Λύσεις — Άσκηση 1η · Λογικές πύλες NOT, AND, OR (σελ. 7-10) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 1η · Λογικές πύλες NOT, AND, OR (σελ. 7-10)

Συμπληρωμένοι πίνακες αληθείας των πυλών NOT/AND/OR, ασύνδετη είσοδος (στα TTL ισοδυναμεί με λογικό «1») και επαλήθευση θεωρημάτων Άλγεβρας Boole.

Πύλη NOT — πίνακας αληθείας ΚΑΙ διπλή άρνηση

Ζητούμενο: 4. Με το διακόπτη Δ1 να δώσετε στην είσοδο λογικές καταστάσεις «0» ή «1» και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα παρατηρώντας το LED (αναμμένο=«1» ή σβηστό=«0») καθώς και την ένδειξη του βολτομέτρου (στήλες A, Υ, LED, Vm). 5. Να ελέγξετε, χρησιμοποιώντας τα φύλλα δεδομένων (data sheets), αν η πύλη λειτουργεί σωστά συγκρίνοντας τον παραπάνω πίνακα με: α) τον πίνακα αληθείας της πύλης NOT και β) τις τάσεις εξόδου \(V_{OL}\) και \(V_{OH}\). 6. Να επαληθεύσετε πειραματικά το θεώρημα της Άλγεβρας Boole: \(\overline{\overline{A}}=A\) χρησιμοποιώντας δύο πύλες NOT του ολοκληρωμένου που επιλέξατε.

Πώς σκεφτόμαστε: Η πύλη NOT αντιστρέφει την είσοδο: \(Y=\overline{A}\). Στην έξοδο, LED αναμμένο=«1», σβηστό=«0». Η διπλή άρνηση (δύο NOT σε σειρά) επαναφέρει την είσοδο.

Λύση:

• Πίνακας αληθείας: A=0 → Y=1 (LED αναμμένο, \(V_m\ge V_{OHmin}\))· A=1 → Y=0 (LED σβηστό, \(V_m\le V_{OLmax}\)).
• Διπλή άρνηση: A → NOT → \(\overline{A}\) → NOT → \(\overline{\overline{A}}=A\). Η έξοδος της 2ης πύλης ταυτίζεται με την αρχική είσοδο ⇒ επαληθεύεται \(\overline{\overline{A}}=A\).

Απάντηση: NOT: 0→1, 1→0. Η διπλή άρνηση δίνει πίσω το A (θεώρημα \(\overline{\overline{A}}=A\) ✓).

Πρόσεξε:

• Η ένδειξη του βολτομέτρου επαληθεύει τις στάθμες \(V_{OL}\)/\(V_{OH}\) του data sheet.

• Δύο αντιστροφές αναιρούνται — βασική ιδιότητα του NOT.

Πύλη AND — πίνακας αληθείας ΚΑΙ θεωρήματα

Ζητούμενο: 4. Με τους διακόπτες Δ1 και Δ2 να δώσετε στις εισόδους όλους τους δυνατούς συνδυασμούς λογικών καταστάσεων και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα παρατηρώντας το LED (αναμμένο=«1» ή σβηστό=«0») καθώς και την ένδειξη του βολτομέτρου (στήλες A, Β, Υ, LED, Vm). 6. Να συνδέσετε τη μία είσοδο της πύλης στην τάση Vcc ενώ την άλλη να την αφήσετε ασύνδετη. Παρατηρώντας την κατάσταση του LED, να συμπεράνετε αν η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με λογική κατάσταση «0» ή «1». 7. Να επαληθεύσετε πειραματικά τα παρακάτω θεωρήματα της άλγεβρας Boole: \(A\cdot A=A\), \(A\cdot 0=0\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η AND δίνει «1» μόνο όταν ΟΛΕΣ οι είσοδοι είναι «1». Σε TTL, ασύνδετη είσοδος συμπεριφέρεται ως «1».

Λύση:

• Πίνακας αληθείας (Y=A·B): 00→0, 01→0, 10→0, 11→1.
• Ασύνδετη είσοδος: με τη μία είσοδο στο Vcc («1») και την άλλη ασύνδετη, το LED ανάβει ⇒ η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με «1» (στα TTL η ασύνδετη είσοδος συμπεριφέρεται ως λογικό «1»).
• \( A\cdot A=A \): και οι δύο είσοδοι στο ίδιο A ⇒ έξοδος = A (0·0=0, 1·1=1) ✓.
• \( A\cdot 0=0 \): με τη μία είσοδο μόνιμα στο «0», η έξοδος είναι πάντα «0» ✓.

Απάντηση: AND: 00→0, 01→0, 10→0, 11→1. Ασύνδετη είσοδος = «1». Επαληθεύονται A·A=A και A·0=0.

Πρόσεξε:

• Στα TTL ασύνδετη είσοδος = λογικό «1» (γι' αυτό δεν αφήνουμε ποτέ ασύνδετες εισόδους).

• Το «0» στην AND «κυριαρχεί»: μηδενίζει την έξοδο.

