Λύσεις — Άσκηση 3η · Υλοποίηση συνδυαστικού κυκλώματος από λογική συνάρτηση (σελ. 15) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 3η · Υλοποίηση συνδυαστικού κυκλώματος από λογική συνάρτηση (σελ. 15)

Απλοποίηση συνάρτησης Σm(0,2,3,6) με Άλγεβρα Boole & χάρτη Karnaugh (Y=Ā·C̄+Ā·B+B·C̄), χωρισμός σε επίπεδα NOT-AND-OR και επιλογή Ο.Κ. Επαληθευμένο με κώδικα.

Απλοποίηση με Άλγεβρα Boole

Ζητούμενο: Απλοποιήστε με αξιώματα/θεωρήματα Boole τη συνάρτηση \(Y=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,C+A\,B\,\overline{C}\).

Πώς σκεφτόμαστε: Βγάζουμε κοινούς παράγοντες και χρησιμοποιούμε \(X+\overline{X}=1\). Ομαδοποιούμε τους όρους κατά ζεύγη.

Λύση:

• Ζεύγος 1&2: \(\overline{A}\,\overline{C}(\overline{B}+B)=\overline{A}\,\overline{C}\).
• Ζεύγος 2&3: \(\overline{A}\,B(\overline{C}+C)=\overline{A}\,B\).
• Ζεύγος 2&4: \(B\,\overline{C}(\overline{A}+A)=B\,\overline{C}\).
• Άθροισμα: \(Y=\overline{A}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,\overline{C}\).

Απάντηση: Y = Ā·C̄ + Ā·B + B·C̄ (από 4 όρους των 3 μεταβλητών σε 3 όρους των 2 μεταβλητών).

Πρόσεξε:

• Ο όρος \(\overline{A}\,B\,\overline{C}\) (m2) χρησιμοποιείται σε πολλαπλές ομαδοποιήσεις — επιτρέπεται (ταυτοδυναμία \(X+X=X\)).
• Πάντα ζητάμε \(X+\overline{X}=1\) για να «εξαφανίσουμε» μια μεταβλητή.

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh

Ζητούμενο: Απλοποιήστε την ίδια συνάρτηση με χάρτη Karnaugh και συγκρίνετε με το αποτέλεσμα της Άλγεβρας Boole.

Πώς σκεφτόμαστε: Τοποθετούμε τους ελαχιστόρους \(\Sigma m(0,2,3,6)\) στον χάρτη 3 μεταβλητών και ομαδοποιούμε γειτονικά «1» σε ομάδες των 2.

Λύση:

• Ελαχιστόροι με «1»: m0(000), m2(010), m3(011), m6(110).
• Ομάδα m0,m2 (A=0,C=0): \(\overline{A}\,\overline{C}\).
• Ομάδα m2,m3 (A=0,B=1): \(\overline{A}\,B\).
• Ομάδα m2,m6 (B=1,C=0): \(B\,\overline{C}\).
• Αποτέλεσμα: \(Y=\overline{A}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,\overline{C}\) — ταυτίζεται με την Άλγεβρα Boole.

Απάντηση: Karnaugh: Y = Ā·C̄ + Ā·B + B·C̄ (ίδιο με την Άλγεβρα Boole ✓).

Πρόσεξε:

• Στον χάρτη Karnaugh γειτονικά κελιά διαφέρουν σε ΕΝΑ bit· ο ελαχιστόρος m2 ανήκει σε τρεις ομάδες.
• Επαλήθευση με πίνακα αληθείας: και οι 8 συνδυασμοί δίνουν το ίδιο με την αρχική συνάρτηση.

Χωρισμός σε επίπεδα ΚΑΙ πύλες

Ζητούμενο: Χωρίστε σε επίπεδα τις λογικές πύλες που απαιτούνται για την απλοποιημένη συνάρτηση και προσδιορίστε τις πύλες κάθε επιπέδου.

Πώς σκεφτόμαστε: Η SOP υλοποιείται σε δύο επίπεδα (μετά τους αντιστροφείς): NOT → AND → OR.

Λύση:

• Επίπεδο 1 (αντιστροφείς): 2 πύλες NOT για \(\overline{A}\) και \(\overline{C}\).
• Επίπεδο 2 (AND): 3 πύλες AND 2 εισόδων — \(\overline{A}\,\overline{C}\), \(\overline{A}\,B\), \(B\,\overline{C}\).
• Επίπεδο 3 (OR): 1 πύλη OR 3 εισόδων που αθροίζει τους τρεις όρους → Y.

Απάντηση: Επίπεδα: (1) 2×NOT, (2) 3×AND(2-εισόδων), (3) 1×OR(3-εισόδων). Δομή δύο επιπέδων AND-OR.

Πρόσεξε:

• Το πλήθος επιπέδων καθορίζει την καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay).
• Κάθε όρος-γινόμενο → μία AND· το άθροισμα → μία OR.

Επιλογή Ο.Κ. ΚΑΙ υλοποίηση

Ζητούμενο: Επιλέξτε τα Ο.Κ. που απαιτούνται και περιγράψτε την υλοποίηση/έλεγχο του κυκλώματος.

Πώς σκεφτόμαστε: Αντιστοιχούμε τις πύλες κάθε επιπέδου σε ολοκληρωμένα κυκλώματα (κάθε Ο.Κ. περιέχει πολλές πύλες).

Λύση:

• 74LS04 (6 NOT): για \(\overline{A}\), \(\overline{C}\) (χρησιμοποιούνται 2 από τις 6).
• 74LS08 (4 AND 2 εισόδων): για τους 3 όρους-γινόμενα.
• 74LS4075/74LS11 ή δύο 74LS32 (OR): για την OR 3 εισόδων.
• Έλεγχος: δίνουμε όλους τους συνδυασμούς A,B,C και επαληθεύουμε ότι Y=1 μόνο για 000, 010, 011, 110.

Απάντηση: Ο.Κ.: 74LS04 (NOT), 74LS08 (AND), OR 3-εισόδων (π.χ. 74LS4075). Έλεγχος με τον πίνακα αληθείας (Σm(0,2,3,6)).

Πρόσεξε:

• Ένα Ο.Κ. περιέχει πολλές πύλες — επιλέγουμε ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το πλήθος των Ο.Κ.
• Για OR 3 εισόδων: είτε ειδικό Ο.Κ., είτε δύο OR 2 εισόδων σε αλυσίδα.