Εκφώνηση: Κύβος πάγου και σφαίρα, ίσης μάζας και μικρών διαστάσεων, αφήνονται από το ίδιο ύψος σε πλάγιο επίπεδο. Η σφαίρα κυλίεται, ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβή. Συγκρίνετε: 1) το έργο του βάρους, 2) την ταχύτητα με την οποία φτάνουν στη βάση.

Λύση:

1. Το έργο του βάρους W=mgh εξαρτάται μόνο από τη μάζα και τη μεταβολή ύψους — είναι ΙΔΙΟ και για τα δύο σώματα (ίδια μάζα, ίδιο ύψος).
1. Για τον κύβο (χωρίς τριβή, χωρίς περιστροφή): mgh=½mυ² ⇒ υ_κύβου=√(2gh).
Για τη σφαίρα (κύλιση, K=（7/10)mυ²): mgh=(7/10)mυ² ⇒ υ_σφαίρας=√(10gh/7), μικρότερη από την υ_κύβου.

Απάντηση: 1) Το έργο του βάρους είναι ίδιο και για τα δύο σώματα (W=mgh). 2) Ο κύβος φτάνει με μεγαλύτερη ταχύτητα (υ=√(2gh)) από τη σφαίρα (υ=√(10gh/7)), γιατί στη σφαίρα μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε περιστροφική κινητική ενέργεια.

Άσκηση 4.29

Εκφώνηση: Σε τροχό ασκείται δύναμη F που μεταβάλλει τη γωνιακή του ταχύτητα: α) από 1 σε 3 rad/s, β) από 4 σε 6 rad/s, γ) από −2 σε 5 rad/s, δ) από −3 σε 4 rad/s. Σε ποια περίπτωση το έργο είναι μεγαλύτερο;

Λύση:

α) 3²−1²=9−1=8.
β) 6²−4²=36−16=20.
γ) 5²−(−2)²=25−4=21.
δ) 4²−(−3)²=16−9=7.
Η μεγαλύτερη τιμή Δ(ω²) (άρα το μεγαλύτερο έργο) εμφανίζεται στην περίπτωση (γ).

Απάντηση: Στην περίπτωση (γ) [από −2 rad/s σε 5 rad/s], όπου Δ(ω²)=21, το μεγαλύτερο μεταξύ των τεσσάρων περιπτώσεων.

Άσκηση 4.30

Εκφώνηση: Σώμα αφήνεται από το σημείο Α πλάγιου επιπέδου και κυλίεται μέχρι το σημείο Γ στη βάση. Το Β είναι ενδιάμεσο σημείο. Συμπληρώστε τον πίνακα: στο Α, δυναμική ενέργεια 120 J· στο Β, κινητική μεταφορική 40 J και περιστροφική 20 J· στο Γ, δυναμική 0 και κινητική μεταφορική 80 J.

Λύση:

Στο Α: μόνο δυναμική ενέργεια (σώμα σε ηρεμία) — Ε_ολ=120 J.
Στο Β: δίνονται K_μετ=40 J, K_περ=20 J· δυναμική = Ε_ολ−K_μετ−K_περ=120−40−20=60 J.
Από τον λόγο K_περ/K_μετ=20/40=1/2 (σταθερός σε όλη τη διαδρομή, εξαρτάται μόνο από το σχήμα του σώματος), στο Γ όπου K_μετ=80 J: K_περ=80·(1/2)=40 J.
Έλεγχος διατήρησης ενέργειας στο Γ: 0(δυν.)+80(μετ.)+40(περ.)=120 J ✓ (ίση με το Α).

Απάντηση: Πίνακας: Α → δυναμική 120 J, K_μετ=0, K_περ=0. Β → δυναμική 60 J, K_μετ=40 J, K_περ=20 J. Γ → δυναμική 0, K_μετ=80 J, K_περ=40 J. Η συνολική μηχανική ενέργεια είναι σταθερή (120 J) σε όλα τα σημεία.

Άσκηση 4.31

Εκφώνηση: Συμπληρώστε τον πίνακα αντιστοιχίας: Σύμβολο—Όνομα—Μέγεθος—Μονάδα SI για: γωνιακή ταχύτητα, (κενό μέγεθος με μονάδα rad/s²), ροπή (διανυσματικό, N·m), I, L.

Λύση:

Συμπληρώνουμε βάσει του πίνακα αντιστοιχίας της θεωρίας (§4.9).

Απάντηση: ω — Γωνιακή ταχύτητα — διανυσματικό — rad/s. α_γων — Γωνιακή επιτάχυνση — διανυσματικό — rad/s². τ — Ροπή — διανυσματικό — N·m. I — Ροπή αδράνειας — μονόμετρο — kg·m². L — Στροφορμή — διανυσματικό — kg·m²/s.

Άσκηση 4.52

Εκφώνηση: Κινητήρας ασκεί ροπή 4 N·m και στρέφεται με συχνότητα 50 Hz. Ποια είναι η ισχύς του;

Λύση:

ω=2πf=2π·50=100π rad/s.
P=τω=4·100π=400π W.

Απάντηση: P = 400π W ≈ 1257 W.

Άσκηση 4.55

Εκφώνηση: Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l=30 cm και μάζας m, κατακόρυφη, στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα στο άκρο Α. Αφήνεται από την κατακόρυφη θέση. Υπολογίστε την ταχύτητα του σημείου Γ τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος. Δίνεται I_cm=ml²/12, g=10 m/s².

Λύση:

I_A=I_cm+m(l/2)²=ml²/12+ml²/4=ml²/3.
Διατήρηση ενέργειας: mg(l/2)=½I_Aω² ⇒ mgl/2=½(ml²/3)ω² ⇒ g=lω²/3 ⇒ ω=√(3g/l).
Η ταχύτητα του άκρου Γ (σε απόσταση l από τον άξονα Α): υ_Γ=ωl=l√(3g/l)=√(3gl).
υ_Γ=√(3·10·0,3)=√9=3 m/s.

Απάντηση: υ_Γ = 3 m/s.

Άσκηση 4.61

Εκφώνηση: Σφαίρα που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με υ=5 m/s συναντά πλάγιο επίπεδο γωνίας 30° και συνεχίζει την κίνησή της χωρίς ολίσθηση. Υπολογίστε το διάστημα που διανύει στο πλάγιο μέχρι να σταματήσει. Δίνεται I=（2/5)mR², g=10 m/s².

Λύση:

K_ολ=½mυ²+½Iω²=½mυ²+½(2/5)mR²(υ/R)²=½mυ²+(1/5)mυ²=(7/10)mυ².
Διατήρηση ενέργειας: (7/10)mυ²=mgh ⇒ h=7υ²/(10g)=7·25/100=1,75 m.
Διάστημα κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου: s=h/ημ30°=1,75/0,5=3,5 m.

Απάντηση: s = 3,5 m.

Άσκηση 4.64

Εκφώνηση: Σφαιρίδιο Σ μάζας 200 g διαγράφει κύκλο ακτίνας 30 cm με ω=40 rad/s. Το σκοινί περνά από κατακόρυφο σωλήνα, χωρίς τριβές. Ποιο είναι το έργο της δύναμης F που πρέπει να ασκηθεί στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού μέχρι η ακτίνα περιστροφής να γίνει 15 cm;

Λύση:

Διατήρηση στροφορμής (σημειακή μάζα, L=mυr=mωr²): ω₁r₁²=ω₂r₂² ⇒ ω₂=ω₁(r₁/r₂)²=40·(0,3/0,15)²=40·4=160 rad/s.
υ₁=ω₁r₁=40·0,3=12 m/s. υ₂=ω₂r₂=160·0,15=24 m/s.
Θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας (η F είναι η μόνη δύναμη με μη μηδενικό έργο, αφού η τάση του σκοινιού είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα... εδώ αντίθετα η F στο άκρο παράγει το έργο που μεταβάλλει την Κ): W=ΔΚ=½m(υ₂²−υ₁²)=½·0,2·(24²−12²)=0,1·(576−144)=0,1·432=43,2 J.

Απάντηση: W = +43,2 J.

Άσκηση 4.69

Εκφώνηση: Μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας r (πολύ μικρή σε σχέση με R) αφήνεται από ύψος h πάνω σε οδηγό που καταλήγει σε κυκλικό βρόχο ακτίνας R=20 cm. Η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Ποιο είναι το ελάχιστο ύψος h για να ολοκληρώσει τον βρόχο; Δίνεται I=(2/5)mr².

Λύση:

Ελάχιστη συνθήκη στην κορυφή: mg=mυ_top²/R ⇒ υ_top²=gR.
Διατήρηση ενέργειας (κύλιση, K=(7/10)mυ²): mgh=mg(2R)+(7/10)mυ_top²=mg(2R)+(7/10)mgR.
h=2R+(7/10)R=2,7R=2,7·0,20=0,54 m.

Απάντηση: h = 0,54 m = 54 cm.

Άσκηση 4.70

Εκφώνηση: Δύο όμοιοι κύλινδροι K₁, K₂ με παράλληλους άξονες στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, σε απόσταση d, περιστρέφονται με τέτοια φορά ώστε στο άνω σημείο επαφής η επιφανειακή τους ταχύτητα να κατευθύνεται προς το κέντρο. Ομογενής σανίδα Σ ακουμπά πάνω τους με το μέσον της πάνω από το μέσον του K₁K₂. Μετατοπίζουμε λίγο τη σανίδα και την αφήνουμε ελεύθερη. Βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ_κ και g.

Λύση:

Ισορροπία ροπών της σανίδας (βάρος Mg στο μέσον, στηρίγματα σε απόσταση d/2±x από το μέσον): N₁=(Mg/d)(d/2−x), N₂=(Mg/d)(d/2+x) (κατανομή φορτίου ανάλογη της απόστασης από κάθε στήριγμα).
Καθαρή οριζόντια δύναμη τριβής (και οι δύο τριβές κατευθύνονται προς το κέντρο λόγω της φοράς περιστροφής, με μέτρα μ_κΝ₁ και μ_κΝ₂): F_καθ=μ_κ(Ν₂−Ν₁)=μ_κ·(Mg/d)·2x, με φορά πάντα προς το κέντρο (επαναφέρουσα).
F_καθ=−(2μ_κMg/d)x ⇒ SHM με ω²=2μ_κg/d ⇒ T=2π/ω=2π√(d/(2μ_κg)).

Απάντηση: T = 2π√(d/(2μ_κg)).

Προσοχή:

Η ακριβής κατεύθυνση και ισορροπία των τριβών βασίζεται στην περιγραφή του σχήματος 4.74· η τελική έκφραση ταυτίζεται με τη δοσμένη απάντηση της πηγής.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο