \(f(x)=\dfrac{x^2+3x-2}{x^2}\to\dfrac{-2}{0^+}=-\infty\) καθώς \(x\to0^+\) (αριθμητής \(\to-2\)). Για \(x<0\): \(x|x|=-x^2\), \(f(x)=\dfrac{x^2+3x-2}{-x^2}\to\dfrac{-2}{0^-}=+\infty\) καθώς \(x\to0^-\). Διαφορετικά (και άπειρα με αντίθετο πρόσημο) ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο.
3. iii) \(f(x)=x^2+\dfrac{x^2}{x^3}=x^2+\dfrac1x\). Καθώς \(x\to0\), το \(x^2\to0\) αλλά το \(\frac1x\) κυριαρχεί: \(\lim_{x\to0^+}f(x)=0+\infty=+\infty\), \(\lim_{x\to0^-}f(x)=0-\infty=-\infty\). Διαφορετικά ⟹ ΔΕΝ υπάρχει όριο.

Απάντηση: i) Δεν υπάρχει. ii) Δεν υπάρχει. iii) Δεν υπάρχει.

Πρόσεξε:

• Μοιράζεται το ίδιο πραγματικό id_πηγης με την προηγούμενη εγγραφή (βλ. σημείωση εκεί) — ενιαίος κόμβος-πηγή «ΑΣΚΗΣΕΙΣ | Α΄ ΟΜΑΔΑΣ» με δύο αριθμημένες ασκήσεις μέσα του.

Άσκηση Β1 (σελ. 64)

Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το \(\lim_{x\to4}\dfrac{-9}{x\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}+8}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θέτουμε \(t=\sqrt{x}\ (t\geq0)\), οπότε \(x=t^2\) και \(x\to4\Leftrightarrow t\to2\). Ο παρονομαστής γίνεται πολυώνυμο του \(t\), το οποίο παραγοντοποιούμε.

Λύση:

1. Με \(t=\sqrt{x}\): παρονομαστής \(=t^2\cdot t-2t^2-4t+8=t^3-2t^2-4t+8\).
2. Ομαδοποίηση: \(t^2(t-2)-4(t-2)=(t-2)(t^2-4)=(t-2)(t-2)(t+2)=(t-2)^2(t+2)\).
3. Κοντά στο \(t=2\) (\(t\neq2\)): \((t-2)^2>0\) (τέλειο τετράγωνο, ίδιο πρόσημο και από τις δύο πλευρές) και \((t+2)\to4>0\). Άρα ο παρονομαστής \(\to0^+\) και από τις δύο πλευρές του \(t=2\) (άρα και του \(x=4\), αφού \(t=\sqrt{x}\) είναι γνησίως αύξουσα).
4. Επομένως \(\lim_{x\to4}\dfrac{-9}{(t-2)^2(t+2)}=\dfrac{-9}{0^+}=-\infty\).

Απάντηση: \(-\infty\).

Άσκηση Β2 (σελ. 64)

Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση \(f(x)=\epsilon\varphi x\) δεν έχει όριο στο \(\frac{\pi}2\). ii) Η συνάρτηση \(f(x)=\sigma\varphi x\) δεν έχει όριο στο \(0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση δείχνουμε ότι τα δύο πλευρικά όρια είναι άπειρα με αντίθετο πρόσημο, οπότε το (αμφίπλευρο) όριο δεν υπάρχει.

Λύση:

1. i) \(\epsilon\varphi x=\dfrac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}\). Καθώς \(x\to\frac{\pi}{2}^-\): \(\eta\mu x\to1>0\), \(\sigma\upsilon\nu x\to0^+\), άρα \(\epsilon\varphi x\to+\infty\). Καθώς \(x\to\frac{\pi}{2}^+\): \(\eta\mu x\to1>0\), \(\sigma\upsilon\nu x\to0^-\), άρα \(\epsilon\varphi x\to-\infty\). Τα πλευρικά όρια είναι άπειρα με αντίθετο πρόσημο ⟹ δεν υπάρχει το \(\lim_{x\to\pi/2}\epsilon\varphi x\).
2. ii) \(\sigma\varphi x=\dfrac{\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu x}\). Καθώς \(x\to0^+\): \(\sigma\upsilon\nu x\to1>0\), \(\eta\mu x\to0^+\), άρα \(\sigma\varphi x\to+\infty\). Καθώς \(x\to0^-\): \(\sigma\upsilon\nu x\to1>0\), \(\eta\mu x\to0^-\), άρα \(\sigma\varphi x\to-\infty\). Ομοίως, δεν υπάρχει το \(\lim_{x\to0}\sigma\varphi x\).

Απάντηση: Και στις δύο περιπτώσεις τα πλευρικά όρια είναι άπειρα με αντίθετο πρόσημο, άρα το όριο δεν υπάρχει σε καμία από τις δύο συναρτήσεις στο αντίστοιχο σημείο.

Άσκηση Β3 (σελ. 64)

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=\dfrac{(\lambda-1)x^2+x-2}{x^2-1}\) και \(g(x)=\dfrac{x^2+2x+\mu}{x}\). Να βρείτε τις τιμές των \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) για τις οποίες υπάρχουν στο \(\mathbb{R}\) τα όρια \(\lim_{x\to1}f(x)\) και \(\lim_{x\to0}g(x)\). Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αφού ο παρονομαστής μηδενίζεται στο εκάστοτε σημείο, το όριο είναι πεπερασμένο (ανήκει στο \(\mathbb{R}\)) μόνο αν και ο αριθμητής μηδενίζεται εκεί (αλλιώς το όριο είναι άπειρο ή δεν υπάρχει). Θέτουμε αυτή τη συνθήκη και μετά απλοποιούμε.

Λύση:

1. Για την \(f\): απαιτούμε ο αριθμητής να μηδενίζεται στο \(x=1\): \((\lambda-1)\cdot1+1-2=0\Rightarrow\lambda-1-1=0\Rightarrow\lambda=2\). Με \(\lambda=2\): αριθμητής \(=x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), παρονομαστής \(=(x-1)(x+1)\). Απλοποίηση: \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\to\dfrac{3}{2}\) καθώς \(x\to1\).
2. Για την \(g\): απαιτούμε ο αριθμητής να μηδενίζεται στο \(x=0\): \(0+0+\mu=0\Rightarrow\mu=0\). Με \(\mu=0\): \(g(x)=\dfrac{x^2+2x}{x}=x+2\) (για \(x\neq0\)) \(\to2\) καθώς \(x\to0\).

Απάντηση: \(\lambda=2\Rightarrow\lim_{x\to1}f(x)=\dfrac32\). \(\mu=0\Rightarrow\lim_{x\to0}g(x)=2\).

Άσκηση Β4 (σελ. 64)

Να βρεθεί το \(\lim_{x\to1}f(x)\), όταν: i) \(\lim_{x\to1}\dfrac{x-4}{f(x)}=+\infty\) ii) \(\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x+2}=-\infty\) iii) \(\lim_{x\to1}[f(x)(3x^2-2)]=+\infty\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση απομονώνουμε την \(f(x)\) χρησιμοποιώντας ότι ο άλλος παράγοντας/διαιρέτης έχει γνωστό, μη μηδενικό πεπερασμένο όριο κοντά στο \(x_0=1\), οπότε το πρόσημό του καθορίζει το πρόσημο του άπειρου ορίου της \(f\).

Λύση:

1. i) Κοντά στο 1, \(x-4\to-3<0\) (σταθερού προσήμου). Για να είναι \(\dfrac{x-4}{f(x)}\to+\infty\) με αρνητικό αριθμητή, πρέπει \(f(x)\to0^-\) (αρνητικό/αρνητικό-μικρό \(=\) θετικό-μεγάλο). Άρα \(\lim_{x\to1}f(x)=0\).
2. ii) Κοντά στο 1, \(x+2\to3>0\) (πεπερασμένο, μη μηδενικό). Διαιρώντας με σταθερό θετικό αριθμό διατηρείται το πρόσημο/απειρότητα: αν \(\dfrac{f(x)}{x+2}\to-\infty\), τότε \(f(x)\to-\infty\).
3. iii) Κοντά στο 1, \(3x^2-2\to1>0\) (πεπερασμένο, μη μηδενικό). Πολλαπλασιάζοντας με θετικό σταθερό αριθμό διατηρείται το πρόσημο: αν \(f(x)(3x^2-2)\to+\infty\), τότε \(f(x)\to+\infty\).

Απάντηση: i) 0 ii) \(-\infty\) iii) \(+\infty\).