Εκφώνηση: Σώμα με μάζα m δέχεται σταθερή συνισταμένη δύναμη για απεριόριστο χρονικό διάστημα. Θα φτάσει τελικά η ταχύτητά του την ταχύτητα του φωτός c; Αιτιολογήστε με βάση τη σχετικιστική ορμή.

Σκέψη: p=m0υ/√(1-υ²/c²). Καθώς υ→c, p→∞. Άρα χρειάζεται απείρως μεγάλη ώθηση (δύναμη×χρόνος) για να φτάσει η ταχύτητα το c.

Λύση:

Καθώς υ→c, ο παρονομαστής √(1-υ²/c²)→0, οπότε p→∞ για πεπερασμένη μάζα m0.
Μια σταθερή δύναμη προσδίδει πεπερασμένο ρυθμό μεταβολής ορμής, άρα χρειάζεται άπειρος χρόνος (άρα άπειρη ώθηση) για να φτάσει η ορμή στο άπειρο.

Απάντηση: Όχι, δεν θα φτάσει ποτέ. Καθώς η ταχύτητα πλησιάζει το c, η σχετικιστική ορμή p=m0υ/√(1-υ²/c²) τείνει στο άπειρο, αφού ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν. Άρα, όσο μεγάλη και αν είναι η σταθερή δύναμη, χρειάζεται απείρως μεγάλη ώθηση (δηλαδή άπειρος χρόνος εφαρμογής) για να αποκτήσει το σώμα ταχύτητα ίση με c — πρακτικά, το c παραμένει απλησίαστο όριο για κάθε σώμα με μη μηδενική μάζα ηρεμίας.

Άσκηση Δ.2 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.217.Δ.2)

Εκφώνηση: Δείξτε, χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα (1+x)^n≈1+nx για |x|≪1, ότι η σχετικιστική ορμή p=m0υ/√(1-υ²/c²) ανάγεται στην κλασική ορμή p=m0υ όταν υ≪c.

Σκέψη: Γράφουμε 1/√(1-υ²/c²)=(1-υ²/c²)^(-1/2) και εφαρμόζουμε το διωνυμικό ανάπτυγμα με n=-1/2, x=-υ²/c².

Λύση:

(1-υ²/c²)^(-1/2) ≈ 1 + (-1/2)(-υ²/c²) = 1 + υ²/(2c²), για υ≪c.
Άρα p = m0υ·(1-υ²/c²)^(-1/2) ≈ m0υ·(1+υ²/(2c²)) = m0υ + m0υ³/(2c²).
Ο δεύτερος όρος περιέχει (υ/c)² επιπλέον, άρα για υ≪c είναι αμελητέος σε σχέση με τον πρώτο.
Άρα p ≈ m0υ, η κλασική έκφραση της ορμής.

Απάντηση: Αναπτύσσοντας το (1-υ²/c²)^(-1/2) με το διωνυμικό ανάπτυγμα (1+x)^n≈1+nx (n=-1/2, x=-υ²/c²) παίρνουμε (1-υ²/c²)^(-1/2)≈1+υ²/(2c²). Άρα p=m0υ/√(1-υ²/c²)≈m0υ(1+υ²/(2c²))=m0υ+m0υ³/(2c²). Για υ≪c ο δεύτερος όρος (τάξης (υ/c)² μικρότερος) είναι αμελητέος, οπότε p≈m0υ — δηλαδή η σχετικιστική ορμή ανάγεται ομαλά στην κλασική έκφραση της ορμής σε χαμηλές ταχύτητες, όπως αναμενόταν από την αντιστοιχία (correspondence) των δύο θεωριών.

Πρόσεξε:

Το ανάπτυγμα δείχνει γενικότερα γιατί ΟΛΕΣ οι σχετικιστικές εκφράσεις (ορμή, ενέργεια) ανάγονται ομαλά στις κλασικές για υ≪c — βασική ιδέα της «αρχής αντιστοιχίας».

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο