Λύσεις — Κεφάλαιο 10 · Κάμψη (σελ. 252-254) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 10 · Κάμψη (σελ. 252-254)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Μέγιστη ΚΑΙ ακραίες τάσεις κάμψης

Ερώτηση: 1. Αμφιέρειστη δοκός ορθογωνικής διατομής 4×6 cm, δέχεται φορτίο 50 daN. Να βρεθούν: α) Η σmax β) Οι ακραίες τάσεις στο μέσο της δοκού [Σχήμα: άνοιγμα ΑΒ = 10 m, φορτίο 50 daN σε απόσταση 4 m από το Α]

Απάντηση:

• Αντιδράσεις: \( B_\psi\cdot10=50\cdot4\Rightarrow B_\psi=20\,daN \), \( A_\psi=30\,daN \).
• Ροπή αντίστασης (ύψος h = 6 cm): \( W=\dfrac{b h^2}{6}=\dfrac{4\cdot6^2}{6}=24\,cm^3 \).
• α) Η μέγιστη ροπή εμφανίζεται κάτω από το φορτίο: \( M_{max}=A_\psi\cdot4=120\,daN\cdot m=12\,000\,daN\cdot cm \Rightarrow \sigma_{max}=\dfrac{12\,000}{24}=500\,daN/cm^2 \).
• β) Στο μέσο (5 m από το Α): \( M=30\cdot5-50\cdot1=100\,daN\cdot m=10\,000\,daN\cdot cm \Rightarrow \sigma=\pm\dfrac{10\,000}{24}\approx\pm417\,daN/cm^2 \) (θλίψη στην άνω ίνα, εφελκυσμός στην κάτω).

Σύνοψη: α) σmax = 500 daN/cm²· β) στο μέσο σ ≈ ±417 daN/cm² (άνω ίνα θλίψη, κάτω ίνα εφελκυσμός).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Το φορτίο δεν είναι στο μέσο, άρα η μέγιστη ροπή δεν είναι PL/4 αλλά Aψ·4 m.
• Η ροπή πρέπει να μετατραπεί σε daN·cm, ώστε με W σε cm³ η τάση να βγει σε daN/cm².

Ακτίνα κυκλικής δοκού

Ερώτηση: 2. Αμφιέρειστη δοκός κυκλικής διατομής, έχει: l = 3 m, σεπ = 120 daN/cm² και ομοιόμορφη φόρτιση q = 60 daN/m καθ' όλο το μήκος της. Να ευρεθεί η ακτίνα R της κυκλικής διατομής.

Απάντηση:

• Μέγιστη ροπή: \( M_{max}=\dfrac{q\,l^2}{8}=\dfrac{60\cdot3^2}{8}=67{,}5\,daN\cdot m=6750\,daN\cdot cm \).
• Απαιτούμενη ροπή αντίστασης: \( W=\dfrac{M_{max}}{\sigma_{\epsilon\pi}}=\dfrac{6750}{120}=56{,}25\,cm^3 \).
• Για κυκλική διατομή \( W=\dfrac{\pi R^3}{4} \Rightarrow R=\sqrt[3]{\dfrac{4\cdot56{,}25}{\pi}}\approx4{,}15\,cm \).

Σύνοψη: R ≈ 4,15 cm (≈ 4 cm).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• W = πd³/32 = πR³/4 για κυκλική διατομή.
• Στην πράξη επιλέγεται η αμέσως μεγαλύτερη τυποποιημένη διάσταση.

Δακτυλιοειδής άτρακτος από χυτοσίδηρο

Ερώτηση: 3. Δίδεται μια άτρακτος από χυτοσίδερο. Το πηλίκο των διαμέτρων τους είναι 1,4 και σεπ = 800 at. Να βρεθεί το πάχος της διατομής.

Απάντηση:

• Μέθοδος: για δακτυλιοειδή διατομή \( W=\dfrac{\pi(D^4-d^4)}{32D} \) με \( D=1{,}4\,d \). Από \( \sigma=\dfrac{M}{W}\le\sigma_{\epsilon\pi} \) βρίσκουμε το d, έπειτα το D και το πάχος \( s=\dfrac{D-d}{2} \).
• Η εκφώνηση του βιβλίου δεν δίνει την καμπτική ροπή (ή τα φορτία), γι' αυτό ο αριθμητικός υπολογισμός δεν μπορεί να γίνει μόνο από τα δεδομένα.
• Με τις διαμέτρους της απάντησης του βιβλίου (D ≈ 20 cm, d ≈ 14 cm) το πάχος είναι \( s=\dfrac{20-14}{2}=3\,cm \).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Πάχος ≈ 3 cm (με D ≈ 20 cm, d ≈ 14 cm κατά το βιβλίο).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Λείπει από την εκφώνηση η καμπτική ροπή· η απάντηση βασίζεται στις διαμέτρους που δίνει το βιβλίο.
• 1 at ≈ 1 kp/cm² ≈ 0,981 daN/cm².

Τάσεις δοκού διατομής ταυ

Ερώτηση: 4. Αμφιέρειστη δοκός μήκους l = 3,5 m και με ομοιόμορφη φόρτιση q = 200 daN/m αποτελείται από χαλύβδινο έλασμα με διατομή απλού ταυ. Να βρεθούν στη δυσμενέστερη θέση (2) οι τάσεις σ1 και σ2 της πάνω και της κάτω ίνας. (Να βρεθεί ότι: e1 = 8,8 cm, e2 = 5,2 cm, J = 763,74 cm⁴, σ2 = −208,5 daN/cm²) [Σχήμα: πέλμα 8 cm × 2 cm, κορμός πάχους 2 cm, συνολικό ύψος 14 cm· ίνα (1) η κάτω, ίνα (2) η πάνω]

Απάντηση:

• Κέντρο βάρους (από την κάτω ίνα): πέλμα \( 16\,cm^2 \) στα 13 cm, κορμός \( 2\cdot12=24\,cm^2 \) στα 6 cm: \( e_1=\dfrac{16\cdot13+24\cdot6}{40}=8{,}8\,cm \), \( e_2=14-8{,}8=5{,}2\,cm \).
• Ροπή αδρανείας: \( J=\dfrac{8\cdot2^3}{12}+16\cdot4{,}2^2+\dfrac{2\cdot12^3}{12}+24\cdot2{,}8^2\approx763{,}7\,cm^4 \).
• Μέγιστη ροπή (στο μέσο): \( M=\dfrac{q\,l^2}{8}=\dfrac{200\cdot3{,}5^2}{8}=306{,}25\,daN\cdot m=30\,625\,daN\cdot cm \).
• Κάτω ίνα (1): \( \sigma_1=\dfrac{M\,e_1}{J}=\dfrac{30\,625\cdot8{,}8}{763{,}74}\approx353\,daN/cm^2 \) (εφελκυσμός).
• Πάνω ίνα (2): \( \sigma_2=-\dfrac{M\,e_2}{J}=-\dfrac{30\,625\cdot5{,}2}{763{,}74}\approx-208{,}5\,daN/cm^2 \) (θλίψη).

Σύνοψη: σ1 ≈ 353 daN/cm² (κάτω ίνα, εφελκυσμός)· σ2 ≈ −208,5 daN/cm² (πάνω ίνα, θλίψη).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σε μη συμμετρική διατομή οι ακραίες ίνες απέχουν διαφορετικά από τον ουδέτερο άξονα, άρα έχουν διαφορετικές τάσεις.
• Η μεγαλύτερη τάση εμφανίζεται στην ίνα που απέχει περισσότερο από το κέντρο βάρους.

Αντιδράσεις, διαγράμματα και μέγιστη τάση

Ερώτηση: 5. Στην αμφιέρειστη δοκό να βρεθούν: α) Οι Αψ , Βψ β) Τα διαγράμματα [Q], [Μ] γ) Η μέγιστη ροπή κάμψης maxMK και η θέση που αναπτύσσεται στη δοκό καθώς και αντίστοιχη max σ, αν η ροπή αντίστασης της διατομής είναι: W = 1000 cm³. [Σχήμα: άνοιγμα 8 m, q = 1000 daN/m στα πρώτα 4 m και 2000 daN στα 6 m από το Α]

Απάντηση:

• α) \( B_\psi\cdot8=4000\cdot2+2000\cdot6=20\,000\Rightarrow B_\psi=2500\,daN \), \( A_\psi=6000-2500=3500\,daN \).
• β) [Q]: \( Q=3500-1000x \) για 0 ≤ x ≤ 4 m (από +3500 ως −500), −500 daN από 4 ως 6 m, −2500 daN από 6 ως 8 m. [Μ]: παραβολή στα 0–4 m, \( M_{4m}=3500\cdot4-4000\cdot2=6000\,daN\cdot m \), \( M_{6m}=5000\,daN\cdot m \), γραμμικά ως 0 στο Β.
• γ) Q = 0 στο \( x=3{,}5\,m \): \( \max M_\kappa=3500\cdot3{,}5-\dfrac{1000\cdot3{,}5^2}{2}=6125\,daN\cdot m \).
• \( \max\sigma=\dfrac{612\,500\,daN\cdot cm}{1000\,cm^3}=612{,}5\,daN/cm^2 \).

Σύνοψη: Aψ = 3500 daN, Bψ = 2500 daN· max Mκ = 6125 daN·m στα 3,5 m από το Α· max σ = 612,5 daN/cm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Η μέγιστη ροπή βρίσκεται εκεί όπου μηδενίζεται η τέμνουσα.
• 6125 daN·m = 612 500 daN·cm.

Μέγιστο φορτίο δοκού διατομής ταυ

Ερώτηση: 6. Η αμφιέρειστη δοκός του σχήματος φέρει άγνωστο φορτίο F. Η διατομή της δοκού είναι απλό ταυ. Να βρεθούν: α) Η θέση του Κ·Β της διατομής. β) Οι ροπές αντίστασης της πάνω και κάτω ίνας της διατομής αφού βρεθεί η ροπή αδρανείας ως προς τον κεντροβαρικό οριζόντιο άξονα. γ) Η τιμή του μέγιστου φορτίου F που μπορεί να φέρει η δοκός, αν το υλικό της έχει την ίδια αντοχή σε εφελκυσμό και θλίψη, με σεπ = 100 daN/cm². [Σχήμα: άνοιγμα 4 m με το F στο μέσο· διατομή με πέλμα 6 cm × 2 cm και κορμό 2 cm × 6 cm]

Απάντηση:

• α) Από την πάνω ίνα: πέλμα 12 cm² στο 1 cm, κορμός 12 cm² στα 5 cm: \( y_o=\dfrac{12\cdot1+12\cdot5}{24}=3\,cm \) (και \( y_c=8-3=5\,cm \) από την κάτω ίνα).
• β) \( I_x=\dfrac{6\cdot2^3}{12}+12\cdot2^2+\dfrac{2\cdot6^3}{12}+12\cdot2^2=4+48+36+48=136\,cm^4 \)· \( W_o=\dfrac{136}{3}\approx45{,}3\,cm^3 \), \( W_c=\dfrac{136}{5}=27{,}2\,cm^3 \).
• γ) Στο μέσο: \( M=\dfrac{F\,l}{4}=\dfrac{F\cdot400}{4}=100\,F \) (daN·cm, με F σε daN).
• Πάνω ίνα: \( 100F\le100\cdot45{,}3\Rightarrow F\le45{,}3\,daN \)· κάτω ίνα: \( 100F\le100\cdot27{,}2\Rightarrow F\le27{,}2\,daN \). Καθοριστική η κάτω ίνα: \( F_{max}=27{,}2\,daN \).

Σύνοψη: yo = 3 cm· Ix = 136 cm⁴, Wo ≈ 45,3 cm³, Wc = 27,2 cm³· Fmax = 27,2 daN (έλεγχος κάτω ίνας).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Σημείωση: το βιβλίο δίνει F = 453 daN (άνω ίνα), 272 daN (κάτω ίνα) και Fmax = 272 daN, δηλαδή δεκαπλάσιες τιμές· με M = F·l/4 σε daN·cm (l = 400 cm) προκύπτουν 45,3 daN και 27,2 daN.
• Καθοριστική είναι η ίνα με τη μικρότερη ροπή αντίστασης (τη μεγαλύτερη απόσταση από τον ουδέτερο άξονα).