Λύσεις — Κεφάλαιο 15 · Υδροστατική (σελ. 444-445) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 15 · Υδροστατική (σελ. 444-445)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Μονάδες πίεσης

Ερώτηση: 1. Μία φυσική ατμόσφαιρα (at) είναι 9,81 × 10⁴N/m². Μετρώντας με τα βαρόμετρα λέμε ότι 1 αt είναι (1) ίση με 760 mm Hg (2) ίση με 10333 mm Η₂O. Να βρείτε τις σχέσεις μεταξύ mm Hg, mm Η₂O και N/m².

Απάντηση:

• mmHg ↔ mmH₂O: \( 1\,mmHg=\dfrac{10333}{760}\approx 13{,}6\,mmH_2O \) και \( 1\,mmH_2O=\dfrac{760}{10333}\approx 0{,}0735\,mmHg \).
• Σε N/m²: \( 1\,mmHg=\dfrac{9{,}81\times10^4}{760}\approx 129{,}08\,N/m^2 \), \( 1\,mmH_2O=\dfrac{9{,}81\times10^4}{10333}\approx 9{,}49\,N/m^2 \).

Σύνοψη: 1 mmHg=13,6 mmH₂O=129,08 N/m²· 1 mmH₂O=0,0735 mmHg=9,49 N/m².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Όλες οι σχέσεις προκύπτουν διαιρώντας τις ισοδύναμες εκφράσεις της ίδιας πίεσης (1 at).

Πίεση ΚΑΙ δύναμη στη βάση

Ερώτηση: 2. Μία υδαταποθήκη σχήματος παραλληλεπιπέδου με βάση 6m×4m, περιέχει νερό σε ύψος 3m. Ποια είναι η πίεση στη βάση της υδαταποθήκης και ποια είναι η ολική δύναμη που ασκεί το περιεχόμενο νερό στη βάση.

Απάντηση:

• Πίεση: \( P=w\,h=9{,}81\cdot3=29{,}43\,kN/m^2 \).
• Δύναμη: \( F=P\cdot A=29{,}43\cdot(6\cdot4)=29{,}43\cdot24\approx 706\,kN \).

Σύνοψη: P = 29,43 kN/m²· F ≈ 706 kN (το βιβλίο δίνει 705 kN).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η δύναμη στον πυθμένα εξαρτάται μόνο από το βάθος και το εμβαδόν του πυθμένα.

Διαφορά πίεσης δύο υγρών

Ερώτηση: 3. Σε ένα δοχείο υπάρχουν δύο υγρά (τα οποία δεν αναμιγνύονται ούτε αντιδρούν χημικά μεταξύ τους). Το υγρό (1) έχει ειδικό βάρος w₁ = 10 KN/m³ και το (2) w₂ = 9,8 KN/m³. Ποιά είναι η διαφορά πίεσης, μεταξύ των σημείων Α και Β. Δίνονται h₁ = 0,7m, h₂ = 1,2m, h₃ = 2,4m. [Σχήμα 15.10.α: το υγρό (1) βρίσκεται από την ελεύθερη επιφάνεια ως βάθος h₂· το Α σε βάθος h₁ στο υγρό (1), το Β σε βάθος h₃ στο υγρό (2)]

Απάντηση:

• Πίεση στο Α: \( p_A=w_1h_1=10\cdot0{,}7=7\,kN/m^2 \).
• Πίεση στο Β: \( p_B=w_1h_2+w_2(h_3-h_2)=10\cdot1{,}2+9{,}8\cdot1{,}2=23{,}76\,kN/m^2 \).
• Διαφορά: \( \Delta p=p_B-p_A=16{,}76\,kN/m^2\approx16{,}8\,kN/m^2 \).

Σύνοψη: Δp ≈ 16,8 kN/m² (το βιβλίο δίνει 16,9 kN/m²).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κάθε στρώμα υγρού συνεισφέρει w·h με το δικό του ειδικό βάρος.
• Η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια απαλείφεται στη διαφορά.

