Λύσεις — Κεφάλαιο 7 · Ροπές αδρανείας επιφανειών (σελ. 164-167) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 7 · Ροπές αδρανείας επιφανειών (σελ. 164-167)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Ροπή αδρανείας τριγώνου (κορυφή)

Ερώτηση: 1. Τριγωνικής ισοσκελούς διατομής, με πλευρά b και ύψος h να βρείτε τη ροπή αδρανείας της ως προς άξονα που περνάει από την κορυφή Α. Εφαρμογή: b = 4 cm και h = 6 cm (σχ. 1). (Λάβετε υπ' όψη ότι I_G = bh³/36 και το Θ. Steiner)

Απάντηση:

• Κεντροβαρική: \( I_G=\dfrac{b h^3}{36} \). Απόσταση κέντρου βάρους από την κορυφή: \( d=\dfrac{2h}{3} \), εμβαδόν \( A=\dfrac{bh}{2} \).
• Steiner: \( I_{A}=I_G+A d^2=\dfrac{bh^3}{36}+\dfrac{bh}{2}\Big(\dfrac{2h}{3}\Big)^2=\dfrac{bh^3}{36}+\dfrac{8bh^3}{36}=\dfrac{bh^3}{4} \).
• Εφαρμογή: \( I_A=\dfrac{4\cdot6^3}{4}=216\,cm^4 \).

Σύνοψη: I_A = bh³/4 = 216 cm⁴.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Ο άξονας από την κορυφή είναι παράλληλος στη βάση, σε απόσταση 2h/3 από το κέντρο βάρους.
• Το Θ. Steiner εφαρμόζεται μόνο από κεντροβαρικό άξονα προς παράλληλο άξονα.

Ακτίνα αδρανείας ορθογωνίου

Ερώτηση: 2. Δίδεται ορθογωνική διατομή διαστάσεων b = 4 cm, h = 6 cm. Να βρείτε την ακτίνα αδρανείας της διατομής αυτής ως προς τη βάση της. (Λάβετε υπ' όψη ότι: Ix = bh³/12 και το Θ. Steiner)

Απάντηση:

• Κεντροβαρική: \( I_x=\dfrac{b h^3}{12}=\dfrac{4\cdot216}{12}=72\,cm^4 \)· εμβαδόν \( A=bh=24\,cm^2 \).
• Steiner (βάση σε απόσταση h/2 = 3 cm): \( I_{AB}=72+24\cdot3^2=72+216=288\,cm^4 \) (ίσο με \( bh^3/3 \)).
• Ακτίνα αδρανείας: \( i_{AB}=\sqrt{\dfrac{I_{AB}}{A}}=\sqrt{\dfrac{288}{24}}=\sqrt{12}\approx 3{,}46\,cm \).

Σύνοψη: i_AB = √(288/24) ≈ 3,46 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η ακτίνα αδρανείας έχει μονάδες μήκους: i = √(I/A).

Σύγκριση ορθογωνικών διατομών

Ερώτηση: 3. Δίδονται δύο ορθογωνικές διατομές σταθερού εμβαδού 2b². Βρείτε ποια από τις δύο διατομές είναι η πιο σταθερή ως προς άξονα x-x΄ και ποια είναι η πιο σταθερή ως προς άξονα y-y΄. [Σχήμα: 1η διατομή πλάτους b και ύψους 2b· 2η διατομή πλάτους 2b και ύψους b]

Απάντηση:

• 1η διατομή (b × 2b όρθια): \( I_x=\dfrac{b(2b)^3}{12}=\dfrac{2b^4}{3} \), \( I_y=\dfrac{2b\cdot b^3}{12}=\dfrac{b^4}{6} \).
• 2η διατομή (2b × b πλαγιαστή): \( I_x=\dfrac{2b\cdot b^3}{12}=\dfrac{b^4}{6} \), \( I_y=\dfrac{b(2b)^3}{12}=\dfrac{2b^4}{3} \).
• Με ίδιο εμβαδόν, πιο «σταθερή» ως προς έναν άξονα είναι η διατομή με τη μεγαλύτερη ροπή αδρανείας ως προς αυτόν, δηλαδή εκείνη που έχει τη μεγάλη διάσταση κάθετα στον άξονα.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Η 1η διατομή είναι πιο σταθερή ως προς x-x΄ (Ix = 2b⁴/3 > b⁴/6)· η 2η ως προς y-y΄.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η ροπή αδρανείας αυξάνει με τον κύβο της διάστασης που είναι κάθετη στον άξονα.
• Γι' αυτό οι δοκοί τοποθετούνται «όρθιες» ως προς τον άξονα κάμψης.

Πολική ροπή αδρανείας ορθογωνίου

Ερώτηση: 4. Ορθογωνικής διατομής διαστάσεων b = 4 cm και h = 6 cm, βρείτε την πολική ροπή αδρανείας της.

Απάντηση:

• \( I_x=\dfrac{bh^3}{12}=\dfrac{4\cdot216}{12}=72\,cm^4 \), \( I_y=\dfrac{hb^3}{12}=\dfrac{6\cdot64}{12}=32\,cm^4 \).
• Πολική ροπή αδρανείας: \( I_p=I_x+I_y=72+32=104\,cm^4 \).

Σύνοψη: Ip = 104 cm⁴.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η πολική ροπή αδρανείας ως προς το κέντρο βάρους είναι το άθροισμα των ροπών ως προς δύο κάθετους κεντροβαρικούς άξονες.

Ροπές αδρανείας σύνθετης διατομής

Ερώτηση: 5. Βρείτε τις ροπές αδρανείας Ιx, Iy της διατομής: [Σχήμα: κατακόρυφο ορθογώνιο 5 cm × 15 cm και οριζόντιος βραχίονας 10 cm × 4 cm στη δεξιά πλευρά του, σε απόσταση 5,5 cm από την πάνω ακμή]

Απάντηση:

• Ο βραχίονας απέχει 5,5 cm από πάνω και 15 − 5,5 − 4 = 5,5 cm από κάτω, άρα η διατομή είναι συμμετρική ως προς τον οριζόντιο άξονα x που απέχει 7,5 cm από τη βάση.
• Ιx (κεντροβαρικός οριζόντιος άξονας): \( I_x=\dfrac{5\cdot15^3}{12}+\dfrac{10\cdot4^3}{12}=1406{,}25+53{,}33=1459{,}58\,cm^4 \).
• Iy (άξονας y κατά την αριστερή ακμή της διατομής): \( I_y=\dfrac{15\cdot5^3}{3}+\Big(\dfrac{4\cdot10^3}{12}+40\cdot10^2\Big)=625+333{,}33+4000=4958{,}33\,cm^4 \).

Σύνοψη: Ix = 1459,58 cm⁴· Iy = 4958,33 cm⁴ (ως προς την αριστερή ακμή).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η τιμή Iy = 4958,33 cm⁴ του βιβλίου αντιστοιχεί σε άξονα y κατά την αριστερή ακμή· ως προς τον κεντροβαρικό κατακόρυφο άξονα (x_G ≈ 5,11 cm) θα ήταν ≈ 1957 cm⁴.
• Για το ορθογώνιο ως προς ακμή του: I = bh³/3.

