Λύσεις — Άσκηση 1η · Λογικές πύλες NOT, AND, OR (σελ. 7-10) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 1η · Λογικές πύλες NOT, AND, OR (σελ. 7-10)

Συμπληρωμένοι πίνακες αληθείας των πυλών NOT/AND/OR, ασύνδετη είσοδος (floating high στα TTL) και επαλήθευση θεωρημάτων Άλγεβρας Boole.

Πύλη NOT — πίνακας αληθείας ΚΑΙ διπλή άρνηση

Ζητούμενο: Συμπληρώστε τον πίνακα αληθείας της πύλης NOT (74LS04) και επαληθεύστε το θεώρημα \(\overline{\overline{A}}=A\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η πύλη NOT αντιστρέφει την είσοδο: \(Y=\overline{A}\). Στην έξοδο, LED αναμμένο=«1», σβηστό=«0». Η διπλή άρνηση (δύο NOT σε σειρά) επαναφέρει την είσοδο.

Λύση:

• Πίνακας αληθείας: A=0 → Y=1 (LED αναμμένο, \(V_m\ge V_{OHmin}\))· A=1 → Y=0 (LED σβηστό, \(V_m\le V_{OLmax}\)).
• Διπλή άρνηση: A → NOT → \(\overline{A}\) → NOT → \(\overline{\overline{A}}=A\). Η έξοδος της 2ης πύλης ταυτίζεται με την αρχική είσοδο ⇒ επαληθεύεται \(\overline{\overline{A}}=A\).

Απάντηση: NOT: 0→1, 1→0. Η διπλή άρνηση δίνει πίσω το A (θεώρημα \(\overline{\overline{A}}=A\) ✓).

Πρόσεξε:

• Η ένδειξη του βολτομέτρου επαληθεύει τις στάθμες \(V_{OL}\)/\(V_{OH}\) του data sheet.
• Δύο αντιστροφές αναιρούνται — βασική ιδιότητα του NOT.

Πύλη AND — πίνακας αληθείας ΚΑΙ θεωρήματα

Ζητούμενο: Συμπληρώστε τον πίνακα αληθείας της πύλης AND (74LS08), προσδιορίστε σε τι ισοδυναμεί μια ασύνδετη είσοδος, και επαληθεύστε τα \(A\cdot A=A\), \(A\cdot 0=0\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η AND δίνει «1» μόνο όταν ΟΛΕΣ οι είσοδοι είναι «1». Σε TTL, ασύνδετη είσοδος «επιπλέει» ως «1».

Λύση:

• Πίνακας αληθείας (Y=A·B): 00→0, 01→0, 10→0, 11→1.
• Ασύνδετη είσοδος: με τη μία είσοδο στο Vcc («1») και την άλλη ασύνδετη, το LED ανάβει ⇒ η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με «1» (floating high στα TTL).
• \( A\cdot A=A \): και οι δύο είσοδοι στο ίδιο A ⇒ έξοδος = A (0·0=0, 1·1=1) ✓.
• \( A\cdot 0=0 \): με τη μία είσοδο μόνιμα στο «0», η έξοδος είναι πάντα «0» ✓.

Απάντηση: AND: 00→0, 01→0, 10→0, 11→1. Ασύνδετη είσοδος = «1». Επαληθεύονται A·A=A και A·0=0.

Πρόσεξε:

• Στα TTL ασύνδετη είσοδος = λογικό «1» (γι' αυτό δεν αφήνουμε ποτέ ασύνδετες εισόδους).
• Το «0» στην AND «κυριαρχεί»: μηδενίζει την έξοδο.

Πύλη OR — πίνακας αληθείας ΚΑΙ θεωρήματα

Ζητούμενο: Συμπληρώστε τον πίνακα αληθείας της πύλης OR (74LS32), προσδιορίστε σε τι ισοδυναμεί μια ασύνδετη είσοδος, και επαληθεύστε τα \(A+A=A\), \(A+1=1\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η OR δίνει «1» όταν ΕΣΤΩ ΜΙΑ είσοδος είναι «1». Σε TTL, ασύνδετη είσοδος «επιπλέει» ως «1».