Δύναμη σε πώμα

Ερώτηση: 4. Ποια δύναμη πιέζει πώμα, εμβαδού 4cm² που κλείνει μία οπή σε βάθος 1,5 σε ένα δοχείο που περιέχει υγρό ειδικού βάρους w = 9,65 KN/m³.

Απάντηση:

• Πίεση (βάθος 1,5 m): \( p=w\,h=9650\cdot1{,}5=14\,475\,N/m^2 \).
• Δύναμη: \( F=p\cdot A=14\,475\cdot4\times10^{-4}\approx5{,}79\,N \).

Σύνοψη: F ≈ 5,79 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• 4 cm² = 4 × 10⁻⁴ m².

Υδραυλικό πιεστήριο

Ερώτηση: 5. Το εμβαδόν του μεγάλου εμβόλου ενός υδραυλικού πιεστηρίου είναι Amax = 150cm² και του μικρού Amin = 50cm². Αν πάνω στο μικρό έμβολο ασκήσουμε κάθετα μία δύναμη F₁ = 25Ν, πόση θα είναι η δύναμη F₂ που θα εμφανισθεί στο μεγάλο έμβολο.

Απάντηση:

• Αρχή του Pascal: \( \dfrac{F_1}{A_{min}}=\dfrac{F_2}{A_{max}} \Rightarrow F_2=25\cdot\dfrac{150}{50}=75\,N \).

Σύνοψη: F₂ = 75 N.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η δύναμη πολλαπλασιάζεται με τον λόγο των εμβαδών, όχι των διαμέτρων.

Υδροστατικό παράδοξο (βαρέλι)

Ερώτηση: 6. Ένα κυλινδρικό βαρέλι έχει εμβαδόν βάσης 0,6 m² και ύψος 1m. Αν το βαρέλι είναι τελείως γεμάτο με νερό, ποια δύναμη ασκείται στον πυθμένα του; Αν στη συνέχεια εφαρμόσουμε στο πάνω μέρος του βαρελιού ένα σωλήνα διατομής, 5 cm² και συμπληρώσουμε άλλο ένα μέτρο νερό, ποια θα είναι η νέα δύναμη που θα ασκείται στον πυθμένα; Να ευρεθούν, επίσης, τα ποσοστά αύξησης της ποσότητας του νερού και το αντίστοιχο της αύξησης της δύναμης πάνω στον πυθμένα (w =10⁴ N/m²).

Απάντηση:

• Αρχικά: \( F_1=w\,h\,A=10^4\cdot1\cdot0{,}6=6000\,N=6\,kN \).
• Με τον σωλήνα (ύψος νερού 2 m): \( F_2=10^4\cdot2\cdot0{,}6=12\,kN \) — αύξηση δύναμης 100 %.
• Αύξηση νερού: \( \Delta V=5\times10^{-4}\cdot1=5\times10^{-4}\,m^3 \) πάνω σε \( V=0{,}6\,m^3 \): \( \dfrac{5\times10^{-4}}{0{,}6}\approx0{,}083\,\% \).

Σύνοψη: F₁ = 6 kN, F₂ = 12 kN· αύξηση δύναμης 100 %, αύξηση ποσότητας νερού ≈ 0,083 %.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η δύναμη στον πυθμένα εξαρτάται από το ύψος της στήλης και όχι από την ποσότητα του νερού (υδροστατικό παράδοξο).
• Το ειδικό βάρος του νερού είναι 10⁴ N/m³ (στο βιβλίο η μονάδα τυπώνεται N/m²).

Ειδικό βάρος από ζύγιση σε νερό

Ερώτηση: 7. Ένα ομοιογενές σώμα ζυγιζόμενο στον αέρα έχει βάρος Β₁ = 4Ν. Όταν είναι βυθισμένο στο νερό ζυγίζει Β₂ = 3Ν. Το ειδικό βάρος του νερού είναι w = 99,86 N/m³. Ποιό είναι το ειδικό βάρος του σώματος αν η άνωση στον αέρα θεωρηθεί αμελητέα.

Απάντηση:

• Άνωση: \( A=B_1-B_2=1\,N=w_{\nu}\,V \Rightarrow V=\dfrac{1}{w_\nu} \).
• Ειδικό βάρος σώματος: \( w_\sigma=\dfrac{B_1}{V}=\dfrac{B_1}{B_1-B_2}\,w_\nu=4\,w_\nu \).
• Με \( w_\nu=9986\,N/m^3 \): \( w_\sigma=4\cdot9986\approx39\,944\,N/m^3\approx40\,kN/m^3 \).

Σύνοψη: w ≈ 40 kN/m³ (τετραπλάσιο του νερού).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το ειδικό βάρος του νερού είναι 9986 N/m³ ≈ 9,99 kN/m³ (στο βιβλίο τυπώνεται «99,86 N/m³»).
• Ο λόγος B₁/(B₁ − B₂) δίνει κατευθείαν πόσες φορές βαρύτερο είναι το σώμα από το νερό.

Διαφορικό μανόμετρο

Ερώτηση: 8. Ένα διαφορικό μανόμετρο χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της διαφοράς πίεσης μεταξύ δύο σωλήνων που μεταφέρουν νερό. Το χρησιμοποιούμενο υγρό του μανομέτρου έχει ειδικό βάρος 1,6 N/m³ και οι ενδείξεις του οργάνου είναι h= 30 cm και Χ = 10 cm. Ποια η διαφορά πίεσης των σωλήνων. [Σχήμα 15.10.β: οι σωλήνες Α και Β στο ίδιο ύψος· στο αριστερό σκέλος το μανομετρικό υγρό ανεβαίνει κατά X πάνω από τη στάθμη 2–3, το h μετριέται από τον άξονα του Β ως τη στάθμη 2–3]

Απάντηση:

• Το μανομετρικό υγρό έχει ειδικό βάρος 1,6 φορές του νερού: \( w_\mu=1{,}6\cdot9810=15\,696\,N/m^3 \).
• Ίσες πιέσεις στη στάθμη 2–3: \( p_B+w\,h=p_A+w(h-X)+w_\mu X \Rightarrow p_B-p_A=(w_\mu-w)X \).
• \( \Delta p=(15\,696-9810)\cdot0{,}10=0{,}6\cdot9810\cdot0{,}10\approx588{,}6\,N/m^2 \) (μεγαλύτερη πίεση στο Β).

Σύνοψη: Δp_AB ≈ 588,6 N/m².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το «1,6» της εκφώνησης είναι το σχετικό ειδικό βάρος του μανομετρικού υγρού ως προς το νερό.
• Σε διαφορικό μανόμετρο με νερό στους σωλήνες μετράει η διαφορά ειδικών βαρών (w_μ − w).

Υδραυλικός γρύλος

Ερώτηση: 9. Υδραυλικός γρύλος έχει 40 cm διάμετρο στο μεγάλο έμβολο και 10 cm στο μικρό. Χρησιμοποιείται για την ανύψωση το πολύ 15 KΝ. Να υπολογισθεί η αναγκαία δύναμη στο μικρό έμβολο και η πίεση που επικρατεί μέσα στο γρύλο.

Απάντηση:

• Δύναμη στο μικρό έμβολο: \( F_A=15\,000\cdot\left(\dfrac{10}{40}\right)^2=\dfrac{15\,000}{16}=937{,}5\,N \).
• Πίεση: \( p=\dfrac{15\,000}{\pi\cdot0{,}2^2}\approx1{,}19\times10^5\,N/m^2 \).

Σύνοψη: FA ≈ 937 N· p ≈ 1,19 × 10⁵ N/m².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει P = 11,9 × 10⁶ N/m²· από p = F/A με A = π·0,2² m² προκύπτει 1,19 × 10⁵ N/m².
• Ο λόγος των εμβαδών είναι το τετράγωνο του λόγου των διαμέτρων.