Λύσεις — Κεφάλαιο 6 · Αξονικός εφελκυσμός ΚΑΙ θλίψη (σελ. 128-132) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 6 · Αξονικός εφελκυσμός ΚΑΙ θλίψη (σελ. 128-132)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Διάμετρος ΚΑΙ επιμήκυνση ράβδου

Ερώτηση: 1. Με τη βοήθεια μίας ράβδου μήκους 10 m ρυμουλκούμε αξονικό φορτίο 10.000 daN. Αν το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της ράβδου είναι ίσο με 2.100.000 daN/cm² και η επιτρεπόμενη τάση ίση με 1200 daN/cm², να υπολογιστούν: α. Η διάμετρος της ράβδου β. Η επιμήκυνση.

Απάντηση:

• α) Διαστασιολόγηση: \( A=\dfrac{F}{\sigma_{\epsilon\pi}}=\dfrac{10000}{1200}\approx 8{,}33\,cm^2 \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{4A}{\pi}}\approx 3{,}26\,cm \).
• β) Επιμήκυνση: \( \Delta L=\dfrac{\sigma L}{E}=\dfrac{1200\cdot1000}{2\,100\,000}\approx 0{,}571\,cm\approx 5{,}7\,mm \).

Σύνοψη: α) d ≈ 3,26 cm (A ≈ 8,33 cm²)· β) ΔL ≈ 0,571 cm ≈ 5,7 mm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το μήκος 10 m = 1000 cm, για να συμφωνεί με τις μονάδες του E (daN/cm²).
• Στην πράξη επιλέγεται η αμέσως μεγαλύτερη τυποποιημένη διάμετρος.

Διάμετρος κρίκου αλυσίδας

Ερώτηση: 2. Η αλυσίδα που φαίνεται στο σχήμα καταπονείται σε εφελκυσμό από φορτίο ίσο με 4000 daN. Αν η τάση θραύσης του υλικού είναι ίση με 4800 daN/cm² και ο συντελεστής ασφάλειας ληφθεί ίσος με 6, να υπολογιστεί η διάμετρος του κρίκου της αλυσίδας.

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{4800}{6}=800\,daN/cm^2 \).
• Κάθε κρίκος φέρει το φορτίο με δύο κλάδους (σχήμα), άρα κάθε κλάδος αναλαμβάνει F/2: \( A=\dfrac{F/2}{\sigma_{\epsilon\pi}}=\dfrac{2000}{800}=2{,}5\,cm^2 \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{4A}{\pi}}\approx 1{,}78\,cm \).

Σύνοψη: σεπ = 800 daN/cm²· d ≈ 1,78 cm (διάμετρος κλάδου του κρίκου).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η διατομή που καταπονείται σε κάθε κρίκο είναι διπλή (δύο κλάδοι)· αν ληφθεί μία διατομή, η διάμετρος βγαίνει λανθασμένα μεγαλύτερη (≈ 2,52 cm).

Θλιπτική τάση σωλήνα ΚΑΙ συρματόσχοινο

Ερώτηση: 3. Σωλήνας με εξωτερική διάμετρο 30 mm και εσωτερική 25 mm καταπονείται σε θλίψη από φορτίο 10 kN. Να υπολογιστεί η θλιπτική τάση που θα αναπτυχθεί. 4. Συρματόσχοινο αποτελείται από 6 δέσμες, η καθεμία από τις οποίες έχει 37 συρματίδια διαμέτρου (το καθένα) 0,5 mm. Αν η τάση θραύσης του υλικού είναι ίση με 150 daN/mm² και ο συντελεστής ασφάλειας ίσος με 6, να προσδιοριστεί η εφελκυστική ικανότητα φόρτισης, δηλαδή το μέγιστο φορτίο που μπορεί να ανυψωθεί με ασφάλεια.

Απάντηση:

• Άσκηση 3: \( A=\dfrac{\pi}{4}(30^2-25^2)=\dfrac{\pi}{4}\cdot275\approx 216\,mm^2 \Rightarrow \sigma=\dfrac{10\,000}{216}\approx 46{,}3\,N/mm^2 \).
• Άσκηση 4 — εμβαδόν: \( A=6\cdot37\cdot\dfrac{\pi}{4}(0{,}5)^2\approx 43{,}6\,mm^2 \).
• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{150}{6}=25\,daN/mm^2 \).
• Ικανότητα φόρτισης: \( F_\mu=A\cdot\sigma_{\epsilon\pi}=43{,}6\cdot25\approx1090\,daN \) (το φορτίο θραύσης θα ήταν \( 150\cdot43{,}6\approx6540\,daN \)).

Σύνοψη: Άσκ. 3: σ ≈ 46,3 N/mm². Άσκ. 4: A ≈ 43,6 mm², Fμ ≈ 1090 daN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στην άσκηση 4 ζητείται το φορτίο που ανυψώνεται με ασφάλεια, άρα χρησιμοποιείται η επιτρεπόμενη τάση σθρ/ν, όχι η τάση θραύσης.
• Το εμβαδόν του σωλήνα είναι η διαφορά των δύο κύκλων.

Διαστασιολόγηση σχοινιού

Ερώτηση: 5. Με σχοινί του οποίου το υλικό κατασκευής έχει τάση θραύσης ίση με 1200 daN/cm² ανυψώνουμε βάρος ίσο με 4200 daN. Αν ληφθεί συντελεστής ασφάλειας ίσος με 4, να προσδιοριστεί η διάμετρος του σχοινιού (διαστασιολόγηση).

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{1200}{4}=300\,daN/cm^2 \).
• Απαιτούμενη διατομή: \( A=\dfrac{F}{\sigma_{\epsilon\pi}}=\dfrac{4200}{300}=14\,cm^2 \).
• Διάμετρος: \( d=\sqrt{\dfrac{4\cdot14}{\pi}}\approx4{,}22\,cm \).

Σύνοψη: d ≈ 4,22 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Διαστασιολόγηση: Aαπ = F/σεπ, με σεπ = σθρ/ν.

Έλεγχος τάσεων αλυσίδας

Ερώτηση: 6. Η αλυσίδα του σχήματος καταπονείται από εφελκυστικό φορτίο 1800daN. Αν η επιτρεπόμενη τάση είναι ίση με 820 daN/cm² και η διάμετρος του κλάδου του κρίκου ίση με 16 mm, να γίνει ο έλεγχος των τάσεων, δηλαδή να αποφανθείτε αν η αλυσίδα αντέχει τη φόρτιση με ασφάλεια.

Απάντηση:

• Διατομή ενός κλάδου: \( A_1=\dfrac{\pi\cdot1{,}6^2}{4}\approx2{,}01\,cm^2 \)· ο κρίκος έχει δύο κλάδους: \( A=2A_1\approx4{,}02\,cm^2 \).
• Τάση: \( \sigma=\dfrac{1800}{4{,}02}\approx448\,daN/cm^2 \).
• Έλεγχος: \( \sigma\approx448\,daN/cm^2<\sigma_{\epsilon\pi}=820\,daN/cm^2 \).

Σύνοψη: σ ≈ 448 daN/cm² < 820 daN/cm²· η αλυσίδα αντέχει με ασφάλεια.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στον κρίκο καταπονούνται δύο διατομές κλάδου.
• Έλεγχος τάσεων: σ = F/A ≤ σεπ.

Ικανότητα φόρτισης κοχλία

Ερώτηση: 7. Δίνεται κοχλίας με διάμετρο πυρήνα ίση με 10 mm και επιτρεπόμενη τάση ίση με 8 daN/mm². Να προσδιοριστεί το μέγιστο εφελκυστικό φορτίο, (ικανότητα φόρτισης). Σημειώνουμε ότι, για τον υπολογισμό της αντοχής των κοχλιών χρησιμοποιείται η διάμετρος του πυρήνα και όχι η εξωτερική τους διάμετρος.

Απάντηση:

• Διατομή πυρήνα: \( A=\dfrac{\pi\cdot10^2}{4}\approx78{,}54\,mm^2 \).
• Ικανότητα φόρτισης: \( F_\mu=A\cdot\sigma_{\epsilon\pi}=78{,}54\cdot8\approx628{,}3\,daN \).

Σύνοψη: Fμ ≈ 628,3 daN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στους κοχλίες η αντοχή υπολογίζεται με τη διάμετρο του πυρήνα (μικρότερη από την εξωτερική).

Διάμετρος πυρήνα κοχλία

Ερώτηση: 8. Από κοχλία πρόκειται να κρεμαστεί βάρος ίσο με 1000 daN. Αν η τάση θραύσης του υλικού είναι ίση με 48 daN/mm² και ληφθεί συντελεστής ασφάλειας ίσος με 6, να υπολογιστεί η διάμετρος του πυρήνα του κοχλία (διαστασιολόγηση).

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{48}{6}=8\,daN/mm^2 \).
• Διατομή: \( A=\dfrac{1000}{8}=125\,mm^2 \).
• Διάμετρος πυρήνα: \( d=\sqrt{\dfrac{4\cdot125}{\pi}}\approx12{,}6\,mm \).

Σύνοψη: d πυρήνα ≈ 12,6 mm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Επιλέγεται κοχλίας με διάμετρο πυρήνα τουλάχιστον 12,6 mm.

Διατομή ράβδου σε εναλλασσόμενη φόρτιση

Ερώτηση: 9. Μία χαλύβδινη ράβδος καταπονείται επαναληπτικά σε εφελκυσμό και θλίψη από φορτίο 3700 daN. Αν η τάση θραύσης του υλικού της ράβδου είναι ίση με 420 N/mm² και ο συντελεστής ασφαλείας ίσος με 4, να υπολογίσετε τη διατομή της ράβδου.

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{420}{4}=105\,N/mm^2=10{,}5\,daN/mm^2 \).
• Διατομή: \( A=\dfrac{3700}{10{,}5}\approx352{,}4\,mm^2\approx3{,}52\,cm^2 \).

Σύνοψη: A ≈ 352,4 mm² ≈ 3,52 cm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Μετατροπή μονάδων: 1 daN = 10 N, άρα 105 N/mm² = 10,5 daN/mm².
• Η ίδια διατομή πρέπει να αντέχει και στον εφελκυσμό και στη θλίψη.

Στροφέας ατράκτου

Ερώτηση: 10. Ο εγκάρσιος στροφέας της ατράκτου που φαίνεται στο σχήμα πιέζει τον τριβέα του εδράνου με φορτίο ίσο με 1000 daN. Εάν η επιφανειακή πίεση είναι ίση με 40 daN/cm² και το μήκος του στροφέα (l) είναι διπλάσιο της διαμέτρου του (d), να προσδιοριστούν τα στοιχεία αυτά του στροφέα (l και d). Σαν επιφάνεια επαφής στροφέα και τριβέα δε θεωρούμε την ημικυλινδρική επιφάνεια, αλλά την ορθή προβολή της.

Απάντηση:

• Επιφάνεια (ορθή προβολή): \( A=l\cdot d=2d\cdot d=2d^2 \).
• Από την επιφανειακή πίεση: \( A=\dfrac{F}{p}=\dfrac{1000}{40}=25\,cm^2 \Rightarrow 2d^2=25 \Rightarrow d\approx3{,}54\,cm \).
• Μήκος: \( l=2d\approx7{,}07\,cm \).

Σύνοψη: d ≈ 3,54 cm, l ≈ 7,07 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η επιφάνεια επαφής λαμβάνεται ως ορθογώνιο l × d (ορθή προβολή), όχι ως ημικύλινδρος.

Τάση σφαιρικού κελύφους (απόδειξη)

Ερώτηση: 11. Σφαιρικό κέλυφος εσωτερικής διαμέτρου (d) και πάχους (t) βρίσκεται υπό εσωτερική πίεση (p). Να αποδειχθεί ότι η τάση εφελκυσμού, που αναπτύσσεται στην τομή του κελύφους, που προκαλείται από διαμετρικό επίπεδο που τέμνει το κέλυφος κατά περιφέρεια μέγιστου κύκλου, είναι ίση με π · d / 4 · t.

Απάντηση:

• Κόβουμε το κέλυφος με διαμετρικό επίπεδο. Η πίεση στο ένα ημισφαίριο δίνει συνισταμένη ίση με την πίεση επί την προβολή του, δηλαδή τον μέγιστο κύκλο: \( F=p\cdot\dfrac{\pi d^2}{4} \).
• Τη δύναμη αυτή την αναλαμβάνει ο δακτύλιος της τομής, με εμβαδόν περίπου \( A=\pi d\cdot t \) (λεπτό τοίχωμα).
• Τάση: \( \sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{p\,\pi d^2/4}{\pi d\,t}=\dfrac{p\cdot d}{4\cdot t} \).

Σύνοψη: σ = p·d / (4·t).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: στο βιβλίο ο τύπος τυπώνεται «π · d / 4 · t»· το σωστό σύμβολο είναι η πίεση p: σ = p·d/(4·t).
• Η σχέση ισχύει για λεπτό τοίχωμα, όπου η τομή προσεγγίζεται ως λωρίδα μήκους πd και πάχους t.

Μέγιστη πίεση σφαιρικού κελύφους

Ερώτηση: 12. Μελετούμε ένα σφαιρικό κέλυφος εσωτερικής διαμέτρου 20 cm και πάχους 4 cm που βρίσκεται υπό πίεση. Αν η τάση θραύσης του υλικού είναι ίση με 52 daN/mm² και ο συντελεστής ασφάλειας ίσος με 10, να υπολογιστεί η μέγιστη εσωτερική πίεση που είναι δυνατόν να αναπτυχθεί με ασφάλεια στο κέλυφος.

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{52}{10}=5{,}2\,daN/mm^2=520\,daN/cm^2 \).
• Από τη σχέση της άσκησης 11: \( \sigma=\dfrac{p\,d}{4t}\le\sigma_{\epsilon\pi}\Rightarrow p=\dfrac{4\,t\,\sigma_{\epsilon\pi}}{d}=\dfrac{4\cdot4\cdot520}{20}=416\,daN/cm^2 \).

Σύνοψη: p max ≈ 416 daN/cm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Όλες οι διαστάσεις σε cm, ώστε με σεπ σε daN/cm² η πίεση να προκύπτει σε daN/cm².
• Αν ληφθεί το ακριβές εμβαδόν του δακτυλίου π(28² − 20²)/4 αντί για πdt, η πίεση βγαίνει μεγαλύτερη (≈ 499 daN/cm²)· η σχέση pd/4t είναι η συντηρητική προσέγγιση του βιβλίου.