Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 3.4: Ορισμένο ολοκλήρωμα (σελ. 208-215)

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, σελ. 209-216. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου.)

Άσκηση Α1 (σελ. 216)

Αν \(\int_0^4f(x)dx=9,\ \int_3^4f(x)dx=11\) και \(\int_4^8f(x)dx=4\), να βρείτε τα ολοκληρώματα i) \(\int_4^3f(x)dx\) ii) \(\int_4^8f(x)dx\) iii) \(\int_0^3f(x)dx\) iv) \(\int_3^8f(x)dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες αντιστροφής ορίων (\(\int_\beta^\alpha=-\int_\alpha^\beta\)) και προσθετικότητας (\(\int_\alpha^\beta=\int_\alpha^\gamma+\int_\gamma^\beta\)).

Λύση:

1. i) \(\int_4^3f(x)dx=-\int_3^4f(x)dx=-11\).
2. ii) Δίνεται απευθείας: \(\int_4^8f(x)dx=4\).
3. iii) Από την προσθετικότητα: \(\int_0^4f(x)dx=\int_0^3f(x)dx+\int_3^4f(x)dx\Rightarrow 9=\int_0^3f(x)dx+11\Rightarrow \int_0^3f(x)dx=9-11=-2\).
4. iv) Από την προσθετικότητα: \(\int_3^8f(x)dx=\int_3^4f(x)dx+\int_4^8f(x)dx=11+4=15\).

Απάντηση: i) \(-11\) ii) \(4\) iii) \(-2\) iv) \(15\)

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση όπως εξήχθη από το βιβλίο αναφέρει ως τρίτο δεδομένο «\(\int_1^3f(x)dx=13\)» και ζητά στο (iii) το ίδιο ολοκλήρωμα \(\int_1^3f(x)dx\) — κάτι αντιφατικό (δεν θα είχε νόημα να «βρεθεί» κάτι ήδη δοσμένο, και η επίσημη απάντηση του βιβλίου γι' αυτό είναι \(-2\), όχι \(13\)). Ανασυνθέσαμε τα δεδομένα ως \(\int_4^8f(x)dx=4\) (πιθανό OCR-λάθος στα όρια/ψηφία, \(4\to8\) αντί \(1\to3\)) και το ζητούμενο (iii) ως \(\int_0^3f(x)dx\) (πιθανό OCR-λάθος \(0\to1\)) — αυτή η ανασύνθεση αναπαράγει ΑΚΡΙΒΩΣ και τις 4 επίσημες απαντήσεις (\(-11,4,-2,15\)), κάτι που επιβεβαιώνει ισχυρά την ορθότητά της.

Άσκηση Α2 (σελ. 216)

Να αποδείξετε ότι \(\int_1^e\ln t\,dt=\int_{1/e}^1\dfrac{1}{t^2}\ln\dfrac1t\,dt\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο δεξί μέλος θέτουμε \(s=1/t\) (αλλαγή μεταβλητής σε ορισμένο ολοκλήρωμα, με αλλαγή και των ορίων) και δείχνουμε ότι μετασχηματίζεται ακριβώς στο αριστερό μέλος.

Λύση:

1. Στο δεξί μέλος θέτουμε \(s=\frac1t\Rightarrow t=\frac1s,\ dt=-\frac{1}{s^2}ds\). Όταν \(t=\frac1e,\ s=e\)· όταν \(t=1,\ s=1\). Επίσης \(\frac{1}{t^2}=s^2\) και \(\ln\frac1t=\ln s\).
2. Άρα \(\int_{1/e}^1\frac{1}{t^2}\ln\frac1t\,dt=\int_{s=e}^{1}s^2\ln s\cdot\left(-\frac1{s^2}\right)ds=\int_{s=e}^{1}(-\ln s)\,ds=\int_{s=1}^{e}\ln s\,ds\) (αντιστρέφοντας τα όρια ολοκλήρωσης, εξαφανίζεται το πρόσημο).
3. Δηλαδή \(\int_{1/e}^1\frac{1}{t^2}\ln\frac1t\,dt=\int_1^e\ln s\,ds=\int_1^e\ln t\,dt\) (το όνομα της μεταβλητής ολοκλήρωσης δεν επηρεάζει την τιμή). ∎ (Επαλήθευση με απευθείας υπολογισμό και των δύο μελών: και τα δύο ισούνται με \(1\).)

Απάντηση: Η ισότητα αποδεικνύεται με την αλλαγή μεταβλητής \(s=1/t\)· και τα δύο μέλη ισούνται με \(1\).

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση όπως εξήχθη από το βιβλίο παραλείπει τον παράγοντα \(\frac{1}{t^2}\) στο δεξί μέλος (\(\int_{1/e}^1\ln\frac1t\,dt\) αντί \(\int_{1/e}^1\frac{1}{t^2}\ln\frac1t\,dt\)) — πιθανό OCR-λάθος (απώλεια μικρού εκθέτη). Επαληθεύτηκε με απευθείας υπολογισμό ότι ΧΩΡΙΣ τον παράγοντα \(1/t^2\) η ισότητα είναι ΨΕΥΔΗΣ (αριστερό μέλος \(=1\), δεξί μέλος χωρίς το \(1/t^2\) \(=1-\frac2e\approx0{,}264\)), ενώ ΜΕ τον παράγοντα η ισότητα επαληθεύεται ακριβώς (και τα δύο μέλη \(=1\)). Διορθώσαμε αναλόγως.

Άσκηση Α3 (σελ. 216)

Να υπολογίσετε το \(\kappa\) έτσι, ώστε \(\displaystyle\int_1^\kappa\frac{x^2-4}{x^2+1}dx-\int_\kappa^1\frac{5}{x^2+1}dx=3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε \(-\int_\kappa^1(\cdot)dx=+\int_1^\kappa(\cdot)dx\) (αντιστροφή ορίων) και ενώνουμε τα δύο ολοκληρώματα σε ένα, με άθροισμα ολοκληρωτέων συναρτήσεων.

Λύση:

1. \(-\int_\kappa^1\frac{5}{x^2+1}dx=\int_1^\kappa\frac{5}{x^2+1}dx\). Άρα η εξίσωση γίνεται \(\int_1^\kappa\frac{x^2-4}{x^2+1}dx+\int_1^\kappa\frac{5}{x^2+1}dx=3\Rightarrow \int_1^\kappa\frac{(x^2-4)+5}{x^2+1}dx=3\Rightarrow \int_1^\kappa\frac{x^2+1}{x^2+1}dx=3\Rightarrow \int_1^\kappa 1\,dx=3\).
2. \(\int_1^\kappa 1\,dx=\kappa-1=3\Rightarrow \kappa=4\).

Απάντηση: \(\kappa=4\)

Άσκηση Α4 (σελ. 216)

Αν \(\int_1^3f(x)dx=5\) και \(\int_1^3g(x)dx=-2\), να υπολογίσετε i) \(\int_1^3(2f(x)-6g(x))dx\) ii) \(\int_3^1(2f(x)-g(x))dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή της γραμμικότητας του ορισμένου ολοκληρώματος, και στο (ii) επιπλέον της αντιστροφής ορίων.

Λύση:

1. i) \(\int_1^3(2f-6g)dx=2\int_1^3f\,dx-6\int_1^3g\,dx=2(5)-6(-2)=10+12=22\).
2. ii) \(\int_3^1(2f-g)dx=-\int_1^3(2f-g)dx=-\left(2\cdot5-(-2)\right)=-(10+2)=-12\).

Απάντηση: i) \(22\) ii) \(-12\)