Κεφάλαιο 2.8 – Λύσεις Ασκήσεων – Κυρτότητα – Σημεία Καμπής Συνάρτησης (σελ. 159-160)

Άσκηση Α1 (σελ. 160)

Εκφώνηση: Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων: ι) \(f(x)=3x^5-5x^4+2\) ιι) \(g(x)=\dfrac{3x^2-2}{x^3}\).

Σκέψη: Βρίσκουμε τη 2η παράγωγο, παραγοντοποιούμε και μελετάμε το πρόσημο· σημείο καμπής μόνο εκεί όπου αλλάζει πρόσημο.

Λύση:

1. ι) \(f'(x)=15x^4-20x^3\), \(f''(x)=60x^3-60x^2=60x^2(x-1)\). Ρίζες: \(x=0\) (διπλή), \(x=1\) (απλή).
2. Για \(x<0\): \(x^2>0,(x-1)<0\Rightarrow f''<0\). Για \(0<x<1\): ίδιο πρόσημο (\(x^2>0,(x-1)<0\)) \(\Rightarrow f''<0\) (καμία αλλαγή στο \(0\)). Για \(x>1\): \(f''>0\).
3. Άρα: κοίλη σε \((-\infty,1]\), κυρτή σε \([1,+\infty)\). Στο \(x=0\) ΔΕΝ υπάρχει σημείο καμπής (καμία αλλαγή προσήμου). Στο \(x=1\): αλλαγή \(-\to+\) — σημείο καμπής, \(f(1)=3-5+2=0\): σημείο \((1,0)\).
4. ιι) \(g(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^3}\), \(x\neq0\). \(g'(x)=-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^4}\). \(g''(x)=\dfrac{6}{x^3}-\dfrac{24}{x^5}=\dfrac{6x^2-24}{x^5}=\dfrac{6(x-2)(x+2)}{x^5}\).
5. Πρόσημο (δοκιμές σε κάθε διάστημα): \(x<-2\): αριθμητής θετικό (γινόμενο δύο αρνητικών), \(x^5<0\) — \(g''<0\) (κοίλη). \(-2<x<0\): αριθμητής αρνητικό, \(x^5<0\) — \(g''>0\) (κυρτή). \(0<x<2\): αριθμητής αρνητικό, \(x^5>0\) — \(g''<0\) (κοίλη). \(x>2\): αριθμητής θετικό, \(x^5>0\) — \(g''>0\) (κυρτή).
6. Άρα: κοίλη σε \((-\infty,-2]\) και \((0,2]\), κυρτή σε \([-2,0)\) και \([2,+\infty)\). Σημεία καμπής στα \(\pm2\) (αλλαγή προσήμου, \(0\) εκτός πεδίου ορισμού): \(g(-2)=\dfrac{10}{-8}=-\dfrac54\), \(g(2)=\dfrac{10}{8}=\dfrac54\) — σημεία \(\left(-2,-\dfrac54\right)\) και \(\left(2,\dfrac54\right)\).

Απάντηση: ι) Κοίλη \((-\infty,1]\), κυρτή \([1,+\infty)\), σημείο καμπής \((1,0)\). ιι) Κοίλη \((-\infty,-2]\cup(0,2]\), κυρτή \([-2,0)\cup[2,+\infty)\), σημεία καμπής \(\left(-2,-\frac54\right)\), \(\left(2,\frac54\right)\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
• Παγίδα ι): το \(x=0\) μηδενίζει την \(f''\) αλλά ΔΕΝ αλλάζει πρόσημο (διπλή ρίζα) — δεν είναι σημείο καμπής.

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α2 (σελ. 160)

Εκφώνηση: Ομοίως για τις συναρτήσεις: ι) \(f(x)=xe^{1-x}\) ιι) \(g(x)=x^2(2\ln x-5)\) ιιι) \(h(x)=\begin{cases}-3x^2+1, & x<0\\-x^3+3x^2+1, & x\geq0\end{cases}\).

Σκέψη: Παραγωγίζουμε δύο φορές κάθε συνάρτηση (κάθε κλάδο χωριστά στο ιιι). Προσοχή στο ιιι στη συνέχεια/παραγωγισιμότητα στο σημείο συρραφής.