Λύση:

• Πίνακας αληθείας (Y=A+B): 00→0, 01→1, 10→1, 11→1.
• Ασύνδετη είσοδος: με τη μία είσοδο στο GND («0») και την άλλη ασύνδετη, το LED ανάβει ⇒ η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με «1» (0+1=1).
• \( A+A=A \): και οι δύο είσοδοι στο ίδιο A ⇒ έξοδος = A (0+0=0, 1+1=1) ✓.
• \( A+1=1 \): με τη μία είσοδο μόνιμα στο «1», η έξοδος είναι πάντα «1» ✓.

Απάντηση: OR: 00→0, 01→1, 10→1, 11→1. Ασύνδετη είσοδος = «1». Επαληθεύονται A+A=A και A+1=1.

Πρόσεξε:

• Το «1» στην OR «κυριαρχεί»: επιβάλλει έξοδο «1».
• Η ασύνδετη είσοδος (=«1») στην OR κρατά την έξοδο μόνιμα «1» — γι' αυτό εδώ γειώνουμε την άλλη είσοδο για να φανεί.

Πρόσθετη εργασία 1 — AND 3 εισόδων από δύο AND

Ζητούμενο: Υλοποιήστε μία πύλη AND τριών εισόδων χρησιμοποιώντας δύο πύλες AND δύο εισόδων και συγκρίνετε με μία AND τριών εισόδων (74LS11).

Πώς σκεφτόμαστε: Λόγω προσεταιριστικότητας, \(A\cdot B\cdot C=(A\cdot B)\cdot C\): η έξοδος της πρώτης AND (A·B) γίνεται είσοδος της δεύτερης μαζί με το C.

Λύση:

• Συνδέουμε: 1η AND(74LS08) με εισόδους A, B → έξοδος \(A\cdot B\).
• 2η AND με εισόδους \(A\cdot B\) και C → έξοδος \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C\).
• Σύγκριση με 74LS11 (AND 3 εισόδων): η έξοδος είναι «1» ΜΟΝΟ όταν A=B=C=1 — ταυτόσημη συμπεριφορά.

Απάντηση: Δύο AND-2 σε αλυσίδα δίνουν AND-3: Y=A·B·C («1» μόνο όταν και τα τρία «1»), ίδια με το 74LS11.

Πρόσεξε:

• Ισχύει η προσεταιριστικότητα: \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)\).
• Έτσι φτιάχνουμε πύλες περισσότερων εισόδων από πύλες λιγότερων.

Πρόσθετη εργασία 2 — θεώρημα απορρόφησης

Ζητούμενο: Επαληθεύστε πειραματικά το θεώρημα Απορρόφησης \(A+A\cdot B=A\) (74LS08 και 74LS32).

Πώς σκεφτόμαστε: Συνδυάζουμε AND (για το A·B) και OR (για το A + (A·B)). Το αποτέλεσμα πρέπει να ισούται με A για κάθε συνδυασμό A,B.

Λύση:

• 1η πύλη AND: εισόδοι A, B → \(A\cdot B\).
• 2η πύλη OR: εισόδοι A και \(A\cdot B\) → \(A+A\cdot B\).
• Πίνακας: A=0,B=0→0· 0,1→0· 1,0→1· 1,1→1. Η έξοδος ισούται πάντα με A ⇒ επαληθεύεται \(A+A\cdot B=A\).

Απάντηση: Το \(A+A\cdot B=A\) επαληθεύεται: η έξοδος ακολουθεί πάντα το A, ανεξάρτητα από το B.

Πρόσεξε:

• Απορρόφηση: ο όρος A «απορροφά» τον A·B (αφού όποτε A=1 η έξοδος είναι ήδη 1, όποτε A=0 ο A·B=0).
• Χρήσιμο για απλοποίηση λογικών συναρτήσεων.