Λύσεις — Άσκηση 6η · Υλοποίηση με οικουμενικές πύλες NAND (σελ. 18-19) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 6η · Υλοποίηση με οικουμενικές πύλες NAND (σελ. 18-19)

Υλοποίηση των NOT/AND/OR/NOR/XOR με μόνο πύλες NAND (οικουμενική πύλη), μέθοδος μετατροπής μέσω De Morgan, και υλοποίηση Y=Ā+B·C = NAND(A,NAND(B,C)). Επαληθευμένο με κώδικα.

Υλοποίηση των βασικών πυλών με NAND

Ζητούμενο: Υλοποιήστε τις πύλες NOT, AND, OR, NOR, XOR χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND και επαληθεύστε τους πίνακες αληθείας τους.

Πώς σκεφτόμαστε: Κάθε πύλη ανάγεται σε NAND μέσω των θεωρημάτων \(\overline{A\cdot A}=\overline{A}\), διπλής άρνησης και De Morgan.

Λύση:

• NOT: NAND(A,A) = \(\overline{A}\) (βραχυκύκλωμα εισόδων).
• AND: NAND(A,B) → NAND-αντιστροφέας = \(\overline{\overline{A\cdot B}}=A\cdot B\) (2 NAND).
• OR: NAND(\(\overline{A}\),\(\overline{B}\)) = \(\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}=A+B\) (De Morgan, 3 NAND).
• NOR: OR-με-NAND + NAND-αντιστροφέα (4 NAND).
• XOR: 4 NAND — \(P=\overline{A B}\), μετά NAND(NAND(A,P),NAND(B,P)).

Απάντηση: Όλες οι πύλες υλοποιούνται με NAND (επαληθεύτηκε με κώδικα ότι οι πίνακες ταυτίζονται): NOT=1 NAND, AND=2, OR=3, NOR=4, XOR=4.

Πρόσεξε:

• Η NAND είναι οικουμενική — μόνη της φτιάχνει τα πάντα.
• Η OR στηρίζεται στον De Morgan (αντιστροφή εισόδων → NAND).

Μέθοδος μετατροπής σε μόνο-NAND

Ζητούμενο: Περιγράψτε τα βήματα μετατροπής ενός κυκλώματος NOT/AND/OR σε κύκλωμα μόνο με NAND.

Πώς σκεφτόμαστε: Αντικαθιστούμε κάθε πύλη με το NAND-ισοδύναμο και σβήνουμε τις διπλές αρνήσεις (\(\overline{\overline{X}}=X\)).

Λύση:

• 1. Σχεδίαση με NOT/AND/OR.
• 2. Αντικατάσταση κάθε πύλης με το ισοδύναμο κύκλωμα NAND.
• 3. Διαγραφή δύο συνεχόμενων NAND-αντιστροφέων (η διπλή άρνηση αναιρείται).
• 4. Τελικό κύκλωμα μόνο με NAND.

Απάντηση: Μέθοδος: NOT/AND/OR → αντικατάσταση με NAND-ισοδύναμα → διαγραφή διπλών αρνήσεων → μόνο-NAND.

Πρόσεξε:

• Το βήμα 3 (διαγραφή διπλών αντιστροφέων) μειώνει δραστικά το πλήθος πυλών.
• Στηρίζεται στη διπλή άρνηση \(\overline{\overline{X}}=X\).

Υλοποίηση Y=Ā+B·C με μόνο NAND

Ζητούμενο: Σχεδιάστε το κύκλωμα με συνάρτηση \(Y=\overline{A}+B\cdot C\) χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND.

Πώς σκεφτόμαστε: Εφαρμόζουμε διπλή άρνηση και De Morgan στη συνάρτηση για να την εκφράσουμε ως εμφωλευμένες NAND.

Λύση:

• \( Y=\overline{A}+B\,C=\overline{\overline{\overline{A}+B\,C}}=\overline{\overline{\overline{A}}\cdot\overline{B\,C}}=\overline{A\cdot\overline{B\,C}} \)
• Άρα \( Y=\text{NAND}\big(A,\ \text{NAND}(B,C)\big) \).
• 1η NAND(B,C)=\(\overline{B\,C}\)· 2η NAND(A, \(\overline{B\,C}\))=\(\overline{A\cdot\overline{B\,C}}=\overline{A}+B\,C\).

Απάντηση: Y = NAND(A, NAND(B,C)) — μόλις 2 πύλες NAND (επαληθευμένο με κώδικα).

Πρόσεξε:

• Η διπλή άρνηση + De Morgan μετατρέπουν το Ā+B·C σε εμφωλευμένες NAND.
• Μόλις 2 NAND ⇒ μία μόνο 74LS00 αρκεί (έχει 4 πύλες).

Επιλογή Ο.Κ. ΚΑΙ έλεγχος

Ζητούμενο: Επιλέξτε τα Ο.Κ. και περιγράψτε τον έλεγχο των κυκλωμάτων μόνο-NAND.

Πώς σκεφτόμαστε: Όλες οι υλοποιήσεις χρειάζονται μόνο πύλες NAND (74LS00, 4 πύλες ανά Ο.Κ.).

Λύση:

• Ο.Κ.: 74LS00 (4 NAND 2 εισόδων) — για όλες τις υλοποιήσεις.
• Για την Y=Ā+B·C: 1 Ο.Κ. 74LS00 (χρησιμοποιούνται 2 από τις 4 πύλες).
• Έλεγχος: δίνουμε όλους τους συνδυασμούς εισόδων και συγκρίνουμε τους πίνακες αληθείας με τους αναμενόμενους.

Απάντηση: Ο.Κ.: 74LS00 (NAND). Η Y=Ā+B·C χρειάζεται μόλις 1 Ο.Κ. Έλεγχος με σύγκριση πινάκων αληθείας.

Πρόσεξε:

• Πλεονέκτημα μόνο-NAND: ένας τύπος Ο.Κ. → απλούστερη προμήθεια/απόθεμα.
• Πάντα επαληθεύουμε συγκρίνοντας με τον πίνακα αληθείας της αρχικής πύλης/συνάρτησης.