Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 3.7: Εμβαδόν επιπέδου χωρίου (σελ. 224-241)

(Πηγή: Βιβλίο Μαθητή, σελ. 225-242. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου.)

Άσκηση Α1 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \(f(x)=x^2-2x+3\), τις ευθείες \(x=0,x=2\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η \(f(x)=(x-1)^2+2\geq2>0\) σε όλο το \(\mathbb R\), άρα δεν χρειάζεται εξέταση προσήμου· απευθείας ολοκλήρωση.

Λύση:

1. \(E=\int_0^2(x^2-2x+3)dx=\left[\frac{x^3}3-x^2+3x\right]_0^2=\left(\frac83-4+6\right)-0=\frac83+2=\frac{14}3\).

Απάντηση: \(E=\dfrac{14}3\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Α2 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f\), τον άξονα \(x\) και τις ευθείες: i) \(f(x)=\sqrt[3]x,\ x=0,x=27\) ii) \(f(x)=\frac1{\sigma\upsilon\nu^2x},\ x=0,x=\frac\pi3\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Και οι δύο συναρτήσεις είναι μη αρνητικές στα αντίστοιχα διαστήματα, άρα απευθείας ολοκλήρωση.

Λύση:

1. i) \(E=\int_0^{27}x^{1/3}dx=\left[\frac34x^{4/3}\right]_0^{27}=\frac34\cdot27^{4/3}=\frac34\cdot81=\frac{243}4\) (αφού \(27^{1/3}=3\Rightarrow27^{4/3}=3^4=81\)).
2. ii) \(E=\int_0^{\pi/3}\frac1{\sigma\upsilon\nu^2x}dx=[\epsilon\varphi x]_0^{\pi/3}=\epsilon\varphi\frac\pi3-\epsilon\varphi0=\sqrt3-0=\sqrt3\).

Απάντηση: i) \(E=\dfrac{243}4\ \text{τ.μ.}\) ii) \(E=\sqrt3\ \text{τ.μ.}\)

Πρόσεξε:

• Στο (i) η επίσημη απάντηση του βιβλίου αναφέρει \(35/4\), ενώ η δική μας, δύο φορές επαληθευμένη (και με sympy), δίνει \(243/4=81\cdot\frac34\) — δεν εντοπίσαμε καμία εύλογη μετατροπή ορίων/εκθέτη που να δίνει \(35/4\). Κρατήσαμε τη δική μας, επαληθευμένη απάντηση. Το (ii) ταιριάζει ακριβώς με το βιβλίο, επιβεβαιώνοντας ότι η μέθοδος είναι σωστή.

Άσκηση Α3 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f(x)=x^2-3x\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε τις ρίζες της \(f\) (αυτές ορίζουν το διάστημα ολοκλήρωσης) και το πρόσημό της ανάμεσά τους.

Λύση:

1. Ρίζες: \(x^2-3x=x(x-3)=0\Rightarrow x=0\) ή \(x=3\). Για \(x\in(0,3)\), \(f(x)<0\) (παραβολή ανοίγει προς τα πάνω, αρνητική ανάμεσα στις ρίζες).
2. \(E=-\int_0^3(x^2-3x)dx=-\left[\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2\right]_0^3=-\left(9-\frac{27}2\right)=-\left(-\frac92\right)=\frac92\).

Απάντηση: \(E=\dfrac92\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Α4 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των \(f(x)=x^3\) και \(g(x)=2x-x^2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε τα κοινά σημεία (ρίζες της \(f-g\)) και το πρόσημο της διαφοράς σε κάθε υποδιάστημα.

Λύση:

1. \(f(x)-g(x)=x^3-2x+x^2=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2,0,1\).
2. Πρόσημο: για \(x\in(-2,0)\), δοκιμή \(x=-1\): \((-1)(1)(-2)=2>0\), άρα \(f>g\). Για \(x\in(0,1)\), δοκιμή \(x=0{,}5\): \((0{,}5)(2{,}5)(-0{,}5)<0\), άρα \(f<g\).
3. \(E=\int_{-2}^0(f-g)dx+\int_0^1(g-f)dx=\int_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx+\int_0^1(-x^3-x^2+2x)dx\).
4. Πρώτο: \(\left[\frac{x^4}4+\frac{x^3}3-x^2\right]_{-2}^0=0-\left(4-\frac83-4\right)=\frac83\). Δεύτερο: \(\left[-\frac{x^4}4-\frac{x^3}3+x^2\right]_0^1=\left(-\frac14-\frac13+1\right)-0=\frac5{12}\).
5. \(E=\frac83+\frac5{12}=\frac{32}{12}+\frac5{12}=\frac{37}{12}\).

Απάντηση: \(E=\dfrac{37}{12}\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Α5 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f(x)=4-x^2\) και την ευθεία \(x-y-2=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε την ευθεία ως \(y=x-2\), βρίσκουμε τα κοινά σημεία με την \(f\) και το πρόσημο της διαφοράς.

Λύση:

1. \(4-x^2=x-2\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow(x+3)(x-2)=0\Rightarrow x=-3\) ή \(x=2\).
2. \(f(x)-(x-2)=6-x-x^2=-(x+3)(x-2)>0\) για \(x\in(-3,2)\) (η παραβολή είναι πάνω από την ευθεία εκεί).
3. \(E=\int_{-3}^2(6-x-x^2)dx=\left[6x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_{-3}^2=\frac{22}3-\left(-\frac{27}2\right)=\frac{22}3+\frac{27}2=\frac{44+81}6=\frac{125}6\).

Απάντηση: \(E=\dfrac{125}6\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β1 (σελ. 232)

Έστω \(f(x)=3x^2\). i) Βρείτε την εφαπτομένη της \(C_f\) στο \(A(1,3)\). ii) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(C_f\), την εφαπτομένη στο \(A\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) \(f'(1)\) δίνει την κλίση. ii) Η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα σε ένα σημείο· η παραβολή εφάπτεται στον άξονα στο \(x=0\)· το χωρίο ορίζεται σε δύο κομμάτια.

Λύση:

1. i) \(f'(x)=6x\Rightarrow f'(1)=6\). Εφαπτομένη: \(y-3=6(x-1)\Rightarrow y=6x-3\).
2. ii) Η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα \(x\) στο \(x=1/2\) (\(6x-3=0\)). Η παραβολή \(3x^2\) εφάπτεται στον άξονα στο \(x=0\) (αφού \(f(0)=0,f'(0)=0\)) και στην εφαπτομένη στο \(x=1\) (σημείο επαφής). Το χωρίο εκτείνεται από \(x=0\) έως \(x=1\): κάτω όριο ο άξονας για \(x\in[0,\frac12]\), κάτω όριο η εφαπτομένη για \(x\in[\frac12,1]\), πάνω όριο πάντα η παραβολή.
3. \(E=\int_0^{1/2}3x^2dx+\int_{1/2}^1[3x^2-(6x-3)]dx=[x^3]_0^{1/2}+[x^3-3x^2+3x]_{1/2}^1=\frac18+\left(1-\frac78\right)=\frac18+\frac18=\frac14\).

Απάντηση: i) \(y=6x-3\) ii) \(E=\dfrac14\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β2 (σελ. 232)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f(x)=\begin{cases}-x^2+3,&x<1\\2\sqrt x,&x\geq1\end{cases}\), τις ευθείες \(x=-1,x=2\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε το πρόσημο της \(f\) σε κάθε κλάδο στο \([-1,2]\)· αν είναι παντού μη αρνητική, ολοκληρώνουμε απευθείας κατά κλάδο.

Λύση:

1. Για \(x\in[-1,1)\): \(-x^2+3\geq-1+3=2>0\) (ελάχιστο στα άκρα του διαστήματος, ρίζες στο \(\pm\sqrt3\notin[-1,1)\)). Για \(x\in[1,2]\): \(2\sqrt x\geq0\) πάντα. Άρα \(f\geq0\) σε όλο το \([-1,2]\).
2. \(E=\int_{-1}^1(-x^2+3)dx+\int_1^22\sqrt xdx=\left[-\frac{x^3}3+3x\right]_{-1}^1+\left[\frac43x^{3/2}\right]_1^2=\frac{16}3+\frac43(2\sqrt2-1)=\frac{16}3+\frac{8\sqrt2}3-\frac43=4+\frac{8\sqrt2}3\).

Απάντηση: \(E=4+\dfrac{8\sqrt2}3\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β3 (σελ. 232)

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f(x)=\begin{cases}-x^2+4x-3,&x<2\\-2x+5,&x\geq2\end{cases}\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε τις ρίζες κάθε κλάδου (μέσα στο πεδίο ορισμού του) που οριοθετούν το φραγμένο χωρίο όπου \(f\geq0\).

Λύση:

1. Για \(x<2\): \(-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\), ρίζα εντός πεδίου (\(x<2\)) η \(x=1\)· θετική για \(x\in(1,2)\). Για \(x\geq2\): \(-2x+5=0\Rightarrow x=2{,}5\)· θετική για \(x\in[2,2{,}5)\).
2. Το φραγμένο χωρίο με \(f\geq0\) εκτείνεται από \(x=1\) έως \(x=2{,}5\).
3. \(E=\int_1^2(-x^2+4x-3)dx+\int_2^{2,5}(-2x+5)dx=\left[-\frac{x^3}3+2x^2-3x\right]_1^2+\left[-x^2+5x\right]_2^{2,5}=\frac23+\frac14=\frac{11}{12}\).

Απάντηση: \(E=\dfrac{11}{12}\ \text{τ.μ.}\)

Πρόσεξε:

• Η επίσημη απάντηση του βιβλίου αναφέρει \(11/6\) (διπλάσιο της δικής μας). Επαληθεύσαμε το \(11/12\) δύο φορές (χειρόγραφα και με sympy) χωρίς να εντοπίσουμε το σημείο της απόκλισης· ενδεχομένως διαφορετική εκφώνηση/όρια στο πρωτότυπο βιβλίο. Κρατήσαμε τη δική μας, επαληθευμένη τιμή.

Άσκηση Β4 (σελ. 233)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις \(f(x)=\sqrt{x-1}\) και \(g(x)=\frac{x+1}3\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε τα κοινά σημεία λύνοντας \(\sqrt{x-1}=\frac{x+1}3\) (με ύψωση στο τετράγωνο, προσοχή σε εξωγενείς ρίζες).

Λύση:

1. \(\sqrt{x-1}=\frac{x+1}3\Rightarrow9(x-1)=(x+1)^2\Rightarrow x^2-7x+10=0\Rightarrow x=2\) ή \(x=5\) (και οι δύο επαληθεύουν, αφού \(\frac{x+1}3\geq0\) για \(x\geq1\)).
2. Για \(x\in(2,5)\) (δοκιμή \(x=3\)): \(f(3)=\sqrt2\approx1{,}41>g(3)=\frac43\approx1{,}33\), άρα \(f>g\).
3. \(E=\int_2^5\left[\sqrt{x-1}-\frac{x+1}3\right]dx=\left[\frac23(x-1)^{3/2}-\frac{x^2}6-\frac x3\right]_2^5=-\frac12-\left(-\frac23\right)=\frac16\).

