Λύσεις — Κεφάλαιο 8 · Φορείς – Φορτίσεις – Στηρίξεις – Επίλυση δοκών (σελ. 181-183, 206-207) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 8 · Φορείς – Φορτίσεις – Στηρίξεις – Επίλυση δοκών (σελ. 181-183, 206-207)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Ερμηνεία εντατικών μεγεθών

Ερώτηση: 1. Σε μια τομή τ – τ μιας δοκού έχουμε: 1. Ν = Q = 0, Μ≠0 2. Ν = Μ = 0, Q≠0 3. Q = M = 0, N≠0 Να εξάγετε τα ανάλογα συμπεράσματα για κάθε μια από αυτές τις περιπτώσεις.

Απάντηση:

• 1. Ν = Q = 0, Μ ≠ 0: στη διατομή υπάρχει μόνο καμπτική ροπή — η διατομή καταπονείται σε καθαρή κάμψη.
• 2. Ν = Μ = 0, Q ≠ 0: υπάρχει μόνο τέμνουσα δύναμη — η διατομή καταπονείται σε διάτμηση.
• 3. Q = Μ = 0, Ν ≠ 0: υπάρχει μόνο αξονική δύναμη — αξονικός εφελκυσμός (Ν > 0) ή θλίψη (Ν < 0).

Σύνοψη: (ενδεικτική) 1: καθαρή κάμψη· 2: διάτμηση· 3: αξονικός εφελκυσμός ή θλίψη.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κάθε εντατικό μέγεθος αντιστοιχεί σε ένα είδος καταπόνησης: Ν → εφελκυσμός/θλίψη, Q → διάτμηση, Μ → κάμψη.
• Το πρόσημο της Ν δείχνει αν η διατομή εφελκύεται ή θλίβεται.

Αντιδράσεις στηρίξεων

Ερώτηση: 2. Να βρεθούν οι αντιδράσεις στηρίξεων των παρακάτω φορέων. [Σχήματα: α) αμφιέρειστη δοκός 15 m με 100 daN στα 3 m και 200 daN στα 9 m από το Α· β) δοκός με 100 daN στο αριστερό άκρο, στήριξη Α 2 m δεξιότερα, 200 daN 4 m μετά το Α και στήριξη Β 4 m μετά· γ) όπως η (β) με επιπλέον 50 daN στο δεξί άκρο, 4 m μετά το Β· δ) αμφιέρειστη δοκός μήκους l με ομοιόμορφο φορτίο q daN/m· ε) αμφιέρειστη δοκός 10 m με 250 daN στα 2 m από το Α και q = 120 daN/m στα τελευταία 5 m· στ) πρόβολος l = 3,5 m με q = 200 daN/m· ζ) δοκός ΑΒΓ: q = 50 daN/m στα πρώτα 3 m και 100 daN στα 3 m, στήριξη Β στα 7 m όπου ασκούνται και 200 daN, και q = 100 daN/m στον πρόβολο ΒΓ των 4 m]

Απάντηση:

• Μέθοδος: για κάθε φορέα γράφουμε \( \sum M_A=0 \) (βρίσκουμε τη Bψ) και \( \sum F_\psi=0 \) (βρίσκουμε την Aψ)· τα κατανεμημένα φορτία αντικαθίστανται από τη συνισταμένη τους q·l στο μέσο του μήκους τους.
• α) \( B_\psi\cdot15=100\cdot3+200\cdot9=2100\Rightarrow B_\psi=140\,daN \), \( A_\psi=300-140=160\,daN \).
• β) \( B_\psi\cdot8=200\cdot4-100\cdot2=600\Rightarrow B_\psi=75\,daN \), \( A_\psi=300-75=225\,daN \).
• γ) \( B_\psi\cdot8=200\cdot4+50\cdot12-100\cdot2=1200\Rightarrow B_\psi=150\,daN \), \( A_\psi=350-150=200\,daN \).
• δ) Λόγω συμμετρίας \( A_\psi=B_\psi=\dfrac{ql}{2} \) και στο μέσο \( M_{max}=\dfrac{ql^2}{8} \).
• ε) Συνισταμένη του q: \( 120\cdot5=600\,daN \) στα 7,5 m. \( B_\psi\cdot10=250\cdot2+600\cdot7{,}5=5000\Rightarrow B_\psi=500\,daN \), \( A_\psi=850-500=350\,daN \).
• στ) \( A_\psi=q\,l=200\cdot3{,}5=700\,daN \), ροπή πάκτωσης \( M_\pi=\dfrac{q\,l^2}{2}=\dfrac{200\cdot3{,}5^2}{2}=1225\,daN\cdot m \).
• ζ) Συνισταμένες: 150 daN στα 1,5 m και 400 daN στα 9 m. \( B_\psi\cdot7=150\cdot1{,}5+100\cdot3+200\cdot7+400\cdot9=5525\Rightarrow B_\psi\approx789{,}29\,daN \), \( A_\psi=850-789{,}29=60{,}71\,daN \).

Σύνοψη: α) Aψ = 160, Bψ = 140 daN· β) 225, 75 daN· γ) 200, 150 daN· δ) Aψ = Bψ = ql/2, Mmax = ql²/8· ε) 350, 500 daN· στ) Aψ = 700 daN, Mπ = 1225 daN·m· ζ) 60,71, 789,29 daN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στις απαντήσεις (α)–(γ) του βιβλίου ο συμβολισμός «Αx» αντιστοιχεί στην κατακόρυφη αντίδραση Aψ· αφού δεν υπάρχουν οριζόντια φορτία, Ax = 0.
• Φορτία σε πρόβολο πέρα από τη στήριξη δίνουν ροπή αντίθετης φοράς ως προς το Α (πρόσημο μείον).

Διαγράμματα [Μ], [Q]

Ερώτηση: Να βρεθούν τα διαγράμματα [Μ], [Q] των παρακάτω φορέων [Σχήματα: 1. δοκός 6 m με στηρίξεις στα 1 m και 5 m και 100 daN σε κάθε άκρο· 2. δοκός 6 m με στηρίξεις (άρθρωση Α στο 1 m, κύλιση Β στα 5 m), 150 daN ↓ στο αριστερό άκρο, 100 daN υπό γωνία 45° στο μέσο (3 m) και 100 daN ↑ στο δεξί άκρο· 3. δοκός 6 m με στηρίξεις στα 1 m και 5 m, 120 daN στο αριστερό άκρο, 150 daN στο δεξί και ομοιόμορφο φορτίο 100 daN/m στο άνοιγμα· 4. δοκός 9 m με στηρίξεις στα 2 m και 7 m, 100 daN/m στον αριστερό πρόβολο και στα τελευταία 2,5 m του ανοίγματος, 150 daN στο δεξί άκρο· 5. δοκός 6 m με στηρίξεις στα 1 m και 5 m, 100 daN/m στους δύο προβόλους και 200 daN στα 2 m και 4 m]

Απάντηση:

• Μέθοδος: αντιδράσεις από \( \sum M=0,\ \sum F_\psi=0 \)· σε κάθε τμήμα η Q είναι το άθροισμα των κάθετων δυνάμεων αριστερά της τομής και η Μ το άθροισμα των ροπών τους (Μ > 0 όταν εφελκύεται το κάτω, θετικό σύνορο). Η Μ έχει ακρότατο εκεί όπου η Q μηδενίζεται.
• 1. \( A_\psi=B_\psi=100\,daN \). [Q]: −100 στον αριστερό πρόβολο, 0 στο άνοιγμα, +100 στον δεξί πρόβολο. [Μ]: 0 στα άκρα, \( M_A=M_B=-100\,daN\cdot m \) και σταθερή −100 daN·m σε όλο το άνοιγμα (καθαρή κάμψη).
• 2. Συνιστώσες της πλάγιας δύναμης: \( 100\cos45°=70{,}71\,daN \) κατακόρυφα και 70,71 daN οριζόντια, άρα \( A_x=70{,}71\,daN \). \( \sum M_A=0 \): \( 150\cdot1-70{,}71\cdot2+4B_\psi+100\cdot5=0\Rightarrow B_\psi=-127{,}15\,daN \) (φορά προς τα κάτω) και \( A_\psi=247{,}86\,daN \). [Q]: −150 (0–1 m), +97,86 (1–3 m), +27,15 (3–5 m), −100 (5–6 m). [Μ]: \( M_A=-150 \), \( M_{3m}=+45{,}71 \), \( M_B=+100\,daN\cdot m \), μηδέν στα άκρα και στα ≈ 2,53 m από το αριστερό άκρο.
• 3. (ομοιόμορφο φορτίο σε όλο το άνοιγμα ΑΒ = 4 m, συνισταμένη 400 daN) \( B_\psi\cdot4=400\cdot2+150\cdot5-120\cdot1\Rightarrow B_\psi=357{,}5\,daN \), \( A_\psi=312{,}5\,daN \). [Q]: −120 στον αριστερό πρόβολο, +192,5 δεξιά του Α, γραμμική μείωση ως −207,5 αριστερά του Β, +150 στον δεξί πρόβολο· Q = 0 στα 1,925 m από το Α. [Μ]: \( M_A=-120 \), \( M_{max}\approx+65{,}3\,daN\cdot m \) (1,925 m από το Α), \( M_B=-150\,daN\cdot m \).
• 4. Συνισταμένες: 200 daN στον πρόβολο (1 m από το άκρο) και 250 daN στα 5,75 m. \( B_\psi\cdot5=250\cdot3{,}75+150\cdot7-200\cdot1\Rightarrow B_\psi=357{,}5\,daN \), \( A_\psi=242{,}5\,daN \). [Q]: από 0 ως −200 στον πρόβολο, +42,5 από το Α ως τα 4,5 m, γραμμικά ως −207,5 στο Β, +150 στον δεξί πρόβολο. [Μ]: \( M_A=-200 \), \( M_{4{,}5m}=-93{,}75 \), τοπικό ακρότατο −84,7 daN·m (Q = 0 στα 4,925 m), \( M_B=-300\,daN\cdot m \)· η ροπή είναι αρνητική σε όλη τη δοκό.
• 5. Συμμετρική φόρτιση: \( A_\psi=B_\psi=\dfrac{100+200+200+100}{2}=300\,daN \). [Q]: από 0 ως −100 στον αριστερό πρόβολο, +200 από το Α ως τα 2 m, 0 στο μεσαίο τμήμα, −200 από τα 4 m ως το Β, +100 → 0 στον δεξί πρόβολο. [Μ]: \( M_A=M_B=-50\,daN\cdot m \), \( M=+150\,daN\cdot m \) σταθερή από τα 2 m ως τα 4 m, μηδέν στα 1,25 m και 4,75 m.

Σύνοψη: 1: Aψ = Bψ = 100 daN, Μ = −100 daN·m στο άνοιγμα. 2: Aψ = 247,86 daN, Bψ = 127,15 daN (↓), Ax = 70,71 daN, M_A = −150, M_B = +100 daN·m. 3: Aψ = 312,5, Bψ = 357,5 daN, Mmax ≈ +65,3 daN·m. 4: Aψ = 242,5, Bψ = 357,5 daN, M_B = −300 daN·m. 5: Aψ = Bψ = 300 daN, Mmax = +150 daN·m.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στον φορέα 3 το σχήμα δεν δίνει διαστάσεις για το εύρος του ομοιόμορφου φορτίου· θεωρήθηκε ότι καλύπτει όλο το άνοιγμα ΑΒ.
• Πάνω από τις στηρίξεις η Q παρουσιάζει άλμα ίσο με την αντίδραση· κάτω από συγκεντρωμένα φορτία η Μ παρουσιάζει γωνία.
• Κάτω από ομοιόμορφο φορτίο η Q είναι ευθεία με κλίση −q και η Μ παραβολή.