Κεφάλαιο 1.3 – Απλή αρμονική ταλάντωση (σελ. 31-40) – Λύσεις

Κεφάλαιο 1.3 — Απλή αρμονική ταλάντωση (σελ. 31-40) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 1.1 (σελ. 31)

Ένα σώμα δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου (η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A\). Εάν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης, ποια από τα μεγέθη α) συχνότητα, β) μέγιστη ταχύτητα \(v_{\max}\), γ) μέγιστη επιτάχυνση \(a_{\max}\), δ) σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης, ε) ενέργεια της ταλάντωσης θα μεταβληθούν;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η συχνότητα \(f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}\) και η σταθερά επαναφοράς \(D\) εξαρτώνται μόνο από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος (μάζα, σταθερά ελατηρίου) — όχι από το πλάτος. Οι \(v_{\max}=\omega A\), \(a_{\max}=\omega^2A\) και \(E=\frac{1}{2}DA^2\) εξαρτώνται άμεσα από το \(A\).

Λύση:

1. Η συχνότητα \(f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}\) εξαρτάται μόνο από τη σταθερά επαναφοράς \(D\) και τη μάζα \(m\), όχι από το πλάτος — άρα δε μεταβάλλεται.
2. Η σταθερά επαναφοράς \(D=m\omega^2\) εξαρτάται μόνο από \(m\) και \(\omega\) (δηλ. από το ελατήριο/σύστημα) — άρα ούτε αυτή μεταβάλλεται.
3. Η μέγιστη ταχύτητα \(v_{\max}=\omega A\) είναι ανάλογη του \(A\) (με σταθερό \(\omega\)) — διπλασιάζεται.
4. Η μέγιστη επιτάχυνση \(a_{\max}=\omega^2A\) είναι επίσης ανάλογη του \(A\) — διπλασιάζεται.
5. Η ενέργεια \(E=\frac{1}{2}DA^2\) είναι ανάλογη του \(A^2\) — τετραπλασιάζεται.

Απάντηση: Δε μεταβάλλονται: η συχνότητα (α) και η σταθερά επαναφοράς (δ). Διπλασιάζονται: η μέγιστη ταχύτητα (β) και η μέγιστη επιτάχυνση (γ). Τετραπλασιάζεται: η ενέργεια της ταλάντωσης (ε).

Πρόσεξε:

• Η συχνότητα και το \(D\) είναι χαρακτηριστικά του συστήματος (m, ελατήριο) — ανεξάρτητα του πλάτους.
• Η ενέργεια είναι ανάλογη του \(A^2\), όχι του \(A\) — προσοχή στον τετραπλασιασμό, όχι διπλασιασμό.

Άσκηση 1.2 (σελ. 31)

Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση βρίσκεται τη χρονική στιγμή μηδέν στη θέση ισορροπίας. Ποια είναι η αρχική φάση της ταλάντωσής του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Αν γνωρίζουμε τη θέση στην οποία βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή μηδέν, μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε την αρχική φάση της ταλάντωσής του ή πρέπει να γνωρίζουμε και την κατεύθυνση προς την οποία κινείται;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από \(x=A\,\text{ημ}(\omega t+\varphi)\), για \(t=0\) και \(x=0\) προκύπτει \(\text{ημ}\varphi=0\), που έχει δύο λύσεις στο \([0,2\pi)\): \(\varphi=0\) ή \(\varphi=\pi\) — η διάκριση γίνεται από τη φορά κίνησης.

Λύση:

1. Θέτοντας \(t=0,\ x=0\) στην \(x=A\,\text{ημ}(\omega t+\varphi)\) προκύπτει \(0=A\,\text{ημ}\varphi \Rightarrow \text{ημ}\varphi=0\), άρα \(\varphi=0\) ή \(\varphi=\pi\).
2. Αν \(\varphi=0\): \(\upsilon=\upsilon_{\max}\text{συν}(0)=\upsilon_{\max}>0\) — το σώμα κινείται προς τη θετική φορά.
3. Αν \(\varphi=\pi\): \(\upsilon=\upsilon_{\max}\text{συν}(\pi)=-\upsilon_{\max}<0\) — το σώμα κινείται προς την αρνητική φορά.
4. Άρα μόνο η θέση (\(x=0\)) δεν αρκεί για μονοσήμαντο προσδιορισμό της αρχικής φάσης· χρειάζεται και η φορά κίνησης.

Απάντηση: Η αρχική φάση είναι \(\varphi=0\) αν το σώμα κινείται προς τη θετική φορά, ή \(\varphi=\pi\) αν κινείται προς την αρνητική φορά. Γενικά, η γνώση μόνο της θέσης \(t=0\) δεν αρκεί για τον προσδιορισμό της αρχικής φάσης — χρειάζεται επιπλέον να γνωρίζουμε και την κατεύθυνση της ταχύτητας.

Πρόσεξε:

• Η εξίσωση \(\text{ημ}\varphi=d/A\) έχει πάντα δύο λύσεις γωνίας στο \([0,2\pi)\)· η φορά της ταχύτητας είναι αυτή που επιλέγει τη σωστή.

Άσκηση 1.3 (σελ. 31)

Ποια από τις επόμενες σχέσεις ανάμεσα στη συνολική δύναμη \(F\) που ασκείται σε ένα σώμα και στη θέση \(x\) του σώματος αναφέρεται σε μία απλή αρμονική ταλάντωση; α) \(F=10x\) β) \(F=-100x^2\) γ) \(F=-5x\) δ) \(F=50x^2\)

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συνθήκη ΑΑΤ: \(F=-Dx\) με \(D>0\) σταθερά — δηλαδή γραμμική εξάρτηση από το \(x\), με αρνητικό πρόσημο (δύναμη επαναφοράς).

Λύση:

1. Η (α) \(F=10x\) έχει θετικό συντελεστή — απωθητική δύναμη, όχι επαναφοράς. Απορρίπτεται.
2. Οι (β), (δ) εξαρτώνται από \(x^2\), όχι γραμμικά από \(x\). Απορρίπτονται.
3. Η (γ) \(F=-5x\) είναι της μορφής \(F=-Dx\) με \(D=5>0\) — πληροί τη συνθήκη ΑΑΤ.

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ) \(F=-5x\).

Πρόσεξε:

• Απαιτείται ΓΡΑΜΜΙΚΗ εξάρτηση από το \(x\) ΚΑΙ αρνητικό πρόσημο (επαναφοράς).

Άσκηση 1.4 (σελ. 31)

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Σε ποιες θέσεις η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η συνολική δύναμη είναι: 1) μηδέν; 2) μέγιστη; β) Σε ποιες θέσεις η κινητική ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ταχύτητα μέγιστη/μηδέν στα \(x=0\)/\(x=\pm A\) αντίστοιχα (αντίστροφα για επιτάχυνση/δύναμη, αφού \(F=-Dx\)). Για \(K=U\): \(\frac{1}{2}m\upsilon^2=\frac{1}{2}Dx^2\) με \(K+U=E\) σταθερό, άρα \(K=U=E/2\).

