Κεφάλαιο 6.10 – Σχετικιστική Ενέργεια — Λύσεις (σελ. 218-220)

Κεφάλαιο 6.10 - Σχετικιστική Ενέργεια (σελ. 218-220) — Λύσεις

Άσκηση 6.15 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.15)

Εκφώνηση: Είναι η ενέργεια μια αναλλοίωτη ποσότητα; Είναι δηλαδή η ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα; Ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα η αρχή διατήρησης της ενέργειας;

Σκέψη: Η ολική ενέργεια ενός σώματος E = mc²/√(1 − u²/c²) εξαρτάται από την ταχύτητά του, που είναι διαφορετική σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι νόμος της Φυσικής, άρα, σύμφωνα με το 1ο αξίωμα, ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.

Λύση:

• Ένα σώμα έχει διαφορετική ταχύτητα ως προς διαφορετικά αδρανειακά συστήματα, άρα και διαφορετική ενέργεια E = mc²/√(1 − u²/c²): η ενέργεια δεν είναι αναλλοίωτη.
• Σύμφωνα με το 1ο αξίωμα, οι νόμοι της Φυσικής, άρα και η αρχή διατήρησης της ενέργειας, ισχύουν σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.

Απάντηση: Όχι, η ενέργεια δεν είναι αναλλοίωτη ποσότητα: η τιμή της ενέργειας ενός σώματος, E = mc²/√(1 − u²/c²), εξαρτάται από την ταχύτητά του, άρα από το σύστημα αναφοράς. Αναλλοίωτη είναι μόνο η ενέργεια ηρεμίας mc². Ωστόσο η αρχή διατήρησης της ενέργειας ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα: σε κάθε σύστημα η ολική ενέργεια ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων μένει σταθερή, με τιμή που διαφέρει από σύστημα σε σύστημα.

Πρόσεξε:

• «Διατηρείται» (σταθερή στον χρόνο μέσα σε ένα σύστημα αναφοράς) δεν σημαίνει «αναλλοίωτη» (ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς).

Άσκηση 6.17 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.17)

Εκφώνηση: Ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο που κινούνται με μεγάλες ταχύτητες έχουν την ίδια ενέργεια. Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι α) ίση, β) μικρότερη ή γ) μεγαλύτερη από την ενέργεια του πρωτονίου; Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη: Η ολική ενέργεια είναι E = K + mc². Για ίδια ολική ενέργεια, το σωματίδιο με τη μικρότερη ενέργεια ηρεμίας mc² έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια.

Λύση:

• K = E − mc².
• Ίδιο E για τα δύο σωματίδια, αλλά m_e < m_p, άρα m_e c² < m_p c².
• K_e = E − m_e c² > E − m_p c² = K_p.

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ): η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια του πρωτονίου. Αφού E = K + mc² και οι ολικές ενέργειες είναι ίσες, το ηλεκτρόνιο, που έχει πολύ μικρότερη ενέργεια ηρεμίας, έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια.

Πρόσεξε:

• Η σύγκριση αφορά τις κινητικές ενέργειες των δύο σωματιδίων· οι ολικές ενέργειές τους είναι εξ ορισμού ίσες.

Άσκηση 6.18 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.18)

Εκφώνηση: Η ενέργεια σύνδεσης του ατόμου του υδρογόνου είναι 13,6 eV. Αυτό σημαίνει ότι η μάζα του ατόμου του υδρογόνου είναι: α) μεγαλύτερη από το άθροισμα των μαζών ενός πρωτονίου κι ενός ηλεκτρονίου. β) μικρότερη από το άθροισμα των μαζών ενός πρωτονίου κι ενός ηλεκτρονίου. γ) ίση με το άθροισμα των μαζών ενός πρωτονίου κι ενός ηλεκτρονίου.

Σκέψη: Ενέργεια σύνδεσης είναι η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε για να διαχωρίσουμε το άτομο σε ελεύθερο πρωτόνιο και ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Σύμφωνα με την ισοδυναμία μάζας-ενέργειας, η ενέργεια αυτή αντιστοιχεί σε μάζα ΔE/c².

Λύση:

• Για τον διαχωρισμό του ατόμου προσφέρουμε ενέργεια 13,6 eV, άρα τα ελεύθερα σωματίδια έχουν μεγαλύτερη ενέργεια ηρεμίας από το άτομο.
• (m_p + m_e)c² = m_H c² + 13,6 eV ⇒ m_H = m_p + m_e − (13,6 eV)/c² < m_p + m_e.

Απάντηση: Σωστή είναι η (β): η μάζα του ατόμου του υδρογόνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών ενός πρωτονίου και ενός ηλεκτρονίου, κατά Δm = 13,6 eV/c². Όταν σχηματίζεται το άτομο απελευθερώνεται ενέργεια 13,6 eV, στην οποία αντιστοιχεί αυτή η μείωση της μάζας.

Πρόσεξε:

• Η διαφορά μάζας είναι εξαιρετικά μικρή (περίπου 10⁻⁸ της μάζας του ατόμου), αλλά υπάρχει.

Άσκηση 6.23 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.23)

Εκφώνηση: Κατά την έκρηξη μιας πυρηνικής βόμβας 10 mg ύλης εξαφανίστηκαν. Πόση ενέργεια απελευθερώθηκε; Δίνεται c = 3·10⁸ m/s.

Σκέψη: Η μάζα που «εξαφανίστηκε» μετατράπηκε σε ενέργεια σύμφωνα με τη σχέση E = mc². Μετατρέπουμε πρώτα τη μάζα σε kg.

Λύση:

• m = 10 mg = 10·10⁻⁶ kg = 10⁻⁵ kg.
• E = mc² = 10⁻⁵ kg · (3·10⁸ m/s)² = 10⁻⁵ · 9·10¹⁶ J = 9·10¹¹ J.

Απάντηση: Απελευθερώθηκε ενέργεια E = 9·10¹¹ J.

Πρόσεξε:

• Στις απαντήσεις του βιβλίου αναγράφεται 9·10⁸ J, τιμή που αντιστοιχεί σε μάζα 10 μg· με τα δεδομένα της εκφώνησης (10 mg = 10⁻⁵ kg) η σωστή τιμή είναι 9·10¹¹ J.

Άσκηση 6.24 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.24)

Εκφώνηση: Ένα διαστημόπλοιο μάζας 1000 kg πρόκειται να επιταχυνθεί σε ταχύτητα 0,5c. Πόση ενέργεια απαιτείται γι’ αυτό; Δίνεται c = 3·10⁸ m/s.

Σκέψη: Η ενέργεια που απαιτείται ισούται με την κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει το διαστημόπλοιο: K = mc²/√(1 − u²/c²) − mc².

Λύση:

• √(1 − u²/c²) = √(1 − 0,25) = √0,75 ≈ 0,866, άρα 1/√(1 − u²/c²) ≈ 1,1547.
• mc² = 1000 · 9·10¹⁶ J = 9·10¹⁹ J.
• K = mc²·(1,1547 − 1) = 9·10¹⁹ · 0,1547 J ≈ 1,4·10¹⁹ J.

Απάντηση: Απαιτείται ενέργεια περίπου 1,4·10¹⁹ J.

Πρόσεξε:

• Ο κλασικός τύπος ½mu² θα έδινε 1,125·10¹⁹ J, τιμή μικρότερη κατά περίπου 20%· στις 0,5c πρέπει να χρησιμοποιηθεί η σχετικιστική σχέση.

Άσκηση 6.25 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.25)

Εκφώνηση: Πόση ενέργεια απαιτείται για να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο α) από 0,5c σε 0,9c. β) από 0,9c σε 0,99c. Δίνεται η ενέργεια ηρεμίας του ηλεκτρονίου 0,511 MeV.

Σκέψη: Η απαιτούμενη ενέργεια ισούται με τη μεταβολή της ολικής (ισοδύναμα της κινητικής) ενέργειας: W = mc²·(γ₂ − γ₁), με γ = 1/√(1 − u²/c²).

Λύση:

• γ(0,5c) = 1/√0,75 ≈ 1,1547, γ(0,9c) = 1/√0,19 ≈ 2,2942, γ(0,99c) = 1/√0,0199 ≈ 7,0888.
• α) W₁ = 0,511 MeV · (2,2942 − 1,1547) = 0,511 · 1,1395 MeV ≈ 0,582 MeV.
• β) W₂ = 0,511 MeV · (7,0888 − 2,2942) = 0,511 · 4,7946 MeV ≈ 2,45 MeV.

Απάντηση: α) Απαιτούνται περίπου 0,582 MeV. β) Απαιτούνται περίπου 2,45 MeV. Αν και η δεύτερη αύξηση της ταχύτητας (0,09c) είναι πολύ μικρότερη από την πρώτη (0,4c), χρειάζεται πάνω από τετραπλάσια ενέργεια, γιατί όσο η ταχύτητα πλησιάζει το c τόσο δυσκολότερα αυξάνεται.

Άσκηση 6.30 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.222.6.30)

Εκφώνηση: Για τα πρωτόνια, τα νετρόνια και τους πυρήνες δευτερίου ισχύουν m_p = 1,67261·10⁻²⁷ kg, m_n = 1,67492·10⁻²⁷ kg, m_d = 3,34357·10⁻²⁷ kg. Πόση ενέργεια θα απελευθερωθεί κατά το σχηματισμό ενός πυρήνα δευτερίου από ένα ελεύθερο πρωτόνιο και ένα ελεύθερο νετρόνιο; Δίνονται c = 3·10⁸ m/s, 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.

Σκέψη: Η μάζα του πυρήνα δευτερίου είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών πρωτονίου και νετρονίου. Η διαφορά μάζας Δm μετατρέπεται σε ενέργεια που απελευθερώνεται: E = Δm·c².

Λύση:

• m_p + m_n = (1,67261 + 1,67492)·10⁻²⁷ kg = 3,34753·10⁻²⁷ kg.
• Δm = 3,34753·10⁻²⁷ − 3,34357·10⁻²⁷ = 0,00396·10⁻²⁷ kg = 3,96·10⁻³⁰ kg.
• E = Δm·c² = 3,96·10⁻³⁰ · 9·10¹⁶ J ≈ 3,564·10⁻¹³ J.
• E = 3,564·10⁻¹³/1,6·10⁻¹⁹ eV ≈ 2,2275·10⁶ eV ≈ 2,23 MeV.

Απάντηση: Κατά τον σχηματισμό ενός πυρήνα δευτερίου απελευθερώνεται ενέργεια περίπου 3,56·10⁻¹³ J, δηλαδή περίπου 2,23 MeV (το βιβλίο δίνει 2,22 MeV· η μικρή διαφορά οφείλεται στη στρογγυλοποίηση).

Πρόσεξε:

• Η ενέργεια αυτή είναι η ενέργεια σύνδεσης του δευτερίου: τόση ενέργεια πρέπει να προσφέρουμε για να διαχωρίσουμε τον πυρήνα σε πρωτόνιο και νετρόνιο.