Λύσεις — Κεφάλαιο 7 · Ροπές αδρανείας επιφανειών (σελ. 164-165) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 7 · Ροπές αδρανείας επιφανειών (σελ. 164-165)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Ροπή αδρανείας τριγώνου (κορυφή)

Ερώτηση: 1. Ισοσκελής τριγωνική διατομή (b, h) — ροπή αδρανείας ως προς άξονα από την κορυφή Α. Εφαρμογή b=4 cm, h=6 cm.

Απάντηση:

• Κεντροβαρική: \( I_G=\dfrac{b h^3}{36} \). Απόσταση κέντρου-κορυφής: \( d=\dfrac{2h}{3} \), εμβαδόν \( A=\dfrac{bh}{2} \).
• Steiner: \( I_{A}=I_G+A d^2=\dfrac{bh^3}{36}+\dfrac{bh}{2}\Big(\dfrac{2h}{3}\Big)^2=\dfrac{bh^3}{36}+\dfrac{8bh^3}{36}=\dfrac{9bh^3}{36}=\dfrac{bh^3}{4} \).
• Εφαρμογή: \( I_A=\dfrac{4\cdot6^3}{4}=\dfrac{4\cdot216}{4}=216\,cm^4 \) ✓.

Σύνοψη: I_κορυφή = bh³/4 = 216 cm⁴.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: I_G=bh³/36 + Steiner → bh³/4. Επαληθεύτηκε με κώδικα (=216 cm⁴, όπως το βιβλίο).

Ακτίνα αδρανείας ορθογωνίου

Ερώτηση: 2. Ορθογωνική διατομή b=4 cm, h=6 cm — ακτίνα αδρανείας ως προς τη βάση.

Απάντηση:

• Ροπή αδρανείας ως προς βάση: \( I_{AB}=\dfrac{b h^3}{3}=\dfrac{4\cdot6^3}{3}=\dfrac{4\cdot216}{3}=288\,cm^4 \).
• Εμβαδόν: \( A=b h=24\,cm^2 \).
• Ακτίνα αδρανείας: \( i_{AB}=\sqrt{\dfrac{I_{AB}}{A}}=\sqrt{\dfrac{288}{24}}=\sqrt{12}\approx 3,46\,cm \) ✓.

Σύνοψη: i_βάση = √(288/24) = √12 ≈ 3,46 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: I_βάση=bh³/3, i=√(I/A). Επαληθεύτηκε με κώδικα (=3,46 cm, όπως το βιβλίο).