Λύση:

1. Ταχύτητα: μηδέν στα ακραία σημεία \(x=\pm A\) (εκεί σταματά στιγμιαία), μέγιστη στη θέση ισορροπίας \(x=0\).
2. Επιτάχυνση και συνολική δύναμη (\(F=-Dx\)): μηδέν στο \(x=0\) (θέση ισορροπίας), μέγιστη (κατ' απόλυτη τιμή) στα ακραία σημεία \(x=\pm A\).
3. Για \(K=U\): αφού \(E=K+U\) σταθερή, η ισότητα \(K=U\) σημαίνει \(K=U=E/2\).
4. Από \(U=\frac{1}{2}Dx^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}DA^2 \Rightarrow x^2=\frac{A^2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{A}{\sqrt2}=\pm\frac{A\sqrt2}{2}\).

Απάντηση: Ταχύτητα: μηδέν στο \(x=\pm A\), μέγιστη στο \(x=0\). Επιτάχυνση/δύναμη: μηδέν στο \(x=0\), μέγιστη στο \(x=\pm A\). Η κινητική ενέργεια ισούται με τη δυναμική στις θέσεις \(x=\pm\frac{A\sqrt2}{2}\approx\pm0{,}71A\).

Πρόσεξε:

• Ταχύτητα και επιτάχυνση/δύναμη είναι πάντα «αντίθετες» ως προς το πού μηδενίζονται/μεγιστοποιούνται.
• Το \(x=\pm A/\sqrt2\) δεν είναι το μισό πλάτος — μη μπερδεύεται με \(x=A/2\).

Άσκηση 1.5 (σελ. 31)

Συμπληρώστε τις τιμές που λείπουν στον επόμενο πίνακα, ο οποίος αναφέρεται στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος:

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ολική ενέργεια \(E=K+U\) είναι σταθερή σε κάθε θέση. Από τη γραμμή του \(x_1\) βρίσκουμε \(E=U+K=3+2=5\ \text{J}\), και το χρησιμοποιούμε στις υπόλοιπες γραμμές. Στο \(x=0\) είναι \(U=0\) (θέση ισορροπίας) άρα \(K=E\). Στο \(x=A\) είναι \(K=0\) (ακραία θέση) άρα \(U=E\).

Λύση:

1. Από τη γραμμή \(x_1\): \(E=U+K=3\ \text{J}+2\ \text{J}=5\ \text{J}\) — αυτή είναι η σταθερή ολική ενέργεια της ταλάντωσης.
2. Στο \(x=0\) (θέση ισορροπίας): \(U=0\) πάντα, άρα \(K=E-U=5-0=5\ \text{J}\).
3. Στο \(x=x_2\): \(U=4\ \text{J}\) δίνεται, άρα \(K=E-U=5-4=1\ \text{J}\).
4. Στο \(x=A\) (ακραίο σημείο): \(K=0\) πάντα, άρα \(U=E-K=5-0=5\ \text{J}\).

Απάντηση: \(E=5\ \text{J}\) σε κάθε θέση. Στο \(x=0\): \(U=0,\ K=5\ \text{J}\). Στο \(x=x_2\): \(K=1\ \text{J}\). Στο \(x=A\): \(U=5\ \text{J},\ K=0\).

Πρόσεξε:

• Η ολική ενέργεια \(E=U+K\) είναι η ΙΔΙΑ σε κάθε γραμμή του πίνακα — αυτό είναι το «κλειδί» της άσκησης.

Άσκηση 1.6 (σελ. 32)

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο \(T\). Τη χρονική στιγμή \(t=0\) το σώμα βρίσκεται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης (\(x=-A\)). Ποια χρονική στιγμή α) θα περάσει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας; β) θα φτάσει πρώτη φορά στη θέση \(x=-A\) (ξανά); γ) θα περάσει για δεύτερη φορά από τη θέση ισορροπίας;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε μια πλήρη ταλάντωση, το σώμα διανύει τη διαδρομή \(-A\to0\to A\to0\to-A\) σε χρόνο \(T\), με κάθε τεταρτημόριο της διαδρομής να αντιστοιχεί σε χρόνο \(T/4\).

Λύση:

1. Από \(x=-A\) (t=0) μέχρι τη θέση ισορροπίας \(x=0\) διανύεται το 1/4 της πλήρους ταλάντωσης: \(t_1=T/4\).
2. Το σώμα επιστρέφει στο \(x=-A\) αφού ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση: \(t_2=T\).
3. Η δεύτερη διέλευση από το \(x=0\) γίνεται στα 3/4 της πλήρους ταλάντωσης (\(-A\to0\to A\to0\)): \(t_3=3T/4\).

Απάντηση: α) \(t=T/4\) β) \(t=T\) γ) \(t=3T/4\).

Πρόσεξε:

• Η διαδρομή \(-A\to0\to A\to0\to-A\) χωρίζεται σε 4 ίσα χρονικά διαστήματα \(T/4\) — αλλά ΟΧΙ σε ίσα διαστήματα θέσης.

Άσκηση 1.7 (σελ. 32)

Το διάγραμμα του σχήματος 1.40 παριστάνει την επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, σε συνάρτηση με τον χρόνο (τη στιγμή \(t=0\) η επιτάχυνση έχει τη μέγιστη θετική τιμή της — σημείο 1· μηδενίζεται στο σημείο 2, γίνεται ελάχιστη στο σημείο 3 και ξαναμηδενίζεται στο σημείο 4, αυξανόμενη). α) Ποιο σημείο του διαγράμματος αντιστοιχεί σε απομάκρυνση \(-A\); β) Στο σημείο 4 του διαγράμματος η ταχύτητα της ταλάντωσης είναι θετική, αρνητική ή μηδέν; γ) Σε ποια απομάκρυνση αντιστοιχεί το σημείο 4 του διαγράμματος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τη σχέση \(a=-\omega^2x\): η επιτάχυνση έχει πάντα αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση. Μέγιστη θετική \(a\) αντιστοιχεί σε \(x=-A\), ελάχιστη (πιο αρνητική) \(a\) σε \(x=+A\), και \(a=0\) σε \(x=0\) (θέση ισορροπίας), όπου η ταχύτητα έχει μέγιστη απόλυτη τιμή. Το πρόσημο της ταχύτητας το βρίσκουμε από το πώς μεταβάλλεται η \(x\).