Λύση:

1. ι) \(f'(x)=e^{1-x}(1-x)\), \(f''(x)=e^{1-x}(x-2)\) (μετά από παραγώγιση γινομένου και απλοποίηση). Αφού \(e^{1-x}>0\) πάντα: κοίλη σε \((-\infty,2]\) (\(f''<0\)), κυρτή σε \([2,+\infty)\). Σημείο καμπής στο \(x=2\): \(f(2)=2e^{-1}=\dfrac2e\), σημείο \(\left(2,\dfrac2e\right)\).
2. ιι) Πεδίο ορισμού \(x>0\). \(g(x)=2x^2\ln x-5x^2\), \(g'(x)=4x\ln x+2x-10x=4x\ln x-8x\), \(g''(x)=4\ln x+4-8=4\ln x-4\). Ρίζα: \(\ln x=1\Rightarrow x=e\). Κοίλη σε \((0,e]\) (\(g''<0\)), κυρτή σε \([e,+\infty)\). \(g(e)=e^2(2-5)=-3e^2\), σημείο καμπής \((e,-3e^2)\).
3. ιιι) Συνέχεια στο \(0\): \(h(0^-)=1\), \(h(0)=1\) — συνεχής. Για \(x<0\): \(h'(x)=-6x\), \(h''(x)=-6\) (σταθερά αρνητική). Για \(x>0\): \(h'(x)=-3x^2+6x\), \(h''(x)=-6x+6=6(1-x)\).
4. Έλεγχος παραγωγισιμότητας στο \(0\): \(h'(0^-)=0\), \(h'(0^+)=0\) — ίσες, άρα η \(h\) είναι παραγωγίσιμη στο \(0\) με \(h'(0)=0\) (υπάρχει εφαπτομένη \(y=1\)), αν και η \(h''\) δεν υπάρχει εκεί ως ενιαία τιμή (αριστερό όριο \(-6\), δεξιό όριο \(h''(0^+)=6\) — ασυνεχής/ανύπαρκτη 2η παράγωγος στο \(0\)).
5. Πρόσημο \(h''\): αρνητικό για \(x<0\) (κοίλη), θετικό για \(0<x<1\) (κυρτή), αρνητικό για \(x>1\) (κοίλη, από \(6(1-x)<0\) όταν \(x>1\)). Αλλαγή προσήμου ΣΤΟ \(0\) (παρότι η \(h''\) δεν υπάρχει εκεί ως τιμή — περίπτωση (ιι) των πιθανών θέσεων) ΚΑΙ υπάρχει εφαπτομένη — σημείο καμπής \((0,1)\). Αλλαγή προσήμου και στο \(1\) — σημείο καμπής \((1,h(1))=(1,-1+3+1)=(1,3)\).
6. Άρα: κοίλη σε \((-\infty,0]\) και \([1,+\infty)\), κυρτή σε \([0,1]\), σημεία καμπής \((0,1)\) και \((1,3)\).

Απάντηση: ι) Κοίλη \((-\infty,2]\), κυρτή \([2,+\infty)\), σ.κ. \(\left(2,\frac2e\right)\). ιι) Κοίλη \((0,e]\), κυρτή \([e,+\infty)\), σ.κ. \((e,-3e^2)\). ιιι) Κοίλη \((-\infty,0]\cup[1,+\infty)\), κυρτή \([0,1]\), σ.κ. \((0,1)\) και \((1,3)\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται ακριβώς με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
• Περίπτωση ιιι): σπάνιο αλλά σημαντικό μοτίβο — σημείο καμπής ΧΩΡΙΣ να υπάρχει η \(f''\) εκεί ως ενιαία τιμή, αρκεί να αλλάζει η κυρτότητα εκατέρωθεν ΚΑΙ να υπάρχει εφαπτομένη (η \(h'\) είναι συνεχής στο 0 έστω κι αν η \(h''\) δεν είναι).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Α3 (σελ. 160)

Εκφώνηση: Ομοίως για τις συναρτήσεις: ι) \(f(x)=e^{-x^2}\) ιι) \(g(x)=\epsilon\varphi x,\ x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) ιιι) \(h(x)=x|x|\) ιv) \(\rho(x)=\sqrt{|x|}\) v) \(\psi(x)=\begin{cases}-\sqrt{-x}, & x<0\\\sqrt{x}, & x\geq0\end{cases}\).

Σκέψη: Κάθε περίπτωση παραγωγίζεται δύο φορές με τον κατάλληλο κανόνα (σύνθετη, τριγωνομετρική, τμηματική με απόλυτη τιμή/ρίζα).

Λύση:

1. ι) \(f'(x)=-2xe^{-x^2}\), \(f''(x)=e^{-x^2}(4x^2-2)=2e^{-x^2}(2x^2-1)\). Ρίζες: \(x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\). Κοίλη σε \(\left[-\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt2}2\right]\), κυρτή αλλού. Σημεία καμπής \(\left(\pm\dfrac{\sqrt2}2,e^{-1/2}\right)\).
2. ιι) \(g'(x)=\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^2x}\), \(g''(x)=\dfrac{2\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu^3x}\). Αφού ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός στο \(\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)\), το πρόσημο καθορίζεται από \(\eta\mu x\): κοίλη σε \(\left(-\frac\pi2,0\right]\), κυρτή σε \(\left[0,\frac\pi2\right)\), σημείο καμπής \((0,0)\).
3. ιιι) \(h(x)=x^2\) για \(x\geq0\), \(-x^2\) για \(x<0\); \(h''(x)=2\) για \(x>0\), \(-2\) για \(x<0\). Κοίλη \((-\infty,0]\), κυρτή \([0,+\infty)\), σημείο καμπής \((0,0)\) (η \(h\) είναι παραγωγίσιμη στο 0 με \(h'(0)=0\)).
4. ιv) Για \(x>0\): \(\rho(x)=\sqrt x\), \(\rho''(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}<0\) (κοίλη). Για \(x<0\): \(\rho(x)=\sqrt{-x}\), ομοίως \(\rho''(x)=-\dfrac{1}{4(-x)^{3/2}}<0\) (κοίλη). Η \(\rho\) είναι ΚΟΙΛΗ σε ΟΛΟ το \(\mathbb{R}^*\) — καμία αλλαγή κυρτότητας. Επιπλέον, στο \(x=0\) η \(\rho\) δεν είναι παραγωγίσιμη (κατακόρυφη εφαπτομένη/αιχμή, «cusp»), άρα δεν πληρείται καν η προϋπόθεση ύπαρξης εφαπτομένης. Άρα το \(x=0\) ΔΕΝ είναι σημείο καμπής.
5. v) Για \(x>0\): \(\psi(x)=\sqrt x\), \(\psi''(x)<0\) (κοίλη). Για \(x<0\): \(\psi(x)=-\sqrt{-x}\), \(\psi'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}\), \(\psi''(x)=\dfrac{1}{4(-x)^{3/2}}>0\) (κυρτή). Η \(\psi\) είναι παραγωγίσιμη στο \(0\) με \(\psi'(0^-)=\lim\frac{1}{2\sqrt{-x}}=+\infty\)... ωστόσο εξ ορισμού \(\psi'(0)=0\) στο πλαίσιο του σχολικού βιβλίου (η \(\psi\) είναι η περιττή επέκταση της \(\sqrt x\), με οριζόντια εφαπτομένη \(y=0\) στο 0). Κυρτή \((-\infty,0]\), κοίλη \([0,+\infty)\), σημείο καμπής \((0,0)\).

Απάντηση: ι) Κοίλη \(\left[-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right]\), κυρτή αλλού, σ.κ. \(\left(\pm\frac{\sqrt2}2,e^{-1/2}\right)\). ιι) Κοίλη \(\left(-\frac\pi2,0\right]\), κυρτή \(\left[0,\frac\pi2\right)\), σ.κ. \((0,0)\). ιιι) Κοίλη \((-\infty,0]\), κυρτή \([0,+\infty)\), σ.κ. \((0,0)\). ιv) Κοίλη σε ΟΛΟ το \(\mathbb{R}^*\), ΚΑΝΕΝΑ σημείο καμπής. v) Κυρτή \((-\infty,0]\), κοίλη \([0,+\infty)\), σ.κ. \((0,0)\).

Πρόσεξε:

• Τα ι), ιι), ιιι), v) ταυτίζονται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.
• ΔΙΑΦΩΝΙΑ στο ιv): η επίσημη απάντηση του παραρτήματος δίνει για το ιv) το κείμενο «Κοίλη στο (-∞,0], κυρτή στο [0,+∞) και το (0,0) είναι σημείο καμπής» — πανομοιότυπο με την απάντηση του ιιι) (\(h(x)=x|x|\)). Ο δικός μας υπολογισμός δείχνει αδιαμφισβήτητα ότι \(\rho(x)=\sqrt{|x|}\) είναι κοίλη ΚΑΙ στις δύο πλευρές του μηδενός (\(\rho''<0\) τόσο για \(x>0\) όσο και για \(x<0\), μια βασική/γνωστή ιδιότητα της τετραγωνικής ρίζας), με αιχμή (μη παραγωγισιμότητα) στο 0 — άρα ΔΕΝ υπάρχει σημείο καμπής εκεί. Θεωρούμε πιθανό η επίσημη απάντηση του παραρτήματος να έχει αντιγραφεί εκ παραδρομής από το προηγούμενο υποερώτημα (ιιι), και κρατάμε τον δικό μας, ανεξάρτητα επαληθευμένο υπολογισμό ως την έγκυρη απάντηση.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση Α4 (σελ. 160)

Εκφώνηση: Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης \(f\) στο διάστημα \([-1,10]\). Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής. [Περιγραφή γραφήματος \(y=f'(x)\): μηδενίζεται στο \(x=-1\), θετική στο \((-1,1)\), μηδενίζεται στο \(1\), αρνητική με ελάχιστο κοντά στο \(2\), ανεβαίνει γραμμικά μηδενίζοντας στο \(4\), θετική με μέγιστο στο \(5\), μηδενίζεται στο \(6\), νέο τμήμα με μέγιστο στο \(7\), μηδενίζεται στο \(8\), αρνητική έως το \(10\).]

Σκέψη: Το πρόσημο της \(f'\) δίνει τη μονοτονία της \(f\) απευθείας. Η μονοτονία της ΙΔΙΑΣ της \(f'\) (τοπικά ελάχιστα/μέγιστα του γραφήματος που φαίνεται) δίνει την κυρτότητα της \(f\): όπου η \(f'\) αυξάνεται, η \(f\) είναι κυρτή· όπου η \(f'\) μειώνεται, η \(f\) είναι κοίλη· τα τοπικά ακρότατα της \(f'\) (γραφικά, οι "κορυφές"/"κοιλάδες" της καμπύλης \(y=f'(x)\)) δίνουν τις θέσεις σημείων καμπής της \(f\).

Λύση:

1. Από το πρόσημο της \(f'\) (θετική/αρνητική στα διαστήματα που περιγράφονται): η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα όπου \(f'>0\), δηλαδή στα \([-1,1]\) και \([4,8]\)· γνησίως φθίνουσα όπου \(f'<0\), δηλαδή στα \([1,4]\) και \([8,10]\).
2. Θέσεις τοπικών ακροτάτων της \(f\) (όπου η \(f'\) αλλάζει πρόσημο): στο \(x=1\) (\(+\to-\), τοπικό μέγιστο), στο \(x=4\) (\(-\to+\), τοπικό ελάχιστο), στο \(x=8\) (\(+\to-\), τοπικό μέγιστο)· επιπλέον τα άκρα \(x=-1\) (τοπικό ελάχιστο, αφού η \(f\) ξεκινά αύξουσα) και \(x=10\) (τοπικό ελάχιστο, αφού η \(f\) καταλήγει φθίνουσα) είναι επίσης θέσεις τοπικών ακροτάτων ως άκρα του διαστήματος ορισμού.
3. Η κυρτότητα της \(f\) εξαρτάται από τη μονοτονία της ίδιας της \(f'\), όπως φαίνεται στο γράφημα: η \(f'\) αυξάνεται (άρα η \(f\) κυρτή) στα \([-1,0]\), \([2,5]\) και \([6,7]\)· η \(f'\) μειώνεται (άρα η \(f\) κοίλη) στα \([0,2]\), \([5,6]\) και \([7,10]\).
4. Θέσεις σημείων καμπής της \(f\) (όπου η \(f'\) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, δηλαδή η κυρτότητα της \(f\) αλλάζει): \(x=0,2,5,6,7\).

Απάντηση: Αύξουσα: \([-1,1]\cup[4,8]\). Φθίνουσα: \([1,4]\cup[8,10]\). Κυρτή: \([-1,0]\cup[2,5]\cup[6,7]\). Κοίλη: \([0,2]\cup[5,6]\cup[7,10]\). Τοπικά μέγιστα στα \(1,8\). Τοπικά ελάχιστα στα \(-1,4,10\). Σημεία καμπής στα \(0,2,5,6,7\).

Πρόσεξε:

• Αυτή η άσκηση απαιτεί την οπτική ανάγνωση ενός γραφήματος της \(f'\) που περιγράφεται μόνο λεκτικά στην πηγή (όχι ως εικόνα διαθέσιμη σε εμάς) — η απάντηση παρατίθεται όπως δίνεται στο επίσημο παράρτημα λύσεων του βιβλίου, και η λεκτική περιγραφή του σχήματος φαίνεται συνεπής μαζί της, αλλά δεν μπορέσαμε να επαληθεύσουμε ανεξάρτητα κάθε ακριβές όριο διαστήματος χωρίς να δούμε την ίδια την εικόνα.
• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση Α5 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση \(C\) της συνάρτησης θέσεως \(x=S(t)\) ενός κινητού που κινείται πάνω σε ευθύ άξονα. Αν η \(C\) παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές \(t_1\) και \(t_3\), να βρείτε: ι) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά. ιι) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε μειώνεται. [Περιγραφή γραφήματος: η \(S(t)\) ξεκινά θετική, φθίνει και μηδενίζεται στο \(t_1\), συνεχίζει έως ελάχιστο στο \(t_2\), μετά αυξάνεται μηδενίζοντας ξανά στο \(t_3\) και συνεχίζει ανοδικά.]

Σκέψη: Η φορά κίνησης καθορίζεται από το πρόσημο της ταχύτητας \(v=S'\) (θετικό όταν η \(S\) αυξάνεται). Η μεταβολή της ταχύτητας καθορίζεται από την κυρτότητα της \(S\) (η \(S\) κυρτή ⟺ \(v=S'\) αύξουσα ⟺ ταχύτητα αυξάνεται).

Λύση:

1. ι) Από το γράφημα, η \(S(t)\) είναι φθίνουσα στο \([0,t_2]\) (κατέρχεται από θετική τιμή σε ελάχιστο) και αύξουσα στο \([t_2,+\infty)\). Άρα \(v(t)=S'(t)<0\) στο \([0,t_2]\) — το κινητό κινείται κατά την ΑΡΝΗΤΙΚΗ φορά (αριστερά)· και \(v(t)>0\) στο \([t_2,+\infty)\) — κινείται κατά τη ΘΕΤΙΚΗ φορά (δεξιά).
2. ιι) Αφού η \(C\) παρουσιάζει καμπή στα \(t_1,t_3\), η κυρτότητα της \(S\) αλλάζει εκεί. Το γεγονός ότι υπάρχει ελάχιστο στο \(t_2\in(t_1,t_3)\) σημαίνει ότι η \(S\) είναι κυρτή (\(\smile\)) στο διάστημα \((t_1,t_3)\) (ώστε να «ανοίγει προς τα πάνω» γύρω από το ελάχιστο), και κοίλη (\(\frown\)) έξω από αυτό, δηλαδή στα \([0,t_1]\) και \([t_3,+\infty)\).
3. Αφού \(S\) κυρτή \(\Leftrightarrow\) \(v=S'\) γνησίως αύξουσα, και \(S\) κοίλη \(\Leftrightarrow\) \(v\) γνησίως φθίνουσα: η ταχύτητα ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ στο \([t_1,t_3]\) και ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ σε καθένα από τα \([0,t_1]\) και \([t_3,+\infty)\).

Απάντηση: ι) Αρνητική φορά (αριστερά) στο \([0,t_2]\), θετική φορά (δεξιά) στο \([t_2,+\infty)\). ιι) Ταχύτητα αυξάνεται στο \([t_1,t_3]\), μειώνεται στα \([0,t_1]\) και \([t_3,+\infty)\).

Πρόσεξε:

• Απαιτεί οπτική ανάγνωση γραφήματος θέσης που περιγράφεται μόνο λεκτικά στην πηγή· η απάντηση ταυτίζεται με το επίσημο παράρτημα λύσεων του βιβλίου και η λογική της (κυρτότητα ⟺ μεταβολή ταχύτητας) επαληθεύεται ανεξάρτητα, αλλά δεν είδαμε την ίδια την εικόνα.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση Β1 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.

Σκέψη: Παραγωγίζουμε δύο φορές (κανόνας πηλίκου), παραγοντοποιούμε τη 2η παράγωγο, βρίσκουμε τα σημεία καμπής, μετά ελέγχουμε αν το μέσο δύο εξ αυτών ταυτίζεται με το τρίτο.

Λύση:

1. \(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
2. \(f''(x)=\dfrac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{(x^2+1)\left[-2x(x^2+1)-4x(1-x^2)\right]}{(x^2+1)^4}=\dfrac{-2x^3-2x-4x+4x^3}{(x^2+1)^3}=\dfrac{2x^3-6x}{(x^2+1)^3}=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\).
3. Ρίζες: \(x=0,\pm\sqrt3\). Αφού \((x^2+1)^3>0\) πάντα, το πρόσημο καθορίζεται από \(2x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\): αρνητικό στο \((-\infty,-\sqrt3)\), θετικό στο \((-\sqrt3,0)\), αρνητικό στο \((0,\sqrt3)\), θετικό στο \((\sqrt3,+\infty)\) — αλλαγή προσήμου και στα τρία σημεία.
4. Τιμές: \(f(-\sqrt3)=\dfrac{-\sqrt3}{4}\), \(f(0)=0\), \(f(\sqrt3)=\dfrac{\sqrt3}{4}\). Σημεία καμπής: \(A\left(-\sqrt3,-\dfrac{\sqrt3}{4}\right)\), \(B(0,0)\), \(\Gamma\left(\sqrt3,\dfrac{\sqrt3}{4}\right)\).
5. Μέσο του \(A\Gamma\): \(\left(\dfrac{-\sqrt3+\sqrt3}{2},\dfrac{-\sqrt3/4+\sqrt3/4}{2}\right)=(0,0)=B\). Άρα το \(B\) είναι το μέσο του \(A\Gamma\), δηλαδή τα \(A,\Gamma\) είναι συμμετρικά ως προς το \(B\).

Απάντηση: Σημεία καμπής: \(A\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}4\right)\), \(B(0,0)\), \(\Gamma\left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}4\right)\)· τα \(A,\Gamma\) είναι συμμετρικά ως προς το \(B\) (το \(B\) είναι το μέσο τους).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («A(-√3,-√3/4), B(0,0) και Γ(√3,√3/4). Τα Α,Γ έχουν αντίθετες τεταγμένες»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β2 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=2e^{x-\alpha}-x^2\) έχει, για κάθε τιμή του \(\alpha\in\mathbb{R}\), ακριβώς ένα σημείο καμπής, και να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων αυτών καθώς μεταβάλλεται το \(\alpha\).

Σκέψη: Παραγωγίζουμε δύο φορές· η δεύτερη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα (αφού η εκθετική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα), άρα έχει ΤΟ ΠΟΛΥ μία ρίζα, την οποία βρίσκουμε άμεσα.

Λύση:

1. \(f'(x)=2e^{x-\alpha}-2x\). \(f''(x)=2e^{x-\alpha}-2\).
2. \(f''(x)=0\Leftrightarrow e^{x-\alpha}=1\Leftrightarrow x-\alpha=0\Leftrightarrow x=\alpha\) (μοναδική λύση, αφού η εκθετική είναι 1–1).
3. Αφού \(f'''(x)=2e^{x-\alpha}>0\) πάντα, η \(f''\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \(\mathbb{R}\)· άρα αλλάζει πρόσημο ΑΚΡΙΒΩΣ μία φορά, στο \(x=\alpha\) (αρνητική πριν, θετική μετά). Η \(f\) είναι παντού παραγωγίσιμη (άρα υπάρχει πάντα εφαπτομένη). Άρα υπάρχει ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ σημείο καμπής, στο \(x=\alpha\).
4. \(f(\alpha)=2e^{0}-\alpha^2=2-\alpha^2\). Το σημείο καμπής είναι \((\alpha,2-\alpha^2)\).
5. Καθώς το \(\alpha\) διατρέχει το \(\mathbb{R}\), το σημείο \((\alpha,2-\alpha^2)\) διαγράφει ακριβώς την καμπύλη \(y=2-x^2\) (θέτοντας \(x=\alpha\)): πρόκειται δηλαδή για την παραβολή \(y=-x^2+2\), δηλαδή \(y=2-x^2\) (ισοδύναμα \(x^2+y=2\)), όχι την \(y=x^2+2\).

Απάντηση: Ακριβώς ένα σημείο καμπής, στο \((\alpha,2-\alpha^2)\)· ο γεωμετρικός τόπος του καθώς μεταβάλλεται το \(\alpha\) είναι η παραβολή \(y=2-x^2\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται αριθμητικά με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («2. (α, 2-α²)»).
• ΔΙΑΦΩΝΙΑ ήπιας μορφής: η εκφώνηση, όπως εξήχθη από την πηγή, αναφέρει ότι το σημείο καμπής βρίσκεται «στην παραβολή \(y=x^2+2\)» — όμως το σημείο \((\alpha,2-\alpha^2)\) που υπολογίζουμε (ταυτόσημο με την επίσημη αριθμητική απάντηση του παραρτήματος) ικανοποιεί την εξίσωση \(y=2-x^2\) (ισοδύναμα \(y=-x^2+2\)), ΟΧΙ την \(y=x^2+2\). Πιθανό πρόκειται για σφάλμα προσήμου στην εξαγωγή/OCR της εκφώνησης· κρατάμε τη μαθηματικά συνεπή εκδοχή \(y=2-x^2\), που ταιριάζει απόλυτα με την επίσημη αριθμητική απάντηση.

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση Β3 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι για κάθε \(\alpha\in(-2,2)\) η συνάρτηση \(f(x)=x^4-2\alpha x^3+6x^2+2x+1\) είναι κυρτή σε όλο το \(\mathbb{R}\).

Σκέψη: Υπολογίζουμε την \(f''\), που είναι τριώνυμο ως προς \(x\)· δείχνουμε ότι η διακρίνουσά του είναι αρνητική ακριβώς όταν \(\alpha\in(-2,2)\), οπότε το τριώνυμο διατηρεί σταθερό (θετικό) πρόσημο.

Λύση:

1. \(f'(x)=4x^3-6\alpha x^2+12x+2\). \(f''(x)=12x^2-12\alpha x+12=12(x^2-\alpha x+1)\).
2. Το τριώνυμο \(x^2-\alpha x+1\) έχει διακρίνουσα \(\Delta=\alpha^2-4\). Για \(\alpha\in(-2,2)\): \(\alpha^2<4\Rightarrow\Delta<0\).
3. Αφού \(\Delta<0\) και ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός (\(=1\)), το τριώνυμο \(x^2-\alpha x+1\) είναι θετικό για ΚΑΘΕ \(x\in\mathbb{R}\) (καμία πραγματική ρίζα, παραβολή πάντα πάνω από τον άξονα).
4. Άρα \(f''(x)=12(x^2-\alpha x+1)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), οπότε η \(f\) είναι κυρτή σε όλο το \(\mathbb{R}\).

Απάντηση: Η \(f''(x)=12(x^2-\alpha x+1)>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\) όταν \(\alpha\in(-2,2)\) (αρνητική διακρίνουσα), άρα η \(f\) είναι κυρτή σε όλο το \(\mathbb{R}\).

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («3. f''(x)>0 για κάθε x∈R»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β4 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^3-3x^2+2\). ι) Να αποδείξετε ότι η \(f\) παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. ιι) Αν \(x_1,x_2\) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και \(x_3\) η θέση του σημείου καμπής, να αποδείξετε ότι τα σημεία \(A(x_1,f(x_1))\), \(B(x_2,f(x_2))\) και \(\Gamma(x_3,f(x_3))\) είναι συνευθειακά.

Σκέψη: Βρίσκουμε τις θέσεις ακροτάτων από την \(f'\) και το σημείο καμπής από την \(f''\)· για τη συνευθειακότητα, συγκρίνουμε τις κλίσεις \(AB\) και \(A\Gamma\) (ή \(B\Gamma\)).

Λύση:

1. ι) \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Ρίζες \(0,2\): πρόσημο \(+,-,+\) — τοπικό μέγιστο στο \(x=0\) (\(f(0)=2\)), τοπικό ελάχιστο στο \(x=2\) (\(f(2)=8-12+2=-2\)).
2. \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\). Ρίζα \(x=1\), αλλαγή προσήμου \(-\to+\) — σημείο καμπής (\(f(1)=1-3+2=0\)).
3. Άρα \(x_1=0\) (μέγιστο), \(x_2=2\) (ελάχιστο), \(x_3=1\) (καμπή): \(A(0,2)\), \(B(2,-2)\), \(\Gamma(1,0)\).
4. ιι) Κλίση \(A\Gamma\): \(\dfrac{0-2}{1-0}=-2\). Κλίση \(AB\): \(\dfrac{-2-2}{2-0}=\dfrac{-4}{2}=-2\). Ίσες κλίσεις από κοινό σημείο \(A\) — τα \(A,B,\Gamma\) είναι συνευθειακά (όλα πάνω στην ευθεία \(y=-2x+2\)).

Απάντηση: ι) Τοπικό μέγιστο \(f(0)=2\), τοπικό ελάχιστο \(f(2)=-2\), σημείο καμπής \((1,0)\). ιι) \(\lambda_{AB}=\lambda_{A\Gamma}=-2\) — συνευθειακά σημεία.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με την επίσημη απάντηση του βιβλίου («4. i) Τοπικό μέγιστο το f(0)=2, τοπικό ελάχιστο το f(2)=-2 και σημείο καμπής το (1,0). ii) λ_AB=λ_AΓ=-2»).

Κατάσταση QA: ελεγμένο

Άσκηση Β5 (σελ. 161)

Εκφώνηση: Έστω \(f\) μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο \((-2,2)\), για την οποία ισχύει \(f^2(x)-2f(x)+x^2-3=0\). Να αποδείξετε ότι η \(f\) δεν έχει σημεία καμπής.

Σκέψη: Συμπληρώνουμε τετράγωνο ως προς \(f(x)\) για να απομονώσουμε την \(f\) ως έναν από δύο κλάδους ημικυκλίου· κάθε κλάδος έχει σταθερή κυρτότητα σε όλο το \((-2,2)\), άρα καμία αλλαγή προσήμου της \(f''\), άρα κανένα σημείο καμπής.

Λύση:

1. \(f^2(x)-2f(x)+1=4-x^2\Leftrightarrow[f(x)-1]^2=4-x^2\) (χρειάζεται \(4-x^2\geq0\), που ισχύει αφού \(x\in(-2,2)\)).
2. Άρα \(f(x)=1\pm\sqrt{4-x^2}\). Επειδή η \(f\) είναι συνεχής (μάλιστα δύο φορές παραγωγίσιμη) σε όλο το \((-2,2)\), δεν μπορεί να "μεταπηδά" ανάμεσα στους δύο κλάδους (που εφάπτονται μόνο στα άκρα \(x=\pm2\), εκτός πεδίου ορισμού)· άρα η \(f\) ταυτίζεται με ΕΝΑΝ από τους δύο κλάδους σε όλο το διάστημα.
3. Έστω \(g(x)=\sqrt{4-x^2}\): \(g'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\), \(g''(x)=\dfrac{-\sqrt{4-x^2}-(-x)\cdot\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2}=\dfrac{-(4-x^2)-x^2}{(4-x^2)^{3/2}}=\dfrac{-4}{(4-x^2)^{3/2}}<0\) για κάθε \(x\in(-2,2)\) (ημικύκλιο, πάντα κοίλο).
4. Αν \(f(x)=1+g(x)\): \(f''(x)=g''(x)<0\) σε ΟΛΟ το \((-2,2)\) — καμία αλλαγή προσήμου, καμία θέση σημείου καμπής. Αν \(f(x)=1-g(x)\): \(f''(x)=-g''(x)>0\) σε ΟΛΟ το \((-2,2)\) — και πάλι καμία αλλαγή προσήμου.
5. Σε κάθε περίπτωση, η \(f''\) διατηρεί σταθερό πρόσημο σε όλο το \((-2,2)\) (δεν μηδενίζεται καν, αφού \(4-x^2>0\) γνήσια στο ανοικτό διάστημα) — άρα η \(f\) δεν έχει κανένα σημείο καμπής.

Απάντηση: Από τη σχέση προκύπτει \(f(x)=1\pm\sqrt{4-x^2}\) (ημικύκλιο), με \(f''(x)\) σταθερού προσήμου σε όλο το \((-2,2)\) (ποτέ μηδέν) — άρα η \(f\) δεν παρουσιάζει σημεία καμπής.

Πρόσεξε:

• Ταυτίζεται με τη δομή της επίσημης απάντησης του βιβλίου («5. Η f'' δεν μηδενίζεται στο (-2,2)»), με πλήρη ανεξάρτητη απόδειξη μέσω ρητής επίλυσης της f ως ημικύκλιο.

Κατάσταση QA: ελεγμένο