Κεφάλαιο 1.7 – Όριο Συνάρτησης στο Άπειρο (σελ. 68-69) – Απαντήσεις – Λύσεις

Ασκήσεις Σχολικού Βιβλίου

Άσκηση Α1 (σελ. 68)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}(-10x^3+2x-5)\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}(5x^3-2x+1)\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x^3+8}\) iv) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^4-5x^3+2x-1}{x^3-3x+2}\) v) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3+x-1}{4x^3-x^2+2}\) vi) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{10^x+x+3}\) vii) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{5}{x+2}\right)\) viii) \(\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x^2+5}{x}-\dfrac{x^2+3}{x+2}\right)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i)-vi) εφαρμόζουμε τους κανόνες μεγιστοβάθμιου όρου (πολυώνυμο) και σύγκρισης βαθμών (ρητή)· στο (vi) η εκθετική \(10^x\) κυριαρχεί κάθε πολυωνύμου. Στα (vii),(viii) πρώτα ενοποιούμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή πριν εφαρμόσουμε τον κανόνα σύγκρισης βαθμών.

Λύση:

1. i) Μεγιστοβάθμιος όρος \(-10x^3\to-\infty\).
2. ii) Μεγιστοβάθμιος όρος \(5x^3\), και καθώς \(x\to-\infty\), \(x^3\to-\infty\), άρα \(5x^3\to-\infty\).
3. iii) Παρονομαστής \(\to+\infty\), άρα το κλάσμα \(\to0\).
4. iv) Βαθμός αριθμητή (4) \(>\) βαθμός παρονομαστή (3): \(\dfrac{x^4}{x^3}=x\to+\infty\).
5. v) Ίσοι βαθμοί (3): λόγος συντελεστών μεγιστοβάθμιων όρων \(\dfrac{2}{4}=\dfrac12\).
6. vi) Ο παρονομαστής κυριαρχείται από το \(10^x\to+\infty\) πολύ ταχύτερα από κάθε πολυώνυμο, άρα το κλάσμα \(\to0\).
7. vii) \(\dfrac{x}{x^2+1}\to0\) (βαθμός αριθμητή \(<\) βαθμός παρονομαστή) και \(\dfrac5{x+2}\to0\)· άρα η διαφορά \(\to0-0=0\).
8. viii) Κοινός παρονομαστής \(x(x+2)\): αριθμητής \((x^2+5)(x+2)-x(x^2+3)=x^3+2x^2+5x+10-x^3-3x=2x^2+2x+10\). Άρα η παράσταση \(=\dfrac{2x^2+2x+10}{x^2+2x}\), με ίσους βαθμούς (2): λόγος συντελεστών \(\dfrac21=2\).

Απάντηση: i) \(-\infty\) ii) \(-\infty\) iii) 0 iv) \(+\infty\) v) \(\dfrac12\) vi) 0 vii) 0 viii) 2.

Άσκηση Α2 (σελ. 69)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2-2x+3}\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+10x+9}\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-3x+2})\) iv) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}-x),\ \alpha\neq\beta\) v) \(\lim_{x\to+\infty}(2x-1-\sqrt{4x^2-4x+3})\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i)-iii) Οι παραστάσεις κάτω από τις ρίζες τείνουν στο \(+\infty\), άρα και οι ρίζες (και το άθροισμά τους) τείνουν στο \(+\infty\). Στο (iv), επειδή \(x\to-\infty\), και οι δύο όροι \(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}\) και \(-x\) τείνουν στο \(+\infty\), άρα δεν υπάρχει απροσδιοριστία. Στο (v) προκύπτει μορφή \((+\infty)-(+\infty)\)· πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση.

