Λύσεις — Κεφάλαιο 11 · Στρέψη (σελ. 286-287) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 11 · Στρέψη (σελ. 286-287) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 11 · Στρέψη (σελ. 286-287)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Διάμετρος ΚΑΙ γωνίες συμπαγούς άξονα

Ερώτηση: 1. Να υπολογισθούν η διάμετρος, η γωνία στροφής και η γωνία παραμόρφωσης ενός άξονα που καταπονείται σε στρέψη από μία ροπή 50KN/m² όταν η επιτρεπόμενη τάση είναι 30 MN/m² και το μέτρο διάτμησης είναι G= 80GN/m².

Απάντηση:

Η στρεπτική ροπή είναι \( M_t=50\,kN\cdot m=50\,000\,N\cdot m \) (στο βιβλίο η μονάδα τυπώνεται «KN/m²»).
Διάμετρος: \( d=\sqrt[3]{\dfrac{16M_t}{\pi\tau_{\epsilon\pi}}}=\sqrt[3]{\dfrac{16\cdot50\,000}{\pi\cdot30\times10^6}}\approx 0{,}204\,m=20{,}4\,cm \).
Γωνία στροφής (ανά m μήκους): \( I_p=\dfrac{\pi d^4}{32}\approx1{,}70\times10^{-4}\,m^4 \), \( \theta=\dfrac{M_t}{G\,I_p}=\dfrac{50\,000}{80\times10^9\cdot1{,}70\times10^{-4}}\approx3{,}68\times10^{-3}\,rad/m\approx12΄38΄΄ \).
Γωνία παραμόρφωσης: \( \gamma=\dfrac{\tau}{G}=\dfrac{30\times10^6}{80\times10^9}=3{,}75\times10^{-4}\,rad\approx1΄17΄΄ \).

Σύνοψη: d ≈ 20,4 cm· θ ≈ 12΄38΄΄ ανά m· γ ≈ 1΄17΄΄.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει γ = 1΄9΄΄,61· από τη σχέση γ = τ/G με τ = 30 MN/m² και G = 80 GN/m² προκύπτει γ = 3,75 × 10⁻⁴ rad ≈ 1΄17΄΄.
Για μετατροπή rad σε μοίρες πολλαπλασιάζουμε με 180/π (1 rad ≈ 57,3°).

Κοίλος (δακτυλιοειδής) άξονας

Ερώτηση: 2. Να υπολογισθούν η εσωτερική και η εξωτερική διάμετρος ενός άξονα, με δακτυλιοειδή διατομή, καθώς και η γωνία στροφής. Ο άξονας καταπονείται σε στρέψη από μία ροπή 50KN/m² η επιτρεπόμενη τάση είναι 30 MN/m² και το μέτρο διάτμησης είναι G= 80GN/m² ο λόγος των διαμέτρων είναι 0,9 3. Στις δύο προηγούμενες ασκήσεις έχουμε δύο διαφορετικών γεωμετρικών στοιχείων άξονες που είναι από το ίδιο υλικό και καταπονούνται από την ίδια ροπή. Από τα αποτελέσματα των δύο παραπάνω ασκήσεων, τι συμπεράσματα μπορείτε να εξαγάγετε από το γεγονός της διαφοράς τους ως προς τα γεωμετρικά στοιχεία.

Απάντηση:

Άσκηση 2: \( W_p=\dfrac{\pi(D^4-d^4)}{16D}=\dfrac{\pi D^3(1-0{,}9^4)}{16} \) με d = 0,9D. Από \( \tau=\dfrac{M_t}{W_p}\le\tau_{\epsilon\pi} \): \( D=\sqrt[3]{\dfrac{16\cdot50\,000}{\pi\cdot30\times10^6\cdot(1-0{,}9^4)}}\approx0{,}291\,m \), δηλαδή D ≈ 29 cm και d = 0,9D ≈ 26 cm.
Γωνία στροφής: \( I_p=\dfrac{\pi D^4(1-0{,}9^4)}{32} \), \( \theta=\dfrac{M_t}{G\,I_p}\approx2{,}58\times10^{-3}\,rad/m\approx8΄51΄΄\approx9΄ \) ανά m.
Άσκηση 3 — σύγκριση: εμβαδόν συμπαγούς \( \dfrac{\pi\cdot0{,}204^2}{4}\approx0{,}0327\,m^2 \), κοίλου \( \dfrac{\pi(0{,}291^2-0{,}262^2)}{4}\approx0{,}0127\,m^2 \), δηλαδή περίπου 39 % του συμπαγούς.
Ο κοίλος άξονας, για την ίδια ροπή και την ίδια επιτρεπόμενη τάση, έχει μεγαλύτερη εξωτερική διάμετρο, αλλά χρειάζεται περίπου 60 % λιγότερο υλικό (άρα είναι πολύ ελαφρύτερος) και παρουσιάζει και μικρότερη γωνία στροφής (≈ 9΄ αντί για ≈ 12΄38΄΄). Το υλικό κοντά στο κέντρο καταπονείται ελάχιστα στη στρέψη, γι' αυτό η αφαίρεσή του είναι οικονομική.

Σύνοψη: Άσκ. 2: D ≈ 29 cm, d ≈ 26 cm, θ ≈ 9΄ ανά m. Άσκ. 3: ο κοίλος άξονας είναι πολύ ελαφρύτερος (≈ 39 % του υλικού του συμπαγούς) και πιο δύσκαμπτος στη στρέψη, με λίγο μεγαλύτερη εξωτερική διάμετρο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στη στρέψη οι τάσεις είναι μέγιστες στην περιφέρεια και μηδέν στο κέντρο, γι' αυτό οι κοίλοι άξονες αξιοποιούν καλύτερα το υλικό.
Η ροπή αντίστασης δακτυλίου διαιρείται με την εξωτερική διάμετρο D, όχι με τη μέση.

Τάση από επιτρεπόμενη γωνία στροφής

Ερώτηση: 4. Ποια τάση θα αναπτυχθεί σε ένα άξονα, διαμέτρου d, που έχει μέτρο διάτμησης G = 80GN/mm² αν θέσουμε ως προϋπόθεση ότι η γωνία στροφής θα είναι 1° σε μήκος l = 20d.

Απάντηση:

Από \( \theta=\dfrac{M_t\,l}{G\,I_p} \) και \( \tau=\dfrac{M_t}{I_p}\cdot\dfrac{d}{2} \) προκύπτει \( \tau=\dfrac{\theta\,G\,d}{2\,l} \).
Με \( l=20d \): \( \tau=\dfrac{\theta\,G}{40} \), όπου \( \theta=1°=\dfrac{\pi}{180}\approx0{,}01745\,rad \) και \( G=80\,GN/m^2=80\,000\,N/mm^2 \).
\( \tau_{max}=\dfrac{0{,}01745\cdot80\,000}{40}\approx34{,}9\,N/mm^2 \).

Σύνοψη: τmax ≈ 34,9 N/mm² (το βιβλίο δίνει 34,8 N/mm²).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το G του χάλυβα είναι 80 GN/m² = 80 000 N/mm² (στο βιβλίο τυπώνεται «80GN/mm²»).
Η γωνία πρέπει να μετατραπεί σε rad.

Διάμετρος με αντοχή και γωνία στροφής

Ερώτηση: 5. Άξονας πακτωμένος κατά το ένα άκρο του, καταπονείται σε στρέψη. Ο άξονας αυτός έχει μήκος 1000mm, είναι κατασκευασμένος από χάλυβα με G = 83x10⁴ daN/cm² και η επιτρεπόμενη τάση είναι τεπ=80 daN/cm². Αν θέλουμε για λόγους οικονομίας να εξαντλήσουμε τα όρια αντοχής, ποιά θα πρέπει να είναι η διάμετρος του άξονα; (Η μέγιστη επιτρεπόμενη γωνία στροφής θmax = 0°,25/m ).

Απάντηση:

Θέλουμε να φτάνουν ταυτόχρονα στο όριο η τάση και η γωνία στροφής. Από \( \tau=\dfrac{M_t\,d}{2I_p} \) και \( \theta'=\dfrac{M_t}{G\,I_p} \) (ανά μονάδα μήκους): \( \dfrac{\tau}{\theta'}=\dfrac{G\,d}{2}\Rightarrow d=\dfrac{2\,\tau_{\epsilon\pi}}{G\,\theta'} \).
\( \theta'=0{,}25°/m=\dfrac{0{,}25\,\pi}{180}\cdot\dfrac{1}{100}\approx4{,}36\times10^{-5}\,rad/cm \).
\( d=\dfrac{2\cdot80}{83\times10^4\cdot4{,}36\times10^{-5}}\approx4{,}4\,cm \)· επιλέγεται d ≈ 4,5 cm.

Σύνοψη: d ≈ 4,4 cm → 4,5 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Όλα τα μεγέθη στις ίδιες μονάδες (daN, cm, rad/cm).
Με μεγαλύτερη διάμετρο υπάρχει περιθώριο αντοχής, με μικρότερη ξεπερνιέται ένα από τα δύο όρια.

Ισχύς άξονα και μπουλόνια συνδέσμου

Ερώτηση: 6. Να υπολογισθεί η μεγαλύτερη ισχύς που μπορεί να μεταβιβασθεί από ένα άξονα διαμέτρου 150 mm ο οποίος στρέφεται με 240 rpm, όταν η επιτρεπόμενη τάση είναι τεπ = 55 N/mm². Ο άξονας αυτός έχει ένα σύνδεσμο με έξι μπουλόνια, περιφερειακά σε μία διάμετρο 260 mm. Να ορίσετε τη διάμετρο των μπουλονιών όταν η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση τους είναι τ1max = 100N/cm².