Διατομή διπλού ταυ με εγκοπή

Ερώτηση: 6. Δίδεται διατομή διπλού ταυ με εγκοπή. Βρείτε τη ροπή αδρανείας και τη ροπή αντίστασης της διατομής αυτής. [Σχήμα: δύο συμμετρικά Τ· πέλματα 28 cm × 2 cm, κορμοί 4 cm × 8 cm, κενό 16 cm ανάμεσα στους κορμούς· συνολικό ύψος 36 cm]

Απάντηση:

• Ο άξονας x είναι ο άξονας συμμετρίας, στο μέσο του ύψους (18 cm από κάθε ακραία ίνα).
• Πέλματα: \( 2\Big(\dfrac{28\cdot2^3}{12}+56\cdot17^2\Big)=2(18{,}67+16184)=32\,405{,}3\,cm^4 \).
• Κορμοί: \( 2\Big(\dfrac{4\cdot8^3}{12}+32\cdot12^2\Big)=2(170{,}67+4608)=9557{,}3\,cm^4 \).
• \( I_x=32\,405{,}3+9557{,}3=41\,962{,}7\,cm^4 \), \( W_x=\dfrac{I_x}{e}=\dfrac{41\,962{,}7}{18}\approx2331{,}26\,cm^3 \).

Σύνοψη: Ix = 41 962,7 cm⁴· Wx ≈ 2331,26 cm³.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το κενό της εγκοπής δεν συνεισφέρει· υπολογίζουμε μόνο τα τμήματα με υλικό.
• Ροπή αντίστασης: W = I / e_max.

Κοίλη ορθογωνική διατομή

Ερώτηση: 7. Βρείτε τη ροπή αδρανείας της κοίλης διατομής ως προς τους άξονες x-x΄ και y-y΄. [Σχήμα: εξωτερικό ορθογώνιο 15 cm × 20 cm (πλάτος × ύψος) με κεντρικό ορθογώνιο κενό 5 cm × 10 cm]

Απάντηση:

• Ix: \( I_x=\dfrac{15\cdot20^3}{12}-\dfrac{5\cdot10^3}{12}=10\,000-416{,}67=9583{,}33\,cm^4 \).
• Iy: \( I_y=\dfrac{20\cdot15^3}{12}-\dfrac{10\cdot5^3}{12}=5625-104{,}17=5520{,}83\,cm^4 \).

Σύνοψη: Ix ≈ 9583,3 cm⁴· Iy ≈ 5520,8 cm⁴.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Στις κοίλες διατομές αφαιρούμε τη ροπή αδρανείας του κενού, αφού έχουν κοινό κέντρο βάρους.

Σύνθετη διατομή στύλου

Ερώτηση: 8. Δίδεται αμφιαρθρωτός στύλος, σύνθετης διατομής. Να βρεθεί: α) η θέση του ΚΒ της διατομής β) η ροπή αδρανείας ως προς τον κεντροβαρικό άξονα y-y΄ γ) η ακτίνα αδρανείας iy-y΄. [Σχήμα: κάτω πέλμα 14 cm × 2 cm, κορμός 2 cm × 16 cm, πάνω πέλμα 6 cm × 2 cm· συνολικό ύψος 20 cm]

Απάντηση:

• α) Εμβαδά και κέντρα από τη βάση: \( A_1=28\,cm^2 \) (y = 1), \( A_2=32\,cm^2 \) (y = 10), \( A_3=12\,cm^2 \) (y = 19), \( A=72\,cm^2 \). \( y_G=\dfrac{28\cdot1+32\cdot10+12\cdot19}{72}=\dfrac{576}{72}=8\,cm \).
• β) Ο άξονας y-y΄ είναι ο κατακόρυφος άξονας συμμετρίας: \( I_y=\dfrac{2\cdot14^3}{12}+\dfrac{16\cdot2^3}{12}+\dfrac{2\cdot6^3}{12}=457{,}33+10{,}67+36=504\,cm^4 \).
• γ) \( i_y=\sqrt{\dfrac{504}{72}}=\sqrt7\approx2{,}65\,cm \).

Σύνοψη: α) y_G = 8 cm από τη βάση· β) Iy = 504 cm⁴· γ) iy ≈ 2,65 cm (≈ 2,6 cm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Όλα τα τμήματα έχουν το κέντρο τους πάνω στον άξονα y, άρα δεν χρειάζεται Steiner για την Iy.
• Η μικρότερη ακτίνα αδρανείας καθορίζει τον λυγισμό του στύλου.