Λύσεις — Κεφάλαιο 12 · Σύνθετες καταστάσεις ΚΑΙ Λυγισμός (σελ. 322-323) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ – ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεων Σχολικού Βιβλίου Λύσεις — Κεφάλαιο 12 · Σύνθετες καταστάσεις ΚΑΙ Λυγισμός (σελ. 322-323) – ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ – ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Β ΕΠΑΛ

Λύσεις — Κεφάλαιο 12 · Σύνθετες καταστάσεις ΚΑΙ Λυγισμός (σελ. 322-323)

Απαντήσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου.

Επιτρεπόμενο φορτίο στύλου (λυγισμός)

Ερώτηση: 1. Χαλύβδινος στύλος, τετραγωνικής διατομής πλευράς α=50mm και μήκους = 2,8m είναι πακτωμένος κατά το ένα άκρο του ενώ στο άλλο έχει δυνατότητα ολίσθησης. Αν το υλικό έχει μέτρο ελαστικότητας Ε=21MN/cm² ζητείται το επιτρεπόμενο φορτίο ώστε ο συντελεστής ασφάλειας να είναι 5.

Απάντηση:

Ροπή αδρανείας: \( I=\dfrac{a^4}{12}=\dfrac{5^4}{12}\approx52{,}08\,cm^4 \).
Ανηγμένο μήκος: πάκτωση στο ένα άκρο και άρθρωση με δυνατότητα ολίσθησης κατά τον άξονα στο άλλο (περίπτωση γ΄): \( l_\kappa=\dfrac{l}{\sqrt2}=\dfrac{280}{\sqrt2}\approx198\,cm \).
Κρίσιμο φορτίο (Euler): \( F_\kappa=\dfrac{\pi^2EI}{l_\kappa^2}=\dfrac{\pi^2\cdot21\times10^6\cdot52{,}08}{280^2/2}\approx275{,}4\times10^3\,N \).
Επιτρεπόμενο φορτίο: \( F_{\epsilon\pi}=\dfrac{F_\kappa}{5}\approx55{,}1\,kN \).

Σύνοψη: Fεπ ≈ 55,1 kN (βιβλίο: 55,04 kN).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Το ανηγμένο μήκος εξαρτάται από τον τρόπο στήριξης: πάκτωση–ελεύθερο 2l, αμφίπακτος l/2, πάκτωση–άρθρωση l/√2, αμφιαρθρωτός l.
E = 21 MN/cm² = 21 × 10⁶ N/cm²· με I σε cm⁴ και l σε cm το Fκ προκύπτει σε N.

Λυγηρότητα, κρίσιμο φορτίο ΚΑΙ τάση

Ερώτηση: 2. Χαλύβδινος στύλος με κυκλική διατομή διαμέτρου 10 cm, είναι πακτωμένος και στα δύο άκρα του. Το ύψος του είναι 5m. Δίνεται μέτρο ελαστικότητας του υλικού Ε= 210 KN/mm². Να υπολογιστούν: α) Η λυγηρότητα, β) το κρίσιμο φορτίο γ) η κρίσιμη τάση

Απάντηση:

\( I=\dfrac{\pi d^4}{64}\approx 490{,}9\,cm^4 \), \( A\approx 78{,}54\,cm^2 \), \( i=\sqrt{I/A}=2{,}5\,cm \)· αμφίπακτος: \( l_\kappa=l/2=250\,cm \).
α) Λυγηρότητα: \( \lambda=\dfrac{l_\kappa}{i}=\dfrac{250}{2{,}5}=100 \).
β) Κρίσιμο φορτίο: \( F_\kappa=\dfrac{\pi^2 E I}{l_\kappa^2}=\dfrac{\pi^2\cdot21\,000\cdot490{,}9}{250^2}\approx 1627{,}8\,kN \) (E = 210 kN/mm² = 21 000 kN/cm²).
γ) Κρίσιμη τάση: \( \sigma_\kappa=\dfrac{F_\kappa}{A}=\dfrac{1627{,}8}{78{,}54}\approx 20{,}7\,kN/cm^2 \).

Σύνοψη: α) λ = 100· β) Fκ ≈ 1627,8 kN· γ) σκ ≈ 20,7 kN/cm².

Κριτήρια αξιολόγησης:

Για κυκλική διατομή i = d/4.
Ο τύπος του Euler ισχύει για λ ≥ 100 περίπου (εντός του νόμου του Hooke).

Διάμετρος βάκτρου (λυγισμός)

Ερώτηση: 3. Βάκτρο εμβόλου ατμομηχανής έχει μήκος 300cm. Το βάκτρο καταπονείται από δύναμη 80ΚΝ. Αν το υλικό του βάκτρου είναι St 52 (Ε= 2,1×10⁷ N/cm²) και ο συντελεστής ασφάλειας 10, να υπολογισθεί η αναγκαία διάμετρος.

Απάντηση:

Κρίσιμο φορτίο: \( F_\kappa=\nu\cdot F=10\cdot80=800\,kN=800\,000\,N \).
Το βάκτρο θεωρείται αρθρωμένο στα δύο άκρα (περίπτωση δ΄): \( l_\kappa=l=300\,cm \).
Ροπή αδρανείας: \( I=\dfrac{F_\kappa\,l_\kappa^2}{\pi^2E}=\dfrac{800\,000\cdot300^2}{\pi^2\cdot2{,}1\times10^7}\approx347{,}4\,cm^4 \).
Διάμετρος: \( I=\dfrac{\pi d^4}{64}\Rightarrow d=\sqrt[4]{\dfrac{64\cdot347{,}4}{\pi}}\approx9{,}2\,cm \)· επιλέγεται d = 10 cm.

Σύνοψη: d ≈ 9,2 cm → d = 10 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Από το Euler λύνουμε ως προς I και μετά ως προς d (τέταρτη ρίζα).
Επιλέγεται πάντα η αμέσως μεγαλύτερη στρογγυλή/τυποποιημένη διάμετρος.

Λυγηρότητα ξύλινου στύλου

Ερώτηση: 4. Να βρεθεί η λυγηρότητα ενός ξύλινου στύλου, ορθογωνικής διατομής 20×25 cm² αμφίπακτου με μήκος 8m.

Απάντηση:

Αμφίπακτος: \( l_\kappa=\dfrac{l}{2}=400\,cm \).
Ελάχιστη ακτίνα αδρανείας (ως προς τη μικρή πλευρά): \( i_{min}=\dfrac{b}{\sqrt{12}}=\dfrac{20}{\sqrt{12}}\approx5{,}77\,cm \).
\( \lambda=\dfrac{l_\kappa}{i_{min}}=\dfrac{400}{5{,}77}\approx69{,}3 \).

Σύνοψη: λ ≈ 69,3.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Ο λυγισμός γίνεται ως προς τον άξονα με τη μικρότερη ροπή αδρανείας, άρα χρησιμοποιείται η imin.

Φορτίο λυγισμού υποστυλώματος ΝΡΙ 10

Ερώτηση: 5. Υποστύλωμα από ΝΡΙ 10 (DIN1025φ 1) από st 52, μήκους 4.5 m είναι αμφίπακτο. Να υπολογισθεί πόσο φορτίο αντέχει σε λυγισμό με συντελεστή ασφάλειας ν=5.

Απάντηση:

Από τον Πίνακα 4 για ΝΡΙ 10: \( A=10{,}6\,cm^2 \), \( I_{min}=I_y=12{,}1\,cm^4 \), \( i_y=1{,}07\,cm \). Για χάλυβα \( E=2{,}1\times10^7\,N/cm^2 \).
Αμφίπακτο: \( l_\kappa=\dfrac{450}{2}=225\,cm \), \( \lambda=\dfrac{225}{1{,}07}\approx210 \) (> 100, ισχύει ο τύπος του Euler).
\( F_\kappa=\dfrac{\pi^2EI_{min}}{l_\kappa^2}=\dfrac{\pi^2\cdot2{,}1\times10^7\cdot12{,}1}{225^2}\approx49\,540\,N \).
\( F_{\epsilon\pi}=\dfrac{F_\kappa}{5}\approx9910\,N \).

Σύνοψη: Fεπ ≈ 9,9 kN (με Imin = 12,1 cm⁴).

Κριτήρια αξιολόγησης:

Σημείωση: το βιβλίο δίνει Fεπ = 7028,3 Ν· με τα στοιχεία του Πίνακα 4 (Iy = 12,1 cm⁴) και l_κ = l/2 ο τύπος του Euler δίνει ≈ 9910 Ν.
Στις διατομές Ι ο λυγισμός γίνεται ως προς τον ασθενή άξονα y-y.

Μέγιστη διάμετρος λέβητα

Ερώτηση: 6. Κυλινδρικός λέβητας από ελάσματα πάχους ε = 30mm και σεπ = 800 ΚΝ/ m² θέλουμε να εργάζεται σε πίεση 12×10³N/m². Μέχρι ποια διάμετρο μπορούμε να τον κατασκευάσουμε.

Απάντηση:

Η δυσμενέστερη τάση στον κυλινδρικό λέβητα είναι κατά τη γενέτειρα: \( \sigma=\dfrac{p\,d}{2\varepsilon} \).
\( d=\dfrac{2\,\varepsilon\,\sigma_{\epsilon\pi}}{p}=\dfrac{2\cdot0{,}03\cdot800\times10^3}{12\times10^3}=4\,m \).

Σύνοψη: d = 4 m.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Η τάση κατά τη γενέτειρα (pd/2ε) είναι διπλάσια από την τάση κατά τη διάμετρο (pd/4ε), γι' αυτό είναι η καθοριστική.

Πίεση λέβητα και πάχος ελάσματος

Ερώτηση: 7. Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν συγκρίνουμε δύο λέβητες ως προς την πίεση λειτουργίας τους αν είναι καθ' όλα όμοιοι και διαφέρουν μόνο κατά το πάχος του ελάσματός τους. Εφαρμογή Ρ1 = 2×10³N/m², ε1= 4cm, ε2 = 6cm ποια η Ρ2;

Απάντηση:

Για τους δύο λέβητες (ίδια d και σεπ): \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{p_1 d}{2\varepsilon_1}=\dfrac{p_2 d}{2\varepsilon_2}\Rightarrow\dfrac{p_1}{\varepsilon_1}=\dfrac{p_2}{\varepsilon_2} \).
Άρα οι πιέσεις λειτουργίας είναι ανάλογες των παχών των ελασμάτων.
Εφαρμογή: \( p_2=p_1\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}=2\times10^3\cdot\dfrac{6}{4}=3\times10^3\,N/m^2 \).

Σύνοψη: Οι πιέσεις είναι ανάλογες των παχών· P2 = 3 × 10³ N/m².

Κριτήρια αξιολόγησης:

Αντίθετα, για ίδιο πάχος οι πιέσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες των διαμέτρων.

Στύλοι με φορτίο και θέρμανση

Ερώτηση: 8. Τέσσερις χαλύβδινοι στύλοι με κυκλική διατομή στηρίζουν ένα πατάρι βάρους 50 ΚΝ. Συγχρόνως ο χώρος όπου βρίσκονται οι στύλοι, θερμαίνεται από 15 °C σε 60 °C. Αν είναι για το υλικό των στύλων Ε = 210 GN/m², α = 12×10⁻⁶ rad⁻¹, σθρ= 500 ΜΝ/ m² και ο συντελεστής ασφάλειας ν = 5. Να υπολογισθεί η αναγκαία διάμετρος των στύλων.

Απάντηση:

Φορτίο ανά στύλο: \( F=\dfrac{50}{4}=12{,}5\,kN \)· επιτρεπόμενη τάση: \( \sigma_{\epsilon\pi}=\dfrac{500}{5}=100\,MN/m^2 \).
Τάση από κωλυόμενη διαστολή (σχέση 12.4.4.α): \( \sigma_\theta=\alpha E\,\Delta\theta=12\times10^{-6}\cdot210\times10^9\cdot45\approx113{,}4\,MN/m^2 \).
Συνθήκη: \( \dfrac{F}{A}+\sigma_\theta\le\sigma_{\epsilon\pi} \). Με τα δεδομένα της εκφώνησης η θερμική τάση μόνη της ξεπερνά την επιτρεπόμενη (113,4 > 100 MN/m²), οπότε με πλήρως εμποδιζόμενη διαστολή καμία διάμετρος δεν ικανοποιεί τη συνθήκη.
Αν η διαστολή των στύλων είναι ελεύθερη, αρκεί \( A\ge\dfrac{12\,500}{100\times10^6}=1{,}25\times10^{-4}\,m^2 \), δηλαδή \( d\ge1{,}26\,cm \)· το βιβλίο δίνει d = 4 cm.

Σύνοψη: (ενδεικτική) Με ελεύθερη διαστολή d ≥ 1,26 cm· με πλήρως εμποδιζόμενη διαστολή τα δεδομένα δεν επιτρέπουν λύση. Το βιβλίο δίνει d = 4 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης:

Τα δεδομένα της εκφώνησης δεν οδηγούν στην απάντηση του βιβλίου (d = 4 cm)· πρέπει να ελεγχθούν.
Η τάση από θερμοκρασία δεν εξαρτάται από τη διατομή του στύλου.

Άτρακτος σε κάμψη και στρέψη

Ερώτηση: 9. Άτρακτος κυκλικής διατομής καταπονείται σε στρέψη από ροπή Μt = 12 ΚNm και σε κάμψη από ροπή Mb = 6ΚNm. Να υπολογισθεί η αναγκαία διάμετρος αν είναι σεπ = 60 MN/m² G = 81 GN/m² και θ < 0,00436 rad/ m.

Απάντηση:

Αντοχή (ισοδύναμη τάση): \( \sigma=\dfrac{16}{\pi d^3}\sqrt{4M_b^2+3M_t^2}\le\sigma_{\epsilon\pi} \Rightarrow d^3=\dfrac{16\sqrt{4\cdot6000^2+3\cdot12\,000^2}}{\pi\cdot60\times10^6}=\dfrac{16\cdot24\,000}{\pi\cdot60\times10^6} \Rightarrow d\approx0{,}127\,m \).
Γωνία στροφής: \( \theta=\dfrac{32M_t}{G\pi d^4}\le0{,}00436 \Rightarrow d^4=\dfrac{32\cdot12\,000}{81\times10^9\cdot\pi\cdot0{,}00436} \Rightarrow d\approx0{,}136\,m \).
Καθοριστική είναι η συνθήκη της γωνίας στροφής, που δίνει τη μεγαλύτερη διάμετρο.

Σύνοψη: d ≈ 13,6 cm.

Κριτήρια αξιολόγησης: