Λύσεις — Άσκηση 6η · Υλοποίηση με οικουμενικές πύλες NAND (σελ. 18-19) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 6η · Υλοποίηση με οικουμενικές πύλες NAND (σελ. 18-19)

Υλοποίηση των NOT/AND/OR/NOR/XOR με μόνο πύλες NAND (οικουμενική πύλη), μέθοδος μετατροπής μέσω De Morgan, και υλοποίηση Y=Ā+B·C = NAND(A,NAND(B,C)).

Υλοποίηση των βασικών πυλών με NAND

Ζητούμενο: 1. Με βάση τον Πίνακα Ε.6.1, ο οποίος δείχνει τα ισοδύναμα κυκλώματα των λογικών πυλών υλοποιημένα με πύλες NAND, να σχεδιάσετε το κύκλωμα ενσυρμάτωσης για την πραγματοποίηση, χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND των ισοδύναμων κυκλωμάτων των λογικών πυλών NOT, AND, OR, NOR και XOR. 2. Να πραγματοποιήσετε το κύκλωμα σε «bread board». 3. Να δώσετε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς λογικών καταστάσεων στις εισόδους και να συμπληρώσετε τους Πίνακες Αληθείας των ισοδύναμων κυκλωμάτων. 4. Να ελέγξετε αν οι ισοδύναμες πύλες που κατασκευάσατε λειτουργούν σωστά, συγκρίνοντας τους παραπάνω Πίνακες Αληθείας με τους Πίνακες Αληθείας των λογικών πυλών.

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε πύλη ανάγεται σε NAND μέσω των θεωρημάτων \(\overline{A\cdot A}=\overline{A}\), διπλής άρνησης και De Morgan.

Λύση:

• NOT: NAND(A,A) = \(\overline{A}\) (βραχυκύκλωμα εισόδων).
• AND: NAND(A,B) → NAND-αντιστροφέας = \(\overline{\overline{A\cdot B}}=A\cdot B\) (2 NAND).
• OR: NAND(\(\overline{A}\),\(\overline{B}\)) = \(\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}=A+B\) (De Morgan, 3 NAND).
• NOR: OR-με-NAND + NAND-αντιστροφέα (4 NAND).
• XOR: 4 NAND — \(P=\overline{A B}\), μετά NAND(NAND(A,P),NAND(B,P)).

Απάντηση: Όλες οι πύλες υλοποιούνται με NAND (οι πίνακες αληθείας ταυτίζονται με αυτούς των αρχικών πυλών): NOT=1 NAND, AND=2, OR=3, NOR=4, XOR=4.

Πρόσεξε:

• Η NAND είναι οικουμενική — μόνη της φτιάχνει τα πάντα.

• Η OR στηρίζεται στον De Morgan (αντιστροφή εισόδων → NAND).

Μέθοδος μετατροπής σε μόνο-NAND

Ζητούμενο: Να σχεδιάσετε και να κατασκευάσετε ένα συνδυαστικό κύκλωμα με δύο εισόδους Α και Β και μία έξοδο Υ με συνάρτηση εξόδου \(Y=\overline{A}+B\cdot C\) χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND. 1. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα χρησιμοποιώντας πύλες NOT, AND και OR. 2. Να αντικαταστήσετε τις πύλες NOT, AND και OR με τα ισοδύναμα κυκλώματα πυλών NAND. 3. Να διαγράψετε τυχόν δύο συνεχόμενες πύλες NAND με βραχυκυκλωμένες εισόδους.

Πώς σκεφτόμαστε: Αντικαθιστούμε κάθε πύλη με το NAND-ισοδύναμο και σβήνουμε τις διπλές αρνήσεις (\(\overline{\overline{X}}=X\)).

Λύση:

• 1. Σχεδίαση με NOT/AND/OR.
• 2. Αντικατάσταση κάθε πύλης με το ισοδύναμο κύκλωμα NAND.
• 3. Διαγραφή δύο συνεχόμενων NAND-αντιστροφέων (η διπλή άρνηση αναιρείται).
• 4. Τελικό κύκλωμα μόνο με NAND.

Απάντηση: Μέθοδος: NOT/AND/OR → αντικατάσταση με NAND-ισοδύναμα → διαγραφή διπλών αρνήσεων → μόνο-NAND.

Πρόσεξε:

• Το βήμα 3 (διαγραφή διπλών αντιστροφέων) μειώνει δραστικά το πλήθος πυλών.

• Στηρίζεται στη διπλή άρνηση \(\overline{\overline{X}}=X\).

Υλοποίηση Y=Ā+B·C με μόνο NAND

Ζητούμενο: 4. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND (για τη συνάρτηση \(Y=\overline{A}+B\cdot C\)).

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε διπλή άρνηση και De Morgan στη συνάρτηση για να την εκφράσουμε ως εμφωλευμένες NAND.

Λύση:

• \( Y=\overline{A}+B\,C=\overline{\overline{\overline{A}+B\,C}}=\overline{\overline{\overline{A}}\cdot\overline{B\,C}}=\overline{A\cdot\overline{B\,C}} \)
• Άρα \( Y=\text{NAND}\big(A,\ \text{NAND}(B,C)\big) \).
• 1η NAND(B,C)=\(\overline{B\,C}\)· 2η NAND(A, \(\overline{B\,C}\))=\(\overline{A\cdot\overline{B\,C}}=\overline{A}+B\,C\).

Απάντηση: Y = NAND(A, NAND(B,C)) — μόλις 2 πύλες NAND (επαληθεύεται με τον πίνακα αληθείας).

Πρόσεξε:

• Η διπλή άρνηση + De Morgan μετατρέπουν το Ā+B·C σε εμφωλευμένες NAND.
• Μόλις 2 NAND ⇒ μία μόνο 74LS00 αρκεί (έχει 4 πύλες).

• Σημείωση: το βιβλίο αναφέρει «δύο εισόδους Α και Β», όμως η συνάρτηση \(Y=\overline{A}+B\cdot C\) έχει τρεις εισόδους (A, B, C).

Επιλογή Ο.Κ. ΚΑΙ έλεγχος

Ζητούμενο: 5. Να επιλέξετε τα Ο.Κ. που απαιτούνται για την πραγματοποίηση του κυκλώματος. 6. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα ενσυρμάτωσης. 7. Να πραγματοποιήσετε το κύκλωμα σε «bread board». 8. Να ελέγξετε αν το κύκλωμα που κατασκευάσατε λειτουργεί σωστά.

Πώς σκεφτόμαστε: Όλες οι υλοποιήσεις χρειάζονται μόνο πύλες NAND (74LS00, 4 πύλες ανά Ο.Κ.).

Λύση:

• Ο.Κ.: 74LS00 (4 NAND 2 εισόδων) — για όλες τις υλοποιήσεις.
• Για την Y=Ā+B·C: 1 Ο.Κ. 74LS00 (χρησιμοποιούνται 2 από τις 4 πύλες).
• Έλεγχος: δίνουμε όλους τους συνδυασμούς εισόδων και συγκρίνουμε τους πίνακες αληθείας με τους αναμενόμενους.

Απάντηση: Ο.Κ.: 74LS00 (NAND). Η Y=Ā+B·C χρειάζεται μόλις 1 Ο.Κ. Έλεγχος με σύγκριση πινάκων αληθείας.

Πρόσεξε:

• Πλεονέκτημα μόνο-NAND: ένας τύπος Ο.Κ. → απλούστερη προμήθεια/απόθεμα.

• Πάντα επαληθεύουμε συγκρίνοντας με τον πίνακα αληθείας της αρχικής πύλης/συνάρτησης.