Λύσεις — Κεφάλαιο 3 · Σύνθεση – Ανάλυση δυνάμεων (σελ. 72-73) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 3 · Σύνθεση – Ανάλυση δυνάμεων (σελ. 72-73)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Ομοευθειακές ΚΑΙ τυχούσες

Ερώτηση: 1. Να προσδιοριστεί η συνισταμένη με την αναλυτική και τη γραφική μέθοδο των ομοευθειακών δυνάμεων, οι οποίες ενεργούν στο σώμα Ο. F₁ = 2 daN, F₂ = 7 daN, F₃ = 4 daN, F₄ = 9 daN. [Σχήμα: οι F₁, F₂ έχουν φορά προς τα αριστερά, οι F₃, F₄ προς τα δεξιά] 2. Να βρεθεί το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων F₁, F₂, F₃ που ενεργούν στο ίδιο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα, όταν F₁ = 50 N, F₂ = 10 N, F₃ = 20√3 N και φ = 60°. [Σχήμα: η F₁ σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x, η F₂ έχει φορά προς τον αρνητικό ημιάξονα x, η F₃ προς τον αρνητικό ημιάξονα ψ]

Απάντηση:

• Άσκηση 1 (ομοευθειακές): παίρνουμε θετική τη φορά προς τα δεξιά: \( \Sigma=F_3+F_4-F_1-F_2=4+9-2-7=4\,daN \), με φορά προς τα δεξιά. Γραφικά: τοποθετούμε τα βέλη υπό κλίμακα το ένα μετά το άλλο πάνω στην ευθεία· το τμήμα από την αρχή του πρώτου ως το τέλος του τελευταίου είναι η Σ.
• Άσκηση 2 — συνιστώσες: \( \Sigma_x=F_1\cos60°-F_2=50\cdot0{,}5-10=15\,N \), \( \Sigma_\psi=F_1\sin60°-F_3=25\sqrt3-20\sqrt3=5\sqrt3\approx8{,}66\,N \).
• Μέτρο: \( \Sigma=\sqrt{15^2+(5\sqrt3)^2}=\sqrt{225+75}=\sqrt{300}\approx17{,}32\,N \).
• Διεύθυνση: \( \tan\theta=\dfrac{8{,}66}{15}\approx0{,}577\Rightarrow\theta=30° \) πάνω από τον άξονα x.

Σύνοψη: Άσκ. 1: Σ = 4 daN προς τα δεξιά. Άσκ. 2: Σ = √300 ≈ 17,32 N, σε γωνία 30° με τον άξονα x.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στις ομοευθειακές δυνάμεις η φορά κάθε δύναμης (από το σχήμα) καθορίζει το πρόσημό της.
• Στην άσκηση 2 οι F₂ και F₃ έχουν μόνο μία συνιστώσα η καθεμία, με αρνητικό πρόσημο.

Παράλληλες ΚΑΙ ανάλυση

Ερώτηση: 3. Να προσδιορίσετε, με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο, το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης των παραλλήλων δυνάμεων F₁, F₂ που φαίνονται στο σχήμα, όταν η απόσταση ΜΝ είναι ίση με 0,70 m. [Σχήμα: F₁ = 400 N στο Μ, F₂ = 600 N στο Ν, ομόρροπες] 5. Να αναλύσετε τη δύναμη Σ στις συνιστώσες F₁ = 1,5 daN και F₂, αν η απόσταση της F₁ από το σημείο Ο είναι ίση με 100 cm. [Σχήμα: Σ = 4,5 daN με σημείο εφαρμογής το Ο· η F₁ δεξιά του Ο, η F₂ αριστερά, όλες ομόρροπες]

Απάντηση:

• Άσκηση 3: οι δυνάμεις είναι ομόρροπες, άρα \( \Sigma=F_1+F_2=400+600=1000\,N \), με σημείο εφαρμογής ανάμεσα στα Μ και Ν.
• Αν x η απόσταση του σημείου εφαρμογής από το Μ: \( F_1\cdot x=F_2\cdot(0{,}70-x)\Rightarrow400x=600(0{,}70-x)\Rightarrow x=0{,}42\,m \) (και 0,28 m από το Ν).
• Γραφικά: μεταφέρουμε υπό κλίμακα την F₂ στο Μ και την F₁ στο Ν με αντίθετη φορά· η ευθεία που ενώνει τα άκρα τους τέμνει την ΜΝ στο σημείο εφαρμογής της Σ.
• Άσκηση 5: ομόρροπες συνιστώσες, άρα \( F_2=\Sigma-F_1=4{,}5-1{,}5=3\,daN \).
• Ροπές ως προς το Ο (από όπου περνά η Σ): \( F_1\cdot100=F_2\cdot x\Rightarrow x=\dfrac{1{,}5\cdot100}{3}=50\,cm \), αριστερά του Ο.

