Λύσεις — Κεφάλαιο 1 · Γενικά περί δυνάμεων (σελ. 34) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 1 · Γενικά περί δυνάμεων (σελ. 34)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Συνισταμένη υπό γωνία 30°

Ερώτηση: 1. Να προσδιοριστεί η συνισταμένη των δυνάμεων F₁ και F₂ που ενεργούν στο κοινό σημείο Ο, υπό γωνία 30°. [Σχήμα: F₁ = 1200 N, F₂ = 2000 N]

Απάντηση:

• Μέτρο (νόμος συνημιτόνου): \( \Sigma=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos30°}=\sqrt{1200^2+2000^2+2\cdot1200\cdot2000\cdot0{,}866} \).
• \( \Sigma=\sqrt{1\,440\,000+4\,000\,000+4\,156\,922}=\sqrt{9\,596\,922}\approx 3098\,N \).
• Διεύθυνση (γωνία θ με την F₂): \( \tan\theta=\dfrac{F_1\sin30°}{F_2+F_1\cos30°}=\dfrac{600}{2000+1039{,}2}=\dfrac{600}{3039{,}2}\approx0{,}197 \Rightarrow \theta\approx11{,}2° \).
• Άρα η Σ σχηματίζει γωνία ≈ 11,2° με την F₂ και ≈ 18,8° με την F₁ (βρίσκεται ανάμεσά τους, πιο κοντά στη μεγαλύτερη δύναμη).

Σύνοψη: Σ ≈ 3098 N, σε γωνία ≈ 11,2° από την F₂ (≈ 18,8° από την F₁).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η συνισταμένη βρίσκεται πάντα πιο κοντά στη μεγαλύτερη από τις δύο δυνάμεις.
• Γραφικά: κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων υπό κλίμακα και μετράμε τη διαγώνιο και τη γωνία της.

Μεταβολή συνισταμένης (2Ν)

Ερώτηση: 2. Να αποδειχθεί ότι η συνισταμένη των δυνάμεων F₁ = F₂ = 2Ν μειώνεται από 4 Ν έως 0 Ν, όταν η γωνία υπό την οποία ενεργούν οι δυνάμεις αυξάνεται από 0° έως 180° (και παίρνει διαδοχικά τις τιμές 0°, 60°, 120°, 180°).

Απάντηση:

• \( \Sigma = \sqrt{2^2+2^2+2\cdot2\cdot2\cos\varphi} = \sqrt{8+8\cos\varphi} \).
• φ = 0°: \( \sqrt{8+8}= \sqrt{16}=4\,Ν \).
• φ = 60°: \( \sqrt{8+4}= \sqrt{12}\approx 3{,}46\,Ν \).
• φ = 120°: \( \sqrt{8-4}= \sqrt{4}=2\,Ν \).
• φ = 180°: \( \sqrt{8-8}=0\,Ν \). Άρα η συνισταμένη μειώνεται από 4 Ν σε 0 Ν.

Σύνοψη: Σ = 4 → 3,46 → 2 → 0 Ν (για φ = 0°, 60°, 120°, 180°).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Όσο μεγαλώνει η γωνία, το cosφ μικραίνει, άρα μικραίνει και η συνισταμένη.
• Για φ = 180° οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες, οπότε αλληλοαναιρούνται.

Συνισταμένη 80Ν ΚΑΙ 100Ν (25°)

Ερώτηση: 3. Στο σημείο Α ενός σώματος ενεργούν δύο δυνάμεις 80 Ν και 100 Ν των οποίων οι διευθύνσεις σχηματίζουν γωνία 25°. Να προσδιορίσετε το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο.

Απάντηση:

• Μέτρο: \( \Sigma = \sqrt{80^2+100^2+2\cdot80\cdot100\cos25°} = \sqrt{6400+10000+16000\cdot0{,}906} \approx \sqrt{30900} \approx 175{,}8\,Ν \).
• Διεύθυνση (ως προς τη δύναμη των 80 Ν): \( \tan\theta = \dfrac{100\sin25°}{80+100\cos25°} = \dfrac{42{,}26}{170{,}63} \Rightarrow \theta \approx 13{,}9° \).
• Γραφικά: σχεδιάζουμε υπό κλίμακα το παραλληλόγραμμο των δύο δυνάμεων· η διαγώνιός του, μετρημένη με τον χάρακα και το μοιρογνωμόνιο, δίνει περίπου τις ίδιες τιμές.

Σύνοψη: Σ ≈ 175,8 Ν, σε γωνία ≈ 13,9° από τη δύναμη των 80 Ν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η γωνία της συνισταμένης μετριέται από τη δύναμη που πήραμε ως αναφορά (εδώ τα 80 Ν).
• Η γραφική μέθοδος δίνει προσεγγιστικό αποτέλεσμα, που εξαρτάται από την ακρίβεια της σχεδίασης.

Κάθετη συνισταμένη

Ερώτηση: 4. Μία δύναμη μέτρου F₁ = 20√3 Ν και μία δύναμη μέτρου F₂ ενεργούν στο σημείο Ο. Η συνισταμένη των δύο δυνάμεων έχει μέτρο Σ = 20 Ν και είναι κάθετη στη δύναμη F₁. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F₂ και η γωνία της με την F₁.

Απάντηση:

• Αφού \( \vec{F_1}+\vec{F_2}=\vec{\Sigma} \), είναι \( \vec{F_2}=\vec{\Sigma}-\vec{F_1} \). Με άξονα x κατά την F₁ και y κατά τη Σ: \( F_{2x}=-20\sqrt3\,Ν \), \( F_{2y}=20\,Ν \).
• Μέτρο: \( F_2=\sqrt{(20\sqrt3)^2+20^2}=\sqrt{1200+400}=\sqrt{1600}=40\,Ν \).
• Γωνία: η F₂ σχηματίζει με τον αρνητικό ημιάξονα x γωνία με \( \tan\omega=\dfrac{20}{20\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\Rightarrow\omega=30° \), άρα με την F₁ σχηματίζει γωνία \( 180°-30°=150° \).

Σύνοψη: F₂ = 40 Ν· γωνία της F₂ με την F₁ = 150°.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η F₂ πρέπει να «ακυρώνει» την F₁ κατά τη διεύθυνση x, γι' αυτό σχηματίζει αμβλεία γωνία μαζί της.
• Έλεγχος: \( \Sigma^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos150°=1200+1600-2400=400 \Rightarrow \Sigma=20\,Ν \).