Λύσεις — Άσκηση 3η · Υλοποίηση συνδυαστικού κυκλώματος από λογική συνάρτηση (σελ. 15) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 3η · Υλοποίηση συνδυαστικού κυκλώματος από λογική συνάρτηση (σελ. 15)

Απλοποίηση συνάρτησης Σm(0,2,3,6) με Άλγεβρα Boole & χάρτη Karnaugh (Y=Ā·C̄+Ā·B+B·C̄), χωρισμός σε επίπεδα NOT-AND-OR και επιλογή Ο.Κ.

Απλοποίηση με Άλγεβρα Boole

Ζητούμενο: Να σχεδιάσετε και να κατασκευάσετε το Συνδυαστικό Κύκλωμα με το οποίο υλοποιείται η ακόλουθη Λογική Συνάρτηση: \(Y=\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\cdot C+A\cdot B\cdot\overline{C}\). 1. Χρησιμοποιώντας τα αξιώματα και θεωρήματα της άλγεβρας Boole να απλοποιήσετε τη Λογική Συνάρτηση.

Πώς σκεφτόμαστε: Βγάζουμε κοινούς παράγοντες και χρησιμοποιούμε \(X+\overline{X}=1\). Ομαδοποιούμε τους όρους κατά ζεύγη.

Λύση:

• Ζεύγος 1 και 2: \(\overline{A}\,\overline{C}(\overline{B}+B)=\overline{A}\,\overline{C}\).
• Ζεύγος 2 και 3: \(\overline{A}\,B(\overline{C}+C)=\overline{A}\,B\).
• Ζεύγος 2 και 4: \(B\,\overline{C}(\overline{A}+A)=B\,\overline{C}\).
• Άθροισμα: \(Y=\overline{A}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,\overline{C}\).

Απάντηση: Y = Ā·C̄ + Ā·B + B·C̄ (από 4 όρους των 3 μεταβλητών σε 3 όρους των 2 μεταβλητών).

Πρόσεξε:

• Ο όρος \(\overline{A}\,B\,\overline{C}\) (m2) χρησιμοποιείται σε πολλαπλές ομαδοποιήσεις — επιτρέπεται (ταυτοδυναμία \(X+X=X\)).

• Πάντα ζητάμε \(X+\overline{X}=1\) για να «εξαφανίσουμε» μια μεταβλητή.

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh

Ζητούμενο: 2. Χρησιμοποιώντας χάρτη Karnaugh να απλοποιήσετε τη Λογική Συνάρτηση. Να συγκρίνετε το αποτέλεσμα με αυτό του βήματος 1.

Πώς σκεφτόμαστε: Τοποθετούμε τους ελαχιστόρους \(\Sigma m(0,2,3,6)\) στον χάρτη 3 μεταβλητών και ομαδοποιούμε γειτονικά «1» σε ομάδες των 2.

Λύση:

• Ελαχιστόροι με «1»: m0(000), m2(010), m3(011), m6(110).
• Ομάδα m0,m2 (A=0,C=0): \(\overline{A}\,\overline{C}\).
• Ομάδα m2,m3 (A=0,B=1): \(\overline{A}\,B\).
• Ομάδα m2,m6 (B=1,C=0): \(B\,\overline{C}\).
• Αποτέλεσμα: \(Y=\overline{A}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,\overline{C}\) — ταυτίζεται με την Άλγεβρα Boole.

Απάντηση: Karnaugh: Y = Ā·C̄ + Ā·B + B·C̄ (ίδιο με την Άλγεβρα Boole ✓).

Πρόσεξε:

• Στον χάρτη Karnaugh γειτονικά κελιά διαφέρουν σε ΕΝΑ δυαδικό ψηφίο· ο ελαχιστόρος m2 ανήκει σε τρεις ομάδες.

• Επαλήθευση με πίνακα αληθείας: και οι 8 συνδυασμοί δίνουν το ίδιο με την αρχική συνάρτηση.

Χωρισμός σε επίπεδα ΚΑΙ πύλες

Ζητούμενο: 3. Με βάση τη σειρά εκτέλεσης, να χωρίσετε σε επίπεδα τις λογικές πύλες που απαιτούνται για την υλοποίηση της απλοποιημένης Λογικής Συνάρτησης. Να γράψετε τις πύλες που απαιτούνται σε κάθε επίπεδο. Να σχεδιάσετε το Λογικό Κύκλωμα, στο οποίο θα φαίνονται και τα επίπεδα εκτέλεσης των λογικών πράξεων.

Πώς σκεφτόμαστε: Το άθροισμα γινομένων υλοποιείται σε δύο επίπεδα (μετά τους αντιστροφείς): NOT → AND → OR.

Λύση:

• Επίπεδο 1 (αντιστροφείς): 2 πύλες NOT για \(\overline{A}\) και \(\overline{C}\).
• Επίπεδο 2 (AND): 3 πύλες AND 2 εισόδων — \(\overline{A}\,\overline{C}\), \(\overline{A}\,B\), \(B\,\overline{C}\).
• Επίπεδο 3 (OR): 1 πύλη OR 3 εισόδων που αθροίζει τους τρεις όρους → Y.

Απάντηση: Επίπεδα: (1) 2×NOT, (2) 3×AND(2-εισόδων), (3) 1×OR(3-εισόδων). Δομή δύο επιπέδων AND-OR.

Πρόσεξε:

• Το πλήθος επιπέδων καθορίζει την καθυστέρηση διάδοσης του σήματος.

• Κάθε όρος-γινόμενο → μία AND· το άθροισμα → μία OR.

Επιλογή Ο.Κ. ΚΑΙ υλοποίηση

Ζητούμενο: 4. Να επιλέξετε τα Ο.Κ. που απαιτούνται για την πραγματοποίηση του κυκλώματος. 5. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα ενσυρμάτωσης. 6. Να πραγματοποιήσετε το κύκλωμα σε «bread board». 7. Να ελέγξετε αν το κύκλωμα που κατασκευάσατε, λειτουργεί σωστά.

Πώς σκεφτόμαστε: Αντιστοιχούμε τις πύλες κάθε επιπέδου σε ολοκληρωμένα κυκλώματα (κάθε Ο.Κ. περιέχει πολλές πύλες).

Λύση:

• 74LS04 (6 NOT): για \(\overline{A}\), \(\overline{C}\) (χρησιμοποιούνται 2 από τις 6).
• 74LS08 (4 AND 2 εισόδων): για τους 3 όρους-γινόμενα.
• 74LS32 (4 OR 2 εισόδων): η OR 3 εισόδων υλοποιείται με δύο πύλες OR 2 εισόδων σε σειρά, \((X_1+X_2)+X_3\).
• Έλεγχος: δίνουμε όλους τους συνδυασμούς A,B,C και επαληθεύουμε ότι Y=1 μόνο για 000, 010, 011, 110.

Απάντηση: Ο.Κ.: 74LS04 (NOT), 74LS08 (AND), 74LS32 (δύο OR 2 εισόδων σε σειρά για την OR 3 εισόδων). Έλεγχος με τον πίνακα αληθείας (Σm(0,2,3,6)).

Πρόσεξε:

• Ένα Ο.Κ. περιέχει πολλές πύλες — επιλέγουμε ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το πλήθος των Ο.Κ.

• Για OR 3 εισόδων: δύο OR 2 εισόδων σε αλυσίδα (το 74LS11 είναι AND 3 εισόδων, όχι OR).