Λύσεις — Κεφάλαιο 4 · Κέντρο βάρους – Ευστάθεια (σελ. 91-93) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 4 · Κέντρο βάρους – Ευστάθεια (σελ. 91-93) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 4 · Κέντρο βάρους – Ευστάθεια (σελ. 91-93)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Κ.Β. συστήματος σωμάτων

Ερώτηση: 1. Να προσδιοριστεί το Κ.Β. των σωμάτων A (F₁ = 15 Ν), Β (F₂ = 5 Ν), Γ (F₃ = 10 Ν), που βρίσκονται στην ίδια ευθεία. [Σχήμα: x₁ = ΑΒ = 10 cm, x₂ = ΒΓ = 10 cm] 2. Να προσδιοριστεί το Κ.Β. των σωμάτων A (F₁ = 10 Ν), Β (F₂ = 4 Ν), Γ (F₃ = 2 Ν), που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (διαστάσεις σε cm). [Σχήμα: Α(40, 80), Β(80, 120), Γ(120, 50)] 3. Να προσδιοριστεί το Κ.Β. του ομογενούς στερεού σώματος, που φαίνεται στο σχήμα (διαστάσεις σε cm). [Σχήμα: ορθογώνιο πρίσμα 14 × 12 × 6 (μήκος × πλάτος × ύψος) και πάνω του, στο ένα άκρο του μήκους, πρίσμα 6 × 12 × 6· συνολικό ύψος 12]

Απάντηση:

Άσκηση 1 (αρχή στο Α): \( x_G=\dfrac{15\cdot0+5\cdot10+10\cdot20}{15+5+10}=\dfrac{250}{30}\approx8{,}33\,cm \) από το Α, πάνω στην ευθεία ΑΓ.
Άσκηση 2: \( x_G=\dfrac{10\cdot40+4\cdot80+2\cdot120}{16}=\dfrac{960}{16}=60\,cm \), \( y_G=\dfrac{10\cdot80+4\cdot120+2\cdot50}{16}=\dfrac{1380}{16}=86{,}25\,cm \).
Άσκηση 3: χωρίζουμε σε δύο ορθογώνια πρίσματα. Κάτω: \( V_1=14\cdot12\cdot6=1008\,cm^3 \), κέντρο (7, 3, 6)· πάνω: \( V_2=6\cdot12\cdot6=432\,cm^3 \), κέντρο (11, 9, 6), με x κατά το μήκος των 14 cm από το χαμηλό άκρο, y το ύψος, z κατά το πλάτος των 12 cm.
\( x_G=\dfrac{1008\cdot7+432\cdot11}{1440}=8{,}2\,cm \), \( y_G=\dfrac{1008\cdot3+432\cdot9}{1440}=4{,}8\,cm \), \( z_G=6\,cm \) (επίπεδο συμμετρίας).

Σύνοψη: Άσκ. 1: 8,33 cm από το Α. Άσκ. 2: Κ.Β. (60 cm, 86,25 cm). Άσκ. 3: x = 8,2 cm, y = 4,8 cm, z = 6 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Στα σώματα με βάρη το Κ.Β. βρίσκεται με το θεώρημα των ροπών· στο ομογενές στερεό τα βάρη αντικαθίστανται από τους όγκους.
Όπου υπάρχει επίπεδο συμμετρίας, το Κ.Β. βρίσκεται πάνω σε αυτό.

Κεντροειδές ημιπεριφέρειας ΚΑΙ τεταρτημορίου

Ερώτηση: 4. Να προσδιορίσετε το κεντροειδές μιας ημιπεριφέρειας ακτίνας 1,20m με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο. 5. Να προσδιορίσετε το κεντροειδές ενός τεταρτημορίου περιφέρειας ακτίνας 1,50 m με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο.

Απάντηση:

Ημιπεριφέρεια R = 1,20 m: το κεντροειδές βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας, σε απόσταση \( d=\dfrac{2R}{\pi}=\dfrac{2\cdot1{,}20}{\pi}\approx 0{,}764\,m \) από το κέντρο.
Τεταρτημόριο περιφέρειας R = 1,50 m: βρίσκεται στη διχοτόμο της ορθής γωνίας, σε απόσταση \( \dfrac{2R}{\pi}=\dfrac{2\cdot1{,}50}{\pi}\approx0{,}955\,m \) από κάθε ακτίνα-όριο, δηλαδή \( x_G=y_G\approx0{,}955\,m \) (απόσταση από το κέντρο ≈ 1,35 m).
Γραφικά: χωρίζουμε το τόξο σε μικρά ίσα τμήματα, θεωρούμε σε καθένα ίσο «βάρος» στο μέσο του και βρίσκουμε με το σχοινοπολύγωνο τη θέση της συνισταμένης· επιβεβαιώνει τις παραπάνω τιμές.

Σύνοψη: Ημιπεριφέρεια: 0,764 m από το κέντρο. Τεταρτημόριο περιφέρειας: x = y ≈ 0,955 m (≈ 1,35 m από το κέντρο, στη διχοτόμο).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Για γραμμή (τόξο) ισχύει 2R/π, ενώ για επιφάνεια (ημικύκλιο) 4R/3π — μην τα συγχέεις.
Το κεντροειδές ενός τόξου δεν βρίσκεται πάνω στο τόξο.

Κεντροειδές ημικυκλίου

Ερώτηση: 6. Να προσδιορίσετε το κεντροειδές ημικυκλίου ακτίνας 60 cm με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο.

Απάντηση:

Το ημικύκλιο είναι επιφάνεια· το κεντροειδές του βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας σε απόσταση \( d=\dfrac{4R}{3\pi}=\dfrac{4\cdot60}{3\pi}\approx 25{,}46\,cm \) από τη διάμετρο.
Γραφικά: χωρίζουμε το ημικύκλιο σε λωρίδες παράλληλες στη διάμετρο και βρίσκουμε το Κ.Β. τους με το σχοινοπολύγωνο.

Σύνοψη: Κεντροειδές στον άξονα συμμετρίας, 25,46 cm από τη διάμετρο.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Για ημιπεριφέρεια (τόξο) ίδιας ακτίνας θα ήταν 2R/π ≈ 38,2 cm.

Κεντροειδές τεταρτημορίου κύκλου

Ερώτηση: 7. Να προσδιορίσετε το κεντροειδές ενός τεταρτημορίου κύκλου ακτίνας 90 cm, με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο.

Απάντηση:

Το τεταρτημόριο κύκλου είναι επιφάνεια. Από κάθε μία από τις δύο ακτίνες-όρια το κεντροειδές απέχει \( \dfrac{4R}{3\pi}=\dfrac{4\cdot90}{3\pi}\approx38{,}2\,cm \).
Βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της ορθής γωνίας, σε απόσταση \( \sqrt2\cdot38{,}2\approx54{,}0\,cm \) από το κέντρο.
Γραφικά: χωρίζουμε την επιφάνεια σε λωρίδες και με το σχοινοπολύγωνο βρίσκουμε δύο κεντροβαρικούς άξονες· η τομή τους είναι το κεντροειδές.

Σύνοψη: x_G = y_G ≈ 38,2 cm (≈ 54 cm από το κέντρο, πάνω στη διχοτόμο).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Επιφάνεια → 4R/3π· τόξο → 2R/π.
Λόγω συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο, αρκεί να βρεθεί η μία συντεταγμένη.

Κεντροειδές ομάδας ήλων

Ερώτηση: 8. Στην ήλωση του σχήματος υπάρχει η ομάδα των τριών ήλων. Να προσδιοριστεί το κεντροειδές της ομάδας (διαστάσεις σε mm). [Σχήμα: καρφωτή σύνδεση· το σχήμα δείχνει πέντε ήλους σε δύο κατακόρυφες σειρές, κλιμακωτά και σε ίσα κατακόρυφα διαστήματα: τρεις ήλοι σε απόσταση 40 mm και δύο ήλοι σε απόσταση 40 + 40 = 80 mm από την ακμή αναφοράς]

Απάντηση:

Όλοι οι ήλοι έχουν την ίδια διατομή, άρα «μετράμε» κάθε ήλο με το ίδιο βάρος.
Οριζόντια θέση: \( x_G=\dfrac{3\cdot40+2\cdot80}{5}=\dfrac{280}{5}=56\,mm \) από την ακμή αναφοράς.
Κατακόρυφη θέση: η διάταξη είναι συμμετρική ως προς την οριζόντια ευθεία που περνά από τον μεσαίο ήλο της πρώτης σειράς, άρα το κεντροειδές βρίσκεται σε αυτή την ευθεία.

Σύνοψη: Κεντροειδές 56 mm από την ακμή αναφοράς, στο ύψος του μεσαίου ήλου.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το κείμενο της άσκησης αναφέρει «τριών ήλων», ενώ το σχήμα δείχνει πέντε· αν ληφθούν μόνο οι τρεις ήλοι της πρώτης σειράς, το κεντροειδές είναι ο μεσαίος ήλος (40 mm από την ακμή).
Σε ομάδα ίσων ήλων το κεντροειδές είναι ο μέσος όρος των θέσεών τους.

Κεντροειδές γωνιακού ελάσματος

Ερώτηση: 9. Να προσδιοριστεί το κεντροειδές του ελάσματος με το παρακάτω σχήμα με την αναλυτική μέθοδο. [Σχήμα: γωνιακό έλασμα σχήματος L με σκέλη μήκους 10 και πάχους 1,2, με αρχή των αξόνων την εξωτερική γωνία]

Απάντηση:

Χωρίζουμε σε δύο ορθογώνια: κατακόρυφο \( A_1=1{,}2\cdot10=12 \) με κέντρο (0,6 · 5) και οριζόντιο \( A_2=(10-1{,}2)\cdot1{,}2=10{,}56 \) με κέντρο (5,6 · 0,6).
\( x_G=\dfrac{12\cdot0{,}6+10{,}56\cdot5{,}6}{22{,}56}=\dfrac{66{,}34}{22{,}56}\approx2{,}94 \).
Λόγω συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο: \( y_G=x_G\approx2{,}94 \).

Σύνοψη: x_G = y_G ≈ 2,94 (στις μονάδες του σχήματος).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Τα δύο ορθογώνια δεν πρέπει να επικαλύπτονται: το τετράγωνο της γωνίας μετράει μόνο μία φορά.
Το κεντροειδές ενός L βρίσκεται έξω από το υλικό του ελάσματος.

Κεντροειδές ισοσκελούς διατομής

Ερώτηση: 10. Να προσδιορίσετε το κεντροειδές της ισοσκελούς διατομής του σχήματος με τη γραφική και την αναλυτική μέθοδο, αν α = 150 mm και e = 24 mm.

Απάντηση:

Το σχήμα της άσκησης δεν έχει αποτυπωθεί στο βιβλίο· θεωρούμε ισοσκελή γωνιακή διατομή (L) με σκέλη α = 150 mm και πάχος e = 24 mm.
Κατακόρυφο σκέλος: \( A_1=150\cdot24=3600\,mm^2 \), \( x_1=12\,mm \)· οριζόντιο: \( A_2=(150-24)\cdot24=3024\,mm^2 \), \( x_2=24+63=87\,mm \).
\( x_G=\dfrac{3600\cdot12+3024\cdot87}{6624}\approx46{,}2\,mm \) και λόγω συμμετρίας \( y_G=x_G\approx46{,}2\,mm \) από τις εξωτερικές ακμές.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Για ισοσκελή γωνιακή διατομή 150 × 24: x_G = y_G ≈ 46,2 mm από τις εξωτερικές ακμές.

Κριτήρια αξιολόγησης: