Λύσεις — Κεφάλαιο 16 · Υδροδυναμική (σελ. 471-473) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 16 · Υδροδυναμική (σελ. 471-473)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Ταχύτητα εκροής ΚΑΙ παροχή (Torricelli)

Ερώτηση: 1. Δεξαμενή περιέχει νερό, στο ίδιο πάντα ύψος. Στο κάτω μέρος της δεξαμενής, σε απόσταση 2,5m από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, υπάρχει κρουνός, με εμβαδόν διατομής 4cm². Ποιά είναι η ταχύτητα εκροής του νερού και ποιά η παροχή του κρουνού.

Απάντηση:

• Torricelli: \( v=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2{,}5}=\sqrt{49{,}05}\approx 7\,m/s \).
• Παροχή: \( Q=v\cdot A=700\,cm/s\cdot4\,cm^2=2800\,cm^3/s \) (= 2,8 L/s).

Σύνοψη: v = 7 m/s, Q = 2800 cm³/s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η ταχύτητα πρέπει να μετατραπεί σε cm/s για να δώσει παροχή σε cm³/s.

Παροχή πλήρωσης δεξαμενής

Ερώτηση: 2. Κρουνός με διατομή Α = 15cm² γεμίζει μια κυκλική υδαταποθήκη, διαμέτρου d = 2 m και ωφέλιμου ύψους h=3m σε t=4h 42΄ 54΄΄. Πόση είναι η παροχή Q του κρουνού και πόση η ταχύτητα εκροής του νερού από τον κρουνό.

Απάντηση:

• Όγκος: \( V=\dfrac{\pi d^2}{4}h=\dfrac{\pi\cdot2^2}{4}\cdot3\approx 9{,}42\,m^3 \)· χρόνος \( t=4+\dfrac{42}{60}+\dfrac{54}{3600}\approx4{,}715\,h \).
• Παροχή: \( Q=\dfrac{V}{t}=\dfrac{9{,}42}{4{,}715}\approx 2\,m^3/h \).
• Ταχύτητα: \( Q=\dfrac{2}{3600}\,m^3/s\approx5{,}56\times10^{-4}\,m^3/s \), \( v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{5{,}56\times10^{-4}}{15\times10^{-4}}\approx 0{,}37\,m/s \).

Σύνοψη: Q = 2 m³/h, v ≈ 0,37 m/s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο χρόνος σε ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα μετατρέπεται σε δεκαδικό αριθμό ωρών.
• Για την ταχύτητα η παροχή μετατρέπεται σε m³/s.

Όγκος ροής σωλήνα

Ερώτηση: 3. Ένας σωλήνας έχει εμβαδόν διατομής 120 cm². Από τον σωλήνα ρέει νερό με ταχύτητα υ = 4Κm/h. Πόσο όγκο νερού θα δώσει ο σωλήνας σε μία μέρα;

Απάντηση:

• Ταχύτητα: \( v=4\,km/h=\dfrac{400\,000\,cm}{3600\,s}\approx 111{,}1\,cm/s \).
• Παροχή: \( Q=v\cdot A=111{,}1\cdot120\approx 13\,333\,cm^3/s \).
• Όγκος σε μία μέρα: \( V=Q\cdot t=13\,333\cdot86\,400\approx 1{,}152\times10^9\,cm^3=1152\,m^3 \).

Σύνοψη: V ≈ 1152 m³ σε μία μέρα.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Πιο σύντομα: V = A·v·t = 0,012 m² · 4000 m/h · 24 h = 1152 m³.

Κόμβος αγωγών (συνέχεια)

Ερώτηση: 4. Σε ένα κόμβο αγωγών, όπως φαίνεται στο σχήμα κινείται υγρό. Στην είσοδο του κόμβου στη θέση Α η διάμετρος είναι dA = 450 mm, στη θέση Β είναι dB = 300mm. Στο Β γίνεται διακλάδωση σε δύο σκέλη. Οι διάμετροι είναι dΓ = 150mm και dΔ = 225 mm. Μετρήθηκαν οι ταχύτητες του υγρού στις θέσεις Α και Δ και ευρέθησαν VA = 1.8 m/s και VΔ= 3,6 m/s. Να υπολογισθούν α) Οι παροχές στις θέσεις Γ και Δ β) Οι ταχύτητες στις θέσεις Β και Γ

Απάντηση:

• Συνολική παροχή: \( Q=V_A\dfrac{\pi d_A^2}{4}=1{,}8\cdot\dfrac{\pi\cdot0{,}45^2}{4}\approx0{,}286\,m^3/s \).
• α) \( Q_\Delta=3{,}6\cdot\dfrac{\pi\cdot0{,}225^2}{4}\approx0{,}143\,m^3/s \), \( Q_\Gamma=Q-Q_\Delta\approx0{,}143\,m^3/s \).
• β) \( V_B=\dfrac{Q}{\pi\cdot0{,}3^2/4}\approx\dfrac{0{,}286}{0{,}0707}\approx4{,}05\,m/s \), \( V_\Gamma=\dfrac{0{,}143}{\pi\cdot0{,}15^2/4}\approx8{,}1\,m/s \).

Σύνοψη: α) QΓ ≈ 0,143 m³/s, QΔ ≈ 0,143 m³/s· β) VB ≈ 4,05 m/s, VΓ ≈ 8,1 m/s.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει VB = 4,99 m/s· από τον νόμο της συνέχειας (A_A·V_A = A_B·V_B) προκύπτει VB = 1,8·(450/300)² = 4,05 m/s.
• Στη διακλάδωση η παροχή που μπαίνει ισούται με το άθροισμα των παροχών που βγαίνουν.

Bernoulli σε οριζόντιο διευρυνόμενο σωλήνα

Ερώτηση: 5. Οριζόντιος σωλήνας διευρύνεται ομαλά από μία διάμετρο 75 mm σε 150mm κατά διεύθυνση ροής του νερού. Αν η ροή έχει παροχή Q = 85×10³cm³/s, το μανόμετρο στη διατομή με διάμετρο τα 75 mm δείχνει p₁ = 200 ΚΡα. Ποια θα είναι η ένδειξη του μανομέτρου στη διατομή με διάμετρο τα 150 mm.

Απάντηση:

• \( Q=0{,}085\,m^3/s \)· \( V_1=\dfrac{0{,}085}{\pi\cdot0{,}075^2/4}\approx19{,}24\,m/s \), \( V_2=\dfrac{0{,}085}{\pi\cdot0{,}15^2/4}\approx4{,}81\,m/s \).
• Bernoulli (ίδιο ύψος): \( p_2=p_1+\dfrac{\rho}{2}(V_1^2-V_2^2)=200\,000+500(370{,}2-23{,}1)\approx373\,500\,Pa \).

Σύνοψη: p₂ ≈ 373,5 kPa.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Όταν ο σωλήνας διευρύνεται, η ταχύτητα μειώνεται και η πίεση αυξάνεται.
• Με διπλάσια διάμετρο η ταχύτητα γίνεται τέσσερις φορές μικρότερη.

Bernoulli σε κατακόρυφο σωλήνα

Ερώτηση: 6. Εάν ο σωλήνας του προηγούμενου προβλήματος είναι κατακόρυφος, με τη διατομή με τη μικρή διάμετρο προς τα κάτω και τη ροή του νερού προς τα πάνω, ποια θα είναι η ένδειξη του μανομέτρου στη θέση (2) αν η απόσταση των δύο διατομών είναι 6m.

Απάντηση:

• Στο Bernoulli προστίθεται η υψομετρική διαφορά: \( p_2=p_1+\dfrac{\rho}{2}(V_1^2-V_2^2)-\rho g\,\Delta z \).
• \( p_2\approx373{,}5-1000\cdot9{,}81\cdot6/1000\approx373{,}5-58{,}9\approx314{,}6\,kPa \).

Σύνοψη: p₂ ≈ 314 kPa.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η άνοδος κατά 6 m μειώνει την πίεση κατά ρgΔz ≈ 58,9 kPa.

Διάμετρος δέσμης πίδακα

Ερώτηση: 7. Από πίδακα διαμέτρου 25mm φεύγει δύναμη νερού με ταχύτητα 12 m/s προς τα πάνω. Να υπολογισθεί η διάμετρος της δέσμης του νερού σε ύψος 4.5 m πάνω από τον πίδακα. (Οι απώλειες να θεωρηθούν αμελητέες).

Απάντηση:

• Ταχύτητα στα 4,5 m (Bernoulli, ατμοσφαιρική πίεση και στις δύο θέσεις): \( V_2=\sqrt{V_1^2-2gh}=\sqrt{144-2\cdot9{,}81\cdot4{,}5}\approx7{,}46\,m/s \).
• Συνέχεια: \( d_1^2V_1=d_2^2V_2\Rightarrow d_2=25\sqrt{\dfrac{12}{7{,}46}}\approx31{,}7\,mm\approx32\,mm \).

Σύνοψη: d₂ ≈ 32 mm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Καθώς η δέσμη ανεβαίνει επιβραδύνεται, οπότε η διατομή της μεγαλώνει.

Μετρητής Βεντούρι

Ερώτηση: 8. Ένας μετρητής Βεντούρι έχει διάμετρο εισόδου 150mm και διάμετρο λαιμού 75 mm. Ποιά η ένδειξη του οργάνου, σε, μεταξύ της εισόδου και του λαιμού, αν η ποσότητα του νερού που διέρχεται δια του οργάνου είναι Q = 0,04 m³/s.

Απάντηση:

• \( V_1=\dfrac{0{,}04}{\pi\cdot0{,}15^2/4}\approx2{,}26\,m/s \), \( V_2=\dfrac{0{,}04}{\pi\cdot0{,}075^2/4}\approx9{,}05\,m/s \).
• Bernoulli: \( h=\dfrac{p_1-p_2}{\rho g}=\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2g}=\dfrac{81{,}97-5{,}12}{19{,}62}\approx3{,}9\,m \) (στήλη νερού).

Σύνοψη: h ≈ 3,9 m στήλης νερού.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στον λαιμό η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη και η πίεση μικρότερη.

Πτώση πίεσης σε αγωγό

Ερώτηση: 9. Να υπολογίσετε τη πτώση πίεσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται σε ένα ευθύγραμμο σωλήνα, σε απόσταση μεταξύ τους 800m. Ο σωλήνας έχει διάμετρο 150mm και η παροχή του είναι 0, 0125 m³/s. Δίδονται συντελεστής απωλειών ζ = 0,21 N/m, πυκνότητα νερού ρ= 1000 kg/m³

Απάντηση:

• Μέση ταχύτητα: \( V_m=\dfrac{0{,}0125}{\pi\cdot0{,}15^2/4}\approx0{,}707\,m/s \).
• Απώλειες (ζ = 0,21 ανά m μήκους αγωγού): \( h=\zeta\,L\,\dfrac{V_m^2}{2g}=0{,}21\cdot800\cdot\dfrac{0{,}707^2}{19{,}62}\approx4{,}28\,m \).
• Πτώση πίεσης: \( \Delta p=\rho g h\approx1000\cdot9{,}81\cdot4{,}28\approx42\,000\,Pa\approx42\,kPa \).

Σύνοψη: Δp ≈ 42 kPa (βιβλίο: 41,98 kPa).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο συντελεστής ζ της εκφώνησης αναφέρεται ανά μέτρο μήκους αγωγού, γι' αυτό πολλαπλασιάζεται με τα 800 m.
• Οι απώλειες είναι ανάλογες του τετραγώνου της ταχύτητας.

Πραγματική εκροή από οπή

Ερώτηση: 10. Να υπολογίσετε την πραγματική παροχή τη πραγματική ταχύτητα εκροής και τη πραγματική διάμετρο της φλέβας νερού που εκρέει, από μία οπή διαμέτρου d = 40mm που είναι στη πλευρά υδαποθήκης η οποία έχει, σταθερά, ύψος νερού 6m. Δίδονται συντελεστής μείωσης ταχύτητας Cv= 0,98 και συντελεστής συστολής Cc= 0,66.

Απάντηση:

• Θεωρητική ταχύτητα: \( V=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot6}\approx10{,}85\,m/s \)· πραγματική: \( V_\pi=C_v V\approx10{,}6\,m/s \).
• Διατομή φλέβας: \( A_\pi=C_c\dfrac{\pi\cdot0{,}04^2}{4}\approx0{,}66\cdot1{,}257\times10^{-3}\approx8{,}29\times10^{-4}\,m^2 \)· \( d_\pi=40\sqrt{0{,}66}\approx32{,}5\,mm \).
• Πραγματική παροχή: \( Q_\pi=A_\pi V_\pi\approx8{,}29\times10^{-4}\cdot10{,}63\approx0{,}0088\,m^3/s \).

Σύνοψη: Qπ ≈ 0,0088 m³/s, Vπ ≈ 10,6 m/s, dπ ≈ 32,5 mm (βιβλίο: 0,00888 m³/s, 10,6 m/s, 32,7 mm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο συντελεστής Cv μειώνει την ταχύτητα, ο Cc τη διατομή της φλέβας· το γινόμενό τους είναι ο συντελεστής παροχής.
• Η διάμετρος της φλέβας μειώνεται κατά √Cc.