Απάντηση: \(E=\dfrac16\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β5 (σελ. 233)

i) Βρείτε το \(E(\lambda)\) του χωρίου που περικλείεται από \(f(x)=\frac ex\), \(g(x)=\ln x\), τον άξονα \(x\) και \(x=\lambda,\ \lambda>e\). ii) Βρείτε το \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε το σημείο τομής \(f=g\) (μοναδικό, στο \(x=e\), αφού \(h(x)=\ln x-e/x\) είναι γνησίως αύξουσα). Το χωρίο ακολουθεί την \(g\) (κάτω από αυτήν) για \(x\in[1,e]\) και την \(f\) για \(x\in[e,\lambda]\), και στις δύο περιπτώσεις μέχρι τον άξονα \(x\).

Λύση:

1. Τομή: \(\frac ex=\ln x\Leftrightarrow \ln x-\frac ex=0\). Η \(h(x)=\ln x-e/x\) έχει \(h'(x)=1/x+e/x^2>0\), άρα γνησίως αύξουσα, οπότε έχει το πολύ μία ρίζα· \(h(e)=1-1=0\Rightarrow x=e\) η μοναδική ρίζα.
2. i) Για \(x\in[1,e]\): εμβαδόν κάτω από \(g(x)=\ln x\) (η \(g\geq0\) εκεί): \(\int_1^e\ln xdx=[x\ln x-x]_1^e=1\). Για \(x\in[e,\lambda]\): εμβαδόν κάτω από \(f(x)=e/x\): \(\int_e^\lambda\frac exdx=e[\ln x]_e^\lambda=e(\ln\lambda-1)\). Άρα \(E(\lambda)=1+e(\ln\lambda-1)\).
3. ii) \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=\lim_{\lambda\to+\infty}[1+e(\ln\lambda-1)]=+\infty\) (αφού \(\ln\lambda\to+\infty\)).

Απάντηση: i) \(E(\lambda)=1+e(\ln\lambda-1)\) ii) \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=+\infty\)

Άσκηση Β6 (σελ. 233)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου που ορίζεται από τις \(y=3^x\), \(y=3\) και \(y=x\) (η \(y=3\) τέμνει την \(3^x\) στο \(x=1\)· η \(y=x\) τέμνει την \(y=3\) στο \((3,3)\)).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για \(x\in[0,1]\) το χωρίο έχει πάνω όριο την καμπύλη \(y=3^x\) και κάτω όριο την ευθεία \(y=x\)· για \(x\in[1,3]\) πάνω όριο την οριζόντια \(y=3\) και κάτω όριο τη \(y=x\) (μέχρι να συναντηθούν στο \((3,3)\)).

Λύση:

1. \(E=\int_0^1(3^x-x)dx+\int_1^3(3-x)dx\).
2. Πρώτο: \(\left[\frac{3^x}{\ln3}-\frac{x^2}2\right]_0^1=\left(\frac3{\ln3}-\frac12\right)-\frac1{\ln3}=\frac2{\ln3}-\frac12\).
3. Δεύτερο: \([3x-\frac{x^2}2]_1^3=(9-4{,}5)-(3-0{,}5)=4{,}5-2{,}5=2\).
4. \(E=\frac2{\ln3}-\frac12+2=\frac2{\ln3}+\frac32\).

Απάντηση: \(E=\dfrac2{\ln3}+\dfrac32\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β7 (σελ. 233)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου που ορίζεται από τις παραβολές \(y=x^2-1\) και \(y=x^2-2x+2\), για \(x\in[0,2]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε το κοινό σημείο τομής και το πρόσημο της διαφοράς στο \([0,2]\), μετά ολοκληρώνουμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς.

Λύση:

1. Τομή: \(x^2-1=x^2-2x+2\Leftrightarrow2x=3\Leftrightarrow x=\frac32\), εντός του \([0,2]\).
2. \(g(x)-f(x)=(x^2-2x+2)-(x^2-1)=-2x+3\), θετική για \(x<\frac32\), αρνητική για \(x>\frac32\).
3. \(E=\int_0^{3/2}(-2x+3)dx+\int_{3/2}^2(2x-3)dx=\left[-x^2+3x\right]_0^{3/2}+\left[x^2-3x\right]_{3/2}^2=\frac94+\frac14=\frac{10}4=\frac52\).

Απάντηση: \(E=\dfrac52\ \text{τ.μ.}\)

Πρόσεξε:

• Η επίσημη απάντηση του βιβλίου αναφέρει \(7/4\). Η άσκηση βασίζεται σε σχήμα που δεν έχουμε ως πρωτότυπη εικόνα (μόνο αυτοματοποιημένη περιγραφή), οπότε η ακριβής γεωμετρική διαμόρφωση του χωρίου (πιθανή εμπλοκή του άξονα \(x\) ως πρόσθετου ορίου, όπως υπονοεί η περιγραφή «τμήμα κάτω από τον άξονα») παραμένει αβέβαιη. Παραθέτουμε τον πιο άμεσο, τυπικό υπολογισμό (εμβαδόν ανάμεσα στις δύο καμπύλες σε όλο το \([0,2]\)), επαληθευμένο με sympy, με σαφή επισήμανση της αβεβαιότητας λόγω έλλειψης του πρωτότυπου σχήματος.

Άσκηση Β8 (σελ. 234)

Δίνεται \(f(x)=\eta\mu x\). i) Βρείτε τις εφαπτομένες της \(C_f\) στα \(O(0,0)\) και \(A(\pi,0)\). ii) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(C_f\) και τις δύο εφαπτομένες.

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) \(f'(x)=\sigma\upsilon\nu x\) στα δύο σημεία. ii) Οι εφαπτομένες τέμνονται στο \(x=\pi/2\)· χρησιμοποιούμε τη συμμετρία της \(\eta\mu x\) ως προς \(x=\pi/2\) στο \([0,\pi]\) και τη γνωστή ανισότητα \(\eta\mu x\leq x\).

Λύση:

1. i) \(f'(0)=\sigma\upsilon\nu0=1\Rightarrow\) εφαπτομένη στο \(O\): \(y=x\). \(f'(\pi)=\sigma\upsilon\nu\pi=-1\Rightarrow\) εφαπτομένη στο \(A\): \(y-0=-1(x-\pi)\Rightarrow y=-x+\pi\).
2. ii) Οι δύο ευθείες τέμνονται στο \(x=\pi/2\) (λύνοντας \(x=-x+\pi\)). Λόγω συμμετρίας ως προς \(x=\pi/2\), υπολογίζουμε το μισό εμβαδόν στο \([0,\pi/2]\) και διπλασιάζουμε. Εκεί, η εφαπτομένη \(y=x\) είναι πάνω από την καμπύλη (γνωστή ανισότητα \(\eta\mu x\leq x\) για \(x\geq0\)).
3. \(E=2\int_0^{\pi/2}(x-\eta\mu x)dx=2\left[\frac{x^2}2+\sigma\upsilon\nu x\right]_0^{\pi/2}=2\left[\left(\frac{\pi^2}8+0\right)-(0+1)\right]=2\left(\frac{\pi^2}8-1\right)=\frac{\pi^2}4-2\).

Απάντηση: i) \(y=x\) και \(y=-x+\pi\) ii) \(E=\dfrac{\pi^2}4-2\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β9 (σελ. 234)

i) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από \(f(x)=\sqrt x\), την εφαπτομένη της στο \((1,1)\) και τον άξονα \(x\). ii) Βρείτε την ευθεία \(x=a\) που χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβαδικά μέρη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Εφαπτομένη \(y'=1/(2\sqrt x)\), τέμνει τον άξονα σε αρνητικό \(x\)· η καμπύλη είναι κοίλη, άρα η εφαπτομένη είναι πάντα πάνω από αυτήν. ii) Θέτουμε το εμβαδόν του αριστερού κομματιού ίσο με το μισό του συνολικού.

Λύση:

1. i) \(f'(1)=\frac1{2\sqrt1}=\frac12\Rightarrow\) εφαπτομένη: \(y-1=\frac12(x-1)\Rightarrow y=\frac{x+1}2\), τέμνει τον άξονα στο \(x=-1\). Αφού η \(\sqrt x\) είναι κοίλη, η εφαπτομένη είναι \(\geq\) την καμπύλη παντού. \(E=\int_{-1}^0\frac{x+1}2dx+\int_0^1\left[\frac{x+1}2-\sqrt x\right]dx=\frac14+\frac1{12}=\frac13\).
2. ii) Αναζητούμε \(a\in[-1,0]\) (στο «τριγωνικό» κομμάτι) με \(\int_{-1}^a\frac{x+1}2dx=\frac16\) (το μισό του \(\frac13\)). \(\int_{-1}^a\frac{x+1}2dx=\frac{a^2}4+\frac a2+\frac14\). Θέτοντας ίσο με \(\frac16\): \(3a^2+6a+1=0\Rightarrow a=\frac{-6\pm\sqrt{24}}6=-1\pm\frac{\sqrt6}3\). Δεκτή η ρίζα στο \([-1,0]\): \(a=-1+\frac{\sqrt6}3=\frac{-3+\sqrt6}3\).

Απάντηση: α) \(E=\dfrac13\ \text{τ.μ.}\) β) \(x=\dfrac{-3+\sqrt6}3\)

Άσκηση Β10 (σελ. 234)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από \(f(x)=\ln x\), \(g(x)=\ln\frac1x\) και την ευθεία \(y=\ln2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι δύο καμπύλες τέμνονται στο \(x=1\) (\(y=0\)) και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα \(y\). Ολοκληρώνουμε ως προς \(y\) (οριζόντιες λωρίδες), με δεξιό όριο \(x=e^y\) (από \(f\)) και αριστερό όριο \(x=e^{-y}\) (από \(g\)).

Λύση:

1. Από \(y=\ln x\Rightarrow x=e^y\)· από \(y=\ln\frac1x=-\ln x\Rightarrow x=e^{-y}\). Πλάτος λωρίδας σε ύψος \(y\): \(e^y-e^{-y}\).
2. \(E=\int_0^{\ln2}(e^y-e^{-y})dy=[e^y+e^{-y}]_0^{\ln2}=\left(2+\frac12\right)-(1+1)=\frac52-2=\frac12\).

Απάντηση: \(E=\dfrac12\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β11 (σελ. 234)

i) Βρείτε \(f\) με \(C_f\) διερχόμενη από \(A(0,2)\) και κλίση στο \(M(x,f(x))\) ίση με \(2x-3\). ii) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της \(C_f\) και του άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) «Κλίση» σημαίνει \(f'(x)=2x-3\)· ολοκλήρωση και χρήση της αρχικής συνθήκης. ii) Ρίζες της \(f\), πρόσημο, ολοκλήρωση.

Λύση:

1. i) \(f'(x)=2x-3\Rightarrow f(x)=x^2-3x+c\). Από \(f(0)=2\): \(c=2\). Άρα \(f(x)=x^2-3x+2\).
2. ii) Ρίζες: \((x-1)(x-2)=0\Rightarrow x=1,2\), αρνητική ανάμεσα. \(E=-\int_1^2(x^2-3x+2)dx=-\left(-\frac16\right)=\frac16\).

Απάντηση: i) \(f(x)=x^2-3x+2\) ii) \(E=\dfrac16\ \text{τ.μ.}\)

Άσκηση Β12 (σελ. 234)

Έστω \(f(x)=(x-1)(x-3)\). i) Βρείτε τις εφαπτομένες της \(C_f\) στα σημεία \(A,B\) όπου η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x\). ii) Αν \(\Gamma\) είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, αποδείξτε ότι η \(C_f\) χωρίζει το τρίγωνο \(A\Gamma B\) σε δύο χωρία με λόγο εμβαδών \(2/1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Ρίζες \(A(1,0),B(3,0)\)· \(f'(x)=2x-4\). ii) Υπολογίζουμε το εμβαδόν \(E_1\) ανάμεσα στον άξονα \(AB\) και την παραβολή (πάνω κομμάτι του τριγώνου) και το \(E_2\) ανάμεσα στην παραβολή και τις δύο πλευρές \(A\Gamma,\Gamma B\) (κάτω «καπάκι»), μετά συγκρίνουμε.

Λύση:

1. i) \(f(x)=x^2-4x+3\Rightarrow f'(x)=2x-4\). \(f'(1)=-2\Rightarrow\) εφαπτομένη στο \(A(1,0)\): \(y=-2x+2\). \(f'(3)=2\Rightarrow\) εφαπτομένη στο \(B(3,0)\): \(y=2x-6\).
2. Οι εφαπτομένες τέμνονται στο \(\Gamma\): \(-2x+2=2x-6\Rightarrow x=2,y=-2\Rightarrow\Gamma(2,-2)\). Τρίγωνο \(A\Gamma B\) με βάση \(AB=2\) (στον άξονα) και ύψος \(2\) (απόσταση του \(\Gamma\) από τον άξονα): εμβαδόν τριγώνου \(=\frac12\cdot2\cdot2=2\).
3. \(E_1\) (ανάμεσα στον άξονα και την παραβολή, πάνω κομμάτι): \(E_1=-\int_1^3(x^2-4x+3)dx=-\left(-\frac43\right)=\frac43\).
4. \(E_2\) (ανάμεσα στις εφαπτομένες και την παραβολή, κάτω «καπάκι» γύρω από το \(\Gamma\)): \(E_2=\)εμβαδόν τριγώνου \(-E_1=2-\frac43=\frac23\). (Επαληθεύεται και απευθείας: \(E_2=\left|\int_1^2[(-2x+2)-(x^2-4x+3)]dx\right|+\left|\int_2^3[(2x-6)-(x^2-4x+3)]dx\right|=\frac13+\frac13=\frac23\).)
5. Λόγος: \(E_1:E_2=\frac43:\frac23=2:1\). ∎

Απάντηση: i) \(y=-2x+2\) και \(y=2x-6\) ii) \(E_1=\dfrac43,\ E_2=\dfrac23\), λόγος \(2:1\)

Άσκηση Γ1 (σελ. 235)

i) Με την αντικατάσταση \(\mu=\pi-x\), αποδείξτε ότι \(\int_0^\pi xf(\eta\mu x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\eta\mu x)dx\). ii) Υπολογίστε \(\int_0^\pi\frac{x\eta\mu x}{3+\eta\mu^2x}dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Η αντικατάσταση \(\mu=\pi-x\) αφήνει το \(\eta\mu x\) αναλλοίωτο (\(\eta\mu(\pi-\mu)=\eta\mu\mu\)) αλλά αλλάζει το \(x\) σε \(\pi-\mu\)· προκύπτει εξίσωση ως προς το ίδιο το ολοκλήρωμα. ii) Εφαρμογή του (i) με \(f(t)=t/(3+t^2)\), μετά αντικατάσταση \(w=\sigma\upsilon\nu x\).

Λύση:

1. i) Θέτουμε \(\mu=\pi-x\Rightarrow x=\pi-\mu,\ dx=-d\mu\). Όρια: \(x=0\to\mu=\pi,\ x=\pi\to\mu=0\). \(I=\int_0^\pi xf(\eta\mu x)dx=\int_\pi^0(\pi-\mu)f(\eta\mu(\pi-\mu))(-d\mu)=\int_0^\pi(\pi-\mu)f(\eta\mu\mu)d\mu\) (αφού \(\eta\mu(\pi-\mu)=\eta\mu\mu\)).
2. \(=\pi\int_0^\pi f(\eta\mu\mu)d\mu-\int_0^\pi\mu f(\eta\mu\mu)d\mu=\pi\int_0^\pi f(\eta\mu x)dx-I\) (το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι το ίδιο το \(I\), με άλλο όνομα μεταβλητής). Άρα \(2I=\pi\int_0^\pi f(\eta\mu x)dx\Rightarrow I=\frac\pi2\int_0^\pi f(\eta\mu x)dx\). ∎
3. ii) Με \(f(t)=\frac t{3+t^2}\): \(\int_0^\pi\frac{x\eta\mu x}{3+\eta\mu^2x}dx=\frac\pi2\int_0^\pi\frac{\eta\mu x}{3+\eta\mu^2x}dx\). Γράφουμε \(3+\eta\mu^2x=4-\sigma\upsilon\nu^2x=(2-\sigma\upsilon\nu x)(2+\sigma\upsilon\nu x)\). Θέτουμε \(w=\sigma\upsilon\nu x,\ dw=-\eta\mu x\,dx\): \(\int_0^\pi\frac{\eta\mu x}{4-\sigma\upsilon\nu^2x}dx=\int_{-1}^1\frac{dw}{4-w^2}=2\int_0^1\frac{dw}{4-w^2}\) (άρτια συνάρτηση) \(=2\cdot\frac14\left[\ln\left|\frac{2+w}{2-w}\right|\right]_0^1=\frac12\ln3\).
4. Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα \(=\frac\pi2\cdot\frac12\ln3=\frac\pi4\ln3\).

Απάντηση: i) Αποδεικνύεται με \(\mu=\pi-x\) ii) \(\dfrac\pi4\ln3\)

Πρόσεξε:

• Η επίσημη απάντηση \(\pi/4\ln3\) εμφανίζεται στο βιβλίο ενοποιημένη με τις απαντήσεις της επόμενης άσκησης (Γ2) κάτω από κοινή αρίθμηση «1.» — διαχωρίσαμε σωστά τις δύο ασκήσεις με βάση την αντιστοιχία των τιμών.

Άσκηση Γ2 (σελ. 235)

i) Υπολογίστε \(\int_0^{1/2}\frac1{x^2-1}dx\). ii) Υπολογίστε \(\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac1{\eta\mu x}dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Ανάλυση σε απλά κλάσματα. ii) Τυπικό αποτέλεσμα \(\int\epsilon\phi(x/2)\)-τύπου (ή απευθείας γνωστή παράγουσα του \(1/\eta\mu x\)).

Λύση:

1. i) \(\frac1{x^2-1}=\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)\Rightarrow\int=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\). Στο \([0,\frac12]\): \(\left[\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_0^{1/2}=\frac12\ln\frac13-\frac12\ln1=-\frac12\ln3=-\ln\sqrt3\).
2. ii) Γνωστή παράγουσα: \(\int\frac1{\eta\mu x}dx=\ln\left|\epsilon\phi\frac x2\right|+c\). \(\left[\ln\epsilon\phi\frac x2\right]_{\pi/3}^{\pi/2}=\ln\epsilon\phi\frac\pi4-\ln\epsilon\phi\frac\pi6=\ln1-\ln\frac1{\sqrt3}=0-(-\ln\sqrt3)=\ln\sqrt3\).

Απάντηση: i) \(-\ln\sqrt3\) ii) \(\ln\sqrt3\)

Άσκηση Γ3 (σελ. 235)

Υπολογίστε \(\int\frac1{(\omega+1)(\omega+2)}d\omega\), και στη συνέχεια i) \(\int\frac{\sigma\upsilon\nu x}{(\eta\mu x+1)(\eta\mu x+2)}dx\) ii) \(\int\frac{e^x}{(e^x+1)(e^x+2)}dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ανάλυση σε απλά κλάσματα για το βασικό ολοκλήρωμα· μετά αντικατάσταση \(u=\eta\mu x\) ή \(u=e^x\) στα δύο υποερωτήματα, αναγνωρίζοντας την ίδια δομή.

Λύση:

1. \(\frac1{(\omega+1)(\omega+2)}=\frac1{\omega+1}-\frac1{\omega+2}\Rightarrow\int=\ln|\omega+1|-\ln|\omega+2|+c\).
2. i) \(u=\eta\mu x,\ du=\sigma\upsilon\nu x\,dx\Rightarrow\int\frac{du}{(u+1)(u+2)}=\ln|u+1|-\ln|u+2|+c=\ln|\eta\mu x+1|-\ln|\eta\mu x+2|+c\).
3. ii) \(u=e^x,\ du=e^xdx\Rightarrow\int\frac{du}{(u+1)(u+2)}=\ln(e^x+1)-\ln(e^x+2)+c\) (θετικά, χωρίς απόλυτη τιμή).

Απάντηση: Βασικό: \(\ln|\omega+1|-\ln|\omega+2|+c\) i) \(\ln|\eta\mu x+1|-\ln|\eta\mu x+2|+c\) ii) \(\ln(e^x+1)-\ln(e^x+2)+c\)

Άσκηση Γ4 (σελ. 235)

Αν \(I_\nu=\int_0^1\frac{t^{2\nu+1}}{1+t^2}dt,\ \nu\in\mathbb N\), i) βρείτε το \(I_\nu+I_{\nu+1}\). ii) Υπολογίστε τα \(I_0,I_1,I_2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Προσθέτουμε τους αριθμητές πάνω από κοινό παρονομαστή και απλοποιούμε με το \((1+t^2)\). ii) Χρησιμοποιούμε το (i) αναδρομικά, ξεκινώντας από απευθείας υπολογισμό του \(I_0\).

Λύση:

1. i) \(I_\nu+I_{\nu+1}=\int_0^1\frac{t^{2\nu+1}+t^{2\nu+3}}{1+t^2}dt=\int_0^1\frac{t^{2\nu+1}(1+t^2)}{1+t^2}dt=\int_0^1t^{2\nu+1}dt=\left[\frac{t^{2\nu+2}}{2\nu+2}\right]_0^1=\frac1{2\nu+2}\).
2. ii) \(I_0=\int_0^1\frac t{1+t^2}dt=\left[\frac12\ln(1+t^2)\right]_0^1=\frac12\ln2\). Από (i) με \(\nu=0\): \(I_0+I_1=\frac12\Rightarrow I_1=\frac12-\frac12\ln2=\frac12(1-\ln2)\). Από (i) με \(\nu=1\): \(I_1+I_2=\frac14\Rightarrow I_2=\frac14-\frac12(1-\ln2)=\frac12\ln2-\frac14\).

Απάντηση: i) \(I_\nu+I_{\nu+1}=\dfrac1{2\nu+2}\) ii) \(I_0=\dfrac12\ln2,\ I_1=\dfrac12(1-\ln2),\ I_2=\dfrac12\ln2-\dfrac14\)

Άσκηση Γ5 (σελ. 235)

Αν η \(f\) είναι συνεχής στο \(\mathbb R\), αποδείξτε ότι \(\int_0^xf(u)(x-u)du=\int_0^x\left(\int_0^uf(t)dt\right)du\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Δείχνουμε ότι οι δύο πλευρές, ως συναρτήσεις του \(x\), έχουν ίσες παραγώγους και ίσες τιμές στο \(x=0\) (άρα ταυτίζονται παντού).

Λύση:

1. Αριστερό μέλος: \(L(x)=\int_0^xf(u)(x-u)du=x\int_0^xf(u)du-\int_0^xuf(u)du\). Παραγωγίζοντας (κανόνας γινομένου στον πρώτο όρο, Θεμελιώδες Θεώρημα στους υπόλοιπους): \(L'(x)=\int_0^xf(u)du+xf(x)-xf(x)=\int_0^xf(u)du\).
2. Δεξί μέλος: \(R(x)=\int_0^x\left(\int_0^uf(t)dt\right)du\). Θέτοντας \(G(u)=\int_0^uf(t)dt\), έχουμε \(R(x)=\int_0^xG(u)du\Rightarrow R'(x)=G(x)=\int_0^xf(t)dt\).
3. Άρα \(L'(x)=R'(x)=\int_0^xf(t)dt\) για κάθε \(x\), και \(L(0)=R(0)=0\) (τετριμμένα, μηδενικά όρια ολοκλήρωσης). Επομένως \(L(x)=R(x)\) για κάθε \(x\in\mathbb R\). ∎

Απάντηση: Αποδεικνύεται δείχνοντας ότι τα δύο μέλη έχουν ίσες παραγώγους (\(=\int_0^xf(t)dt\)) και ίσες τιμές στο \(x=0\)

Άσκηση Γ6 (σελ. 235)

Δίνεται \(F(x)=\int_1^xf(t)dt\), όπου \(f(t)=\int_1^t\sqrt{u^2-1}\,du\). i) Βρείτε τα πεδία ορισμού των \(f\) και \(F\). ii) Αποδείξτε ότι η \(F\) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Το \(\sqrt{u^2-1}\) ορίζεται μόνο για \(|u|\geq1\)· αφού η ολοκλήρωση ξεκινά από \(u=1\) (άκρο του πεδίου ορισμού), το άνω όριο \(t\) πρέπει να παραμένει στο ίδιο διάστημα \([1,+\infty)\). ii) Υπολογίζουμε \(F'=f\) και \(F''=f'\), εξετάζοντας το πρόσημό τους.

Λύση:

1. i) Το \(\sqrt{u^2-1}\) ορίζεται για \(u\leq-1\) ή \(u\geq1\). Επειδή το ολοκλήρωμα \(\int_1^t\) διατρέχει τιμές του \(u\) ανάμεσα σε \(1\) και \(t\), για να παραμένουν όλες στο ίδιο διάστημα ορισμού πρέπει \(t\geq1\). Άρα \(D_f=[1,+\infty)\). Ομοίως, το \(F(x)=\int_1^xf(t)dt\) απαιτεί \(x\in D_f=[1,+\infty)\), άρα \(D_F=[1,+\infty)\).
2. ii) Από το Θεμελιώδες Θεώρημα, \(F'(x)=f(x)=\int_1^x\sqrt{u^2-1}du\). Για \(x>1\), ο ολοκληρωτέος \(\sqrt{u^2-1}\geq0\) (και \(>0\) για \(u>1\)), άρα (Θεώρημα 3, §3.4) \(F'(x)=f(x)>0\) για \(x>1\), οπότε η \(F\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([1,+\infty)\).
3. Επίσης \(F''(x)=f'(x)=\sqrt{x^2-1}\geq0\) για κάθε \(x\geq1\) (με ισότητα μόνο στο \(x=1\)), άρα \(F\) κυρτή στο \([1,+\infty)\) (γνησίως κυρτή στο \((1,+\infty)\)).

Απάντηση: i) \(D_f=D_F=[1,+\infty)\) ii) Αποδεικνύεται από τα πρόσημα των \(F'=f\geq0\) και \(F''=\sqrt{x^2-1}\geq0\)

Άσκηση Γ7 (σελ. 236)

Δίνονται \(F(x)=\int_0^xe^t\sigma\upsilon\nu^2t\,dt\) και \(G(x)=\int_0^xe^t\eta\mu^2t\,dt\). i) Υπολογίστε τα \(F+G\), \(F-G\), και κατόπιν τα \(F(x),G(x)\). ii) Υπολογίστε \(I=\int_\pi^{2\pi}e^t\sigma\upsilon\nu^2t\,dt\) και \(J=\int_\pi^{2\pi}e^t\eta\mu^2t\,dt\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Το άθροισμα απλοποιείται με \(\sigma\upsilon\nu^2t+\eta\mu^2t=1\)· η διαφορά με \(\sigma\upsilon\nu^2t-\eta\mu^2t=\sigma\upsilon\nu2t\) και τον έτοιμο τύπο του \(\int e^t\sigma\upsilon\nu2t\,dt\). ii) Απευθείας εφαρμογή των τύπων του (i) στο \([\pi,2\pi]\), δηλαδή \(I=F(2\pi)-F(\pi)\), \(J=G(2\pi)-G(\pi)\).

Λύση:

1. i) \(F(x)+G(x)=\int_0^xe^t(\sigma\upsilon\nu^2t+\eta\mu^2t)dt=\int_0^xe^tdt=e^x-1\). \(F(x)-G(x)=\int_0^xe^t\sigma\upsilon\nu2t\,dt=\left[\frac{e^t(\sigma\upsilon\nu2t+2\eta\mu2t)}5\right]_0^x=\frac{e^x(\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)-1}5\).
2. Λύνοντας το σύστημα: \(F(x)=\frac{e^x(5+\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)-6}{10}\), \(G(x)=\frac{e^x(5-\sigma\upsilon\nu2x-2\eta\mu2x)-4}{10}\).
3. ii) \(F(2\pi)=\frac{6e^{2\pi}-6}{10}=\frac{3(e^{2\pi}-1)}5\), \(F(\pi)=\frac{3(e^\pi-1)}5\) (αφού \(\sigma\upsilon\nu4\pi=\sigma\upsilon\nu2\pi=1,\ \eta\mu4\pi=\eta\mu2\pi=0\)). \(I=F(2\pi)-F(\pi)=\frac35(e^{2\pi}-e^\pi)=\frac35e^\pi(e^\pi-1)\).
4. \(G(2\pi)=\frac{4e^{2\pi}-4}{10}=\frac{2(e^{2\pi}-1)}5\), \(G(\pi)=\frac{2(e^\pi-1)}5\). \(J=G(2\pi)-G(\pi)=\frac25(e^{2\pi}-e^\pi)=\frac25e^\pi(e^\pi-1)\).

Απάντηση: i) \(F+G=e^x-1\), \(F-G=\dfrac{e^x(\sigma\upsilon\nu2x+2\eta\mu2x)-1}5\) ii) \(I=\dfrac35e^\pi(e^\pi-1),\ J=\dfrac25e^\pi(e^\pi-1)\)

Πρόσεξε:

• Το άνω όριο στο (ii) εξήχθη ασυνεπές («\(2\alpha\)» στο \(I\), «\(2x\)» στο \(J\)), ενώ το αποτέλεσμα του βιβλίου είναι σταθερός αριθμός — συνεπές μόνο αν και τα δύο όρια είναι \(2\pi\) (η επιλογή που χρησιμοποιήσαμε, επαληθευμένη ότι αναπαράγει ακριβώς τις επίσημες απαντήσεις).

Άσκηση Γ8 (σελ. 236)

Το χωρίο που περικλείεται από την \(f(x)=x^2+1\) και την ευθεία \(y=5\) χωρίζεται από την \(y=\alpha^2+1,\ \alpha>0\), σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Βρείτε το \(\alpha\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βρίσκουμε το συνολικό εμβαδόν (ανάμεσα στην παραβολή και \(y=5\))· μετά το εμβαδόν του «καπακιού» ανάμεσα στην παραβολή και την οριζόντια τομή \(y=\alpha^2+1\), και το θέτουμε ίσο με το μισό του συνόλου.

Λύση:

1. Τομές παραβολής με \(y=5\): \(x^2+1=5\Rightarrow x=\pm2\). Συνολικό εμβαδόν: \(E=\int_{-2}^2[5-(x^2+1)]dx=\int_{-2}^2(4-x^2)dx=\left[4x-\frac{x^3}3\right]_{-2}^2=\frac{32}3\).
2. Η ευθεία \(y=\alpha^2+1\) τέμνει την παραβολή στο \(x=\pm\alpha\) (από \(x^2+1=\alpha^2+1\)). Εμβαδόν «καπακιού» (ανάμεσα στην παραβολή και αυτή την ευθεία, γύρω από την κορυφή): \(E_1(\alpha)=\int_{-\alpha}^\alpha[(\alpha^2+1)-(x^2+1)]dx=\int_{-\alpha}^\alpha(\alpha^2-x^2)dx=\frac{4\alpha^3}3\).
3. Θέτουμε \(E_1(\alpha)=\frac{E}2=\frac{16}3\Rightarrow\frac{4\alpha^3}3=\frac{16}3\Rightarrow\alpha^3=4\Rightarrow\alpha=\sqrt[3]4\).

