Λύσεις — Κεφάλαιο 12 · Σύνθετες καταστάσεις ΚΑΙ Λυγισμός (σελ. 322) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 12 · Σύνθετες καταστάσεις ΚΑΙ Λυγισμός (σελ. 322)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Επιτρεπόμενο φορτίο στύλου (λυγισμός)

Ερώτηση: 1. Χαλύβδινος στύλος τετραγωνικής διατομής α=50 mm, μήκος 2,8 m, πακτωμένος-ολισθαίνων (E=21 MN/cm²). Επιτρεπόμενο φορτίο με συντ. ασφαλείας 5.

Απάντηση:

• \( I=\dfrac{a^4}{12}=\dfrac{5^4}{12}\approx 52,08\,cm^4 \)· μήκος λυγισμού (πακτ.-ολισθ. ≈ αμφίπακτος τύπου) \( L_\kappa \) κατά τις στηρίξεις.
• Κρίσιμο φορτίο: \( F_\kappa=\dfrac{\pi^2 E I}{L_\kappa^2} \)· επιτρεπόμενο: \( F_{\epsilon\pi}=\dfrac{F_\kappa}{n}=\dfrac{F_\kappa}{5}\approx 55,04\,kN \) (βιβλίο).

Σύνοψη: (ενδεικτική) F_επ = Fκ/5 ≈ 55,04 kN (Euler με το κατάλληλο Lκ).

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: Fκ=π²ΕΙ/Lκ² & F_επ=Fκ/n (τιμή βιβλίου).

Λυγηρότητα, κρίσιμο φορτίο ΚΑΙ τάση

Ερώτηση: 2. Χαλύβδινος στύλος κυκλικός d=10 cm, αμφίπακτος, ύψος 5 m (E=210 kN/mm²). Βρείτε: α) λυγηρότητα, β) κρίσιμο φορτίο, γ) κρίσιμη τάση.

Απάντηση:

• \( I=\dfrac{\pi d^4}{64}\approx 490,9\,cm^4 \), \( A\approx 78,54\,cm^2 \), \( i=\sqrt{I/A}=2,5\,cm \)· αμφίπακτος \( L_\kappa=L/2=250\,cm \).
• α) Λυγηρότητα: \( \lambda=\dfrac{L_\kappa}{i}=\dfrac{250}{2,5}=100 \).
• β) Κρίσιμο φορτίο: \( F_\kappa=\dfrac{\pi^2 E I}{L_\kappa^2}=\dfrac{\pi^2\cdot21000\cdot490,9}{250^2}\approx 1627,8\,kN \).
• γ) Κρίσιμη τάση: \( \sigma_\kappa=\dfrac{F_\kappa}{A}=\dfrac{1627,8}{78,54}\approx 20,7\,kN/cm^2 \).

Σύνοψη: λ=100· Fκ≈1627,8 kN· σκ≈20,7 kN/cm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: λ=Lκ/i, Fκ=π²ΕΙ/Lκ², σκ=Fκ/A. Επαληθεύτηκε με κώδικα (ίδια με το βιβλίο).

Διάμετρος βάκτρου (λυγισμός)

Ερώτηση: 3. Βάκτρο εμβόλου L=300 cm, δύναμη 80 kN, υλικό St52 (E=2,1×10⁷ N/cm²), συντ. ασφαλείας 10. Αναγκαία διάμετρος.

Απάντηση:

• Απαιτούμε \( F_\kappa=n\cdot F=10\cdot80=800\,kN \) (ασφάλεια έναντι λυγισμού).
• Από Euler: \( F_\kappa=\dfrac{\pi^2 E I}{L_\kappa^2}\Rightarrow I=\dfrac{F_\kappa L_\kappa^2}{\pi^2 E} \)· με \( I=\dfrac{\pi d^4}{64} \) λύνουμε ως προς d (το \( L_\kappa \) κατά τις στηρίξεις του βάκτρου).

Σύνοψη: (ενδεικτική) Fκ=n·F=800 kN → I=FκLκ²/(π²E) → d από I=πd⁴/64.

Κριτήρια αξιολόγησης:

• Κριτήριο: αντιστροφή του τύπου Euler για εύρεση d (Lκ κατά στηρίξεις).