Απάντηση:

Ροπή: \( M_t=\tau_{\epsilon\pi}\dfrac{\pi d^3}{16}=55\cdot\dfrac{\pi\cdot150^3}{16}\approx36{,}45\times10^6\,N\cdot mm=36{,}45\,kN\cdot m \).
Ισχύς: \( \omega=\dfrac{2\pi\cdot240}{60}\approx25{,}13\,rad/s \), \( P=M_t\,\omega\approx36{,}45\cdot25{,}13\approx916\,kW\approx920\,kW \).
Δύναμη ανά μπουλόνι (ακτίνα 130 mm): \( F=\dfrac{M_t}{6\cdot0{,}13}\approx46\,730\,N \).
Διάμετρος μπουλονιών: \( d=\sqrt{\dfrac{4F}{\pi\tau}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot46\,730}{\pi\cdot100}}\approx24{,}4\,mm \).

Σύνοψη: P ≈ 916 kW (≈ 920 kW)· d μπουλονιών ≈ 24,4 mm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η επιτρεπόμενη τάση των μπουλονιών πρέπει να ληφθεί 100 N/mm² (στο βιβλίο τυπώνεται «N/cm²»)· με αυτή την τιμή προκύπτει η απάντηση 24,4 mm.
Η ροπή μοιράζεται εξίσου στα 6 μπουλόνια, που ενεργούν σε ακτίνα 130 mm.

Διαστασιολόγηση κοίλου άξονα από γωνία στροφής

Ερώτηση: 7. Να υπολογισθούν οι αναγκαίες διάμετροι εσωτερική d και εξωτερική D, ενός άξονα με δακτυλιοειδή διατομή, ο οποίος μεταφέρει ισχύ 750kw με 50rpm. Δίδονται: α) η γωνία στροφής θ από 1° / 20D β) στη d/D = 0,6 γ) G = 85 ×10³ N/mm²

Απάντηση:

Ροπή: \( M_t=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{750\,000}{2\pi\cdot50/60}\approx143\,239\,N\cdot m\approx1{,}432\times10^8\,N\cdot mm \).
Γωνία στροφής: \( \theta=\dfrac{M_t\,l}{G\,I_p} \) με \( l=20D \), \( I_p=\dfrac{\pi D^4(1-0{,}6^4)}{32} \) και \( \theta=1°=0{,}01745\,rad \).
\( D^3=\dfrac{640\,M_t}{\pi\,G(1-0{,}6^4)\,\theta}=\dfrac{640\cdot1{,}432\times10^8}{\pi\cdot85\,000\cdot0{,}8704\cdot0{,}01745}\Rightarrow D\approx283\,mm \).
\( d=0{,}6\,D\approx170\,mm \).

Σύνοψη: D ≈ 283 mm, d ≈ 170 mm (βιβλίο: 169,5 mm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο λόγος d/D = 0,6 δίνει 1 − 0,6⁴ = 0,8704.
Η ισχύς σε W και η ω σε rad/s δίνουν ροπή σε N·m.

Τάσεις και γωνία στροφής κοίλου άξονα

Ερώτηση: 8. Ένα δακτυλιοειδής άξονας έχει εξωτερική διάμετρο D=10 cm και εσωτερική d = 7.5 cm. Να υπολογισθούν οι τάσεις που αναπτύσσονται στην εξωτερική και εσωτερική επιφάνεια του άξονα, όταν αυτός καταπονείται σε στρέψη από μία ροπή Μt = 2000 Nm. Να υπολογισθεί επίσης η γωνία στροφής. Το μήκος του άξονα είναι 1m και το υλικό έχει μέτρο διάτμησης G = 80GN/m².

Απάντηση:

\( I_p=\dfrac{\pi(100^4-75^4)}{32}\approx6{,}71\times10^6\,mm^4 \).
Εξωτερική επιφάνεια: \( \tau_{max}=\dfrac{M_t\cdot50}{I_p}=\dfrac{2\times10^6\cdot50}{6{,}71\times10^6}\approx14{,}9\,N/mm^2=14{,}9\,MN/m^2 \).
Εσωτερική επιφάνεια: \( \tau_{min}=\dfrac{2\times10^6\cdot37{,}5}{6{,}71\times10^6}\approx11{,}2\,MN/m^2 \).
Γωνία στροφής: \( \theta=\dfrac{M_t\,l}{G\,I_p}=\dfrac{2\times10^6\cdot1000}{80\,000\cdot6{,}71\times10^6}\approx3{,}73\times10^{-3}\,rad\approx12΄48΄΄ \).

Σύνοψη: τ εξωτ. ≈ 14,9 MN/m², τ εσωτ. ≈ 11,2 MN/m², θ ≈ 12΄48΄΄ (βιβλίο: 12΄49΄΄,64).

Κριτήρια αξιολόγησης: