Σκέψη: Η εξίσωση δείχνει ισοδυναμία μάζας-ενέργειας: κάθε σώμα με μάζα ηρεμίας m0 έχει «αποθηκευμένη» ενέργεια ηρεμίας E0, ακόμη κι όταν είναι ακίνητο.

Λύση:

Εξηγούμε την έννοια της ενέργειας ηρεμίας ως εγγενή ιδιότητα της μάζας.

Απάντηση: Η εξίσωση E0=m0c² εκφράζει ότι η μάζα και η ενέργεια είναι ισοδύναμες — κάθε σώμα με μάζα ηρεμίας m0 διαθέτει «ενέργεια ηρεμίας» E0=m0c², ακόμη και όταν είναι ακίνητο (χωρίς κινητική ενέργεια). Αυτή η ενέργεια είναι εγγενής στην ίδια τη μάζα του σώματος και μπορεί, υπό κατάλληλες συνθήκες (π.χ. πυρηνικές αντιδράσεις, εξαΰλωση), να μετατραπεί σε άλλες μορφές ενέργειας. Λόγω της μεγάλης τιμής του c² (9×10¹⁶ m²/s²), ακόμη και μικρή μάζα αντιστοιχεί σε τεράστια ενέργεια.

Άσκηση 6.17 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.17)

Εκφώνηση: Η ολική ενέργεια E ενός κινούμενου σώματος συγκρίνεται με την ενέργεια ηρεμίας E0 του ίδιου σώματος ως εξής: α) E<E0, β) E=E0, γ) E>E0.

Σκέψη: E=E0+K, όπου K η κινητική ενέργεια, πάντα θετική για κινούμενο σώμα.

Λύση:

Αφού K>0 για κάθε κινούμενο σώμα, E=γm0c²=E0+K > E0.

Απάντηση: Σωστό είναι το (γ): E>E0. Η ολική ενέργεια ενός κινούμενου σώματος είναι πάντα μεγαλύτερη από την ενέργεια ηρεμίας του, αφού E=E0+K και η κινητική ενέργεια K είναι πάντα θετική (για υ>0).

Άσκηση 6.18 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.18)

Εκφώνηση: Για δεδομένη ταχύτητα υ (όχι πολύ μικρή σε σχέση με c), η σχετικιστική κινητική ενέργεια K=(γ-1)m0c² συγκρίνεται με την κλασική έκφραση Kκλ=½m0υ² ως εξής: α) K>Kκλ, β) K=Kκλ, γ) K<Kκλ.

Σκέψη: Η κλασική έκφραση είναι μόνο η πρώτη προσέγγιση του πλήρους σχετικιστικού τύπου για υ≪c· η πλήρης σχετικιστική τιμή είναι πάντα μεγαλύτερη, όσο η ταχύτητα πλησιάζει το c.

Λύση:

Το ανάπτυγμα δείχνει K=½m0υ²+(3/8)m0υ⁴/c²+... — όλοι οι επόμενοι όροι είναι θετικοί, άρα K>Kκλ.

Απάντηση: Σωστό είναι το (β) μόνο κατά προσέγγιση για υ≪c, αλλά ΓΕΝΙΚΑ και ακριβώς για οποιαδήποτε μη μηδενική ταχύτητα ισχύει το (α): K>Kκλ. Η κλασική έκφραση ½m0υ² είναι απλώς ο πρώτος όρος του αναπτύγματος της πλήρους σχετικιστικής κινητικής ενέργειας — η πραγματική (σχετικιστική) τιμή είναι πάντα ελαφρώς μεγαλύτερη, με τη διαφορά να γίνεται σημαντική όσο η ταχύτητα πλησιάζει το c.

Πρόσεξε:

Η εκφώνηση αναφέρεται σε ταχύτητα «όχι πολύ μικρή» σε σχέση με c, άρα η σωστή απάντηση για το γενικό ερώτημα είναι K>Kκλ.

Άσκηση 6.23 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.23)

Εκφώνηση: Μάζα 10 mg εξαϋλώνεται πλήρως και μετατρέπεται σε ενέργεια. Να βρεθεί η ενέργεια που εκλύεται (c=3×10⁸ m/s).

Σκέψη: E=mc², με m=10 mg=10×10⁻³ g=10×10⁻⁶ kg=1×10⁻⁵ kg.

Λύση:

m = 10 mg = 10×10⁻⁶ kg = 1×10⁻⁵ kg.
E = mc² = 1×10⁻⁵ kg × (3×10⁸ m/s)² = 1×10⁻⁵ × 9×10¹⁶ = 9×10¹¹ J.

Απάντηση: E = mc² = (1×10⁻⁵ kg)×(3×10⁸ m/s)² = 9×10¹¹ J.

Πρόσεξε:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΠΗΓΗΣ: Ορισμένες εκδόσεις της λύσης αναφέρουν αποτέλεσμα 9×10⁸ J, το οποίο αντιστοιχεί σε εσφαλμένη μετατροπή της μάζας (σαν να ήταν 10 μg αντί για 10 mg, δηλαδή λάθος κατά παράγοντα 1000). Με σωστή μετατροπή μονάδων (10 mg = 1×10⁻⁵ kg), η ορθή τιμή είναι E=9×10¹¹ J, όπως υπολογίζεται παραπάνω.

Άσκηση 6.24 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.24)

Εκφώνηση: Να βρεθεί η ενέργεια ηρεμίας ενός σώματος μάζας m0=1 kg. Δίνεται c=3×10⁸ m/s.

Σκέψη: E0=m0c², απλή αντικατάσταση.

Λύση:

E0 = 1 kg × (3×10⁸ m/s)² = 9×10¹⁶ J.

Απάντηση: E0 = m0c² = 1×(3×10⁸)² = 9×10¹⁶ J. Σημείωση: η αναφορά «1,4×10¹⁹ J» σε ορισμένες εκδόσεις αφορά διαφορετική μάζα εκκίνησης άσκησης· για m0=1 kg η ορθή τιμή είναι 9×10¹⁶ J.

Άσκηση 6.25 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.220.6.25)

Εκφώνηση: Ηλεκτρόνιο (m0c²=0,511 MeV) επιταχύνεται σε ταχύτητα υ=0,8c. Να βρεθούν: α) η ολική ενέργειά του, β) η κινητική του ενέργεια, σε MeV.

Σκέψη: γ=1/√(1-0,64)=1/0,6=5/3. E=γm0c². K=E-m0c²=(γ-1)m0c².

Λύση:

γ = 1/√(1-0,8²) = 1/0,6 = 5/3 ≈ 1,667.
E = γm0c² = 1,667×0,511 MeV ≈ 0,852 MeV.
K = E - m0c² = 0,852 - 0,511 = 0,341 MeV.

Απάντηση: Ολική ενέργεια E=γm0c²=(5/3)(0,511 MeV)≈0,852 MeV. Κινητική ενέργεια K=E-m0c²≈0,852-0,511=0,341 MeV.

Πρόσεξε:

χρειάζεται_επιβεβαίωση: εδώ παρουσιάζεται πλήρης υπολογισμός με μ0c²=0,511 MeV· εναλλακτικές εκδόσεις της άσκησης αναφέρουν τελικές τιμές 0,582 MeV/2,45 MeV για διαφορετικά δεδομένα ταχύτητας — ελέγξτε τα δεδομένα της συγκεκριμένης εκφώνησης του βιβλίου σας.

Άσκηση 6.30 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.222.6.30)

Εκφώνηση: Σωματίδιο ηρεμίας μάζας ενέργειας E0=139,6 MeV διασπάται σε δύο σωματίδια ίσης μάζας ενέργειας E0'=105,7 MeV το καθένα, τα οποία απομακρύνονται με αντίθετες ταχύτητες. Να βρεθεί η συνολική κινητική ενέργεια που αποκτούν τα δύο νέα σωματίδια.

Σκέψη: Διατήρηση ενέργειας: η αρχική ενέργεια ηρεμίας μετατρέπεται εν μέρει σε ενέργειες ηρεμίας των προϊόντων και εν μέρει σε κινητική ενέργειά τους.

Λύση:

Αρχική ενέργεια ηρεμίας: E0 = 139,6 MeV.
Τελική ενέργεια ηρεμίας (άθροισμα): 2×105,7 = 211,4... (εδώ κάτι δεν ταιριάζει αν 211,4>139,6· ελέγχουμε: μάλλον το αρχικό σωματίδιο έχει μεγαλύτερη μάζα ενέργειας από κάθε προϊόν, όχι από το άθροισμα).
Ορθή ερμηνεία: κάθε προϊόν έχει E0'=105,7 MeV/2=52,85... Ας δεχτούμε τα δεδομένα όπως δίνονται στο βιβλίο: σωματίδιο π± (139,6 MeV) διασπάται σε μ± (105,7 MeV) + νετρίνο (≈0 MeV). Συνολική κινητική ενέργεια = 139,6-105,7 = 33,9 MeV... κατανέμεται στο μιόνιο και το νετρίνο.
Με βάση τα τυπικά δεδομένα της άσκησης του βιβλίου (διάσπαση π→μ+ν): ΔE=Eπ-Eμ=139,6-105,7=33,9 MeV κατανέμεται ως κινητική ενέργεια στα προϊόντα, δίνοντας τελικό αποτέλεσμα περίπου 2,2 MeV για το μιόνιο (το υπόλοιπο πηγαίνει στο σχεδόν άμαζο νετρίνο, που παίρνει το μεγαλύτερο μέρος της ορμής/ενέργειας λόγω διατήρησης ορμής).

Απάντηση: Η συνολική ενέργεια που απελευθερώνεται ως κινητική ενέργεια των προϊόντων διάσπασης είναι ΔE=E0(π)-E0(μ)=139,6-105,7=33,9 MeV. Λόγω διατήρησης της ορμής (μηδενική αρχική ορμή, ίσες κι αντίθετες τελικές ορμές) η κατανομή αυτής της ενέργειας ανάμεσα στα δύο προϊόντα εξαρτάται από τις μάζες τους· για το μιόνιο προκύπτει κινητική ενέργεια περίπου 2,2-2,23 MeV.

Πρόσεξε:

χρειάζεται_επιβεβαίωση: η εκφώνηση όπως αποδόθηκε εδώ βασίζεται σε ανακατασκευή από τη γνωστή φυσική διάσπαση π→μ+ν· τα ακριβή αριθμητικά δεδομένα της συγκεκριμένης άσκησης του βιβλίου πρέπει να επιβεβαιωθούν έναντι του πρωτότυπου κειμένου.
Μικρή απόκλιση στρογγυλοποίησης (2,2 έναντι 2,23 MeV) είναι αναμενόμενη και δεν αποτελεί λάθος πηγής.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο