Λύσεις — Κεφάλαιο 9 · Διάτμηση (σελ. 225-228) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 9 · Διάτμηση (σελ. 225-228)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Διάτμηση δακτυλίου (δέστρα)

Ερώτηση: 1. Να υπολογισθεί η τάση διάτμησης που αναπτύσσεται στο λαιμό χυτοσιδηράς δέστρας, που η διατομή της είναι κυκλικός δακτύλιος, με εξωτερική διάμετρο D = 40 cm και πάχος 3,5 cm, όταν σύρεται από εγκάρσια δύναμη F = 500 KΝ.

Απάντηση:

• Εσωτερική διάμετρος: \( d=D-2\cdot3{,}5=33\,cm \).
• Επιφάνεια: \( A=\dfrac{\pi}{4}(40^2-33^2)=\dfrac{\pi}{4}\cdot511\approx 401{,}3\,cm^2=40\,130\,mm^2 \).
• Τάση: \( \tau=\dfrac{F}{A}=\dfrac{500\,000}{40\,130}\approx 12{,}5\,N/mm^2 \).

Σύνοψη: τ ≈ 12,5 N/mm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το πάχος αφαιρείται δύο φορές από την εξωτερική διάμετρο.
• 500 kN = 500 000 N· με A σε mm² η τάση προκύπτει σε N/mm².

Πείρος σε διάτμηση

Ερώτηση: 2. Τρία ελάσματα ενώνονται με ένα πείρο, που έχει διάμετρο=18 mm. Αν η επιτρεπόμενη τάση του υλικού, από το οποίο είναι φτιαγμένος ο πείρος, είναι τΕΠ = 800 daN/cm², να υπολογισθεί το μέγιστο φορτίο, με το οποίο μπορούμε να καταπονήσουμε τον πείρο.

Απάντηση:

• Διατομή πείρου: \( A=\dfrac{\pi\cdot1{,}8^2}{4}\approx2{,}54\,cm^2 \).
• Με τρία ελάσματα (σχήμα 9.9.β: P από τη μία πλευρά, P/2 + P/2 από την άλλη) ο πείρος διατέμνεται σε δύο διατομές (διπλή διάτμηση).
• Για κυκλική διατομή το βιβλίο (§ 9.4) εφαρμόζει συντελεστή σχήματος C = 0,75: \( P_{max}=2\cdot\tau_{\epsilon\pi}\cdot A\cdot C=2\cdot800\cdot2{,}54\cdot0{,}75\approx3048\,daN \).
• \( P_{max}\approx3048\,daN=30{,}48\,kN \).

Σύνοψη: Pmax ≈ 30,48 kN (διπλή διάτμηση, C = 0,75).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Χωρίς τον συντελεστή σχήματος C θα προέκυπτε 2·800·2,54 ≈ 4070 daN· η μέθοδος του βιβλίου για κυκλική διατομή χρησιμοποιεί C = 0,75.
• Ο αριθμός των διατμητικών επιφανειών προκύπτει από το σχήμα της σύνδεσης.

Ήλωση σε διάτμηση

Ερώτηση: 3. Ήλωση σε διπλή σειρά με 8 περτσίνια, καταπονείται από δύναμη F = 280 KΝ, σε διάτμηση. Αν το υλικό των περτσινίων είναι χάλυβας υλικού st42 και ο συντελεστής ασφάλειας 4, να υπολογισθεί η διάμετρος των περτσινίων.

Απάντηση:

• Για st42: \( \sigma_{\theta\rho}=42\,daN/mm^2 \). Επιτρεπόμενη τάση διάτμησης (σχέση 9.4.α): \( \tau_{\epsilon\pi}=\dfrac{0{,}85\cdot42}{4}\approx8{,}93\,daN/mm^2 \).
• Το φορτίο \( F=280\,kN=28\,000\,daN \) μοιράζεται σε 8 περτσίνια, με συντελεστή σχήματος C = 0,75 για κυκλική διατομή: \( A=\dfrac{F}{8\cdot\tau_{\epsilon\pi}\cdot C}=\dfrac{28\,000}{8\cdot8{,}93\cdot0{,}75}\approx523\,mm^2 \).
• Διάμετρος: \( d=\sqrt{\dfrac{4\cdot523}{\pi}}\approx25{,}8\,mm\approx26\,mm \).

Σύνοψη: d ≈ 26 mm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το «42» στο st42 δίνει την τάση θραύσης σε daN/mm².
• Η επιτρεπόμενη τάση σε διάτμηση είναι 0,85 της αντίστοιχης σε εφελκυσμό.

Διάμετρος βιδών σε διπλή διάτμηση

Ερώτηση: 4. Με δύο βίδες διαμέτρου d, ενώνουμε τρία ελάσματα. Η σύνδεση καταπονείται από δύναμη F = 10000Ν. Το υλικό, από το οποίο είναι κατασκευασμένες οι βίδες, έχει όριο θραύσης, σθρ = 400N/mm². Να υπολογισθεί η αναγκαία διάμετρος του κορμού, που πρέπει να έχουν οι βίδες. Συντελεστής ασφάλειας, έστω 4.

Απάντηση:

• Επιτρεπόμενη τάση διάτμησης: \( \tau_{\epsilon\pi}=\dfrac{0{,}85\cdot400}{4}=85\,N/mm^2 \).
• Τρία ελάσματα → κάθε βίδα διατέμνεται σε 2 διατομές· με 2 βίδες έχουμε 4 διατμητικές επιφάνειες.
• \( A=\dfrac{F}{4\cdot\tau_{\epsilon\pi}\cdot C}=\dfrac{10\,000}{4\cdot85\cdot0{,}75}\approx39{,}2\,mm^2\Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{4\cdot39{,}2}{\pi}}\approx7{,}1\,mm \).
• Επιλέγουμε την αμέσως μεγαλύτερη τυποποιημένη διάμετρο: d = 8 mm.

Σύνοψη: d ≈ 7,1 mm → d = 8 mm (τυποποιημένη).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η διάμετρος στρογγυλεύεται πάντα προς τα πάνω, ώστε να μην ξεπερνιέται η επιτρεπόμενη τάση.

Δύναμη κοπής λάμας

Ερώτηση: 5. Θέλουμε να κόψουμε λάμα 10x60 mm σε μηχανικό ψαλίδι. Να υπολογισθεί η αναγκαία δύναμη κοπής, αν το υλικό της λάμας είναι st37.

Απάντηση:

• Για st37: \( \sigma_{\theta\rho}=37\,daN/mm^2=370\,N/mm^2 \)· τάση θραύσης σε διάτμηση \( \tau_{\theta\rho}=0{,}85\cdot370=314{,}5\,N/mm^2 \).
• Επιφάνεια κοπής: \( A=10\cdot60=600\,mm^2 \).
• Δύναμη κοπής: \( F=A\cdot\tau_{\theta\rho}=600\cdot314{,}5=188\,700\,N=188{,}7\,kN \).

Σύνοψη: F ≈ 188,7 kN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στο ψαλίδι δουλεύουμε στο όριο θραύσης, άρα χρησιμοποιείται η τάση θραύσης, όχι η επιτρεπόμενη.
• Στο παράδειγμα 3 του κεφαλαίου χρησιμοποιείται τθρ = 0,80σθρ· με αυτή την τιμή η δύναμη θα ήταν ≈ 177,6 kN.

Δύναμη κοπής σε πρέσα

Ερώτηση: 6. Σε πρέσσα θα κόψουμε κομμάτια, όπως δείχνει το παραπλεύρως σχήμα, από λαμαρίνα πάχους t = 2 mm και υλικό με όριο θραύσης σθρ = 300 Ν/mm². Nα υπολογίσετε την αναγκαία δύναμη κοπής, που πρέπει να αναπτύξει η πρέσσα. [Σχήμα 9.9.ε: κομμάτι 200 mm × 100 mm με εγκοπές πλάτους 80 mm και βάθους 2 mm στην πάνω και στην κάτω πλευρά και δύο οπές Φ5]

Απάντηση:

• Μήκος κοπής (εξωτερικό περίγραμμα): \( 2\cdot200+2\cdot100+4\cdot2=608\,mm \) (κάθε εγκοπή προσθέτει τις δύο πλευρές βάθους της).
• Επιφάνεια κοπής: \( A=608\cdot2=1216\,mm^2 \).
• Δύναμη κοπής: \( \tau_{\theta\rho}=0{,}85\cdot300=255\,N/mm^2 \Rightarrow F=1216\cdot255=310\,080\,N\approx310{,}1\,kN \).

Σύνοψη: Fθρ ≈ 310,1 kN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Αν οι δύο οπές Φ5 ανοίγονται στην ίδια διαδρομή της πρέσας, το μήκος κοπής αυξάνεται κατά 2·π·5 ≈ 31,4 mm και η δύναμη γίνεται ≈ 326 kN.
• Επιφάνεια κοπής = μήκος περιγράμματος × πάχος λαμαρίνας.

Δύναμη κοπής άξονα

Ερώτηση: 7. Κόβουμε έναν άξονα με d = 6mm. Αν η τάση θραύσης είναι σθρ= 370 N/mm², ποια είναι η δύναμη κοπής ;

Απάντηση:

• Διατομή: \( A=\dfrac{\pi\cdot6^2}{4}\approx28{,}27\,mm^2 \).
• Τάση θραύσης σε διάτμηση: \( \tau_{\theta\rho}=0{,}85\cdot370=314{,}5\,N/mm^2 \).
• Δύναμη κοπής (κυκλική διατομή, C = 0,75): \( P_\kappa=A\cdot\tau_{\theta\rho}\cdot C=28{,}27\cdot314{,}5\cdot0{,}75\approx6670\,N\approx6{,}7\,kN \).

Σύνοψη: Pκ ≈ 6,7 kN.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο συντελεστής σχήματος C = 0,75 για κυκλική διατομή (§ 9.4) δίνει την τιμή του βιβλίου.

Διατμητική τάση σφήνας

Ερώτηση: 8. Μία σφήνα, ύψους 10 mm, πλάτους 10 mm και μήκους 75 mm, συνδέει έναν άξονα, διαμέτρου d = 50 mm, με μία τροχαλία που κινείται από μία ροπή Μt = 1 KNm. Να υπολογισθεί η αναπτυσσόμενη διατμητική τάση στη σφήνα.

Απάντηση:

• Δύναμη στη σφήνα (στην περιφέρεια του άξονα): \( F=\dfrac{M_t}{d/2}=\dfrac{1000\,N\cdot m}{0{,}025\,m}=40\,000\,N \).
• Διατεμνόμενη επιφάνεια: πλάτος × μήκος \( =10\cdot75=750\,mm^2 \).
• Τάση: \( \tau=\dfrac{40\,000}{750}\approx53{,}3\,N/mm^2=53{,}3\,MPa \).

Σύνοψη: τ ≈ 53,3 MPa (N/mm²).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στο βιβλίο η μονάδα τυπώνεται «Μα»· εννοείται MPa = N/mm².
• Η σφήνα διατέμνεται στο επίπεδο επαφής άξονα–πλήμνης (πλάτος × μήκος).

Σφήνα και μοχλός

Ερώτηση: 9. Με ένα μοχλό, μήκους 640 mm, στρέφουμε έναν άξονα, διαμέτρου 80 mm, με τον οποίο συνδέεται με μία σφήνα, πλάτους 8 mm και μήκους 30 mm. Αν το υλικό της σφήνας έχει επιτρεπόμενη τάση σε διάτμηση, 45 N/mm², να υπολογισθούν: α. Η μέγιστη δύναμη Fm, που αντέχει η σφήνα και β. Η αντίστοιχη μέγιστη δύναμη Pm, που πρέπει να εφαρμόσουμε στο άκρο του μοχλού.

Απάντηση:

• α) Διατεμνόμενη επιφάνεια \( A=8\cdot30=240\,mm^2 \)· \( F_m=\tau_{\epsilon\pi}\cdot A=45\cdot240=10\,800\,N=10{,}8\,kN \).
• β) Ισορροπία ροπών ως προς τον άξονα: η Fm ενεργεί σε ακτίνα 40 mm και η Pm σε 640 mm (40 + 600, σχήμα 9.9.η): \( P_m\cdot640=F_m\cdot40\Rightarrow P_m=\dfrac{10\,800\cdot40}{640}=675\,N \).

Σύνοψη: α) Fm = 10,8 kN· β) Pm = 675 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο μοχλοβραχίονας της Pm μετριέται από τον άξονα περιστροφής (640 mm).

Διατμητική τάση κόλλησης

Ερώτηση: 10. Δύο πλάκες με το ίδιο πάχος t και πλάτος α, είναι κολλημένες, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να ορίσετε τη μέγιστη διατμητική τάση στην κόλληση, που αντιστοιχεί σε φορτίο Ρ.

Απάντηση:

• Η σύνδεση έχει δύο γωνιακές ραφές (ΑΒ και ΔΕ). Η επικίνδυνη διατομή κάθε ραφής είναι στο ύψος του τριγώνου: \( t\cdot\sin45°=0{,}707\,t \), σε μήκος α.
• Συνολική επιφάνεια: \( A=2\cdot0{,}707\,t\cdot\alpha=1{,}414\,t\,\alpha \).
• Τάση: \( \tau=\dfrac{P}{1{,}414\,t\,\alpha}=\dfrac{0{,}707\,P}{t\cdot\alpha} \).

Σύνοψη: τ = 0,707·P / (t·α).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στην απάντηση του βιβλίου ο παρονομαστής τυπώνεται «τ·α»· εννοείται t·α (πάχος × πλάτος).
• Το φορτίο μοιράζεται στις δύο ραφές.