Σύνοψη: Άσκ. 3: Σ = 1000 N, 0,42 m από το Μ (0,28 m από το Ν). Άσκ. 5: F₂ = 3 daN, σε απόσταση 50 cm από το Ο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η συνισταμένη δύο ομόρροπων παράλληλων δυνάμεων βρίσκεται πιο κοντά στη μεγαλύτερη δύναμη.
• Η ροπή της συνισταμένης ως προς σημείο του φορέα της είναι μηδέν, άρα οι ροπές των συνιστωσών ως προς αυτό είναι ίσες.

Συνισταμένη από συνιστώσες

Ερώτηση: 4. Να υπολογιστεί η συνισταμένη των δυνάμεων του σχήματος F₁, F₂, F₃, όταν: F₁x = 3,5N, F₁ψ = 1,5N, F₂x = 2N, F₂ψ = −1N, F₃x = −1,5N, F₃ψ = 3,5 N.

Απάντηση:

• Άθροισμα συνιστωσών: \( \Sigma_x=3{,}5+2-1{,}5=4\,Ν \), \( \Sigma_\psi=1{,}5-1+3{,}5=4\,Ν \).
• Μέτρο: \( \Sigma=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}\approx 5{,}66\,Ν \).
• Διεύθυνση: \( \tan\theta=\dfrac{\Sigma_\psi}{\Sigma_x}=\dfrac{4}{4}=1 \Rightarrow \theta=45° \).

Σύνοψη: Σ = √32 ≈ 5,66 Ν, σε γωνία 45° με τον άξονα x.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Οι συνιστώσες προστίθενται αλγεβρικά, με τα πρόσημά τους.
• Αφού Σx > 0 και Σψ > 0, η συνισταμένη βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

Ισορροπία τροχού με δύο νήματα

Ερώτηση: 6. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F₂, προκειμένου να εξασφαλιστεί η ισορροπία του συστήματος του σχήματος, αν r = 25 cm και R = 40 cm. [Σχήμα: τροχός εξωτερικής ακτίνας R που πατά στο δάπεδο· το οριζόντιο νήμα της F₁ = 5 daN ξεκινά από την κορυφή του εσωτερικού κύκλου ακτίνας r και το οριζόντιο νήμα της F₂ από την κορυφή του εξωτερικού κύκλου, με αντίθετες φορές, και περνούν από σταθερές τροχαλίες]

Απάντηση:

• Ο τροχός πατά στο δάπεδο στο σημείο επαφής Γ· εκεί ασκούνται η κάθετη αντίδραση και η τριβή, που δεν δίνουν ροπή ως προς το Γ. Γράφουμε λοιπόν \( \sum M_\Gamma=0 \).
• Μοχλοβραχίονες ως προς το Γ: νήμα F₁: \( R+r=40+25=65\,cm \)· νήμα F₂: \( 2R=80\,cm \).
• \( F_1\cdot65=F_2\cdot80\Rightarrow F_2=\dfrac{5\cdot65}{80}\approx4{,}06\,daN \).
• Από \( \sum F_x=0 \) η τριβή στο Γ είναι \( T=F_1-F_2\approx0{,}94\,daN \).

Σύνοψη: F₂ ≈ 4,06 daN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Αν ο τροχός δεν ακουμπούσε στο δάπεδο αλλά στρεφόταν γύρω από σταθερό άξονα στο κέντρο του, η ισορροπία ροπών ως προς το κέντρο θα έδινε F₂ = F₁·r/R = 3,125 daN.
• Το σημείο ως προς το οποίο παίρνουμε ροπές επιλέγεται εκεί όπου ενεργούν οι άγνωστες αντιδράσεις.