Λύσεις — Άσκηση 4η · Συνδυαστικό κύκλωμα από πίνακα αληθείας (σελ. 16) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β’ ΕΠΑΛ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Άσκηση 4η · Συνδυαστικό κύκλωμα από πίνακα αληθείας (σελ. 16) – ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ – ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις — Άσκηση 4η · Συνδυαστικό κύκλωμα από πίνακα αληθείας (σελ. 16)

Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Σm(0,2,3,4,6), απλοποίηση με Άλγεβρα Boole & Karnaugh (Y=C̄+Ā·B), επίπεδα NOT-AND-OR και επιλογή Ο.Κ.

Συνάρτηση εξόδου ως άθροισμα ελαχιστόρων

Ζητούμενο: Να σχεδιάσετε και να κατασκευάσετε το Συνδυαστικό Κύκλωμα το οποίο να επαληθεύει τον ακόλουθο Πίνακα Αληθείας (A B C → Υ): 000→1, 001→0, 010→1, 011→1, 100→1, 101→0, 110→1, 111→0. 1. Να γράψετε τη συνάρτηση εξόδου Υ του κυκλώματος ως άθροισμα ελαχίστων όρων των μεταβλητών εισόδου A, Β και C.

Πώς σκεφτόμαστε: Για κάθε γραμμή με έξοδο «1» γράφουμε έναν ελαχιστόρο (μεταβλητή κανονική αν «1», συμπληρωμένη αν «0») και τους αθροίζουμε.

Λύση:

Γραμμές με Y=1: 000(m0), 010(m2), 011(m3), 100(m4), 110(m6).
\( Y=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,C+A\,\overline{B}\,\overline{C}+A\,B\,\overline{C} \)
Δηλαδή \(Y=\Sigma m(0,2,3,4,6)\).

Απάντηση: Y = Σm(0,2,3,4,6) = Ā·B̄·C̄ + Ā·B·C̄ + Ā·B·C + A·B̄·C̄ + A·B·C̄.

Πρόσεξε:

Πέντε γραμμές με «1» ⇒ πέντε ελαχιστόροι.
Κάθε ελαχιστόρος περιέχει ΟΛΕΣ τις μεταβλητές (κανονικές ή συμπληρωμένες).

Απλοποίηση με Άλγεβρα Boole

Ζητούμενο: 2. Χρησιμοποιώντας τα αξιώματα και θεωρήματα της άλγεβρας Boole να απλοποιήσετε τη συνάρτηση εξόδου.

Πώς σκεφτόμαστε: Βγάζουμε κοινό παράγοντα \(\overline{C}\) από τους όρους με C=0 και εφαρμόζουμε \(X+\overline{X}=1\).

Λύση:

Οι όροι με \(\overline{C}\): \(\overline{C}(\overline{A}\,\overline{B}+\overline{A}\,B+A\,\overline{B}+A\,B)=\overline{C}\cdot 1=\overline{C}\) (καλύπτουν όλους τους συνδυασμούς A,B).
Απομένει ο όρος \(\overline{A}\,B\,C\)· μαζί με \(\overline{A}\,B\,\overline{C}\) (ήδη στο \(\overline{C}\)) δίνει \(\overline{A}\,B(C+\overline{C})=\overline{A}\,B\).
\( Y=\overline{C}+\overline{A}\,B \).

Απάντηση: Y = C̄ + Ā·B.

Πρόσεξε:

Οι 4 όροι με C=0 καλύπτουν όλους τους συνδυασμούς A,B ⇒ απλοποιούνται στο σκέτο \(\overline{C}\).
Πολύ συχνά μια μεγάλη ομάδα δίνει έναν όρο μίας μόνο μεταβλητής.

Απλοποίηση με χάρτη Karnaugh

Ζητούμενο: Χρησιμοποιώντας χάρτη Karnaugh, να απλοποιήσετε τη συνάρτηση εξόδου. Να συγκρίνετε τις απλοποιημένες συναρτήσεις που βρήκατε.

Πώς σκεφτόμαστε: Τοποθετούμε τους \(\Sigma m(0,2,3,4,6)\) και ψάχνουμε τις μεγαλύτερες ομάδες.

Λύση:

Ομάδα των 4 (όλη η στήλη C=0: m0,m2,m6,m4) → \(\overline{C}\) (απαλείφει A και B).
Ομάδα των 2 (m2,m3, με A=0,B=1) → \(\overline{A}\,B\).
\( Y=\overline{C}+\overline{A}\,B \) — ταυτίζεται με την Άλγεβρα Boole ✓.

Απάντηση: Karnaugh: Y = C̄ + Ā·B (ίδιο με Boole). Επαληθεύεται με τον πίνακα αληθείας για όλους τους 8 συνδυασμούς.

Πρόσεξε:

Η ομάδα των 4 (μισός χάρτης) δίνει όρο μίας μεταβλητής (C̄).
Ζητάμε πάντα τις μεγαλύτερες ομάδες για μέγιστη απλοποίηση.

Επίπεδα, Ο.Κ. ΚΑΙ υλοποίηση

Ζητούμενο: 3. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα, όπου να φαίνονται τα επίπεδα των πυλών, με βάση την προτεραιότητα των πράξεων της απλοποιημένης συνάρτησης εξόδου. 4. Να επιλέξετε τα Ο.Κ. που απαιτούνται για την πραγματοποίηση του κυκλώματος. 5. Να σχεδιάσετε το κύκλωμα ενσυρμάτωσης. 6. Να πραγματοποιήσετε το κύκλωμα σε «bread board». 7. Να ελέγξετε αν το κύκλωμα που κατασκευάσατε λειτουργεί σωστά.

Πώς σκεφτόμαστε: Δύο επίπεδα μετά τους αντιστροφείς: NOT → AND → OR.

Λύση:

Επίπεδο 1 (NOT): 2 αντιστροφείς για \(\overline{A}\), \(\overline{C}\) (74LS04).
Επίπεδο 2 (AND): 1 πύλη AND για \(\overline{A}\,B\) (74LS08).
Επίπεδο 3 (OR): 1 πύλη OR 2 εισόδων για \(\overline{C}+\overline{A}\,B\) (74LS32) → Y.
Έλεγχος: Y=1 για 000,010,011,100,110 και Y=0 για 001,101,111.

Απάντηση: Επίπεδα: 2×NOT (74LS04), 1×AND (74LS08), 1×OR (74LS32). Έλεγχος με τον πίνακα αληθείας.

Πρόσεξε: