Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Σm(0,2,3,4,6), απλοποίηση με Άλγεβρα Boole & Karnaugh (Y=C̄+Ā·B), επίπεδα NOT-AND-OR και επιλογή Ο.Κ. Επαληθευμένο με κώδικα.

Συνάρτηση εξόδου ως άθροισμα ελαχιστόρων

Ζητούμενο: Γράψτε τη συνάρτηση εξόδου Y ως άθροισμα ελαχιστόρων των A, B, C, με βάση τον δοσμένο πίνακα αληθείας.

Πώς σκεφτόμαστε: Για κάθε γραμμή με έξοδο «1» γράφουμε έναν ελαχιστόρο (μεταβλητή κανονική αν «1», συμπληρωμένη αν «0») και τους αθροίζουμε.

Λύση:

Γραμμές με Y=1: 000(m0), 010(m2), 011(m3), 100(m4), 110(m6).
\( Y=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,C+A\,\overline{B}\,\overline{C}+A\,B\,\overline{C} \)
Δηλαδή \(Y=\Sigma m(0,2,3,4,6)\).

Απάντηση: Y = Σm(0,2,3,4,6) = Ā·B̄·C̄ + Ā·B·C̄ + Ā·B·C + A·B̄·C̄ + A·B·C̄.

Πρόσεξε:

Πέντε γραμμές με «1» ⇒ πέντε ελαχιστόροι.
Κάθε ελαχιστόρος περιέχει ΟΛΕΣ τις μεταβλητές (κανονικές ή συμπληρωμένες).

Απλοποίηση με Άλγεβρα Boole

Ζητούμενο: Απλοποιήστε τη συνάρτηση εξόδου με αξιώματα/θεωρήματα Άλγεβρας Boole.

Πώς σκεφτόμαστε: Βγάζουμε κοινό παράγοντα \(\overline{C}\) από τους όρους με C=0 και εφαρμόζουμε \(X+\overline{X}=1\).

Λύση:

Οι όροι με \(\overline{C}\): \(\overline{C}(\overline{A}\,\overline{B}+\overline{A}\,B+A\,\overline{B}+A\,B)=\overline{C}\cdot 1=\overline{C}\) (καλύπτουν όλους τους συνδυασμούς A,B).
Απομένει ο όρος \(\overline{A}\,B\,C\)· μαζί με \(\overline{A}\,B\,\overline{C}\) (ήδη στο \(\overline{C}\)) δίνει \(\overline{A}\,B(C+\overline{C})=\overline{A}\,B\).
\( Y=\overline{C}+\overline{A}\,B \).

Απάντηση: Y = C̄ + Ā·B.

Πρόσεξε:

Οι 4 όροι με C=0 καλύπτουν όλους τους συνδυασμούς A,B ⇒ απλοποιούνται στο σκέτο \(\overline{C}\).
Πολύ συχνά μια μεγάλη ομάδα δίνει έναν όρο μίας μόνο μεταβλητής.

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh

Ζητούμενο: Απλοποιήστε την ίδια συνάρτηση με χάρτη Karnaugh και συγκρίνετε με την Άλγεβρα Boole.

Πώς σκεφτόμαστε: Τοποθετούμε τους \(\Sigma m(0,2,3,4,6)\) και ψάχνουμε τις μεγαλύτερες ομάδες.

Λύση:

Ομάδα των 4 (όλη η στήλη C=0: m0,m2,m6,m4) → \(\overline{C}\) (απαλείφει A και B).
Ομάδα των 2 (m2,m3, με A=0,B=1) → \(\overline{A}\,B\).
\( Y=\overline{C}+\overline{A}\,B \) — ταυτίζεται με την Άλγεβρα Boole ✓.

Απάντηση: Karnaugh: Y = C̄ + Ā·B (ίδιο με Boole). Επαληθεύεται με τον πίνακα αληθείας για όλους τους 8 συνδυασμούς.

Πρόσεξε:

Η ομάδα των 4 (μισός χάρτης) δίνει όρο μίας μεταβλητής (C̄).
Ζητάμε πάντα τις μεγαλύτερες ομάδες για μέγιστη απλοποίηση.

Επίπεδα, Ο.Κ. ΚΑΙ υλοποίηση

Ζητούμενο: Χωρίστε σε επίπεδα, επιλέξτε τα Ο.Κ. και περιγράψτε τον έλεγχο του κυκλώματος για την Y=C̄+Ā·B.

Πώς σκεφτόμαστε: Δύο επίπεδα μετά τους αντιστροφείς: NOT → AND → OR.

Λύση:

Επίπεδο 1 (NOT): 2 αντιστροφείς για \(\overline{A}\), \(\overline{C}\) (74LS04).
Επίπεδο 2 (AND): 1 πύλη AND για \(\overline{A}\,B\) (74LS08).
Επίπεδο 3 (OR): 1 πύλη OR 2 εισόδων για \(\overline{C}+\overline{A}\,B\) (74LS32) → Y.
Έλεγχος: Y=1 για 000,010,011,100,110 και Y=0 για 001,101,111.

Απάντηση: Επίπεδα: 2×NOT (74LS04), 1×AND (74LS08), 1×OR (74LS32). Έλεγχος με τον πίνακα αληθείας.

Πρόσεξε:

Πολύ οικονομική υλοποίηση χάρη στην απλοποίηση (μόνο 4 πύλες).
Πάντα επαληθεύουμε ΟΛΟΥΣ τους συνδυασμούς εισόδων.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο