Λύσεις — Κεφάλαιο 14 · Τριβή (σελ. 417-420) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 14 · Τριβή (σελ. 417-420)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Κιβώτιο σε ράμπα

Ερώτηση: 1. Ένα κιβώτιο βάρους Β = 50Ν, πρόκειται να εκφορτωθεί μέσω μίας ράμπας με κλίση 25° ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής είναι η = 0,6. Ζητείται: α) Η δύναμη F με την οποία θα ωθήσουμε το κιβώτιο ώστε αυτό να υπερνικήσει τη στατική τριβή και να ολισθήσει στη ράμπα και β) Το ύψος που θα εφαρμόσουμε τη δύναμη ώστε να μην ανατραπεί το κιβώτιο. Το κέντρο βάρους του κιβωτίου είναι σε ύψος β= 60cm από τη βάση του και σε οριζόντια απόσταση α= 40cm από την ακμή ανατροπής.

Απάντηση:

• α) Αφού \( \tan25°\approx0{,}466<\eta=0{,}6 \), το κιβώτιο δεν ολισθαίνει μόνο του. Η ώθηση F παράλληλα στη ράμπα, προς τα κάτω: \( F+B\sin25°=\eta\,B\cos25° \Rightarrow F=B(\eta\cos25°-\sin25°)=50(0{,}6\cdot0{,}906-0{,}423)\approx6{,}06\,Ν \).
• β) Ροπές ως προς την ακμή ανατροπής (κάτω μπροστινή ακμή): ανατρεπτικές η F (ύψος h) και η συνιστώσα \( B\sin25° \) (ύψος β = 60 cm), σταθεροποιητική η \( B\cos25° \) (απόσταση α = 40 cm).
• \( F\cdot h+B\sin25°\cdot60<B\cos25°\cdot40 \Rightarrow h<\dfrac{50(0{,}906\cdot40-0{,}423\cdot60)}{6{,}06}\approx\dfrac{544{,}8}{6{,}06}\approx89{,}9\,cm \).

Σύνοψη: α) F ≈ 6,06 Ν· β) h < 89,9 cm (το βιβλίο, με στρογγυλεμένες τιμές, δίνει F = 6,03 Ν και h < 90,049 cm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τριβή στη βάση δεν δίνει ροπή ως προς την ακμή ανατροπής, γιατί ενεργεί στο επίπεδο της βάσης.
• Οι μικρές διαφορές από τις τιμές του βιβλίου οφείλονται σε στρογγυλοποιήσεις των τριγωνομετρικών αριθμών.

Ισορροπία σκάλας

Ερώτηση: 2. Μία σκάλα μήκους 3,4 m ακουμπάει στον τοίχο με κλίση α ως προς το οριζόντιο επίπεδο. α) Το βάρος της σκάλας είναι Βσ= 200Ν, ο συντελεστής τριβής με τον τοίχο ηΒ= 0,2 και με το δάπεδο ηΑ= 0,15. Να υπολογισθεί η γωνία α, όταν άνθρωπος βρίσκεται στη κορυφή της σκάλας, έτσι ώστε η σκάλα να μην ολισθήσει. (βάρος ανθρώπου Βα= 800Ν).

Απάντηση:

• Οριακή ισορροπία: στο δάπεδο \( N_A \) και \( T_A=0{,}15N_A \) (προς τον τοίχο), στον τοίχο \( N_B \) και \( T_B=0{,}2N_B \) (προς τα πάνω).
• \( \sum F_x=0:\ N_B=0{,}15N_A \)· \( \sum F_\psi=0:\ N_A+0{,}2N_B=1000 \Rightarrow N_A=\dfrac{1000}{1{,}03}\approx970{,}9\,N \), \( N_B\approx145{,}6\,N \), \( T_B\approx29{,}1\,N \).
• \( \sum M_A=0 \) (L = 3,4 m): \( 200\cdot\dfrac{L}{2}\cos\alpha+800\cdot L\cos\alpha=N_B\,L\sin\alpha+T_B\,L\cos\alpha \Rightarrow (100+800-29{,}1)\cos\alpha=145{,}6\sin\alpha \).
• \( \tan\alpha=\dfrac{870{,}9}{145{,}6}\approx5{,}98\Rightarrow\alpha\approx80{,}5°=80°30΄ \).

Σύνοψη: α ≈ 80°30΄ (το βιβλίο δίνει 80°30΄25΄΄,2)· για μικρότερη γωνία η σκάλα ολισθαίνει.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το μήκος της σκάλας απλοποιείται στην εξίσωση ροπών, άρα η γωνία δεν εξαρτάται από αυτό.
• Με τον άνθρωπο στην κορυφή η σκάλα πρέπει να είναι πολύ απότομη, επειδή οι συντελεστές τριβής είναι μικροί.

Βαθμός απόδοσης κεκλιμένου επιπέδου

Ερώτηση: 3. Ποιος ο βαθμός απόδοσης, κατά την ισοταχή ανύψωση σώματος, επάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Δίνονται: γωνία κεκλιμένου επιπέδου α = 30°, συντελεστής τριβής η = 0,15

Απάντηση:

• Ωφέλιμη δύναμη (χωρίς τριβή): \( B\sin\alpha \)· απαιτούμενη δύναμη (με τριβή): \( B(\sin\alpha+\eta\cos\alpha) \).
• \( \eta_\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\eta\cos\alpha}=\dfrac{0{,}5}{0{,}5+0{,}15\cdot0{,}866}=\dfrac{0{,}5}{0{,}630}\approx0{,}794 \).

Σύνοψη: ηα ≈ 0,794 (79,4 %).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο βαθμός απόδοσης δεν εξαρτάται από το βάρος του σώματος.

Σώμα και ρόδα σε κεκλιμένα επίπεδα

Ερώτηση: 4. Στα κεκλιμένα επίπεδα ΑΒ και ΑΓ, υπάρχουν, το σώμα βάρους Β₁ =110 Ν και η ρόδα βάρους Β₂ = 70 Ν, αντίστοιχα. Το σώμα έχει συντελεστή ολίσθησης με το επίπεδο η = 0,30 και αντίστοιχα η ρόδα συντελεστή τριβής κύλισης f = 0,40 cm και ακτίνα R = 40cm. Το σώμα και η τροχαλία συνδέονται, μέσω τροχαλίας χωρίς τριβή, με αβαρές νήμα. Να ευρεθεί ποια πρέπει να είναι, κατ' ελάχιστον η γωνία ω, ώστε το σύστημα να κινηθεί κατερχόμενο του επιπέδου ΑΒ. [Σχήμα 14.8.α: και τα δύο επίπεδα σχηματίζουν γωνία ω με το οριζόντιο]

Απάντηση:

• Κινητήρια δύναμη: η συνιστώσα \( B_1\sin\omega=110\sin\omega \) του σώματος στο ΑΒ.
• Αντιστάσεις: τριβή ολίσθησης \( \eta B_1\cos\omega=33\cos\omega \), συνιστώσα της ρόδας \( B_2\sin\omega=70\sin\omega \) και αντίσταση κύλισης \( \dfrac{f}{R}B_2\cos\omega=\dfrac{0{,}40}{40}\cdot70\cos\omega=0{,}7\cos\omega \).
• Κίνηση όταν \( 110\sin\omega\ge33\cos\omega+70\sin\omega+0{,}7\cos\omega \Rightarrow 40\sin\omega\ge33{,}7\cos\omega \Rightarrow \tan\omega\ge0{,}843 \Rightarrow \omega\ge40{,}1° \).

Σύνοψη: ω min ≈ 40,1° (το βιβλίο δίνει ω = 45°).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει ω = 45°· με τα δεδομένα της εκφώνησης η οριακή γωνία προκύπτει ≈ 40,1° (για ω = 45° το σύστημα ασφαλώς κινείται).
• Η αντίσταση κύλισης είναι πολύ μικρότερη από την τριβή ολίσθησης (f/R = 0,01).

Δύναμη για ισοταχή κίνηση έλκηθρου

Ερώτηση: 5. Ένα έλκυθρο, κινούμενο πάνω σε πάγο, έχει ίδιο βάρος 700Ν. Στο έλκυθρο επιβαίνουν πέντε άνθρωποι (μέσο βάρος ο καθένας 800Ν). Ποια είναι η αναγκαία δύναμη για να κινηθεί το έλκυθρο ισοταχώς. Δίνεται συντελεστής τριβής η = 0,015

Απάντηση:

• Κάθετη δύναμη: \( F_\kappa=700+5\cdot800=4700\,Ν \).
• Ισοταχής κίνηση ⇒ F = T: \( F=\eta\,F_\kappa=0{,}015\cdot4700=70{,}5\,Ν \).