Απάντηση: \(\alpha=\sqrt[3]4\ (=2^{2/3})\)

Πρόσεξε:

• Η επίσημη απάντηση του βιβλίου («\(\alpha=3/4\)») είναι πιθανότατα OCR-εξαγωγή του ριζικού \(\sqrt[3]4\) ως κλάσμα «3/4» (ο δείκτης «3» της ρίζας μπερδεύτηκε με αριθμητή κλάσματος). Επαληθεύσαμε με sympy ότι \(\alpha^3=4\Rightarrow\alpha=\sqrt[3]4\approx1{,}587\), τιμή ασύμβατη με ένα απλό \(3/4=0{,}75\) (που δεν επαληθεύει καν \(\alpha^3=4\)).

Άσκηση Γ9 (σελ. 236)

i) Βρείτε το \(E(\lambda)\) του χωρίου που περικλείεται από \(f(x)=\frac1{x^2}\), τον άξονα \(x\) και τις \(x=1,x=\lambda,\ \lambda>0\). ii) Βρείτε τα \(\lambda\) με \(E(\lambda)=\frac12\). iii) Βρείτε τα \(\lim_{\lambda\to0}E(\lambda)\) και \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με το αν \(\lambda>1\) ή \(0<\lambda<1\) (αλλάζει η φορά ολοκλήρωσης). ii) Λύνουμε την εξίσωση χωριστά σε κάθε περίπτωση — και οι δύο λύσεις μπορεί να είναι δεκτές. iii) Άμεσα όρια από τους τύπους του (i).

Λύση:

1. i) Για \(\lambda>1\): \(E(\lambda)=\int_1^\lambda\frac1{x^2}dx=\left[-\frac1x\right]_1^\lambda=1-\frac1\lambda\). Για \(0<\lambda<1\): \(E(\lambda)=\int_\lambda^1\frac1{x^2}dx=\left[-\frac1x\right]_\lambda^1=\frac1\lambda-1\).
2. ii) Για \(\lambda>1\): \(1-\frac1\lambda=\frac12\Rightarrow\frac1\lambda=\frac12\Rightarrow\lambda=2\) (δεκτή, \(>1\)). Για \(0<\lambda<1\): \(\frac1\lambda-1=\frac12\Rightarrow\frac1\lambda=\frac32\Rightarrow\lambda=\frac23\) (δεκτή, \(<1\)). Άρα ΔΥΟ τιμές ικανοποιούν την εξίσωση.
3. iii) \(\lim_{\lambda\to0^+}E(\lambda)=\lim_{\lambda\to0^+}\left(\frac1\lambda-1\right)=+\infty\). \(\lim_{\lambda\to+\infty}E(\lambda)=\lim_{\lambda\to+\infty}\left(1-\frac1\lambda\right)=1\).

Απάντηση: i) \(E(\lambda)=1-\frac1\lambda\) για \(\lambda>1\), \(E(\lambda)=\frac1\lambda-1\) για \(0<\lambda<1\) ii) \(\lambda=2\) ή \(\lambda=\frac23\) iii) \(+\infty\) και \(1\)

Πρόσεξε:

• Στο (ii) το βιβλίο αναφέρει μόνο τη λύση \(\lambda=2\), αλλά η δεύτερη λύση \(\lambda=\frac23\) (από την περίπτωση \(0<\lambda<1\)) επαληθεύεται εξίσου: \(E(2/3)=\frac1{2/3}-1=\frac32-1=\frac12\) ✓. Παραθέτουμε και τις δύο λύσεις για πληρότητα.

Άσκηση Γ10 (σελ. 236)

Έστω \(f,g\) συνεχείς στο \([\alpha,\beta]\). i) Αν \(f(x)\geq g(x)\) στο \([\alpha,\beta]\), αποδείξτε \(\int_\alpha^\beta f\geq\int_\alpha^\beta g\). ii) Αν \(m,M\) η ελάχιστη/μέγιστη τιμή της \(f\), αποδείξτε \(m(\beta-\alpha)\leq\int_\alpha^\beta f\leq M(\beta-\alpha)\). iii) Με την \(\epsilon\varphi x>x\) στο \((0,\pi/2)\), αποδείξτε ότι \(f(x)=\frac{\eta\mu x}x\) είναι γνησίως φθίνουσα, και ότι α) \(\frac{3\sqrt3}{2\pi}<\frac{\eta\mu x}x<\frac3\pi\) στο \([\pi/6,\pi/3]\), β) \(\frac{\sqrt3}4\leq\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\eta\mu x}xdx\leq\frac12\). iv) Με \(e^x\geq1+x\), αποδείξτε \(f(x)=e^{-x^2}\) γνησίως φθίνουσα στο \([0,+\infty)\), και ότι α) \(1-x^2\leq e^{-x^2}\leq1\) στο \([0,1]\), β) \(\frac23\leq\int_0^1e^{-x^2}dx\leq1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: i) Εφαρμόζουμε τη μη αρνητικότητα του ολοκληρώματος στη \(h=f-g\geq0\). ii) Εφαρμόζουμε το (i) δύο φορές (\(m\leq f\) και \(f\leq M\)) και το γνωστό \(\int_\alpha^\beta c\,dx=c(\beta-\alpha)\). iii),iv) Παραγωγίζουμε για τη μονοτονία, μετά χρησιμοποιούμε τα άκρα του διαστήματος (λόγω μονοτονίας) ως \(m,M\) στο (ii).

Λύση:

1. i) Η \(h(x)=f(x)-g(x)\geq0\) είναι συνεχής στο \([\alpha,\beta]\), άρα \(\int_\alpha^\beta h(x)dx\geq0\) (βασική ιδιότητα μη αρνητικότητας), δηλαδή \(\int_\alpha^\beta f(x)dx-\int_\alpha^\beta g(x)dx\geq0\Rightarrow\int_\alpha^\beta f\geq\int_\alpha^\beta g\). ∎
2. ii) Αφού \(m\leq f(x)\leq M\) για κάθε \(x\in[\alpha,\beta]\), εφαρμόζοντας το (i) δύο φορές: \(\int_\alpha^\beta m\,dx\leq\int_\alpha^\beta f(x)dx\leq\int_\alpha^\beta M\,dx\Rightarrow m(\beta-\alpha)\leq\int_\alpha^\beta f(x)dx\leq M(\beta-\alpha)\). ∎
3. iii) \(f'(x)=\frac{x\sigma\upsilon\nu x-\eta\mu x}{x^2}\). Αφού \(\epsilon\varphi x>x\Leftrightarrow\eta\mu x>x\sigma\upsilon\nu x\) (αφού \(\sigma\upsilon\nu x>0\) στο \((0,\pi/2)\)), ο αριθμητής \(x\sigma\upsilon\nu x-\eta\mu x<0\), άρα \(f'(x)<0\) σε όλο το \((0,\pi/2)\): η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα.
4. α) Αφού \(f\) φθίνουσα στο \([\pi/6,\pi/3]\subset(0,\pi/2)\): \(f(\pi/3)\leq f(x)\leq f(\pi/6)\) (με ισότητα μόνο στα άκρα). \(f(\pi/6)=\frac{1/2}{\pi/6}=\frac3\pi\), \(f(\pi/3)=\frac{\sqrt3/2}{\pi/3}=\frac{3\sqrt3}{2\pi}\). Άρα \(\frac{3\sqrt3}{2\pi}\leq\frac{\eta\mu x}x\leq\frac3\pi\) στο \([\pi/6,\pi/3]\) (στο εσωτερικό του διαστήματος η ανισότητα είναι γνήσια, λόγω γνήσιας μονοτονίας).
5. β) Εφαρμόζοντας το (ii) με \(m=\frac{3\sqrt3}{2\pi}, M=\frac3\pi\), διάστημα μήκους \(\pi/3-\pi/6=\pi/6\): \(\frac{3\sqrt3}{2\pi}\cdot\frac\pi6\leq\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\eta\mu x}xdx\leq\frac3\pi\cdot\frac\pi6\Rightarrow\frac{\sqrt3}4\leq\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\eta\mu x}xdx\leq\frac12\). ∎
6. iv) \(f'(x)=-2xe^{-x^2}\leq0\) στο \([0,+\infty)\) (και \(<0\) για \(x>0\)): γνησίως φθίνουσα. α) Από \(e^t\geq1+t\) με \(t=-x^2\): \(e^{-x^2}\geq1-x^2\). Επίσης \(-x^2\leq0\Rightarrow e^{-x^2}\leq e^0=1\) (η εκθετική είναι αύξουσα). Άρα \(1-x^2\leq e^{-x^2}\leq1\) για \(x\in[0,1]\). β) Ολοκληρώνοντας τις τρεις συναρτήσεις στο \([0,1]\) (εφαρμογή του (i) στα ζεύγη): \(\int_0^1(1-x^2)dx\leq\int_0^1e^{-x^2}dx\leq\int_0^11dx\Rightarrow\frac23\leq\int_0^1e^{-x^2}dx\leq1\). ∎

Απάντηση: Αποδεικνύονται όλα τα ερωτήματα (i)-(iv), με τις τελικές ανισότητες: \(\dfrac{\sqrt3}4\leq\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{\eta\mu x}xdx\leq\dfrac12\) και \(\dfrac23\leq\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\leq1\)

Άσκηση Ι1 (σελ. 236)

\(\int_\alpha^\beta(f(x)+g(x))dx=\int_\alpha^\beta f(x)dx+\int_\alpha^\beta g(x)dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή της ιδιότητας γραμμικότητας (Θεώρημα 1, §3.4).

Λύση:

1. Ισχύει η γραμμικότητα του ορισμένου ολοκληρώματος: \(\int_\alpha^\beta[f(x)+g(x)]dx=\int_\alpha^\beta f(x)dx+\int_\alpha^\beta g(x)dx\) — απόδειξη Θεώρημα 1, §3.4.

Απάντηση: Σωστό (Α). Η ιδιότητα ισχύει πάντα για συνεχείς \(f,g\).

Άσκηση Ι2 (σελ. 237)

\(\int_\alpha^\beta f(x)\cdot g(x)dx=\int_\alpha^\beta f(x)dx\cdot\int_\alpha^\beta g(x)dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναζητούμε αντιπαράδειγμα, αφού η ολοκλήρωση δεν κατανέμεται σε γινόμενο.

Λύση:

1. Αντιπαράδειγμα: \(f(x)=g(x)=x\) στο \([0,1]\). Αριστερό μέλος: \(\int_0^1x^2dx=\frac13\). Δεξί μέλος: \(\left(\int_0^1xdx\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14\). Αφού \(\frac13\neq\frac14\), η ισότητα ΔΕΝ ισχύει γενικά.

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Το ολοκλήρωμα γινομένου δεν ισούται γενικά με το γινόμενο ολοκληρωμάτων.

Άσκηση Ι3 (σελ. 237)

Αν \(\alpha=\beta\), τότε \(\int_\alpha^\beta f(x)dx=0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση συνέπεια του ορισμού/σύμβασης του ορισμένου ολοκληρώματος.

Λύση:

1. Εξ ορισμού (σύμβαση, §3.4): \(\int_\alpha^\alpha f(x)dx=0\) για κάθε συνεχή \(f\).

Απάντηση: Σωστό (Α).

Άσκηση Ι4 (σελ. 237)

Αν \(\int_\alpha^\beta f(x)dx=0\), τότε κατ' ανάγκη \(f(x)=0\) για κάθε \(x\in[\alpha,\beta]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναζητούμε συνάρτηση με μηδενικό ολοκλήρωμα που ΔΕΝ είναι παντού μηδέν (π.χ. περιττή συνάρτηση σε συμμετρικό διάστημα).

Λύση:

1. Αντιπαράδειγμα: \(f(x)=x\) στο \([-1,1]\). \(\int_{-1}^1xdx=\left[\frac{x^2}2\right]_{-1}^1=0\), αλλά η \(f\) δεν είναι παντού μηδέν (π.χ. \(f(1)=1\neq0\)).

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Μηδενικό ολοκλήρωμα δεν συνεπάγεται παντού μηδενική συνάρτηση (θετικά και αρνητικά τμήματα μπορούν να αλληλοαναιρεθούν).

Άσκηση Ι5 (σελ. 237)

Αν \(f(x)\geq0\) για κάθε \(x\in[\alpha,\beta]\), τότε \(\int_\alpha^\beta f(x)dx\geq0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Βασική ιδιότητα μη αρνητικότητας του ορισμένου ολοκληρώματος.

Λύση:

1. Κάθε άθροισμα Riemann \(S_\nu=\sum f(\xi_\kappa)\Delta x\) έχει μη αρνητικούς όρους (αφού \(f\geq0,\Delta x>0\)), άρα και το όριό του (το ολοκλήρωμα) είναι \(\geq0\).

Απάντηση: Σωστό (Α).

Άσκηση Ι6 (σελ. 238)

Αν \(\int_\alpha^\beta f(x)dx\geq0\), τότε κατ' ανάγκη \(f(x)\geq0\) για κάθε \(x\in[\alpha,\beta]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το αντίστροφο του Ι5 δεν ισχύει· αναζητούμε συνάρτηση με θετικό ολοκλήρωμα που παίρνει και αρνητικές τιμές.

Λύση:

1. Αντιπαράδειγμα: \(f(x)=x\) στο \([-1,2]\). \(\int_{-1}^2xdx=\left[\frac{x^2}2\right]_{-1}^2=2-\frac12=\frac32>0\), αλλά \(f(-1)=-1<0\).

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Θετικό (ολικό) ολοκλήρωμα δεν αποκλείει αρνητικές τιμές της \(f\) σε μέρος του διαστήματος.

Άσκηση Ι7 (σελ. 238)

\(\int_{-\alpha}^\alpha(x^4+1)dx<\int_{-\alpha}^\alpha(x^4+x^2+1)dx\), για κάθε \(\alpha>0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξετάζουμε το πρόσημο της διαφοράς των δύο ολοκληρωμάτων, χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα.

Λύση:

1. Διαφορά \(=\int_{-\alpha}^\alpha[(x^4+x^2+1)-(x^4+1)]dx=\int_{-\alpha}^\alpha x^2dx\). Ο ολοκληρωτέος \(x^2\geq0\) και δεν είναι παντού μηδέν στο \([-\alpha,\alpha]\) (\(\alpha>0\)), άρα (Θεώρημα 3, §3.4) η διαφορά είναι γνησίως θετική.

Απάντηση: Σωστό (Α). Η ανισότητα ισχύει γνήσια για κάθε \(\alpha>0\).

Άσκηση Ι8 (σελ. 238)

\(\int_0^{\pi/4}\ln(1-\eta\mu^2x)dx=2\int_0^{\pi/4}\ln\sigma\upsilon\nu x\,dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα \\(1-\\eta\\mu^2x=\\sigma\\upsilon\\nu^2x\\) και την ιδιότητα \\(\\ln(\\cdot^2)=2\\ln|\\cdot|\\).

Λύση:

1. Στο \([0,\pi/4]\), \(\sigma\upsilon\nu x>0\), άρα \(1-\eta\mu^2x=\sigma\upsilon\nu^2x\Rightarrow\ln(1-\eta\mu^2x)=\ln(\sigma\upsilon\nu^2x)=2\ln(\sigma\upsilon\nu x)\). Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη: \(\int_0^{\pi/4}\ln(1-\eta\mu^2x)dx=2\int_0^{\pi/4}\ln\sigma\upsilon\nu x\,dx\), ακριβώς όπως δηλώνεται.

Απάντηση: Σωστό (Α).

Άσκηση Ι9 (σελ. 238)

\(\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναγνωρίζουμε τον τύπο ως ολοκλήρωση κατά παράγοντες με \\(g'(x)=1\\Rightarrow g(x)=x\\).

Λύση:

1. Θέτοντας \(g(x)=x\) (άρα \(g'(x)=1\)) στον τύπο της κατά παράγοντες: \(\int f(x)dx=\int f(x)\cdot1\,dx=\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx\). Έλεγχος με \(f(x)=x^2\): δεξί μέλος \(=x\cdot x^2-\int x\cdot2x\,dx=x^3-\frac{2x^3}3=\frac{x^3}3\), που ταιριάζει με \(\int x^2dx=\frac{x^3}3+c\).

Απάντηση: Σωστό (Α). Έγκυρη εφαρμογή της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες με «κρυφό» παράγοντα 1.

Άσκηση Ι10 (σελ. 238)

\(\int_1^e\ln x\,dx=\int_1^e\ln\frac1t\,dt\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το δεξί μέλος απλοποιείται σε \\(-\\int_1^e\\ln t\\,dt\\), δηλαδή στο αντίθετο του αριστερού.

Λύση:

1. Δεξί μέλος: \(\int_1^e\ln\frac1t\,dt=\int_1^e(-\ln t)dt=-\int_1^e\ln t\,dt=-\int_1^e\ln x\,dx\) (η ονομασία της μεταβλητής δεν επηρεάζει την τιμή). Άρα η δοσμένη ισότητα λέει \(\int_1^e\ln x\,dx=-\int_1^e\ln x\,dx\), δηλαδή \(2\int_1^e\ln x\,dx=0\Rightarrow\int_1^e\ln x\,dx=0\). Όμως \(\int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^e=(e-e)-(0-1)=1\neq0\).

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Το αριστερό μέλος ισούται με 1, το δεξί με -1· δεν είναι ίσα.

Άσκηση Ι11 (σελ. 238)

Αν \(\int_0^1(f(x)-1)dx=0\) τότε \(\bar f=1\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ακριβώς η άσκηση §3.6 Α1.

Λύση:

1. \(\int_0^1(f(x)-1)dx=0\Rightarrow\int_0^1f(x)dx=1\Rightarrow\bar f=\frac{\int_0^1f(x)dx}{1-0}=1\) (βλ. §3.6, Άσκηση Α1).

Απάντηση: Σωστό (Α).

Άσκηση Ι12 (σελ. 238)

Αν \(\int_\alpha^\beta f(x)dx=0\), τότε \(f(\xi)=0\) για κάποιο \(\xi\in(\alpha,\beta)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού (§3.6), εφαρμοσμένο με τιμή ολοκληρώματος 0.

Λύση:

1. Από το ΘΜΤΟΛ (§3.6), υπάρχει \(\xi\in(\alpha,\beta)\) με \(\int_\alpha^\beta f(x)dx=f(\xi)(\beta-\alpha)\). Αν το ολοκλήρωμα είναι 0 και \(\beta\neq\alpha\) (άρα \(\beta-\alpha\neq0\)), τότε \(f(\xi)=0\).

Απάντηση: Σωστό (Α), εφόσον η \(f\) εννοείται συνεχής (προϋπόθεση του ΘΜΤΟΛ).

Άσκηση Ι13 (σελ. 238)

Αν \(\int_\alpha^\beta f^2(x)dx=0\) και η \(f\) δεν είναι παντού μηδέν στο \([\alpha,\beta]\), τότε η \(f\) παίρνει δύο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξετάζουμε αν το συμπέρασμα (ετερόσημες τιμές) είναι η σωστή συνέπεια, ή αν η υπόθεση οδηγεί αλλού.

Λύση:

1. Η \(f^2\geq0\) είναι συνεχής. Αν \(\int_\alpha^\beta f^2dx=0\) και η \(f^2\) (άρα και η \(f\)) είναι συνεχής, τότε (Θεώρημα 3, §3.4, αντιστροφή) η \(f^2\) πρέπει να είναι ΠΑΝΤΟΥ μηδέν στο \([\alpha,\beta]\) — διαφορετικά το ολοκλήρωμα θα ήταν γνησίως θετικό. Άρα \(f\equiv0\) σε όλο το διάστημα, που έρχεται σε ΑΝΤΙΘΕΣΗ με την υπόθεση «η \(f\) δεν είναι παντού μηδέν». Το συμπέρασμα «ετερόσημες τιμές» δεν προκύπτει από πουθενά — η σωστή συνέπεια θα ήταν αντίφαση της υπόθεσης, όχι ύπαρξη ετερόσημων τιμών.

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Η σωστή συνέπεια (για συνεχή \(f\)) είναι ότι η υπόθεση είναι αδύνατη (η \(f\) θα έπρεπε να είναι παντού μηδέν), όχι ότι παίρνει ετερόσημες τιμές.

Άσκηση Ι14 (σελ. 238)

Το \(\int_{-1}^1(x^3-x)dx\) παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την \(f(x)=x^3-x\) και τον άξονα \(x\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνουμε το ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ολοκλήρωμα (χωρίς απόλυτη τιμή) με το πραγματικό ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ εμβαδόν.

Λύση:

1. \(\int_{-1}^1(x^3-x)dx=\left[\frac{x^4}4-\frac{x^2}2\right]_{-1}^1=\left(\frac14-\frac12\right)-\left(\frac14-\frac12\right)=0\) (περιττή συνάρτηση σε συμμετρικό διάστημα). Όμως το πραγματικό εμβαδόν (με απόλυτη τιμή, αφού η \(x^3-x\) αλλάζει πρόσημο στις ρίζες \(-1,0,1\)) είναι \(\int_{-1}^1|x^3-x|dx\neq0\) (θετικός αριθμός).

Απάντηση: Λάθος (Ψ). Το ολοκλήρωμα χωρίς απόλυτη τιμή δίνει το ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ άθροισμα (=0 λόγω συμμετρίας, τα θετικά/αρνητικά τμήματα αναιρούνται), ΟΧΙ το πραγματικό εμβαδόν.

Άσκηση ΙΙ1 (σελ. 239)

Αν \(f'(x)=\eta\mu x\) και \(f(0)=0\), βρείτε τη μέση τιμή της \(f'\) στο \([0,\pi]\). Α) \(-\frac1\pi\) Β) \(\frac1\pi\) Γ) \(-\frac2\pi\) Δ) \(\frac2\pi\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μέση τιμή της \\(f'(x)=\\eta\\mu x\\) στο \\([0,\\pi]\\) υπολογίζεται με τον ορισμό της μέσης τιμής (§3.6).

Λύση:

1. \(\overline{f'}=\frac{\int_0^\pi\eta\mu x\,dx}{\pi-0}=\frac{[-\sigma\upsilon\nu x]_0^\pi}\pi=\frac{1-(-1)}\pi=\frac2\pi\).

Απάντηση: Δ) \(\dfrac2\pi\)

Πρόσεξε:

• Η εκφώνηση όπως εξήχθη ζητά απευθείας «το \(f(1)\)», αλλά αυτό δίνει \(f(1)=1-\sigma\upsilon\nu1\) (αριθμητική τιμή χωρίς \(\pi\)), ασύμβατο με τις προτεινόμενες απαντήσεις (όλες μορφής \(\kappa/\pi\)). Ερμηνεύσαμε την ερώτηση ως «μέση τιμή της \(f'\) στο \([0,\pi]\)», που δίνει ακριβώς \(2/\pi\), μία από τις 4 επιλογές.

Άσκηση ΙΙ2 (σελ. 239)

Το \(\int\frac1{4-x}dx\) στο \((4,+\infty)\) είναι ίσο με: Α) \(\ln(4-x)+c\) Β) \(-\ln(4-x)+c\) Γ) \(\ln(x-4)+c\) Δ) \(-\ln(x-4)+c\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναγνωρίζουμε τη μορφή \\(\\int\\frac{g'(x)}{g(x)}dx\\) με \\(g(x)=4-x\\), προσέχοντας το πρόσημο στο \\((4,+\\infty)\\) όπου \\(4-x<0\\).

Λύση:

1. \(u=4-x,\ du=-dx\Rightarrow\int\frac1{4-x}dx=-\int\frac{du}u=-\ln|u|+c=-\ln|4-x|+c\). Στο \((4,+\infty)\), \(4-x<0\Rightarrow|4-x|=x-4\). Άρα \(-\ln(x-4)+c\). Έλεγχος: \(\frac{d}{dx}[-\ln(x-4)]=-\frac1{x-4}=\frac1{4-x}\) ✓.

Απάντηση: Δ) \(-\ln(x-4)+c\)

Άσκηση ΙΙ3 (σελ. 239)

Το ολοκλήρωμα \(\int \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 dx\) στο \((0,+\infty)\) είναι ίσο με: Α) \(\frac{\left(x-\frac{1}{x}\right)^3}{3}+c\), Β) \(2\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\), Γ) \(\frac{(1-\ln x)^3}{3}+c\), Δ) \(\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}-2x+c\), Ε) \(\frac{\left(x-\frac{1}{x}\right)^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)+c\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αναπτύσσουμε το τετράγωνο και ολοκληρώνουμε όρο-όρο.

Λύση:

1. \(\left(x-\frac1x\right)^2=x^2-2+\frac1{x^2}\Rightarrow\int=\frac{x^3}3-2x-\frac1x+c\), που γράφεται και ως \(\frac{x^3}3-\frac1x-2x+c\).

Απάντηση: Δ) \(\dfrac{x^3}3-\dfrac1x-2x+c\)

Άσκηση ΙΙ4 (σελ. 239)

Το \(\int_{-1}^1|x^2-1|dx\) είναι ίσο με: Α) \(\frac43\) Β) \(0\) Γ) \(-\frac43\) Δ) \(\frac23\) Ε) \(\frac53\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο \\([-1,1]\\) είναι \\(x^2-1\\leq0\\), άρα \\(|x^2-1|=1-x^2\\).

Λύση:

1. \(\int_{-1}^1(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}3\right]_{-1}^1=\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right)=\frac23+\frac23=\frac43\).

Απάντηση: Α) \(\dfrac43\)

Άσκηση ΙΙ5 (σελ. 239)

Το ολοκλήρωμα \(\int \ln x\,dx\) είναι ίσο με: Α) \(\frac{1}{x}+c\), Β) \(\frac{\ln^2 x}{2}+c\), Γ) \(x(\ln x-1)+c\), Δ) \(\frac{\ln^3 x}{3}+c\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κλασικό αποτέλεσμα κατά παράγοντες (§3.2).

Λύση:

1. \(\int\ln x\,dx=x\ln x-x+c=x(\ln x-1)+c\) (βλ. §3.2, Άσκηση Α1.vi).

Απάντηση: Γ) \(x(\ln x-1)+c\)

Άσκηση ΙΙ6 (σελ. 239)

Έστω \(f, g\) δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο \([\alpha,\beta]\). Αν \(f(x)\leq g(x)\) για κάθε \(x \in [\alpha,\beta]\), τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει: Α) \(f'(x)\leq g'(x), \; x \in [\alpha,\beta]\), Β) \(\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx \leq \int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx\), Γ) \(\int f(x)dx \leq \int g(x)dx, \; x \in [\alpha,\beta]\), Δ) \(\int_{\beta}^{\alpha} f(x)dx \leq \int_{\beta}^{\alpha} g(x)dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξετάζουμε κάθε επιλογή· η ανισότητα συναρτήσεων συνεπάγεται ανισότητα ολοκληρωμάτων (Γ10.i), όχι ανισότητα παραγώγων.

Λύση:

1. Α) Ψευδές: αντιπαράδειγμα \(f=0,g=x^2\) στο \([-1,1]\) — \(f\leq g\) παντού, αλλά στο \(x=-0{,}5\): \(f'=0>g'=-1\). Β) Αληθές: άμεση συνέπεια του Γ10.i (§3.7). Γ) Δεν έχει νόημα (σύγκριση αόριστων ολοκληρωμάτων, συνόλων συναρτήσεων). Δ) Ψευδές: αντιστροφή ορίων αναστρέφει την ανισότητα, δεν τη διατηρεί.

Απάντηση: Β) \(\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)dx\leq\int_\alpha^\beta g(x)dx\)

Άσκηση ΙΙ7 (σελ. 240)

Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του διπλανού σχήματος (η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στα \(-3,0,5\)· είναι κάτω από τον άξονα στο \([-3,0]\) και πάνω στο \([0,5]\)) είναι ίσο με: Α) \(\int_{-3}^{5} f(x)dx\), Β) \(\int_{5}^{-3} f(x)dx\), Γ) \(\int_{-3}^{0} f(x)dx-\int_{0}^{5} f(x)dx\), Δ) \(-\int_{-3}^{0} f(x)dx+\int_{0}^{5} f(x)dx\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το εμβαδόν είναι πάντα μη αρνητικό· στο τμήμα όπου \\(f<0\\) χρειάζεται αλλαγή προσήμου.

Λύση:

1. Στο \([-3,0]\), \(f\leq0\Rightarrow\) εμβαδόν \(=-\int_{-3}^0f(x)dx\). Στο \([0,5]\), \(f\geq0\Rightarrow\) εμβαδόν \(=\int_0^5f(x)dx\). Συνολικό εμβαδόν \(=-\int_{-3}^0f(x)dx+\int_0^5f(x)dx\).

Απάντηση: Δ) \(-\displaystyle\int_{-3}^0f(x)dx+\int_0^5f(x)dx\)

Άσκηση ΙΙ8 (σελ. 240)

Αν \(f'(x)=g'(x)\) για κάθε \(x \in [-1,1]\) και \(f(0)=g(0)+2\), τότε για κάθε \(x \in [-1,1]\) ισχύει: Α) \(f(x)=g(x)-2\), Β) \(\int_{-1}^{1} (f(x)-g(x))dx=4\), Γ) \(f(x)<g(x), \; x \in [-1,1]\), Δ) Οι \(C_f, C_g\) έχουν κοινό σημείο στο \([-1,1]\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ίσες παράγωγοι παντού σε διάστημα σημαίνει σταθερή διαφορά· προσδιορίζουμε τη σταθερά από το \\(x=0\\).

Λύση:

1. Αφού \(f'=g'\) στο \([-1,1]\), η \(f-g\) είναι σταθερή εκεί (πόρισμα ΘΜΤ Διαφορικού Λογισμού). Από \(f(0)-g(0)=2\), έχουμε \(f(x)-g(x)=2\) για κάθε \(x\). Έλεγχος επιλογών: Α) λάθος πρόσημο (\(f=g-2\), σωστό θα ήταν \(f=g+2\)). Β) \(\int_{-1}^1(f-g)dx=\int_{-1}^12dx=2\cdot2=4\) ✓. Γ) λάθος (\(f>g\), όχι \(<\)). Δ) λάθος (\(f-g=2\neq0\) πάντα, καμία τομή).

Απάντηση: Β) \(\displaystyle\int_{-1}^1(f(x)-g(x))dx=4\)

Άσκηση ΙΙ9 (σελ. 240)

Έστω η συνάρτηση \(F(x)=\int_0^x f(t)dt\) όπου \(f\) η συνάρτηση του διπλανού σχήματος (μέγιστο \(f(1)=2\)). Τότε η \(F'(1)\) είναι ίση με: Α) \(0\), Β) \(1\), Γ) \(2\), Δ) \(\frac{1}{2}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Άμεση εφαρμογή του Θεμελιώδους Θεωρήματος: \\(F'(x)=f(x)\\).

Λύση:

1. \(F'(x)=f(x)\) (Θεμελιώδες Θεώρημα, §3.5). Από το σχήμα, \(f(1)=2\) (η μέγιστη τιμή της καμπύλης, στο \(x=1\)). Άρα \(F'(1)=f(1)=2\).

Απάντηση: Γ) \(2\)

Άσκηση ΙΙ10 (σελ. 240)

Έστω η συνάρτηση \(f\) του διπλανού σχήματος (τα χωρία \(\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3\) βρίσκονται διαδοχικά πάνω, κάτω και πάνω από τον άξονα \(x'x\) στα \([\alpha,\beta],[\beta,\gamma],[\gamma,\delta]\)). Αν \(E(\Omega_1)=2\), \(E(\Omega_2)=1\) και \(E(\Omega_3)=3\), τότε το \(\int_{\alpha}^{\delta} f(x)dx\) είναι ίσο με: Α) \(6\), Β) \(-4\), Γ) \(4\), Δ) \(0\), Ε) \(2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το ολοκλήρωμα είναι αλγεβρικό άθροισμα: πρόσθεση όπου \\(f>0\\), αφαίρεση όπου \\(f<0\\).

Λύση:

1. \(\int_\alpha^\delta f(x)dx=\int_\alpha^\beta f+\int_\beta^\gamma f+\int_\gamma^\delta f=E(\Omega_1)-E(\Omega_2)+E(\Omega_3)=2-1+3=4\) (αφαίρεση στο μεσαίο κομμάτι, αφού εκεί \(f<0\)).

Απάντηση: Γ) \(4\)

Άσκηση ΙΙ11 (σελ. 240)

Έστω η συνάρτηση \(F(x)=\int_0^x f(t)dt\), όπου \(f\) η συνάρτηση του διπλανού σχήματος (\(f(t)=2t\) για \(0\leq t<1\), \(f(t)=2\) για \(t\geq1\)). Τότε: Α) \(F(x)=x^2\), Β) \(F(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x<1\\ 2, & 1\leq x\end{cases}\), Γ) \(F(x)=\begin{cases}x^2, & 0\leq x<1\\ 2x, & 1\leq x\end{cases}\), Δ) \(F(x)=\begin{cases}x^2, & 0\leq x<1\\ 2x-1, & 1\leq x\end{cases}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ολοκληρώνουμε κατά κλάδο, φροντίζοντας τη συνέχεια στο σημείο \\(t=1\\).

Λύση:

1. Για \(0\leq x<1\): \(F(x)=\int_0^x2t\,dt=x^2\). Για \(x\geq1\): \(F(x)=F(1)+\int_1^x2\,dt=1+2(x-1)=2x-1\).

Απάντηση: Δ) \(F(x)=\begin{cases}x^2,&0\leq x<1\\2x-1,&x\geq1\end{cases}\)

Άσκηση ΙΙΙ1 (σελ. 241)

Ποιο από τα σχήματα (Α)-(Ε) αντιπροσωπεύει γραφική παράσταση λύσης της \(xy'=y,\ y>0\); [(Α) λογαριθμική με κατακόρυφη ασύμπτωτη· (Β) αύξουσα εκθετική· (Γ) παραβολή εφαπτόμενη στον άξονα στο \(O\)· (Δ) ημιευθεία από το \(O\) με θετική κλίση· (Ε) υπερβολή με κλάδους στα Ι,ΙΙΙ τεταρτημόρια]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Λύνουμε πρώτα τη διαφορική εξίσωση (χωριζόμενες μεταβλητές) και αναγνωρίζουμε τη μορφή της γραφικής της παράστασης.

Λύση:

1. \(xy'=y\Leftrightarrow\frac{y'}y=\frac1x\ (x\neq0)\Rightarrow\frac{dy}y=\frac{dx}x\Rightarrow\ln y=\ln|x|+c_1\Rightarrow y=C|x|,\ C>0\). Για \(x>0\) (όπου συνήθως εξετάζεται η \(y>0\)), \(y=Cx\): ευθεία (ημιευθεία, αφού \(y>0\)) που διέρχεται από το \(O\) με θετική κλίση \(C\).

Απάντηση: (Δ) — ημιευθεία από το \(O\) με θετική κλίση, αφού η γενική λύση είναι \(y=Cx,\ C>0\)

Άσκηση ΙΙΙ2 (σελ. 241)

Ποια από τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα; Α) \(\int_0^1\frac1{x-1}dx\) Β) \(\int_0^{\pi/2}\eta\mu x\,dx\) Γ) \(\int_0^\pi\epsilon\phi x\,dx\) Δ) \(\int_0^1\ln x\,dx\) Ε) \(\int_0^2\sqrt{1-x^2}dx\) Ζ) \(\int_0^1\frac1{x+1}dx\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (με τον ορισμό του §3.4) είναι καλώς ορισμένο μόνο αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι συνεχής (πραγματική, πεπερασμένη) σε ΟΛΟ το κλειστό διάστημα ολοκλήρωσης.

Λύση:

1. Α) \(\frac1{x-1}\) απειρίζεται στο \(x=1\) (άκρο του διαστήματος) — ΔΕΝ είναι καλώς ορισμένο.
2. Β) \(\eta\mu x\) συνεχής παντού — καλώς ορισμένο.
3. Γ) \(\epsilon\phi x\) απειρίζεται στο \(x=\pi/2\in(0,\pi)\) (εσωτερικό σημείο) — ΔΕΝ είναι καλώς ορισμένο.
4. Δ) \(\ln x\) απειρίζεται (\(\to-\infty\)) στο \(x=0\) (άκρο) — ΔΕΝ είναι καλώς ορισμένο.
5. Ε) \(\sqrt{1-x^2}\) απαιτεί \(|x|\leq1\), όμως το διάστημα είναι \([0,2]\) και για \(x\in(1,2]\) το \(1-x^2<0\) — η συνάρτηση δεν είναι καν πραγματική εκεί — ΔΕΝ είναι καλώς ορισμένο.
6. Ζ) \(\frac1{x+1}\) συνεχής σε όλο το \([0,1]\) (παρονομαστής ποτέ μηδέν εκεί) — καλώς ορισμένο.

Απάντηση: Καλώς ορισμένα: Β) και Ζ)

Άσκηση ΙΙΙ3 (σελ. 241)

Εντοπίστε το λάθος: \(\int\frac1xdx=\int(x)'\frac1xdx=x\cdot\frac1x-\int x\left(\frac1x\right)'dx=1-\int x\left(-\frac1{x^2}\right)dx=1+\int\frac1xdx\). Άρα \(\int\frac1xdx=1+\int\frac1xdx\), οπότε \(0=1\)!

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θυμόμαστε ότι το \(\int\frac1xdx\) ΔΕΝ είναι μία συγκεκριμένη συνάρτηση αλλά ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΣΥΝΟΛΟ συναρτήσεων (\(\ln|x|+c\), για κάθε \(c\in\mathbb R\)).

Λύση:

1. Το βήμα \(\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx\) (κατά παράγοντες με «κρυφό» παράγοντα 1) είναι ΣΩΣΤΟ ως ισότητα ΣΥΝΟΛΩΝ συναρτήσεων (κάθε πλευρά είναι μια οικογένεια \(F(x)+c\)), αλλά ΔΕΝ σημαίνει ότι οι ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ παραστάσεις και στα δύο μέλη αντιστοιχούν στην ΙΔΙΑ σταθερά.
2. Το λάθος είναι ότι η εξίσωση \(\int\frac1xdx=1+\int\frac1xdx\) ερμηνεύεται σαν να αφαιρούμε «το ίδιο πράγμα» και από τις δύο πλευρές για να καταλήξουμε σε \(0=1\) — όμως τα δύο \(\int\frac1xdx\) (αριστερά και δεξιά) αντιπροσωπεύουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ (αν και ισοδύναμων μορφών) αυθαίρετες σταθερές \(c_1,c_2\), με \(c_1=1+c_2\) — καμία αντίφαση, απλώς η ίδια οικογένεια συναρτήσεων εκφρασμένη με δύο σταθερές που διαφέρουν κατά 1.

Απάντηση: Το λάθος βρίσκεται στη σιωπηρή αντιμετώπιση του αόριστου ολοκληρώματος ως μοναδικής συνάρτησης αντί για οικογένεια \(F(x)+c\)· η «αφαίρεση» \(\int\frac1xdx\) και από τα δύο μέλη είναι έγκυρη μόνο modulo σταθεράς, όχι κυριολεκτικά

Άσκηση ΙΙΙ4 (σελ. 242)

Εντοπίστε το λάθος: \(I=\int_{-1}^1\frac1{1+x^2}dx=\int_{-1}^1\frac1{1+1/u^2}\left(-\frac1{u^2}\right)du=-\int_{-1}^1\frac1{1+u^2}du=-I\) (με \(x=1/u\)). Άρα \(I=-I\Rightarrow I=0\), άτοπο αφού \(I=\int_{-1}^1\frac1{1+x^2}dx>0\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ελέγχουμε αν η αντικατάσταση \(x=1/u\) πληροί τις προϋποθέσεις εγκυρότητας (συνέχεια/παραγωγισιμότητα σε ΟΛΟ το διάστημα ολοκλήρωσης).

Λύση:

1. Ο τύπος αλλαγής μεταβλητής \(\int_\alpha^\beta f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(u)du\) απαιτεί η \(g\) να είναι ΣΥΝΕΧΩΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ σε ΟΛΟ το διάστημα ολοκλήρωσης \([\alpha,\beta]\).
2. Εδώ, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι \([-1,1]\), το οποίο ΠΕΡΙΕΧΕΙ το \(x=0\). Όμως η αντικατάσταση \(u=1/x\) (ισοδύναμα \(x=1/u\)) ΔΕΝ ορίζεται στο \(x=0\) (διαίρεση με το μηδέν) — η συνάρτηση \(g(x)=1/x\) δεν είναι καν ορισμένη, πόσο μάλλον συνεχής, στο \(x=0\in[-1,1]\).
3. Επομένως η αλλαγή μεταβλητής εφαρμόστηκε σε ένα διάστημα όπου δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις εγκυρότητάς της — αυτό είναι το λάθος, όχι κάποιο αλγεβρικό σφάλμα στους υπολογισμούς.

Απάντηση: Το λάθος είναι η χρήση της αντικατάστασης \(x=1/u\) στο διάστημα \([-1,1]\), το οποίο περιέχει το \(x=0\) όπου η \(1/x\) δεν ορίζεται — η αλλαγή μεταβλητής είναι άκυρη εκεί

Άσκηση ΙΙΙ5 (σελ. 242)

\(F(x)=\int_0^xf(t)dt\), όπου \(f\) η κλαδωτή συνάρτηση του σχήματος: \(f(t)=t\) για \(t\in[0,2]\) (ευθεία από \((0,0)\) σε \((2,2)\)), \(f(t)=2\) για \(t\in[2,4]\) (οριζόντια), \(f(t)=t-2\) για \(t\in[4,6]\) (ευθεία από \((4,2)\) σε \((6,4)\)). Συμπληρώστε: \(F(0)=\ldots,F(2)=\ldots,F(3)=\ldots,F(4)=\ldots,F(6)=\ldots\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε τιμή υπολογίζεται ως άθροισμα εμβαδών (τριγώνων/ορθογωνίων/τραπεζίων) κάτω από τη γραφική παράσταση, σωρευτικά.

Λύση:

1. \(F(0)=\int_0^0f(t)dt=0\) (τετριμμένα).
2. \(F(2)=\int_0^2t\,dt=\left[\frac{t^2}2\right]_0^2=2\) (εμβαδόν τριγώνου βάσης 2, ύψους 2).
3. \(F(3)=F(2)+\int_2^32\,dt=2+2(1)=4\).
4. \(F(4)=F(2)+\int_2^42\,dt=2+2(2)=6\).
5. \(F(6)=F(4)+\int_4^6(t-2)dt=6+\left[\frac{t^2}2-2t\right]_4^6=6+[(18-12)-(8-8)]=6+6=12\).

Απάντηση: \(F(0)=0,\ F(2)=2,\ F(3)=4,\ F(4)=6,\ F(6)=12\)