Πύλη OR — πίνακας αληθείας ΚΑΙ θεωρήματα

Ζητούμενο: 4. Με τους διακόπτες Δ1 και Δ2 να δώσετε στις εισόδους όλους τους δυνατούς συνδυασμούς λογικών καταστάσεων και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα παρατηρώντας το LED (αναμμένο=«1» ή σβηστό=«0») καθώς και την ένδειξη του βολτομέτρου (στήλες A, Β, Υ, LED, Vm). 6. Να συνδέσετε τη μία είσοδο της πύλης στην τάση GND ενώ την άλλη να την αφήσετε ασύνδετη. Παρατηρώντας την κατάσταση του LED, να συμπεράνετε αν η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με λογική κατάσταση «0» ή «1». 7. Να επαληθεύσετε πειραματικά τα παρακάτω θεωρήματα της άλγεβρας Boole: \(A+A=A\), \(A+1=1\).

Πώς σκεφτόμαστε: Η OR δίνει «1» όταν ΕΣΤΩ ΜΙΑ είσοδος είναι «1». Σε TTL, ασύνδετη είσοδος συμπεριφέρεται ως «1».

Λύση:

• Πίνακας αληθείας (Y=A+B): 00→0, 01→1, 10→1, 11→1.
• Ασύνδετη είσοδος: με τη μία είσοδο στο GND («0») και την άλλη ασύνδετη, το LED ανάβει ⇒ η ασύνδετη είσοδος ισοδυναμεί με «1» (0+1=1).
• \( A+A=A \): και οι δύο είσοδοι στο ίδιο A ⇒ έξοδος = A (0+0=0, 1+1=1) ✓.
• \( A+1=1 \): με τη μία είσοδο μόνιμα στο «1», η έξοδος είναι πάντα «1» ✓.

Απάντηση: OR: 00→0, 01→1, 10→1, 11→1. Ασύνδετη είσοδος = «1». Επαληθεύονται A+A=A και A+1=1.

Πρόσεξε:

• Το «1» στην OR «κυριαρχεί»: επιβάλλει έξοδο «1».

• Η ασύνδετη είσοδος (=«1») στην OR κρατά την έξοδο μόνιμα «1» — γι' αυτό εδώ γειώνουμε την άλλη είσοδο για να φανεί.

Πρόσθετη εργασία 1 — AND 3 εισόδων από δύο AND

Ζητούμενο: 1. Να υλοποιήσετε μία πύλη AND τριών εισόδων χρησιμοποιώντας δύο πύλες AND δύο εισόδων. Να συγκρίνετε τη λειτουργία της με τη λειτουργία μίας πύλης AND τριών εισόδων. Να επιλέξετε τα κατάλληλα Ο.Κ. (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα Ο.Κ. 74LS08 και 74LS11).

Πώς σκεφτόμαστε: Λόγω προσεταιριστικότητας, \(A\cdot B\cdot C=(A\cdot B)\cdot C\): η έξοδος της πρώτης AND (A·B) γίνεται είσοδος της δεύτερης μαζί με το C.

Λύση:

• Συνδέουμε: 1η AND (74LS08) με εισόδους A, B → έξοδος \(A\cdot B\).
• 2η AND με εισόδους \(A\cdot B\) και C → έξοδος \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C\).
• Σύγκριση με 74LS11 (AND 3 εισόδων): η έξοδος είναι «1» ΜΟΝΟ όταν A=B=C=1 — ταυτόσημη συμπεριφορά.

Απάντηση: Δύο AND-2 σε αλυσίδα δίνουν AND-3: Y=A·B·C («1» μόνο όταν και τα τρία «1»), ίδια με το 74LS11.

Πρόσεξε:

• Ισχύει η προσεταιριστικότητα: \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)\).

• Έτσι φτιάχνουμε πύλες περισσότερων εισόδων από πύλες λιγότερων.

Πρόσθετη εργασία 2 — θεώρημα απορρόφησης

Ζητούμενο: 2. Επιλέγοντας τα κατάλληλα Ο.Κ., να επαληθεύσετε πειραματικά το Θεώρημα Απορρόφησης της Άλγεβρας Boole: \(A+A\cdot B=A\) (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα Ο.Κ. 74LS08 και 74LS32).

Πώς σκεφτόμαστε: Συνδυάζουμε AND (για το A·B) και OR (για το A + (A·B)). Το αποτέλεσμα πρέπει να ισούται με A για κάθε συνδυασμό A,B.

Λύση:

• 1η πύλη AND: είσοδοι A, B → \(A\cdot B\).
• 2η πύλη OR: είσοδοι A και \(A\cdot B\) → \(A+A\cdot B\).
• Πίνακας: A=0,B=0→0· 0,1→0· 1,0→1· 1,1→1. Η έξοδος ισούται πάντα με A ⇒ επαληθεύεται \(A+A\cdot B=A\).

Απάντηση: Το \(A+A\cdot B=A\) επαληθεύεται: η έξοδος ακολουθεί πάντα το A, ανεξάρτητα από το B.

Πρόσεξε:

• Απορρόφηση: ο όρος A «απορροφά» τον A·B (αφού όποτε A=1 η έξοδος είναι ήδη 1, όποτε A=0 ο A·B=0).

• Χρήσιμο για απλοποίηση λογικών συναρτήσεων.