Σύνοψη: F = 70,5 Ν.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στην ισοταχή κίνηση η ελκτική δύναμη εξισώνεται με την τριβή.

Τράπεζα πλάνης

Ερώτηση: 6. Η τράπεζα μίας πλάνης κινείται με ταχύτητα U= 0,3 m/s. Το βάρος της τράπεζας αυτής είναι 9000Ν. Το μέρος της ισχύος της μηχανής που διατίθεται για την υπερνίκηση των τριβών είναι 200Κw. Μέχρι ποιο βάρος μπορεί να είναι το προς επεξεργασία εξάρτημα.

Απάντηση:

• Όπως στο παράδειγμα 1 του κεφαλαίου, ο συντελεστής τριβής χυτοσιδήρου σε χυτοσίδηρο με λίπανση είναι η = 0,07 (Πίνακας 14.4.Α).
• Ισχύς τριβής: \( P_\tau=\eta(B_\tau+B_{\epsilon\xi})\,U \Rightarrow B_{\epsilon\xi}=\dfrac{P_\tau}{\eta\,U}-B_\tau \).
• Η απάντηση του βιβλίου \( B_{\epsilon\xi}=8142{,}86\,N \) αντιστοιχεί σε \( P_\tau=0{,}07\cdot(9000+8142{,}86)\cdot0{,}3=360\,W \)· με 200 kW, όπως τυπώνεται στην εκφώνηση, το αποτέλεσμα δεν είναι ρεαλιστικό (≈ 9,5 × 10⁶ N).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Bεξ = Pτ/(η·U) − 9000 N· το βιβλίο δίνει Bεξ = 8142,86 N (αντιστοιχεί σε ισχύ τριβών 360 W με η = 0,07).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η ισχύς της εκφώνησης (200 kW) δεν συμφωνεί με την απάντηση του βιβλίου· πρέπει να ελεγχθεί.
• Ισχύς = δύναμη × ταχύτητα.

Ροπή και απώλεια ισχύος τριβέα

Ερώτηση: 7. Οι εξωτερικές δυνάμεις που δρούν πάνω σε ένα τριβέα είναι 300Ν. Αν η διάμετρος του στροφέα είναι 120mm και ο συντελεστής τριβής 0,1. Να υπολογισθεί: α) Η ροπή στρέψης της τριβής β) Η απώλεια ισχύος της τριβής τη στιγμή που ο άξονας περιστρέφεται με 250 rpm.

Απάντηση:

• α) Τριβή \( T=0{,}1\cdot300=30\,N \), ροπή \( M_t=T\cdot\dfrac{d}{2}=30\cdot0{,}06=1{,}8\,N\cdot m \).
• β) \( \omega=\dfrac{2\pi\cdot250}{60}\approx26{,}18\,rad/s \), \( P_\tau=M_t\,\omega=1{,}8\cdot26{,}18\approx47{,}1\,W \).

Σύνοψη: α) Mt = 1,8 N·m· β) Pτ ≈ 47,1 W.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει Pτ = 23,6 W, δηλαδή το μισό· με P = Mt·ω = 1,8 · 2π·250/60 προκύπτει ≈ 47,1 W.
• Η ισχύς τριβής μπορεί να βρεθεί και ως T·v, με v = π·d·n/60 ≈ 1,57 m/s.

Ασφάλεια ανελκυστήρα έναντι ολίσθησης

Ερώτηση: 8. Ανελκυστήρας τεσσάρων ατόμων, έχει γωνία περιέληξης των συρματοσχοίνων του στην τροχαλία τριβής φ=160°. Με δεδομένο ότι ο θάλαμος έχει βάρος 3000 Ν, να εξετάσετε την ασφάλεια του ανελκυστήρα αυτού από άποψη ολίσθησης των συρματοσχοίνων. Ταχύτητα ανελκυστήρα U<0,63 m/s.

Απάντηση:

• Με τα δεδομένα του παραδείγματος 1 του κεφαλαίου: ωφέλιμο φορτίο \( Q=4\cdot750=3000\,N \), θάλαμος \( P=3000\,N \), αντίβαρο \( G=P+\dfrac{Q}{2}=4500\,N \), η = 0,291, C₁ = 1,1 (U < 0,63 m/s), C₂ = 1,2.
• Άδειος θάλαμος: \( \dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{G}{P}=\dfrac{4500}{3000}=1{,}5 \)· υπερφόρτωση 25 %: \( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{1{,}25\cdot3000+3000}{4500}=1{,}5 \).
• \( \dfrac{T_1}{T_2}C_1C_2=1{,}5\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1{,}98 \) και \( e^{\eta\varphi}=e^{0{,}291\cdot2{,}793}\approx2{,}25 \) (φ = 160° = 2,793 rad).
• Αφού \( 1{,}98\le2{,}25 \), δεν υπάρχει ολίσθηση.

Σύνοψη: 1,98 ≤ e^{ηφ} ≈ 2,25· ο ανελκυστήρας δεν ολισθαίνει.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Εξετάζεται η δυσμενέστερη από τις δύο περιπτώσεις (άδειος θάλαμος ή υπερφόρτωση 25 %).
• Η γωνία περιέλιξης πρέπει να μετατραπεί σε rad.

Ελκόμενη δύναμη ιμάντα

Ερώτηση: 9. Δύο ίσες τροχαλίες περιστρέφονται με τη βοήθεια ενός ιμάντα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ ιμάντα και τροχαλιών είναι 0.4. Αν η έλκουσα δύναμη, στον ιμάντα, είναι 600Ν, να υπολογισθεί η ελκόμενη δύναμη στον άλλο κλάδο του ιμάντα.

Απάντηση:

• Ίσες τροχαλίες ⇒ γωνία επικάλυψης \( \varphi=180°=\pi\,rad \).
• \( \dfrac{S_1}{S_2}=e^{\eta\varphi}=e^{0{,}4\pi}\approx3{,}514 \Rightarrow S_2=\dfrac{600}{3{,}514}\approx170{,}76\,N \).

Σύνοψη: S₂ ≈ 170,76 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο τύπος του Euler: S₁/S₂ = e^{ηφ}, με φ σε rad.

Ταχύτητα ιμάντα

Ερώτηση: 10. Στην προηγούμενη άσκηση, αν η ακτίνα των τροχαλιών, είναι r = 20cm και η συχνότητα περιστροφής f = 240 rpm ο δε ιμάντας που χρησιμοποιείται έχει πάχος h = 25 cm, να υπολογίσετε την ταχύτητα του ιμάντα.

Απάντηση:

• Η ταχύτητα μετριέται στη μέση γραμμή του ιμάντα, σε ακτίνα \( r+\dfrac{h}{2} \).
• Με πάχος 25 mm: \( U=\omega\left(r+\dfrac{h}{2}\right)=\dfrac{2\pi\cdot240}{60}(0{,}20+0{,}0125)\approx25{,}13\cdot0{,}2125\approx5{,}3\,m/s \).

Σύνοψη: U ≈ 5,3 m/s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το πάχος του ιμάντα πρέπει να είναι 25 mm (στο βιβλίο τυπώνεται «25 cm»)· με αυτή την τιμή προκύπτει η απάντηση 5,3 m/s.
• Αν αγνοηθεί το πάχος, U = ω·r ≈ 5,03 m/s.

Ταχύτητα ιμάντα από μεταφερόμενη ισχύ

Ερώτηση: 11. Τα στοιχεία μίας απλής ιμαντοκίνησης είναι r = 0,2 m, R = 0,6 m η l = 2 m. Το πλάτος του ιμάντα είναι 80mm και η μεταφερόμενη ισχύς είναι 8Kw. Να υπολογισθεί η ταχύτητα του ιμάντα. Συντελεστής τριβής ιμάντα - τροχαλίας n = 0.25 και επιτρεπόμενη τάση για μεταφορά ισχύος στον ιμάντα 14N/mm ιμάντα.

Απάντηση:

• Γωνία επικάλυψης στη μικρή τροχαλία: \( \sin\dfrac{180°-\theta}{2}=\dfrac{R-r}{l}=\dfrac{0{,}4}{2}=0{,}2 \Rightarrow \dfrac{180°-\theta}{2}\approx11{,}54° \Rightarrow \theta\approx156{,}9°\approx2{,}739\,rad \).
• \( e^{\eta\theta}=e^{0{,}25\cdot2{,}739}\approx1{,}983 \).
• Μέγιστη έλκουσα δύναμη: \( S_1=14\cdot80=1120\,N \), οπότε \( S_1-S_2=S_1\left(1-\dfrac{1}{1{,}983}\right)\approx555\,N \).
• Ταχύτητα: \( U=\dfrac{P}{S_1-S_2}=\dfrac{8000}{555}\approx14{,}4\,m/s \).

Σύνοψη: U ≈ 14,4 m/s (βιβλίο: 14,43 m/s).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η γωνία επικάλυψης υπολογίζεται στη μικρή τροχαλία, όπου είναι μικρότερη και άρα κρίσιμη για ολίσθηση.

Ανυψωτικός κοχλίας

Ερώτηση: 12. Ένας ανυψωτικός κοχλίας έχει τα εξής στοιχεία: μέση διάμετρος D = 30mm, βήμα σπειρώματος h= 6mm, τριβή μεταξύ κοχλίου- περικοχλίου η = 0.15. Με ένα μοχλοβραχίονα μήκους l = 0,5 m και μία δύναμη Ρ = 10Ν, τι φορτίο μπορούμε να ανυψώσουμε και ποιος ο βαθμός απόδοσης του κοχλία.

Απάντηση:

• Γωνία έλικας: \( \tan\alpha=\dfrac{h}{\pi D}=\dfrac{6}{\pi\cdot30}\approx0{,}0637\Rightarrow\alpha\approx3{,}64° \)· γωνία τριβής: \( \tan\rho=0{,}15\Rightarrow\rho\approx8{,}53° \).
• Ροπή: \( P\cdot l=B\cdot\dfrac{D}{2}\tan(\alpha+\rho) \Rightarrow B=\dfrac{10\cdot0{,}5}{0{,}015\cdot\tan12{,}17°}\approx\dfrac{5}{0{,}015\cdot0{,}2157}\approx1545\,N \).
• Βαθμός απόδοσης: \( \eta_A=\dfrac{\tan\alpha}{\tan(\alpha+\rho)}=\dfrac{0{,}0637}{0{,}2157}\approx0{,}295 \).

Σύνοψη: B ≈ 1545 N· ηA ≈ 0,295 (29,5 %).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο κοχλίας λειτουργεί σαν κεκλιμένο επίπεδο «τυλιγμένο» γύρω από κύλινδρο με κλίση tanα = h/(πD).
• Αφού ηA < 0,5, ο κοχλίας είναι αυτασφαλιζόμενος (δεν κατεβαίνει μόνος του).

Ροπή φρένου με εύκαμπτη ταινία

Ερώτηση: 13. Σε ένα φρένο, με εύκαμπτη ταινία, η διάμετρος του τυμπάνου είναι 500mm, η δύναμη που ενεργεί στο άκρο του μοχλού είναι 200Ν και ο συντελεστής τριβής τυμπάνου - ταινίας είναι 0.3. Να υπολογισθεί η ροπή φρεναρίσματος, αν τα γεωμετρικά στοιχεία του φρένου είναι αυτά του σχήματος. [Σχήμα 14.8.γ: μοχλός με άρθρωση στο Β, όπου στερεώνεται το ένα άκρο της ταινίας (S_B)· το άλλο άκρο (S_Γ) στο Γ, 100 mm από το Β, υπό γωνία 60° με τον μοχλό· F στο Α, 700 mm από το Γ· γωνία περιέλιξης 250°]

Απάντηση:

• Ισορροπία μοχλού ως προς Β (η S_B περνά από το Β): \( F\cdot800=S_\Gamma\cdot100\cdot\sin60° \Rightarrow S_\Gamma=\dfrac{200\cdot800}{86{,}6}\approx1848\,N \) (χαλαρός κλάδος).
• Euler: \( \varphi=250°\approx4{,}363\,rad \), \( e^{\eta\varphi}=e^{0{,}3\cdot4{,}363}\approx3{,}70 \Rightarrow S_B\approx3{,}70\cdot1848\approx6840\,N \).
• Ροπή φρεναρίσματος: \( M_t=(S_B-S_\Gamma)\cdot r=(6840-1848)\cdot0{,}25\approx1248\,N\cdot m \).

Σύνοψη: Mt ≈ 1248 N·m (το βιβλίο δίνει 1209 N·m).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει Mt = 1209 N·m· η διαφορά οφείλεται στη στρογγυλοποίηση του όρου e^{ηφ}.
• Ο κλάδος που στερεώνεται στην άρθρωση Β δεν δίνει ροπή στον μοχλό.