Λύσεις — Κεφάλαιο 1 · Γενικά περί δυνάμεων (σελ. 34) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 1 · Γενικά περί δυνάμεων (σελ. 34)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Συνισταμένη υπό γωνία 30°

Ερώτηση: 1. Να προσδιοριστεί η συνισταμένη των δυνάμεων F₁ και F₂ που ενεργούν στο κοινό σημείο Ο, υπό γωνία 30°.

Απάντηση:

• (Οι τιμές των F₁, F₂ δίνονται στο σχήμα του βιβλίου — δίνεται η μέθοδος.)
• Μέτρο: \( \Sigma = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 30°} \) (με \( \cos30° \approx 0{,}866 \)).
• Διεύθυνση: \( \tan\theta = \dfrac{F_2 \sin 30°}{F_1 + F_2 \cos 30°} \) (γωνία θ ως προς την F₁).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Σ=√(F₁²+F₂²+2F₁F₂cos30°)· θ=atan[F₂sin30°/(F₁+F₂cos30°)].

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: σωστός τύπος (η αριθμητική εξαρτάται από τις τιμές του σχήματος).

Μεταβολή συνισταμένης (2Ν)

Ερώτηση: 2. Να αποδειχθεί ότι η συνισταμένη των F₁=F₂=2Ν μειώνεται από 4Ν έως 0Ν, όταν η γωνία αυξάνεται από 0° έως 180° (τιμές 0°, 60°, 120°, 180°).

Απάντηση:

• \( \Sigma = \sqrt{2^2+2^2+2\cdot2\cdot2\cos\varphi} = \sqrt{8+8\cos\varphi} \).
• φ=0°: \( \sqrt{8+8}= \sqrt{16}=4\,Ν \).
• φ=60°: \( \sqrt{8+4}= \sqrt{12}\approx 3{,}46\,Ν \).
• φ=120°: \( \sqrt{8-4}= \sqrt{4}=2\,Ν \).
• φ=180°: \( \sqrt{8-8}=0\,Ν \). ✓ Η συνισταμένη μειώνεται από 4Ν σε 0Ν.

Σύνοψη: Σ: 4 → 3,46 → 2 → 0 Ν (για φ=0°/60°/120°/180°).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: εφαρμογή τύπου & 4 τιμές. Επαληθεύτηκε με κώδικα.

Συνισταμένη 80Ν ΚΑΙ 100Ν (25°)

Ερώτηση: 3. Στο Α ενεργούν δύο δυνάμεις 80Ν & 100Ν με γωνία 25° μεταξύ τους. Βρείτε το μέτρο & τη διεύθυνση της συνισταμένης (γραφικά & αναλυτικά).

Απάντηση:

• Μέτρο: \( \Sigma = \sqrt{80^2+100^2+2\cdot80\cdot100\cos25°} = \sqrt{6400+10000+16000\cdot0{,}906} \approx \sqrt{30903} \approx 175{,}8\,Ν \).
• Διεύθυνση (ως προς την 80Ν): \( \tan\theta = \dfrac{100\sin25°}{80+100\cos25°} = \dfrac{42{,}26}{170{,}63} \Rightarrow \theta \approx 13{,}9° \).

Σύνοψη: Σ ≈ 175,8 Ν, γωνία ≈ 13,9° από τη δύναμη των 80 Ν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: νόμος συνημιτόνων + διεύθυνση. Επαληθεύτηκε με κώδικα.

Κάθετη συνισταμένη

Ερώτηση: 4. F₁=20√3 Ν & F₂ ενεργούν στο Ο. Η συνισταμένη Σ=20Ν είναι κάθετη στην F₁. Βρείτε το μέτρο της F₂ & τη γωνία της με την F₁.

Απάντηση:

• Αφού \( \vec{F_1}+\vec{F_2}=\vec{\Sigma} \) & η Σ ⊥ F₁, το F₂ έχει συνιστώσα \( -F_1 \) κατά την F₁ & \( \Sigma \) κάθετα.
• Μέτρο: \( F_2=\sqrt{F_1^2+\Sigma^2}=\sqrt{(20\sqrt3)^2+20^2}=\sqrt{1200+400}=\sqrt{1600}=40\,Ν \).
• Γωνία με F₁: \( \theta=\operatorname{atan2}(20,\,-20\sqrt3)=180°-30°=150° \).

Σύνοψη: F₂ = 40 Ν, γωνία με F₁ = 150°.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: F₂=√(F₁²+Σ²) (Σ⊥F₁) & γωνία 150°. Επαληθεύτηκε με κώδικα.