Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 3.2: Μέθοδοι ολοκλήρωσης (σελ. 191-200)

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, σελ. 192-201. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου.)

Άσκηση Α1 (σελ. 198)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int x^2e^{-x}dx\) ii) \(\int (3x^2-2x+1)e^{2x}dx\) iii) \(\int x^3\ln x\,dx\) iv) \(\int 2x^2\eta\mu 2x\,dx\) v) \(\int 4x\sigma\upsilon\nu 2x\,dx\) vi) \(\int \ln x\,dx\) vii) \(\int \frac{\ln x}{x^2}dx\) viii) \(\int e^x\sigma\upsilon\nu 2x\,dx\) ix) \(\int e^x\eta\mu x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κατά παράγοντες, επιλέγοντας ως \(g'(x)\) τον παράγοντα που ολοκληρώνεται εύκολα (\(e^{-x}, e^{2x}, x, \eta\mu2x,\sigma\upsilon\nu2x\)) και ως \(f(x)\) τον υπόλοιπο· στα viii,ix κυκλική επανάληψη (λύνεται ως εξίσωση ως προς το ζητούμενο ολοκλήρωμα).

Λύση:

1. i) \(\int x^2e^{-x}dx=-x^2e^{-x}+\int 2xe^{-x}dx=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}+\int 2e^{-x}dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)+c\).
2. ii) Δύο διαδοχικές παραγοντικές: \(\int(3x^2-2x+1)e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}(3x^2-2x+1)-\int(3x-1)e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}(3x^2-2x+1)-\left[\frac{1}{2}e^{2x}(3x-1)-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx\right]=\frac14e^{2x}(6x^2-10x+7)+c\).
3. iii) \(\int x^3\ln x\,dx=\frac{x^4}{4}\ln x-\int\frac{x^4}{4}\cdot\frac1xdx=\frac{x^4}{4}\ln x-\frac{x^4}{16}+c\).
4. iv) \(\int 2x^2\eta\mu2x\,dx=-x^2\sigma\upsilon\nu2x+\int 2x\sigma\upsilon\nu2x\,dx=-x^2\sigma\upsilon\nu2x+x\eta\mu2x-\int\eta\mu2x\,dx=-x^2\sigma\upsilon\nu2x+x\eta\mu2x+\frac12\sigma\upsilon\nu2x+c=\left(-x^2+\frac12\right)\sigma\upsilon\nu2x+x\eta\mu2x+c\).
5. v) \(\int 4x\sigma\upsilon\nu2x\,dx=2x\eta\mu2x-\int2\eta\mu2x\,dx=2x\eta\mu2x+\sigma\upsilon\nu2x+c\).
6. vi) \(\int\ln x\,dx=\int(x)'\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1xdx=x\ln x-x+c\).
7. vii) \(\int\frac{\ln x}{x^2}dx=\int\left(-\frac1x\right)'\ln x\,dx=-\frac{\ln x}{x}+\int\frac1x\cdot\frac1xdx=-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+c\).
8. viii) Θέτουμε \(I=\int e^x\sigma\upsilon\nu2x\,dx=e^x\sigma\upsilon\nu2x+2\int e^x\eta\mu2x\,dx=e^x\sigma\upsilon\nu2x+2\left(e^x\eta\mu2x-2\int e^x\sigma\upsilon\nu2x\,dx\right)=e^x\sigma\upsilon\nu2x+2e^x\eta\mu2x-4I\Rightarrow5I=e^x(\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)+c_1\Rightarrow I=\frac15e^x(\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)+c\).
9. ix) Θέτουμε \(J=\int e^x\eta\mu x\,dx=e^x\eta\mu x-\int e^x\sigma\upsilon\nu x\,dx=e^x\eta\mu x-\left(e^x\sigma\upsilon\nu x+\int e^x\eta\mu x\,dx\right)=e^x\eta\mu x-e^x\sigma\upsilon\nu x-J\Rightarrow 2J=e^x(\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x)+c_1\Rightarrow J=\frac12e^x(\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x)+c\).

Απάντηση: i) \(-e^{-x}(x^2+2x+2)+c\) ii) \(\frac14e^{2x}(6x^2-10x+7)+c\) iii) \(\frac{x^4}{4}\ln x-\frac{x^4}{16}+c\) iv) \(\left(-x^2+\frac12\right)\sigma\upsilon\nu2x+x\eta\mu2x+c\) v) \(2x\eta\mu2x+\sigma\upsilon\nu2x+c\) vi) \(x\ln x-x+c\) vii) \(-\frac{\ln x}{x}-\frac1x+c\) viii) \(\frac15e^x(\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)+c\) ix) \(\frac12e^x(\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x)+c\)

Πρόσεξε:

• Το βιβλίο τυπώνει το (ii) ως \(e^{2u}\) — προφανές τυπογραφικό λάθος (OCR), διορθώθηκε σε \(e^{2x}\) ώστε η άσκηση να έχει νόημα και να ταιριάζει με την επίσημη απάντηση του βιβλίου.

Άσκηση Α2 (σελ. 198)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \eta\mu 3x\,dx\) ii) \(\int (4x^2-16x+7)^3(x-2)dx\) iii) \(\int \frac{x+3}{(x^2+6x)^4}dx\) iv) \(\int \frac{x^2}{\sqrt{2+x^3}}dx\) v) \(\int x\sqrt{x+1}\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναγνώριση \(u=g(x)\) τέτοιου ώστε το \(g'(x)dx\) να εμφανίζεται (ή σχεδόν) στο ολοκλήρωμα.

Λύση:

1. i) \(u=3x,\ du=3dx\Rightarrow \int\eta\mu3x\,dx=\frac13\int\eta\mu u\,du=-\frac13\sigma\upsilon\nu3x+c\).
2. ii) \(u=4x^2-16x+7,\ du=(8x-16)dx=8(x-2)dx\Rightarrow \int u^3(x-2)dx=\frac18\int u^3du=\frac{1}{32}u^4+c=\frac1{32}(4x^2-16x+7)^4+c\).
3. iii) \(u=x^2+6x,\ du=(2x+6)dx=2(x+3)dx\Rightarrow \int\frac{x+3}{u^4}dx=\frac12\int u^{-4}du=\frac12\cdot\frac{u^{-3}}{-3}+c=-\frac{1}{6(x^2+6x)^3}+c\).
4. iv) \(u=2+x^3,\ du=3x^2dx\Rightarrow \int\frac{x^2}{\sqrt u}dx=\frac13\int u^{-1/2}du=\frac13\cdot2u^{1/2}+c=\frac23\sqrt{2+x^3}+c\).
5. v) \(u=x+1\Rightarrow x=u-1,\ du=dx\Rightarrow \int(u-1)\sqrt u\,du=\int(u^{3/2}-u^{1/2})du=\frac25u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+c=\frac23u^{3/2}\left(\frac35u-1\right)+c=\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x-2)+c\) (μετά από πράξεις: \(\frac35u-1=\frac{3x+3-5}{5}=\frac{3x-2}{5}\)).

Απάντηση: i) \(-\frac13\sigma\upsilon\nu3x+c\) ii) \(\frac1{32}(4x^2-16x+7)^4+c\) iii) \(-\frac{1}{6(x^2+6x)^3}+c\) iv) \(\frac23\sqrt{2+x^3}+c=\frac23(2+x^3)^{1/2}+c\) v) \(\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x-2)+c\)

Πρόσεξε:

• Στο (v) το βιβλίο γράφει τον τελικό τύπο ως \(\frac{2}{15}(x+3)^{3/2}(3x-2)\) — επιβεβαιώθηκε ότι πρόκειται για τυπογραφικό λάθος του βιβλίου (πρέπει \((x+1)^{3/2}\), αφού \(u=x+1\)), με παραγώγιση προς επαλήθευση: \(\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x-2)\right]=x\sqrt{x+1}\) ✓, ενώ με \((x+3)^{3/2}\) ΔΕΝ επαληθεύεται.

Άσκηση Α3 (σελ. 198)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int e^x\eta\mu e^x\,dx\) ii) \(\int \frac{e^x}{e^x+1}dx\) iii) \(\int \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}dx\) iv) \(\int \frac{e^x}{(e^x+1)\ln(e^x+1)}dx\) v) \(\int \frac{\eta\mu\left(\frac1x\right)}{x^2}dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση αναγνωρίζουμε \(u=g(x)\) με \(g'(x)\) να είναι ο υπόλοιπος παράγοντας.

Λύση:

1. i) \(u=e^x\Rightarrow \int\eta\mu u\,du=-\sigma\upsilon\nu u+c=-\sigma\upsilon\nu e^x+c\).
2. ii) \(u=e^x+1\Rightarrow \int\frac{du}{u}=\ln|u|+c=\ln(e^x+1)+c\) (θετικό, χωρίς απόλυτη τιμή).
3. iii) \(u=\ln x\Rightarrow \int u^{-1/2}du=2\sqrt u+c=2\sqrt{\ln x}+c\).
4. iv) \(u=\ln(e^x+1)\Rightarrow du=\frac{e^x}{e^x+1}dx\Rightarrow \int\frac{du}{u}=\ln|u|+c=\ln(\ln(e^x+1))+c\).
5. v) \(u=\frac1x\Rightarrow du=-\frac1{x^2}dx\Rightarrow \int\eta\mu u\cdot(-du)=\sigma\upsilon\nu u+c=\sigma\upsilon\nu\frac1x+c\).

Απάντηση: i) \(-\sigma\upsilon\nu e^x+c\) ii) \(\ln(e^x+1)+c\) iii) \(2\sqrt{\ln x}+c\) iv) \(\ln(\ln(e^x+1))+c\) v) \(\sigma\upsilon\nu\frac1x+c\)

Άσκηση Β1 (σελ. 198)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \frac{\eta\mu 2x}{1+\sigma\upsilon\nu^2x}dx\) ii) \(\int \epsilon\phi x\cdot \ln(\sigma\upsilon\nu x)\,dx\) iii) \(\int \sigma\upsilon\nu x\cdot e^{\eta\mu x}dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο (i) γράφουμε \(\eta\mu2x=2\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x\) και θέτουμε \(u=1+\sigma\upsilon\nu^2x\); στα (ii),(iii) η παράγωγος του εσωτερικού (\(\sigma\upsilon\nu x\) ή \(\eta\mu x\)) εμφανίζεται ήδη ως παράγοντας.

Λύση:

1. i) \(u=1+\sigma\upsilon\nu^2x\Rightarrow du=2\sigma\upsilon\nu x(-\eta\mu x)dx=-\eta\mu2x\,dx\Rightarrow \int\frac{\eta\mu2x}{u}dx=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+c=-\ln(1+\sigma\upsilon\nu^2x)+c\).
2. ii) \(u=\ln(\sigma\upsilon\nu x)\Rightarrow du=\frac{-\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}dx=-\epsilon\phi x\,dx\Rightarrow \int\epsilon\phi x\ln(\sigma\upsilon\nu x)dx=-\int u\,du=-\frac{u^2}{2}+c=-\frac12[\ln(\sigma\upsilon\nu x)]^2+c\).
3. iii) \(u=\eta\mu x\Rightarrow du=\sigma\upsilon\nu x\,dx\Rightarrow \int e^u du=e^u+c=e^{\eta\mu x}+c\).

Απάντηση: i) \(-\ln(1+\sigma\upsilon\nu^2x)+c\) ii) \(-\frac12[\ln(\sigma\upsilon\nu x)]^2+c\) iii) \(e^{\eta\mu x}+c\)

Άσκηση Β2 (σελ. 199)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \sqrt{\frac{x^3+1}{x^3}}\cdot \frac{1}{x^4}dx\) ii) \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\) iii) \(\int x\ln(x^2+1)dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο (i) γράφουμε τη ρίζα ως \(\sqrt{1+x^{-3}}\) και θέτουμε \(u=1+x^{-3}\)· στο (ii) απλή αντικατάσταση \(u=x^2+1\)· στο (iii) κατά παράγοντες με \(g'(x)=x\).

Λύση:

1. i) Γράφουμε \(\sqrt{\frac{x^3+1}{x^3}}=\sqrt{1+x^{-3}}\), οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται \(\int\sqrt{1+x^{-3}}\cdot x^{-4}dx\). Θέτουμε \(u=1+x^{-3}\Rightarrow du=-3x^{-4}dx\Rightarrow x^{-4}dx=-\frac13du\). Άρα \(\int\sqrt u\cdot(-\frac13)du=-\frac13\cdot\frac23u^{3/2}+c=-\frac29(1+x^{-3})^{3/2}+c=-\frac29\left(\frac{x^3+1}{x^3}\right)^{3/2}+c=-\frac{2}{9}\cdot\frac{(x^3+1)^{3/2}}{x^{9/2}}+c\ (x>0)\).
2. ii) \(u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow \int\frac{x}{\sqrt u}dx=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot2u^{1/2}+c=\sqrt{x^2+1}+c\).
3. iii) \(\int x\ln(x^2+1)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x^2+1)-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{x^2}{2}\ln(x^2+1)-\int\frac{x^3}{x^2+1}dx\). Με διαίρεση \(\frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}\Rightarrow \int\frac{x^3}{x^2+1}dx=\frac{x^2}{2}-\frac12\ln(x^2+1)+c_1\). Άρα \(\int x\ln(x^2+1)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x^2+1)-\frac{x^2}{2}+\frac12\ln(x^2+1)+c=\frac12(x^2+1)[\ln(x^2+1)-1]+c\) (αφού \(-\frac{x^2}{2}=-\frac12(x^2+1)+\frac12\), η σταθερά \(\frac12\) απορροφάται στο \(c\)).

Απάντηση: i) \(-\dfrac{2}{9x^{9/2}}(x^3+1)^{3/2}+c\) ii) \(\sqrt{x^2+1}+c\) iii) \(\frac12(x^2+1)[\ln(x^2+1)-1]+c\)

Πρόσεξε:

• Στο (i) η δική μας ανεξάρτητη παραγώγιση (επαληθευμένη: \(\frac{d}{dx}\left[-\frac29(1+x^{-3})^{3/2}\right]=-\frac29\cdot\frac32(1+x^{-3})^{1/2}\cdot(-3x^{-4})=x^{-4}\sqrt{1+x^{-3}}\) ✓, ίδιο με το ζητούμενο ολοκλήρωμα) δίνει \(-\frac{2}{9}\cdot\frac{(x^3+1)^{3/2}}{x^{9/2}}+c\), ΟΧΙ το \(-\frac29(x^3+1)^{3/2}+c\) που αναφέρει η επίσημη λύση του βιβλίου (λείπει ο παρονομαστής \(x^{9/2}\) — πιθανό βιβλιογραφικό/τυπογραφικό λάθος ή διαφορετική εκφώνηση στο πρωτότυπο). Κρατήσαμε τη δική μας, επαληθευμένη με παραγώγιση, απάντηση.

Άσκηση Β3 (σελ. 199)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int x^2\ln x^2dx\) ii) \(\int (\ln t)^2dt\) iii) \(\int e^{2x}\sigma\upsilon\nu e^x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο (i) γράφουμε \(\ln x^2=2\ln x\) (για \(x\neq0\)) και ολοκληρώνουμε κατά παράγοντες· στο (ii) δύο διαδοχικές παραγοντικές· στο (iii) γράφουμε \(e^{2x}=e^x\cdot e^x\) και θέτουμε \(u=e^x\) πρώτα, μετά παραγοντική.

Λύση:

1. i) \(\int x^2\ln x^2dx=2\int x^2\ln x\,dx=2\left[\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1xdx\right]=2\left[\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}\right]+c=\frac{2x^3}{3}\ln x-\frac{2x^3}{9}+c=\frac{2x^3}{9}(3\ln x-1)+c\).
2. ii) \(\int(\ln t)^2dt=t(\ln t)^2-\int t\cdot2\ln t\cdot\frac1tdt=t(\ln t)^2-2\int\ln t\,dt=t(\ln t)^2-2(t\ln t-t)+c=t(\ln t)^2-2t\ln t+2t+c\).
3. iii) \(u=e^x\Rightarrow du=e^xdx\Rightarrow \int e^{2x}\sigma\upsilon\nu e^xdx=\int e^x\cdot e^x\sigma\upsilon\nu e^xdx=\int u\sigma\upsilon\nu u\,du\) (κατά παράγοντες) \(=u\eta\mu u-\int\eta\mu u\,du=u\eta\mu u+\sigma\upsilon\nu u+c=e^x\eta\mu e^x+\sigma\upsilon\nu e^x+c\).

Απάντηση: i) \(\frac{2x^3}{9}(3\ln x-1)+c\) ii) \(t(\ln t)^2-2t\ln t+2t+c\) iii) \(e^x\eta\mu e^x+\sigma\upsilon\nu e^x+c\)

Πρόσεξε:

• Στο (i) η επίσημη λύση του βιβλίου δίνει \(\frac{x^5}{5}\left(\ln x^2-\frac23\right)+c\), που αντιστοιχεί σε διαφορετικό ολοκλήρωμα (\(\int x^4\ln x^2dx\), όχι \(\int x^2\ln x^2dx\) όπως εξήχθη η εκφώνηση) — επαληθεύτηκε ότι ΔΕΝ ταιριάζει με παραγώγιση. Η δική μας απάντηση \(\frac{2x^3}{9}(3\ln x-1)+c\) επαληθεύεται πλήρως: \(\frac{d}{dx}\left[\frac{2x^3}{9}(3\ln x-1)\right]=\frac{2x^2}{3}(3\ln x-1)+\frac{2x^3}{9}\cdot\frac3x=2x^2\ln x-\frac{2x^2}{3}+\frac{2x^2}{3}=2x^2\ln x=x^2\ln x^2\) ✓ — και τη διατηρήσαμε ως τη σωστή, συνεπή με την εκφώνηση απάντηση.

Άσκηση Β4 (σελ. 199)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \epsilon\phi x\,dx\) και \(\int \frac{x}{\sigma\upsilon\nu^2x}dx\) ii) \(\int \frac{\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu^2x}dx\) και \(\int \frac{1+\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu^2x}dx\) iii) \(\int \eta\mu^3x\,dx\) και \(\int \sigma\upsilon\nu^3x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Πρώτο με \(u=\sigma\upsilon\nu x\), δεύτερο κατά παράγοντες με \(g'(x)=1/\sigma\upsilon\nu^2x\) (άθροισμα με το πρώτο)· ii) πρώτο με \(u=\eta\mu x\), δεύτερο διασπάται στο πρώτο συν \(\int\eta\mu^{-2}x\,dx\)· iii) γράφουμε \(\eta\mu^3x=\eta\mu x(1-\sigma\upsilon\nu^2x)\) και \(\sigma\upsilon\nu^3x=\sigma\upsilon\nu x(1-\eta\mu^2x)\), μετά αντικατάσταση.

Λύση:

1. i) \(\int\epsilon\phi x\,dx=-\ln|\sigma\upsilon\nu x|+c\) (όπως στο §3.2 Εφαρμογή 1.ii). Για το δεύτερο: \(\int\frac{x}{\sigma\upsilon\nu^2x}dx=\int x(\epsilon\phi x)'dx=x\epsilon\phi x-\int\epsilon\phi x\,dx=x\epsilon\phi x-(-\ln|\sigma\upsilon\nu x|)+c=x\epsilon\phi x+\ln|\sigma\upsilon\nu x|+c\).
2. ii) \(u=\eta\mu x\Rightarrow \int\frac{\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu^2x}dx=\int\frac{du}{u^2}=-\frac1u+c=-\frac1{\eta\mu x}+c\). Για το δεύτερο: \(\int\frac{1+\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu^2x}dx=\int\frac{1}{\eta\mu^2x}dx+\int\frac{\sigma\upsilon\nu x}{\eta\mu^2x}dx=-\sigma\varphi x-\frac1{\eta\mu x}+c\).
3. iii) \(\int\eta\mu^3x\,dx=\int\eta\mu x(1-\sigma\upsilon\nu^2x)dx=\int\eta\mu x\,dx-\int\sigma\upsilon\nu^2x\eta\mu x\,dx\). Με \(u=\sigma\upsilon\nu x,\ du=-\eta\mu x\,dx\): \(\int\sigma\upsilon\nu^2x\eta\mu x\,dx=-\int u^2du=-\frac{u^3}{3}+c_1=-\frac{\sigma\upsilon\nu^3x}{3}+c_1\). Άρα \(\int\eta\mu^3x\,dx=-\sigma\upsilon\nu x+\frac{\sigma\upsilon\nu^3x}{3}+c=\frac{\sigma\upsilon\nu^3x}{3}-\sigma\upsilon\nu x+c\). Ομοίως, \(\int\sigma\upsilon\nu^3x\,dx=\int\sigma\upsilon\nu x(1-\eta\mu^2x)dx=\eta\mu x-\frac{\eta\mu^3x}{3}+c\).

