Κεφάλαιο 8.6 – Κατανομή μοριακών ταχυτήτων (σελ. 28-30) – Λύσεις

Κεφάλαιο 8.6 — Κατανομή μοριακών ταχυτήτων (σελ. 28-30) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 1.14 (σελ. 28)

Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αφορούν στην κατανομή Maxwell-Boltzmann είναι σωστές; α) Η κατανομή παριστάνεται γραφικά σε διάγραμμα στο οποίο ο ένας άξονας αναφέρεται στις ταχύτητες (υ) των μορίων του αερίου και ο άλλος στον αριθμό των μορίων που έχουν κάποια ταχύτητα υ. β) Η κατανομή Maxwell-Boltzmann δείχνει ότι υπάρχει κάποιο όριο στη μέγιστη ταχύτητα που μπορούν να έχουν τα μόρια του αερίου σε κάποια θερμοκρασία. γ) Τα περισσότερα μόρια έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης. δ) Η κατανομή των ταχυτήτων των μορίων ενός αερίου είναι ίδια για όλες τις τιμές της θερμοκρασίας του αερίου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θυμόμαστε τα βασικά χαρακτηριστικά της καμπύλης Maxwell-Boltzmann: άξονες \(dN/d\upsilon\) και \(\upsilon\), καμία μέγιστη ταχύτητα-όριο (η καμπύλη τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν όταν \(\upsilon\to\infty\)), και η καμπύλη μετατοπίζεται με τη θερμοκρασία.

Λύση:

1. Πρόταση α): ουσιαστικά σωστή — το διάγραμμα έχει άξονα την ταχύτητα \(\upsilon\) και άξονα σχετικό με τον αριθμό μορίων (\(dN/d\upsilon\), όχι ακριβώς "αριθμό μορίων με ταχύτητα υ" αλλά πυκνότητα μορίων ανά μοναδιαίο εύρος ταχύτητας — προσεγγιστικά σωστή διατύπωση).
2. Πρόταση β): λανθασμένη — δεν υπάρχει άνω όριο ταχύτητας· η καμπύλη τείνει στο μηδέν καθώς \(\upsilon\to\infty\) αλλά δεν μηδενίζεται σε πεπερασμένη τιμή.
3. Πρόταση γ): σωστή — η καμπύλη Maxwell-Boltzmann δεν είναι συμμετρική· έχει «ουρά» προς τις μεγάλες ταχύτητες, οπότε το εμβαδόν δεξιά από το μέγιστο είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν αριστερά. Περίπου το 57% των μορίων έχει ταχύτητα μεγαλύτερη από την πιθανότερη \(\upsilon_π\) (για τον ίδιο λόγο η μέση ταχύτητα \(\bar\upsilon\) είναι μεγαλύτερη από την \(\upsilon_π\)).
4. Πρόταση δ): λανθασμένη — η κατανομή αλλάζει με τη θερμοκρασία (η καμπύλη μετατοπίζεται προς μεγαλύτερες ταχύτητες και χαμηλώνει όσο αυξάνεται η θερμοκρασία).

Απάντηση: Σωστές προτάσεις: α) και γ). Οι β), δ) είναι λανθασμένες.

Πρόσεξε:

• Δεν υπάρχει ανώτατο όριο ταχύτητας στην κατανομή Maxwell-Boltzmann — υπάρχει μόνο μια πιθανότερη τιμή, που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης.
• Η κατανομή εξαρτάται άμεσα από τη θερμοκρασία — δεν είναι σταθερή.

Άσκηση 1.28 (σελ. 30)

Εννιά όμοια σωματίδια έχουν ταχύτητες 3, 5, 8, 8, 8, 12, 12, 16, 20 (σε m/s). Υπολογίστε: α) τη μέση ταχύτητά τους, β) την ενεργό ταχύτητά τους \(\upsilon_{εν}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μέση ταχύτητα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών· η ενεργός ταχύτητα είναι η τετραγωνική ρίζα του μέσου όρου των τετραγώνων των ταχυτήτων.

Λύση:

1. Μέση ταχύτητα: \(\bar\upsilon=\dfrac{3+5+8+8+8+12+12+16+20}{9}=\dfrac{92}{9}\approx10{,}2\ \mathrm{m/s}\).
2. Άθροισμα τετραγώνων: \(3^2+5^2+8^2+8^2+8^2+12^2+12^2+16^2+20^2=9+25+64+64+64+144+144+256+400=1170\).
3. Ενεργός ταχύτητα: \(\upsilon_{εν}=\sqrt{\dfrac{1170}{9}}=\sqrt{130}\approx11{,}4\ \mathrm{m/s}\).

Απάντηση: α) \(\bar\upsilon\approx10{,}2\ \mathrm{m/s}\). β) \(\upsilon_{εν}\approx11{,}4\ \mathrm{m/s}\).

Πρόσεξε:

• Η ενεργός ταχύτητα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση της μέσης ταχύτητας (\(\upsilon_{εν}\geq\bar\upsilon\)) — εδώ επιβεβαιώνεται αριθμητικά (\(11{,}4>10{,}2\)), σύμφωνα με τη γενική ανισότητα \(\upsilon_π<\bar\upsilon<\upsilon_{εν}\).