Λύση:

1. Από τη σχέση \(a=-\omega^2x\), η απομάκρυνση \(x=-A\) αντιστοιχεί στη μέγιστη θετική τιμή της επιτάχυνσης \(a=+\omega^2A\). Στο διάγραμμα αυτή είναι η τιμή της τη στιγμή \(t=0\), δηλαδή το σημείο 1.
2. Στο σημείο 3 η επιτάχυνση είναι ελάχιστη (\(a=-\omega^2A\)), άρα εκεί \(x=+A\).
3. Από το σημείο 3 στο σημείο 4 η επιτάχυνση αυξάνεται από \(-\omega^2A\) στο μηδέν· αφού \(x=-a/\omega^2\), η απομάκρυνση ελαττώνεται από \(+A\) στο μηδέν. Το σώμα λοιπόν κινείται από τη θέση \(x=+A\) προς τη θέση ισορροπίας, δηλαδή προς την αρνητική φορά.
4. Στο σημείο 4 (\(a=0\)) το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας \(x=0\) κινούμενο προς την αρνητική φορά, άρα η ταχύτητά του είναι αρνητική, με μέγιστη απόλυτη τιμή \(\omega A\).

Απάντηση: α) Το σημείο 1 (μέγιστη θετική επιτάχυνση) αντιστοιχεί σε απομάκρυνση \(x=-A\). β) Στο σημείο 4 η ταχύτητα είναι αρνητική (το σώμα κινείται από τη θέση \(x=+A\) προς τη θέση ισορροπίας), με μέγιστο μέτρο. γ) Το σημείο 4 αντιστοιχεί σε απομάκρυνση \(x=0\).

Πρόσεξε:

• Η επιτάχυνση έχει πάντα αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση (\(a=-\omega^2x\)) — μην τη μπερδεύεις με την ταχύτητα.
• Το πρόσημο της ταχύτητας στη θέση ισορροπίας το καθορίζει η φορά μεταβολής της \(x\): όταν η \(a\) αυξάνεται, η \(x\) ελαττώνεται, άρα \(\upsilon<0\).

Άσκηση 1.8 (σελ. 32)

Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων \(A\) και \(B\) ισορροπούν δύο σώματα με μάζες \(m_A\) και \(m_B\) αντίστοιχα (\(m_A>m_B\)). Στην κατάσταση αυτή τα δύο ελατήρια έχουν την ίδια επιμήκυνση. Απομακρύνουμε και τα δύο σώματα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά \(d\) και τα αφήνουμε ελεύθερα, οπότε εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Το σύστημα \(A-m_A\) έχει ενέργεια α) ίση με την ενέργεια που έχει το σύστημα \(B-m_B\), β) μεγαλύτερη από την ενέργεια του συστήματος \(B-m_B\), γ) μικρότερη από την ενέργεια του συστήματος \(B-m_B\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ίδια επιμήκυνση ισορροπίας σημαίνει \(m_Ag=K_Al\) και \(m_Bg=K_Bl\) με το ίδιο \(l\), άρα \(K_A/K_B=m_A/m_B\). Το πλάτος και στις δύο ταλαντώσεις είναι το ίδιο (\(d\)). Η ενέργεια είναι \(E=\frac12 D d^2\), με \(D=K\) τη σταθερά του ελατηρίου.

Λύση:

1. Στην ισορροπία: \(F_A=w_A\Rightarrow K_Al=m_Ag\) και \(K_Bl=m_Bg\) (ίδιο \(l\), αφού η επιμήκυνση είναι ίδια).
2. Διαιρώντας κατά μέλη: \(\dfrac{K_A}{K_B}=\dfrac{m_A}{m_B}>1\) αφού \(m_A>m_B\) — άρα \(K_A>K_B\).
3. Και τα δύο συστήματα εκτελούν ΑΑΤ με το ίδιο πλάτος \(A_{\text{πλ}}=d\) (μετατόπιση από τη νέα ισορροπία τους).
4. Η ενέργεια ταλάντωσης είναι \(E=\frac12 K d^2\) (σταθερά επαναφοράς \(D=K\) του κάθε ελατηρίου) — αφού \(K_A>K_B\) και το \(d\) είναι κοινό, \(E_A>E_B\).

Απάντηση: Σωστή είναι η (β): το σύστημα \(A-m_A\) έχει μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης, αφού \(K_A>K_B\) ενώ το πλάτος \(d\) είναι κοινό.

Πρόσεξε:

• Η «ίδια επιμήκυνση ισορροπίας» ΔΕΝ σημαίνει ίδια σταθερά ελατηρίου — αντίθετα, συνεπάγεται \(K\propto m\).
• Το πλάτος (η μετατόπιση \(d\)) είναι κοινό στα δύο συστήματα, όχι η σταθερά επαναφοράς.

Άσκηση 1.27 (σελ. 36)

Κάθε ελατήριο στο σχήμα 1.44 έχει το ένα άκρο του στερεωμένο σε ακίνητο σημείο και το άλλο άκρο προσδεμένο στο σώμα Σ. Οι σταθερές των δύο ελατηρίων είναι \(K_1=120\ \text{N/m}\) και \(K_2=80\ \text{N/m}\). Το σώμα Σ, μάζας \(m=2\ \text{kg}\), κινείται χωρίς τριβές. Να αποδείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα Σ, αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων, είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Τα δύο ελατήρια βρίσκονται εκατέρωθεν του σώματος (αντίθετες πλευρές)· σε κάθε μετατόπιση \(x\), το ένα συμπιέζεται/επιμηκύνεται κατά \(x\) και το άλλο αντίστοιχα — και οι δύο δυνάμεις έχουν την ίδια φορά (επαναφοράς), οπότε προστίθενται: \(D_{\text{ολ}}=K_1+K_2\).

Λύση:

1. Αν το σώμα μετατοπιστεί κατά \(x\) προς τα δεξιά, το αριστερό ελατήριο επιμηκύνεται κατά \(x\) ασκώντας δύναμη \(-K_1x\) (προς τα αριστερά), ενώ το δεξί ελατήριο συμπιέζεται κατά \(x\) ασκώντας επίσης δύναμη \(-K_2x\) (προς τα αριστερά).
2. Η συνισταμένη δύναμη είναι \(\Sigma F=-K_1x-K_2x=-(K_1+K_2)x=-Dx\), με \(D=K_1+K_2=120+80=200\ \text{N/m}\).
3. Η δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς — άρα η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς \(D=200\ \text{N/m}\).
4. Η περίοδος είναι \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2}{200}}=2\pi\sqrt{0{,}01}=2\pi(0{,}1)=0{,}2\pi\ \text{s}\approx0{,}63\ \text{s}\).

Απάντηση: Η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση με \(D=K_1+K_2=200\ \text{N/m}\) και περίοδο \(T=0{,}2\pi\ \text{s}\approx0{,}63\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• Σε αυτή τη διάταξη (ελατήρια εκατέρωθεν) οι σταθερές ΠΡΟΣΤΙΘΕΝΤΑΙ (\(D=K_1+K_2\)) — διαφορετικό από τη σειρά σύνδεση ελατηρίων στον ίδιο άξονα.

Άσκηση 1.28 (σελ. 36)

Σώμα μάζας \(m=2\ \text{kg}\) κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι \(A=0{,}5\ \text{m}\). Όταν το σώμα απέχει από τη θέση ισορροπίας του \(x_1=0{,}3\ \text{m}\) η ταχύτητά του είναι \(\upsilon_1=4\ \text{m/s}\). α) Υπολογίστε τη σταθερά \(D\) της ταλάντωσης. β) Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η απομάκρυνσή του είναι \(x_2=0{,}4\ \text{m}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τη διατήρηση της ενέργειας \(\frac12m\upsilon^2+\frac12Dx^2=\frac12DA^2=\frac12m\omega^2A^2\) προκύπτει \(\upsilon^2=\omega^2(A^2-x^2)\) (με \(\omega^2=D/m\)), από την οποία βρίσκουμε πρώτα το \(\omega^2\) (άρα και το \(D\)), και μετά την ταχύτητα στη νέα θέση.

Λύση:

1. Από \(\upsilon_1^2=\omega^2(A^2-x_1^2)\): \(16=\omega^2(0{,}25-0{,}09)=\omega^2(0{,}16) \Rightarrow \omega^2=100\ \text{rad}^2/\text{s}^2\).
2. \(D=m\omega^2=2\times100=200\ \text{N/m}\).
3. Για \(x_2=0{,}4\ \text{m}\): \(\upsilon_2^2=\omega^2(A^2-x_2^2)=100(0{,}25-0{,}16)=100(0{,}09)=9 \Rightarrow \upsilon_2=3\ \text{m/s}\).

Απάντηση: α) \(D=200\ \text{N/m}\) β) \(\upsilon_2=3\ \text{m/s}\).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιείται η ενεργειακή σχέση \(\upsilon^2=\omega^2(A^2-x^2)\) — δεν χρειάζεται να υπολογιστεί η αρχική φάση ή ο χρόνος.

Άσκηση 1.29 (σελ. 36)

Στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου κρέμεται σώμα άγνωστης μάζας. Η επιμήκυνση του ελατηρίου, όταν το σώμα ισορροπεί, είναι \(\Delta l=2{,}5\ \text{cm}\). Να υπολογίσετε την περίοδο της κατακόρυφης ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα, αν το απομακρύνουμε κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήσουμε ελεύθερο. Δίνεται \(g=10\ \text{m/s}^2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την ισορροπία \(mg=K\Delta l\) προκύπτει \(K/m=g/\Delta l\), οπότε η περίοδος \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) μπορεί να υπολογιστεί χωρίς να χρειαστεί να γνωρίζουμε ξεχωριστά \(m\) και \(K\).

Λύση:

1. Στην ισορροπία: \(mg=K\Delta l \Rightarrow \dfrac{K}{m}=\dfrac{g}{\Delta l}\).
2. \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\Delta l}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}025}{10}}=2\pi\sqrt{0{,}0025}=2\pi(0{,}05)\).
3. \(T=0{,}1\pi\ \text{s}\approx0{,}314\ \text{s}\).

Απάντηση: \(T=0{,}1\pi\ \text{s}\approx0{,}314\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• Δεν χρειάζεται να είναι γνωστά ξεχωριστά τα \(m\) και \(K\) — αρκεί ο λόγος τους μέσω της στατικής επιμήκυνσης \(\Delta l=mg/K\).

Άσκηση 1.37 (σελ. 37)

Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο \(T=0{,}2\pi\ \text{s}\). Τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση \(x=2\ \text{cm}\) και έχει ταχύτητα \(\upsilon=-0{,}2\sqrt3\ \text{m/s}\). Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε \(\omega=2\pi/T\). Χρησιμοποιώντας \(x_0=A\,\text{ημ}\varphi\) και \(\upsilon_0=A\omega\,\text{συν}\varphi\) σχηματίζουμε δύο εξισώσεις με αγνώστους \(A,\varphi\): από το άθροισμα τετραγώνων (Πυθαγόρεια σχέση \(\text{ημ}^2+\text{συν}^2=1\)) βρίσκουμε το \(A\), και μετά τη γωνία \(\varphi\) από τον λόγο των δύο.

Λύση:

1. \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}2\pi}=10\ \text{rad/s}\).
2. \(x_0=A\,\text{ημ}\varphi=0{,}02\ \text{m}\) και \(\dfrac{\upsilon_0}{\omega}=A\,\text{συν}\varphi=\dfrac{-0{,}2\sqrt3}{10}=-0{,}02\sqrt3\ \text{m}\).
3. \(A^2=x_0^2+\left(\dfrac{\upsilon_0}{\omega}\right)^2=(0{,}02)^2+(0{,}02\sqrt3)^2=0{,}0004+0{,}0012=0{,}0016 \Rightarrow A=0{,}04\ \text{m}\).
4. \(\text{ημ}\varphi=\dfrac{0{,}02}{0{,}04}=\dfrac12\) και \(\text{συν}\varphi=\dfrac{-0{,}02\sqrt3}{0{,}04}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) — γωνία στο 2ο τεταρτημόριο: \(\varphi=\dfrac{5\pi}{6}\).
5. Άρα \(x=4\times10^{-2}\,\text{ημ}\!\left(10t+\dfrac{5\pi}{6}\right)\ \text{m}\), \(\upsilon=0{,}4\,\text{συν}\!\left(10t+\dfrac{5\pi}{6}\right)\ \text{m/s}\), \(a=-4\,\text{ημ}\!\left(10t+\dfrac{5\pi}{6}\right)\ \text{m/s}^2\) (μονάδες S.I.).

Απάντηση: \(x=4\times10^{-2}\,\text{ημ}(10t+5\pi/6)\) m, \(\upsilon=0{,}4\,\text{συν}(10t+5\pi/6)\) m/s, \(a=-4\,\text{ημ}(10t+5\pi/6)\) m/s² (S.I.).

Πρόσεξε:

• Το πρόσημο του \(\text{ημ}\varphi\) και του \(\text{συν}\varphi\) καθορίζει το σωστό τεταρτημόριο της γωνίας \(\varphi\) — μην πάρετε απλώς το τόξο ημιτόνου.

Άσκηση 1.38 (σελ. 38)

Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς \(K=100\ \text{N/m}\), η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο, ισορροπεί σώμα μάζας \(m=1\ \text{kg}\). Το σώμα απομακρύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω κατά \(d=5\ \text{cm}\) από τη θέση ισορροπίας του και τη στιγμή μηδέν αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογίσετε: α) τη συχνότητα της ταλάντωσης, β) την αρχική φάση, γ) τη μέγιστη ταχύτητα, δ) τη μέγιστη επιτάχυνση, ε) τη μέγιστη δύναμη που δέχεται από το ελατήριο. Δίνεται \(g=10\ \text{m/s}^2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σώμα αφήνεται ελεύθερο από ακραία θέση (\(x=-A=-d\) αν θετική φορά προς τα κάτω, ή \(x=+A\) αν προς τα πάνω) με \(A=d\). Η μέγιστη δύναμη ελατηρίου προκύπτει στο κατώτατο σημείο, όπου το ελατήριο έχει τη μέγιστη επιμήκυνση \(l+d\) (με \(l\) τη στατική επιμήκυνση ισορροπίας).

Λύση:

1. \(\omega=\sqrt{K/m}=\sqrt{100/1}=10\ \text{rad/s} \Rightarrow f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{10}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}\ \text{Hz}\approx1{,}59\ \text{Hz}\).
2. Το σώμα αφήνεται ελεύθερο από ακραία θέση (\(A=d=0{,}05\ \text{m}\)) με μηδενική ταχύτητα — δηλαδή \(\text{ημ}\varphi=\pm1 \Rightarrow \varphi=\pi/2\) (αν θετική φορά προς τη θέση εκκίνησης) ή \(\varphi=3\pi/2\) (αν προς την αντίθετη). Ανάλογα με τη σύμβαση φοράς, \(\varphi=\pi/2\) ή \(3\pi/2\).
3. \(\upsilon_{\max}=\omega A=10\times0{,}05=0{,}5\ \text{m/s}\).
4. \(a_{\max}=\omega^2A=100\times0{,}05=5\ \text{m/s}^2\).
5. Στατική επιμήκυνση ισορροπίας: \(l=mg/K=1\times10/100=0{,}1\ \text{m}\). Στο κατώτατο σημείο η συνολική επιμήκυνση είναι \(l+d=0{,}15\ \text{m}\), οπότε \(F_{\max}=K(l+d)=100\times0{,}15=15\ \text{N}\).

Απάντηση: α) \(f=5/\pi\ \text{Hz}\approx1{,}59\ \text{Hz}\) β) \(\varphi=\pi/2\) ή \(3\pi/2\) (ανάλογα με τη σύμβαση φοράς) γ) \(\upsilon_{\max}=0{,}5\ \text{m/s}\) δ) \(a_{\max}=5\ \text{m/s}^2\) ε) \(F_{\max}=15\ \text{N}\).

Πρόσεξε:

• Η μέγιστη δύναμη του ελατηρίου υπολογίζεται από τη ΣΥΝΟΛΙΚΗ επιμήκυνση \(l+d\) στο κατώτατο σημείο, όχι μόνο από \(Kd\).
• Το πλάτος της ταλάντωσης εδώ είναι \(A=d\), αφού το σώμα αφήνεται ελεύθερο (μηδενική αρχική ταχύτητα) από εκεί.

Άσκηση 1.39 (σελ. 38)

Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους \(A=20\ \text{cm}\) και περιόδου \(T=10\ \text{s}\). Τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας. Να υπολογιστεί επί πόσο χρόνο (μέχρι να επιστρέψει στη θέση ισορροπίας) η απομάκρυνσή του θα είναι μεγαλύτερη από \(x=10\ \text{cm}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Με \(x=A\,\text{ημ}\,\omega t\), η ανίσωση \(x>10\ \text{cm}=A/2\) ισχύει για γωνία \(\omega t\) στο διάστημα \((\pi/6, 5\pi/6)\), αφού \(\text{ημ}(\pi/6)=1/2\).

Λύση:

1. \(\omega=2\pi/T=2\pi/10=\pi/5\ \text{rad/s}\).
2. \(x>A/2 \Leftrightarrow \text{ημ}\,\omega t>1/2 \Leftrightarrow \omega t\in(\pi/6,\,5\pi/6)\) (πρώτο ημικύκλιο, πριν επιστρέψει στο \(x=0\)).
3. Η διάρκεια σε γωνία είναι \(\Delta(\omega t)=5\pi/6-\pi/6=4\pi/6=2\pi/3\).
4. \(\Delta t=\dfrac{\Delta(\omega t)}{\omega}=\dfrac{2\pi/3}{\pi/5}=\dfrac{2}{3}\times5=\dfrac{10}{3}\ \text{s}\approx3{,}33\ \text{s}\).

Απάντηση: \(\Delta t=\dfrac{10}{3}\ \text{s}\approx3{,}33\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• Η ανίσωση \(\text{ημ}\theta>1/2\) ισχύει σε ΔΙΑΣΤΗΜΑ γωνιών \((\pi/6,5\pi/6)\), όχι σε ένα σημείο — προσοχή στα όρια ολοκλήρωσης του χρόνου.

Άσκηση 1.40 (σελ. 38)

Ο εμπρόσθιος προφυλακτήρας ενός αυτοκινήτου συμπεριφέρεται σαν ιδανικό ελατήριο σταθεράς \(K=25\times10^5\ \text{N/m}\). α) Η μάζα του αυτοκινήτου με τους επιβάτες είναι \(M=1000\ \text{kg}\). Το αυτοκίνητο συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο εμπόδιο ενώ κινείται με ταχύτητα \(\upsilon=18\ \text{km/h}\). Υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση του «ελατηρίου-προφυλακτήρα» και τη χρονική διάρκεια της συμπίεσης. β) Ένας επιβάτης έχει μάζα \(m=60\ \text{kg}\). Υπολογίστε τη μέγιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να δεχτεί από τη ζώνη πρόσδεσης ώστε να μην εκτιναχθεί. Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές, τον κινητήρα ανενεργό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κατά τη σύγκρουση, όλη η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια του «ελατηρίου» στο σημείο μέγιστης συμπίεσης (ΑΑΤ ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας/φυσικού μήκους με μέγιστη ταχύτητα). Ο χρόνος συμπίεσης είναι το 1/4 της περιόδου. Ο επιβάτης επιβραδύνεται με το ίδιο \(\omega\) όσο και το αμάξωμα.

Λύση:

1. \(\upsilon=18\ \text{km/h}=5\ \text{m/s}\).
2. Διατήρηση ενέργειας: \(\frac12M\upsilon^2=\frac12Kx^2 \Rightarrow x=\upsilon\sqrt{M/K}=5\sqrt{1000/(25\times10^5)}=5\sqrt{4\times10^{-4}}=5(0{,}02)=0{,}1\ \text{m}\).
3. Γωνιακή συχνότητα: \(\omega=\sqrt{K/M}=\sqrt{2500}=50\ \text{rad/s}\). Ο χρόνος μέγιστης συμπίεσης είναι το 1/4 της περιόδου: \(t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{2\pi/\omega}{4}=\dfrac{\pi}{2\omega}=\dfrac{\pi}{100}\ \text{s}\).
4. Η μέγιστη επιβράδυνση (ίδια για αυτοκίνητο και επιβάτη, αφού κινούνται μαζί) είναι \(a_{\max}=\omega^2x=2500\times0{,}1=250\ \text{m/s}^2\).
5. Η μέγιστη δύναμη στη ζώνη: \(F=ma_{\max}=60\times250=15\times10^3\ \text{N}=15\,000\ \text{N}\).

Απάντηση: α) Μέγιστη συσπείρωση \(x=0{,}1\ \text{m}\), διάρκεια συμπίεσης \(t=\pi/100\ \text{s}\approx0{,}0314\ \text{s}\). β) \(F=15\times10^3\ \text{N}\).

Πρόσεξε:

• Ο χρόνος συμπίεσης είναι ΤΕΤΑΡΤΟ της περιόδου (από \(x=0\), μέγιστη ταχύτητα, μέχρι \(x=x_{\max}\), μηδενική ταχύτητα) — όχι μισή περίοδος.
• Ο επιβάτης δέχεται την ίδια επιτάχυνση με το αμάξωμα, εφόσον κινούνται μαζί μέχρι εκείνη τη στιγμή.

Άσκηση 1.41 (σελ. 38)

Ακίνητο σώμα μάζας \(M=100\ \text{g}\) βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς \(K=300\ \text{N/m}\), η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη ακλόνητα. Βλήμα μάζας \(m=20\ \text{g}\), που κινείται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα \(\upsilon=30\ \text{m/s}\), συγκρούεται με το σώμα \(M\) και σφηνώνεται σε αυτό. Να υπολογίσετε: α) την κοινή ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση, β) το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά, γ) σε πόσο χρόνο από την κρούση θα συμβεί αυτό. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κρούση είναι πλαστική και ακαριαία (το ελατήριο δεν προλαβαίνει να ασκήσει ώθηση) — εφαρμόζουμε διατήρηση ορμής. Η κρούση γίνεται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου (θέση ισορροπίας του \(M\), αφού το επίπεδο είναι λείο και το \(M\) αρχικά ακίνητο εκεί), άρα η ταχύτητα μετά την κρούση είναι η μέγιστη ταχύτητα (\(\upsilon_{\max}=\omega A\)) της επακόλουθης ΑΑΤ.

Λύση:

1. Διατήρηση ορμής: \(m\upsilon=(m+M)\upsilon_{\text{κ}} \Rightarrow \upsilon_{\text{κ}}=\dfrac{m\upsilon}{m+M}=\dfrac{0{,}02\times30}{0{,}12}=\dfrac{0{,}6}{0{,}12}=5\ \text{m/s}\).
2. Το συσσωμάτωμα (μάζα \(m+M=0{,}12\ \text{kg}\)) εκτελεί ΑΑΤ με \(\omega=\sqrt{K/(m+M)}=\sqrt{300/0{,}12}=\sqrt{2500}=50\ \text{rad/s}\), ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας (\(x=0\)) με μέγιστη ταχύτητα \(\upsilon_{\text{κ}}=5\ \text{m/s}\).
3. Άρα \(\upsilon_{\max}=\omega A \Rightarrow A=\dfrac{\upsilon_{\text{κ}}}{\omega}=\dfrac{5}{50}=0{,}1\ \text{m}\) — αυτό είναι το διάστημα (πλάτος) μέχρι να σταματήσει στιγμιαία.
4. Ο χρόνος για να φτάσει από τη θέση ισορροπίας (\(x=0\)) στο ακραίο σημείο (\(x=A\), όπου σταματά στιγμιαία) είναι το 1/4 της περιόδου: \(t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{2\pi/\omega}{4}=\dfrac{\pi}{2\times50}=\dfrac{\pi}{100}\ \text{s}\approx3{,}14\times10^{-2}\ \text{s}\).

Απάντηση: α) \(\upsilon_{\text{κ}}=5\ \text{m/s}\) β) \(A=0{,}1\ \text{m}\) γ) \(t=\pi/100\ \text{s}\approx3{,}14\times10^{-2}\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιείται η μάζα \(m+M\) (όχι μόνο \(M\)) στον υπολογισμό του \(\omega\) μετά την κρούση.
• Η κρούση γίνεται ακριβώς στη θέση ισορροπίας — η ταχύτητα αμέσως μετά ΕΙΝΑΙ η μέγιστη ταχύτητα της ΑΑΤ που ακολουθεί.

Άσκηση 1.46 (σελ. 40)

Τα σώματα \(\Sigma_1\) και \(\Sigma_2\) (μάζες \(m_1=1\ \text{kg}\), \(m_2=3\ \text{kg}\)) είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Το \(\Sigma_1\) είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς \(k=100\ \text{N/m}\). Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και τα σώματα ισορροπούν. Μετακινούμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά \(A=40\ \text{cm}\) και τα αφήνουμε ελεύθερα. Να βρείτε: α) τη θέση στην οποία θα αποχωριστεί το \(\Sigma_2\) από το \(\Sigma_1\), β) το πλάτος της ΑΑΤ που εκτελεί το \(\Sigma_1\) μετά τον αποχωρισμό, γ) την απόσταση των σωμάτων όταν η ταχύτητα του \(\Sigma_1\) μηδενίζεται για πρώτη φορά (μετά τον αποχωρισμό).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όσο τα σώματα κινούνται μαζί, το ελατήριο μπορεί μόνο να ΣΠΡΩΧΝΕΙ το \(\Sigma_2\) (επαφή, όχι σύνδεση) — άρα ο αποχωρισμός γίνεται ακριβώς όταν η δύναμη του ελατηρίου μηδενίζεται, δηλαδή στη θέση φυσικού μήκους (θέση ισορροπίας). Μέχρι εκεί, κινούνται μαζί με μάζα \(m_1+m_2\)· μετά, το \(\Sigma_1\) συνεχίζει μόνο του με μάζα \(m_1\), ενώ το \(\Sigma_2\) συνεχίζει με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμη ομαλή, αφού δεν ασκείται πια δύναμη σε αυτό).

Λύση:

1. Ο αποχωρισμός γίνεται όταν η δύναμη του ελατηρίου μηδενίζεται (δεν μπορεί να «τραβήξει» το \(\Sigma_2\)) — δηλαδή στη θέση ισορροπίας/φυσικού μήκους του ελατηρίου.
2. Μέχρι εκεί, τα σώματα κινούνται μαζί (μάζα \(m_1+m_2=4\ \text{kg}\)) εκτελώντας ΑΑΤ με πλάτος \(A=0{,}4\ \text{m}\) και \(\omega_{12}=\sqrt{k/(m_1+m_2)}=\sqrt{100/4}=5\ \text{rad/s}\). Στη θέση ισορροπίας η ταχύτητά τους είναι μέγιστη: \(\upsilon_{\text{κοιν}}=\omega_{12}A=5\times0{,}4=2\ \text{m/s}\).
3. Μετά τον αποχωρισμό, το \(\Sigma_1\) (μάζα \(m_1=1\ \text{kg}\)) συνεχίζει μόνο με ταχύτητα \(2\ \text{m/s}\) στη θέση ισορροπίας — αυτή είναι πλέον η ΜΕΓΙΣΤΗ ταχύτητα της νέας του ΑΑΤ, με \(\omega_1=\sqrt{k/m_1}=\sqrt{100}=10\ \text{rad/s}\). Άρα το νέο πλάτος είναι \(A_1=\dfrac{\upsilon_{\text{κοιν}}}{\omega_1}=\dfrac{2}{10}=0{,}2\ \text{m}\).
4. Ο χρόνος από τον αποχωρισμό μέχρι το \(\Sigma_1\) να μηδενίσει πρώτη φορά την ταχύτητά του είναι \(t=T_1/4=\dfrac{2\pi/\omega_1}{4}=\dfrac{\pi}{2\times10}=\dfrac{\pi}{20}\ \text{s}\). Στο διάστημα αυτό το \(\Sigma_1\) μετατοπίζεται κατά \(A_1=0{,}2\ \text{m}\) (προς την ίδια κατεύθυνση με το \(\Sigma_2\), τεντώνοντας το ελατήριο).
5. Στο ίδιο χρονικό διάστημα, το \(\Sigma_2\) κινείται ευθύγραμμα ομαλά με σταθερή ταχύτητα \(2\ \text{m/s}\), διανύοντας \(d_2=\upsilon_{\text{κοιν}}\cdot t=2\times\dfrac{\pi}{20}=\dfrac{\pi}{10}\ \text{m}\approx0{,}314\ \text{m}\).
6. Και τα δύο σώματα κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, με αφετηρία το σημείο αποχωρισμού (θέση ισορροπίας). Τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα του \(\Sigma_1\), αυτό βρίσκεται \(A_1=0{,}2\ \text{m}\) ΜΠΡΟΣΤΑ από το σημείο αποχωρισμού, ενώ το \(\Sigma_2\) βρίσκεται \(d_2\approx0{,}314\ \text{m}\) μπροστά από αυτό. Άρα η απόσταση των σωμάτων είναι \(d=d_2-A_1=\dfrac{\pi}{10}-0{,}2\approx0{,}314-0{,}2=0{,}114\ \text{m}\approx11{,}4\ \text{cm}\).

Απάντηση: α) Στη θέση ισορροπίας (φυσικού μήκους του ελατηρίου). β) \(A_1=0{,}2\ \text{m}=20\ \text{cm}\). γ) Aπόσταση \(\approx0{,}114\ \text{m}=11{,}4\ \text{cm}\).

Πρόσεξε:

• Το ελατήριο μπορεί μόνο να ΣΠΡΩΧΝΕΙ το \(\Sigma_2\) (απλή επαφή) — ο αποχωρισμός γίνεται ακριβώς στο σημείο μηδενισμού της δύναμης, δηλαδή στη θέση ισορροπίας, ΟΧΙ στο ακραίο σημείο.
• Μετά τον αποχωρισμό το \(\Sigma_2\) κινείται ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΟΜΑΛΑ (καμία δύναμη πάνω του) ενώ το \(\Sigma_1\) κάνει νέα ΑΑΤ με τη ΔΙΚΗ ΤΟΥ μάζα \(m_1\).

Άσκηση 1.47 (σελ. 40)

Κατακόρυφο ελατήριο με σταθερά \(K=100\ \text{N/m}\) έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο πάνω άκρο του έχει προσδεθεί σώμα \(\Sigma_1\), μάζας \(m_1=1\ \text{kg}\), που ισορροπεί. Δεύτερο σώμα \(\Sigma_2\), μάζας \(m_2\), βρίσκεται πάνω από το πρώτο σε άγνωστο ύψος \(h\). Μετακινούμε το σώμα \(\Sigma_1\) προς τα κάτω κατά \(l=0{,}2\ \text{m}\) και το αφήνουμε ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα αφήνουμε ελεύθερο και το \(\Sigma_2\). α) Από ποιο ύψος \(h\) πρέπει να αφεθεί το \(\Sigma_2\) ώστε να συναντήσει το \(\Sigma_1\) στη θέση ισορροπίας του; β) Ποια είναι η ταχύτητα κάθε σώματος τη στιγμή που συγκρούονται; γ) Αν η κρούση είναι στιγμιαία και κάθε σώμα αποκτά μετά την κρούση ταχύτητα αντίθετη από αυτήν πριν, να υπολογίσετε τον χρόνο ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κρούσεις. Δίνονται \(g=10\ \text{m/s}^2\), \(\pi^2\approx10\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το \(\Sigma_1\) αφήνεται από ακραία θέση (\(A=l\)) — φτάνει στη θέση ισορροπίας (μέγιστη ταχύτητα) σε χρόνο \(T_1/4\). Το \(\Sigma_2\) πρέπει να διανύσει ύψος \(h\) στον ίδιο χρόνο (ελεύθερη πτώση) ώστε να συναντηθούν εκεί.

Λύση:

1. \(\omega_1=\sqrt{K/m_1}=\sqrt{100}=10\ \text{rad/s}\), \(T_1=2\pi/\omega_1=0{,}2\pi\ \text{s}\). Ο χρόνος μέχρι το \(\Sigma_1\) να φτάσει στη θέση ισορροπίας (από την ακραία θέση \(l\)) είναι \(t=T_1/4=0{,}05\pi\ \text{s}\).
2. Το \(\Sigma_2\) πέφτει ελεύθερα για τον ίδιο χρόνο \(t\): \(h=\frac12gt^2=\frac12(10)(0{,}05\pi)^2=5(0{,}0025\pi^2)=0{,}0125\pi^2\). Με \(\pi^2\approx10\): \(h=0{,}125\ \text{m}\).
3. Ταχύτητα \(\Sigma_1\) στη θέση ισορροπίας (μέγιστη): \(\upsilon_1=\omega_1 l=10\times0{,}2=2\ \text{m/s}\).
4. Ταχύτητα \(\Sigma_2\) στο τέλος της πτώσης: \(\upsilon_2=gt=10\times0{,}05\pi=0{,}5\pi\approx1{,}57\ \text{m/s}\).
5. Μετά την κρούση, κάθε σώμα αντιστρέφει φορά διατηρώντας το μέτρο της ταχύτητάς του. Το \(\Sigma_1\) (τώρα κινούμενο προς τα κάτω με \(2\ \text{m/s}\) στη θέση ισορροπίας) συνεχίζει ΑΑΤ με το ίδιο πλάτος \(l\) και επιστρέφει στη θέση ισορροπίας (περνώντας ξανά με ταχύτητα \(2\ \text{m/s}\), αντίθετης φοράς) μετά από μισή περίοδο: \(\Delta t_1=T_1/2=0{,}1\pi\approx0{,}314\ \text{s}\).
6. Το \(\Sigma_2\) (τώρα εκτοξεύεται προς τα πάνω με \(\upsilon_2=1{,}57\ \text{m/s}\)) επιστρέφει στο ίδιο ύψος με την ίδια κατ' απόλυτη τιμή ταχύτητα μετά από χρόνο \(\Delta t_2=\dfrac{2\upsilon_2}{g}=\dfrac{2\times0{,}5\pi}{10}=0{,}1\pi\approx0{,}314\ \text{s}\) — ίδιος χρόνος με το \(\Sigma_1\), άρα συναντιούνται ξανά εκεί.

Απάντηση: α) \(h=0{,}125\ \text{m}\). β) \(\upsilon_1=2\ \text{m/s}\), \(\upsilon_2\approx1{,}57\ \text{m/s}\). γ) Χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικές κρούσεις \(\approx0{,}314\ \text{s}\) (και για τα δύο σώματα, \(T_1/2=2\upsilon_2/g\)).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιείται η δοσμένη προσέγγιση \(\pi^2\approx10\) — χωρίς αυτήν το \(h\) βγαίνει ελαφρώς διαφορετικό (0,1234 m).
• Ο χρόνος επαναφοράς στο σημείο κρούσης είναι \(T_1/2\) για το \(\Sigma_1\) (διέλευση θέσης ισορροπίας) και \(2\upsilon_2/g\) για το \(\Sigma_2\) (συμμετρική βολή) — βγαίνουν ίσοι, γι' αυτό ξανασυναντιούνται.

Άσκηση 1.48 (σελ. 40)

Σώμα \(\Sigma_1\), μάζας \(m_1=0{,}3\ \text{kg}\), αναρτάται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Όταν το σώμα ισορροπεί, η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι \(0{,}25\ \text{m}\). Δεύτερο σώμα \(\Sigma_2\), μάζας \(m_2=0{,}45\ \text{kg}\), βάλλεται κατακόρυφα από το έδαφος και στην πορεία του συναντά το \(\Sigma_1\) και συγκρούεται πλαστικά με αυτό. Το συσσωμάτωμα φτάνει μέχρι τη θέση στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. α) Ποια είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; β) Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το συσσωμάτωμα κατά την κάθοδό του; γ) Μετά από πόσο χρόνο, από τη στιγμή που φτάνει στην ανώτερη θέση, η ταχύτητά του γίνεται πρώτη φορά μέγιστη; Δίνεται \(g=10\ \text{m/s}^2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Καθοριστικό σημείο: όταν προστίθεται η μάζα \(m_2\), η ΝΕΑ θέση ισορροπίας του συστήματος μετατοπίζεται πιο κάτω από την παλιά θέση ισορροπίας του \(\Sigma_1\) — η κρούση γίνεται στην ΠΑΛΙΑ θέση ισορροπίας, που πλέον δεν είναι το κέντρο ταλάντωσης του συσσωματώματος. Πρέπει να δουλέψουμε ως προς τη ΝΕΑ θέση ισορροπίας.

Λύση:

1. Σταθερά ελατηρίου: \(K=\dfrac{m_1g}{0{,}25}=\dfrac{0{,}3\times10}{0{,}25}=12\ \text{N/m}\).
2. Νέα στατική επιμήκυνση (μάζα \(m_1+m_2=0{,}75\ \text{kg}\)): \(\Delta l'=\dfrac{(m_1+m_2)g}{K}=\dfrac{0{,}75\times10}{12}=0{,}625\ \text{m}\).
3. Η ΝΕΑ θέση ισορροπίας βρίσκεται \(0{,}625-0{,}25=0{,}375\ \text{m}\) ΚΑΤΩ από την παλιά θέση ισορροπίας (όπου έγινε η κρούση). Άρα, ως προς τη νέα θέση ισορροπίας, το σημείο κρούσης είναι σε απόσταση \(x_0=0{,}375\ \text{m}\) ΠΑΝΩ από αυτήν.
4. Το ελατήριο στο φυσικό του μήκος βρίσκεται \(\Delta l'=0{,}625\ \text{m}\) πάνω από τη νέα θέση ισορροπίας — δηλαδή είναι το ΑΚΡΑΙΟ σημείο (πλάτος) της νέας ΑΑΤ, αφού εκεί «φτάνει μέχρι» με μηδενική ταχύτητα: \(A=0{,}625\ \text{m}\).
5. Γωνιακή συχνότητα μετά την κρούση: \(\omega=\sqrt{K/(m_1+m_2)}=\sqrt{12/0{,}75}=\sqrt{16}=4\ \text{rad/s}\).
6. Ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση (στη θέση \(x_0=0{,}375\ \text{m}\) από τη νέα ισορροπία, με πλάτος \(A=0{,}625\ \text{m}\)): \(\upsilon_0=\omega\sqrt{A^2-x_0^2}=4\sqrt{0{,}625^2-0{,}375^2}=4\sqrt{0{,}390625-0{,}140625}=4\sqrt{0{,}25}=4(0{,}5)=2\ \text{m/s}\).
7. Μέγιστη ταχύτητα κατά την κάθοδο (στη νέα θέση ισορροπίας): \(\upsilon_{\max}=\omega A=4\times0{,}625=2{,}5\ \text{m/s}\).
8. Χρόνος από την ανώτατη θέση (ακραίο σημείο, \(x=-A\)) μέχρι τη νέα θέση ισορροπίας (όπου η ταχύτητα γίνεται μέγιστη) είναι το 1/4 της περιόδου: \(t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{2\pi/\omega}{4}=\dfrac{\pi}{2\times4}=\dfrac{\pi}{8}\ \text{s}\approx0{,}39\ \text{s}\approx0{,}4\ \text{s}\).

Απάντηση: α) \(\upsilon_0=2\ \text{m/s}\) β) \(\upsilon_{\max}=2{,}5\ \text{m/s}\) γ) \(t=\pi/8\ \text{s}\approx0{,}4\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• ΚΡΙΣΙΜΟ ΛΑΘΟΣ ΝΑ ΑΠΟΦΥΓΕΤΕ: μετά την πλαστική κρούση η μάζα αλλάζει, άρα αλλάζει ΚΑΙ η θέση ισορροπίας — η κρούση ΔΕΝ γίνεται στη νέα θέση ισορροπίας.
• Το «φτάνει μέχρι το φυσικό μήκος» σημαίνει ότι ΕΚΕΙ το πλάτος έχει την ακραία του τιμή (μηδενική ταχύτητα) ως προς τη ΝΕΑ θέση ισορροπίας.