Απάντηση: i) \(-\ln|\sigma\upsilon\nu x|+c\) και \(x\epsilon\phi x+\ln|\sigma\upsilon\nu x|+c\) ii) \(-\frac1{\eta\mu x}+c\) και \(-\sigma\varphi x-\frac1{\eta\mu x}+c\) iii) \(\frac{\sigma\upsilon\nu^3x}{3}-\sigma\upsilon\nu x+c\) και \(\eta\mu x-\frac{\eta\mu^3x}{3}+c\)

Άσκηση Β5 (σελ. 199)

Με τη βοήθεια των τύπων \(\eta\mu^2\alpha=\frac{1-\sigma\upsilon\nu2\alpha}{2}\) και \(\sigma\upsilon\nu^2\alpha=\frac{1+\sigma\upsilon\nu2\alpha}{2}\) να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \eta\mu^2x\,dx\) ii) \(\int \sigma\upsilon\nu^2x\,dx\) iii) \(\int \eta\mu^2x\sigma\upsilon\nu^2x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αντικατάσταση των δοθέντων τύπων και ολοκλήρωση όρο-όρο· στο (iii) γράφουμε \(\eta\mu^2x\sigma\upsilon\nu^2x=\frac14\eta\mu^22x=\frac{1-\sigma\upsilon\nu4x}{8}\).

Λύση:

1. i) \(\int\eta\mu^2x\,dx=\int\frac{1-\sigma\upsilon\nu2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac14\eta\mu2x+c\).
2. ii) \(\int\sigma\upsilon\nu^2x\,dx=\int\frac{1+\sigma\upsilon\nu2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac14\eta\mu2x+c\).
3. iii) \(\eta\mu^2x\sigma\upsilon\nu^2x=(\eta\mu x\sigma\upsilon\nu x)^2=\left(\frac{\eta\mu2x}{2}\right)^2=\frac{\eta\mu^22x}{4}=\frac14\cdot\frac{1-\sigma\upsilon\nu4x}{2}=\frac{1-\sigma\upsilon\nu4x}{8}\Rightarrow \int=\frac{x}{8}-\frac1{32}\eta\mu4x+c\).

Απάντηση: i) \(\frac{x}{2}-\frac14\eta\mu2x+c\) ii) \(\frac{x}{2}+\frac14\eta\mu2x+c\) iii) \(\frac{x}{8}-\frac1{32}\eta\mu4x+c\)

Άσκηση Β6 (σελ. 199)

Με τη βοήθεια των τύπων \(2\eta\mu\alpha\sigma\upsilon\nu\beta=\eta\mu(\alpha-\beta)+\eta\mu(\alpha+\beta)\), \(2\sigma\upsilon\nu\alpha\sigma\upsilon\nu\beta=\sigma\upsilon\nu(\alpha-\beta)+\sigma\upsilon\nu(\alpha+\beta)\), \(2\eta\mu\alpha\eta\mu\beta=\sigma\upsilon\nu(\alpha-\beta)-\sigma\upsilon\nu(\alpha+\beta)\) να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \eta\mu x\sigma\upsilon\nu 2x\,dx\) ii) \(\int \sigma\upsilon\nu 3x\sigma\upsilon\nu 5x\,dx\) iii) \(\int \eta\mu 2x\eta\mu 4x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετατροπή γινομένου σε άθροισμα με τους δοθέντες τύπους, μετά ολοκλήρωση όρο-όρο.

Λύση:

1. i) \(2\eta\mu x\sigma\upsilon\nu2x=\eta\mu(-x)+\eta\mu3x=-\eta\mu x+\eta\mu3x\Rightarrow \eta\mu x\sigma\upsilon\nu2x=\frac12(\eta\mu3x-\eta\mu x)\Rightarrow \int=\frac12\left(-\frac13\sigma\upsilon\nu3x+\sigma\upsilon\nu x\right)+c=\frac12\sigma\upsilon\nu x-\frac16\sigma\upsilon\nu3x+c\).
2. ii) \(2\sigma\upsilon\nu3x\sigma\upsilon\nu5x=\sigma\upsilon\nu(-2x)+\sigma\upsilon\nu8x=\sigma\upsilon\nu2x+\sigma\upsilon\nu8x\Rightarrow \int\sigma\upsilon\nu3x\sigma\upsilon\nu5x\,dx=\frac12\left(\frac12\eta\mu2x+\frac18\eta\mu8x\right)+c=\frac14\eta\mu2x+\frac1{16}\eta\mu8x+c\).
3. iii) \(2\eta\mu2x\eta\mu4x=\sigma\upsilon\nu(-2x)-\sigma\upsilon\nu6x=\sigma\upsilon\nu2x-\sigma\upsilon\nu6x\Rightarrow \int\eta\mu2x\eta\mu4x\,dx=\frac12\left(\frac12\eta\mu2x-\frac16\eta\mu6x\right)+c=\frac14\eta\mu2x-\frac1{12}\eta\mu6x+c\).

Απάντηση: i) \(\frac12\sigma\upsilon\nu x-\frac16\sigma\upsilon\nu3x+c\) ii) \(\frac14\eta\mu2x+\frac1{16}\eta\mu8x+c\) iii) \(\frac14\eta\mu2x-\frac1{12}\eta\mu6x+c\)

Άσκηση Β7 (σελ. 199)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα i) \(\int \frac{2x-3}{x^2-3x+2}dx\) ii) \(\int \frac{3x+2}{x^2-3x+2}dx\) iii) \(\int \frac{x^3-2x}{x^2+3x+2}dx\) iv) \(\int \frac{2}{x^2-1}dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Ο αριθμητής είναι (σχεδόν) η παράγωγος του παρονομαστή· ii),iii),iv) ανάλυση σε απλά κλάσματα (ρίζες παρονομαστή) ή/και πολυωνυμική διαίρεση όταν ο βαθμός αριθμητή ≥ βαθμός παρονομαστή.

Λύση:

1. i) \(x^2-3x+2\) έχει παράγωγο \(2x-3\), δηλαδή ακριβώς τον αριθμητή. Άρα \(\int\frac{2x-3}{x^2-3x+2}dx=\ln|x^2-3x+2|+c\).
2. ii) Ρίζες παρονομαστή: \(x=1,2\). \(\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\Rightarrow 3x+2=A(x-2)+B(x-1)\). Για \(x=1: 5=-A\Rightarrow A=-5\). Για \(x=2: 8=B\). Άρα \(\int=-5\ln|x-1|+8\ln|x-2|+c\).
3. iii) Βαθμός αριθμητή (3) ≥ βαθμός παρονομαστή (2): διαίρεση \(x^3-2x=(x^2+3x+2)(x-3)+(5x+6)\). Ρίζες παρονομαστή: \(x=-1,-2\). \(\frac{5x+6}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\Rightarrow 5x+6=A(x+2)+B(x+1)\). Για \(x=-1:1=A\). Για \(x=-2:-4=-B\Rightarrow B=4\). Άρα \(\int\frac{x^3-2x}{x^2+3x+2}dx=\int(x-3)dx+\int\frac1{x+1}dx+\int\frac4{x+2}dx=\frac{x^2}{2}-3x+\ln|x+1|+4\ln|x+2|+c\).
4. iv) \(\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\Rightarrow 2=A(x+1)+B(x-1)\). Για \(x=1:2=2A\Rightarrow A=1\). Για \(x=-1:2=-2B\Rightarrow B=-1\). Άρα \(\int\frac2{x^2-1}dx=\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+c\).

Απάντηση: i) \(\ln|x^2-3x+2|+c\) ii) \(-5\ln|x-1|+8\ln|x-2|+c\) iii) \(\frac{x^2}{2}-3x+\ln|x+1|+4\ln|x+2|+c\) iv) \(\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+c\)