Λύση:

1. i) Κάτω από τη ρίζα \(\to+\infty\) (μεγιστοβάθμιος όρος \(4x^2\)), άρα η ρίζα \(\to+\infty\).
2. ii) Ομοίως, κάτω από τη ρίζα \(\to+\infty\) (μεγιστοβάθμιος όρος \(x^2\)), άρα η ρίζα \(\to+\infty\).
3. iii) Κάθε όρος αθροίσματος \(\to+\infty\) ξεχωριστά, άρα και το άθροισμα \(\to+\infty\).
4. iv) Για \(x\to-\infty\): \((x+\alpha)(x+\beta)=x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\to+\infty\), άρα \(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}\to+\infty\), και \(-x\to+\infty\). Άθροισμα δύο όρων που τείνουν στο \(+\infty\), άρα \(\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{(x+\alpha)(x+\beta)}-x\right)=+\infty\).
5. v) Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή: \(\dfrac{(2x-1)^2-(4x^2-4x+3)}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}=\dfrac{4x^2-4x+1-4x^2+4x-3}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}=\dfrac{-2}{(2x-1)+\sqrt{4x^2-4x+3}}\). Ο παρονομαστής \(\to+\infty\), άρα το κλάσμα \(\to0\).

Απάντηση: i) \(+\infty\) ii) \(+\infty\) iii) \(+\infty\) iv) \(+\infty\) v) 0.

Πρόσεξε:

• Πριν πολλαπλασιάσουμε με συζυγή παράσταση, ελέγχουμε αν υπάρχει πράγματι απροσδιοριστία: στο (iv), επειδή \(x\to-\infty\), ο όρος \(-x\) τείνει στο \(+\infty\) και δεν έχουμε μορφή \((+\infty)-(+\infty)\).

Άσκηση Α3 (σελ. 69)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) ii) \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)\) iii) \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) iv) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)\) v) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{x-\sqrt{x^2-1}}\) vi) \(\lim_{x\to+\infty}\big(x\sqrt{x^2+2x+2}-x^2\big)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε \(\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}\), με \(|x|=x\) για \(x\to+\infty\) και \(|x|=-x\) για \(x\to-\infty\)· στα (ii),(iv),(v) πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή. Στο (vi) βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(x\) και πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή.

Λύση:

1. i) \(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=\sqrt{1+1/x^2}\to\sqrt{1}=1\) (για \(x>0\)).
2. ii) Συζυγής: \(\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}+x}\to\dfrac1{+\infty}=0\).
3. iii) Για \(x<0\): \(\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+1/x^2}\), άρα ο λόγος \(=\dfrac{-x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=-\sqrt{1+1/x^2}\to-1\).
4. iv) Συζυγής: \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\). Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\to+\infty\), άρα ο παρονομαστής \(\approx-x-x=-2x\to+\infty\), οπότε το κλάσμα \(\to0\).
5. v) Αριθμητής: \(x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\). Παρονομαστής: \(x-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\dfrac1{x+\sqrt{x^2-1}}\). Λόγος \(=\dfrac{-1/(x+\sqrt{x^2+1})}{1/(x+\sqrt{x^2-1})}=-\dfrac{x+\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\to-\dfrac{2x}{2x}=-1\) (και οι δύο ρίζες \(\approx x\) για \(x\to+\infty\)).
6. vi) \(x\sqrt{x^2+2x+2}-x^2=x\left(\sqrt{x^2+2x+2}-x\right)=x\cdot\dfrac{(x^2+2x+2)-x^2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}=x\cdot\dfrac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}\). Για \(x>0\): \(\dfrac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}=\dfrac{2+\frac2x}{\sqrt{1+\frac2x+\frac2{x^2}}+1}\to\dfrac22=1\), ενώ \(x\to+\infty\). Άρα το όριο είναι \(+\infty\).

Απάντηση: i) 1 ii) 0 iii) \(-1\) iv) 0 v) \(-1\) vi) \(+\infty\).

Άσκηση Β1 (σελ. 69)

Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του \(\mu\), να υπολογίσετε τα όρια: i) \(\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+1}+\mu x)\) ii) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\mu-1)x^3+2x^2+3}{\mu x^2-5x+6}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Γράφουμε \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) για \(x\to-\infty\), οπότε η παράσταση συμπεριφέρεται σαν \((\mu-1)x\) — διακρίνουμε \(\mu<1,\mu>1,\mu=1\). ii) Διακρίνουμε \(\mu=0\) (πέφτει ο βαθμός του αριθμητή), \(\mu=1\) (πέφτει ο βαθμός και του αριθμητή, μένει βαθμός ίσος με παρονομαστή), και \(\mu\neq0,1\) γενικά.

Λύση:

1. i) Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+1/x^2}\approx-x\). Η παράσταση \(\approx-x+\mu x=(\mu-1)x\). Αν \(\mu<1\): συντελεστής \((\mu-1)<0\), άρα \((\mu-1)x\to+\infty\) (αρνητικός επί \(-\infty\)). Αν \(\mu>1\): συντελεστής \(>0\), άρα \(\to-\infty\). Αν \(\mu=1\): ακριβής υπολογισμός με συζυγή: \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}\to\dfrac1{+\infty}=0\) (αφού \(\sqrt{x^2+1}-x\approx-2x\to+\infty\)).
2. ii) Αν \(\mu\notin\{0,1\}\): αριθμητής βαθμού 3, παρονομαστής βαθμού 2· λόγος μεγιστοβάθμιων όρων \(\dfrac{(\mu-1)x^3}{\mu x^2}=\dfrac{\mu-1}{\mu}x\to+\infty\) αν \(\dfrac{\mu-1}\mu>0\) (δηλ. \(\mu<0\) ή \(\mu>1\)), και \(\to-\infty\) αν \(\dfrac{\mu-1}\mu<0\) (δηλ. \(0<\mu<1\)). Αν \(\mu=1\): αριθμητής γίνεται \(2x^2+3\) (βαθμού 2, ίσος με παρονομαστή \(x^2-5x+6\)): λόγος συντελεστών \(\dfrac21=2\). Αν \(\mu=0\): αριθμητής \(-x^3+2x^2+3\) (βαθμού 3), παρονομαστής \(-5x+6\) (βαθμού 1)· λόγος μεγιστοβάθμιων \(\dfrac{-x^3}{-5x}=\dfrac{x^2}5\to+\infty\).

Απάντηση: i) \(\mu<1\): \(+\infty\) \(\mu>1\): \(-\infty\) \(\mu=1\): 0. ii) \(\mu\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)\): \(+\infty\) \(\mu\in(0,1)\): \(-\infty\) \(\mu=1\): 2 \(\mu=0\): \(+\infty\).

Άσκηση Β2 (σελ. 69)

Να προσδιορίσετε το \(\lambda\in\mathbb{R}\), ώστε το \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+10}-\lambda x)\) να υπάρχει στο \(\mathbb{R}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για \(x>0\) γράφουμε \(\sqrt{x^2+5x+10}-\lambda x=x\left(\sqrt{1+\frac5x+\frac{10}{x^2}}-\lambda\right)\) και εξετάζουμε το πρόσημο της παρένθεσης στο όριο. Όταν η παρένθεση τείνει στο \(0\) (δηλαδή \(\lambda=1\)) έχουμε απροσδιοριστία, την οποία αίρουμε με συζυγή παράσταση.

Λύση:

1. Για \(x>0\): \(\sqrt{x^2+5x+10}-\lambda x=x\left(\sqrt{1+\dfrac5x+\dfrac{10}{x^2}}-\lambda\right)\), και \(\sqrt{1+\dfrac5x+\dfrac{10}{x^2}}-\lambda\to1-\lambda\).
2. Αν \(\lambda<1\): \(1-\lambda>0\), άρα το όριο είναι \(+\infty\). Αν \(\lambda>1\): \(1-\lambda<0\), άρα το όριο είναι \(-\infty\). Σε αυτές τις περιπτώσεις το όριο δεν υπάρχει στο \(\mathbb{R}\).
3. Αν \(\lambda=1\): \(\sqrt{x^2+5x+10}-x=\dfrac{(x^2+5x+10)-x^2}{\sqrt{x^2+5x+10}+x}=\dfrac{5x+10}{\sqrt{x^2+5x+10}+x}=\dfrac{5+\frac{10}x}{\sqrt{1+\frac5x+\frac{10}{x^2}}+1}\to\dfrac52\).

Απάντηση: \(\lambda=1\), οπότε \(\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+10}-x)=\dfrac52\).

Πρόσεξε:

• Για \(\lambda>1\) το όριο είναι \(-\infty\), γιατί η παρένθεση τείνει στον αρνητικό αριθμό \(1-\lambda\)· στις απαντήσεις του βιβλίου αναγράφεται \(+\infty\), που είναι τυπογραφικό λάθος. Το ζητούμενο \(\lambda=1\) δεν επηρεάζεται.

Άσκηση Β3 (σελ. 69)

Αν \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}-\alpha x+\beta\), να βρείτε τις τιμές των \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), για τις οποίες ισχύει \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάνουμε ευκλείδεια διαίρεση του \(x^2+1\) με το \(x+1\) ώστε να εμφανιστεί ρητά ο γραμμικός όρος και το φθίνον υπόλοιπο, και μετά απαιτούμε ο συντελεστής του \(x\) και ο σταθερός όρος να μηδενίζονται.

Λύση:

1. Διαίρεση: \(x^2+1=(x+1)(x-1)+2\), άρα \(\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac2{x+1}\).
2. Άρα \(f(x)=x-1+\dfrac2{x+1}-\alpha x+\beta=(1-\alpha)x+(\beta-1)+\dfrac2{x+1}\).
3. Καθώς \(x\to+\infty\), ο όρος \(\dfrac2{x+1}\to0\). Για να είναι \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) (πεπερασμένο και μηδέν), απαιτούμε: συντελεστής του \(x\) μηδέν: \(1-\alpha=0\Rightarrow\alpha=1\)· και σταθερός όρος μηδέν: \(\beta-1=0\Rightarrow\beta=1\).

Απάντηση: \(\alpha=\beta=1\).

Άσκηση Β4 (σελ. 69)

Να βρείτε τα όρια: i) \(\lim_{x\to-\infty}\left|\dfrac{|x^2-5x|+x}{x^2-3x+2}\right|\) ii) \(\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+5-x}{x+\sqrt{4+3x^2}}\) iii) \(\lim_{x\to+\infty}\left|\dfrac{x^2-x}{x-1}\right|\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Ελέγχουμε το πρόσημο του \(x^2-5x\) για \(x\to-\infty\) (είναι ήδη θετικό, οπότε η εσωτερική απόλυτη τιμή δεν αλλάζει τίποτα). ii) Γράφουμε \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) και \(\sqrt{4+3x^2}\approx\sqrt3(-x)\) για \(x\to-\infty\). iii) Απλοποιούμε πρώτα το κλάσμα.

Λύση:

1. i) Για \(x\to-\infty\): \(x^2-5x=x(x-5)\) — γινόμενο δύο αρνητικών (για \(x<0\), και \(x-5<0\)) άρα θετικό, οπότε \(|x^2-5x|=x^2-5x\). Αριθμητής (μέσα στην εξωτερική απόλυτη τιμή): \((x^2-5x)+x=x^2-4x\). Άρα η παράσταση (πριν την εξωτερική \(|\cdot|\)) είναι \(\dfrac{x^2-4x}{x^2-3x+2}\), με ίσους βαθμούς (2): λόγος συντελεστών \(\dfrac11=1\) (ήδη θετικό όριο), άρα η εξωτερική απόλυτη τιμή δεν επηρεάζει: \(|1|=1\).
2. ii) Για \(x\to-\infty\): \(\sqrt{x^2+1}\approx-x\) και \(\sqrt{4+3x^2}\approx\sqrt3\,(-x)\). Αριθμητής \(\approx-x+5-x=-2x+5\) (τάξη \(-2x\)). Παρονομαστής \(\approx x-\sqrt3\,x=x(1-\sqrt3)\) (τάξη \(x(1-\sqrt3)\)). Λόγος μεγιστοβάθμιων όρων: \(\dfrac{-2x}{x(1-\sqrt3)}=\dfrac{-2}{1-\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3-1}\). Ορθολογοποίηση: \(\dfrac{2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{2}=\sqrt3+1\).
3. iii) \(x^2-x=x(x-1)\), άρα \(\dfrac{x^2-x}{x-1}=x\) (για \(x\neq1\)). Καθώς \(x\to+\infty\): \(|x|=x\to+\infty\).

Απάντηση: i) 1 ii) \(\sqrt3+1\) iii) \(+\infty\).