Κεφάλαιο 4.3 – Ροπή Δύναμης – Λύσεις (σελ. 135-141)

Κεφάλαιο 4.3 - Ροπή Δύναμης (σελ. 135-141)

Άσκηση 4.5

Εκφώνηση: Είναι δυνατόν ένα σώμα να έχει, μια χρονική στιγμή, γωνιακή ταχύτητα μηδέν και γωνιακή επιτάχυνση διαφορετική από μηδέν;

Λύση:

• Ναι, είναι δυνατόν — ακριβώς όπως ένα σώμα σε ευθύγραμμη κίνηση μπορεί να έχει υ=0 τη στιγμή που αναστρέφει φορά, ενώ η επιτάχυνσή του παραμένει διάφορη του μηδενός.
• Παράδειγμα: ένα εκκρεμές ή περιστρεφόμενο σώμα που ξεκινά από την ηρεμία υπό την επίδραση ροπής έχει, τη στιγμή t=0, ω=0 αλλά α_γων=Στ/I≠0.

Απάντηση: Ναι. Αν σε ένα ακίνητο σώμα (ω=0) ασκείται μη μηδενική συνολική ροπή, τότε α_γων=Στ/I≠0 τη στιγμή εκείνη — το σώμα αρχίζει να επιταχύνεται γωνιακά ενώ ακόμη δεν έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα.

Άσκηση 4.6

Εκφώνηση: Ένα στερεό κάνει σύνθετη κίνηση. Υπάρχει κάποιο σημείο του στερεού, έξω από τον άξονα περιστροφής του, που έχει πάντα την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας; Αιτιολογήστε.

Λύση:

• Η ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου Α ενός στερεού σε σύνθετη κίνηση είναι υ_Α = υ_cm + ω×r (όπου r η θέση του Α ως προς το κέντρο μάζας).
• Για να έχει ένα σημείο έξω από το κέντρο μάζας την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας, θα έπρεπε ο όρος ω×r να είναι μηδέν για αυτό το σημείο — δηλαδή είτε ω=0 (καμία περιστροφή, δεν είναι σύνθετη κίνηση) είτε r=0 (το ίδιο το κέντρο μάζας).
• Άρα, εφόσον υπάρχει πραγματική περιστροφή (ω≠0), κανένα άλλο σημείο εκτός του κέντρου μάζας δεν μπορεί να έχει σταθερά την ίδια ταχύτητα με αυτό.

Απάντηση: Όχι. Σε σύνθετη κίνηση με ω≠0, μόνο το ίδιο το κέντρο μάζας έχει την ταχύτητα υ_cm — κάθε άλλο σημείο έχει επιπλέον τον όρο της περιστροφικής ταχύτητας ω×r, που είναι μη μηδενικός όσο r≠0.

Άσκηση 4.7

Εκφώνηση: Συμπληρώστε τα κενά: Η ροπή δύναμης ως προς σημείο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί __, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από __ και __, και φορά που ορίζεται από __.

Λύση:

• Ανατρέχουμε στον ορισμό: τ=Fl με l την κάθετη απόσταση του σημείου από τον φορέα της δύναμης, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο δύναμης-σημείου, φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Απάντηση: …επί την κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίονα) του σημείου από τον φορέα της δύναμης· διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο· φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Άσκηση 4.8

Εκφώνηση: Τα λεωφορεία και τα μεγάλα φορτηγά έχουν τιμόνι μεγάλης διαμέτρου. Τι εξυπηρετεί αυτό;

Λύση:

• Η ροπή που παράγει ο οδηγός είναι τ=Fl, όπου l η απόσταση από τον άξονα περιστροφής (το κέντρο του τιμονιού) μέχρι το σημείο όπου εφαρμόζει τα χέρια του.
• Με μεγαλύτερη διάμετρο τιμονιού, το l είναι μεγαλύτερο, άρα η ίδια δύναμη F παράγει μεγαλύτερη ροπή.

Απάντηση: Εξυπηρετεί στο να παράγεται μεγαλύτερη ροπή στροφής του συστήματος διεύθυνσης με μικρότερη δύναμη από τον οδηγό, αφού ο μοχλοβραχίονας (η ακτίνα του τιμονιού) είναι μεγαλύτερος — χρήσιμο σε οχήματα με βαρύ σύστημα διεύθυνσης.

Άσκηση 4.9

Εκφώνηση: Στη ράβδο του σχήματος 4.42 ασκούνται πέντε ομοεπίπεδες δυνάμεις ίδιου μέτρου γύρω από άξονα στο σημείο Ο. Η F₁ ασκείται κοντά στο Ο υπό γωνία, η F₂ στο μέσο κατακόρυφα, η F₃ κοντά στο μέσο υπό γωνία, η F₅ δεξιότερα κατακόρυφα προς τα πάνω, η F₄ στο δεξί άκρο κατά μήκος της ράβδου (συγγραμμική). Να κατατάξετε τις δυνάμεις κατά αύξουσα σειρά ροπής ως προς Ο.

Λύση:

• Η F₄, συγγραμμική με τη ράβδο, έχει μοχλοβραχίονα μηδέν — άρα μηδενική ροπή, μικρότερη από όλες.
• Η F₁, κοντά στο Ο, έχει μικρή απόσταση από τον άξονα, άρα μικρό μοχλοβραχίονα και μικρή ροπή.
• Οι F₂, F₃, F₅ εφαρμόζονται πιο μακριά από το Ο· μεταξύ τους, όσο πιο κάθετη είναι η δύναμη στη ράβδο (μεγιστοποιώντας το l για δεδομένη απόσταση) και όσο μεγαλύτερη η απόσταση εφαρμογής, τόσο μεγαλύτερη η ροπή.
• Με βάση τις σχετικές θέσεις (F₂,F₃ στο μέσο· F₅ δεξιότερα, πιο μακριά, κάθετη), αναμένεται η σειρά αύξουσας ροπής: F₄ < F₁ < F₃ < F₂ < F₅.

Απάντηση: Αύξουσα σειρά ροπών: τ(F₄)=0 < τ(F₁) < τ(F₃) < τ(F₂) < τ(F₅) — η F₄ (συγγραμμική με τη ράβδο) έχει μηδενική ροπή, ενώ η F₅ (πιο απομακρυσμένη και κάθετη) έχει τη μεγαλύτερη.

Προσοχή:

• Η ακριβής σειρά ανάμεσα σε F₁, F₂, F₃ εξαρτάται από τις ακριβείς αποστάσεις/γωνίες του σχήματος 4.42, που δεν είναι πλήρως διαθέσιμο· η κατάταξη εδώ βασίζεται στη γενική περιγραφή θέσης.

Άσκηση 4.10

Εκφώνηση: Η ράβδος του σχήματος 4.43 είναι κατακόρυφη και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο (το Ο βρίσκεται κοντά στο επάνω άκρο της ράβδου). Στο ένα άκρο της ράβδου ασκείται η οριζόντια δύναμη F₁. Για να μη στρέφεται η ράβδος ασκούμε οριζόντια δύναμη F₂ στο άλλο άκρο της. α) Ποια πρέπει να είναι η κατεύθυνση της F₂; β) Συγκρίνετε τα μέτρα των F₁ και F₂.

Λύση:

• Η F₁ ασκείται στο επάνω άκρο, πάνω από το Ο, και η F₂ στο κάτω άκρο, κάτω από το Ο. Δύο ομόρροπες οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται εκατέρωθεν του άξονα δίνουν ροπές αντίθετης φοράς.
• Άρα, για να αλληλοαναιρούνται οι ροπές, η F₂ πρέπει να έχει την ίδια κατεύθυνση με την F₁.
• Ισορροπία ροπών: F₁·l₁ = F₂·l₂, όπου l₁ η απόσταση του επάνω άκρου από το Ο και l₂ η απόσταση του κάτω άκρου από το Ο.
• Στο σχήμα το Ο βρίσκεται κοντά στο επάνω άκρο, άρα l₂ > l₁ και επομένως F₂ < F₁.

Απάντηση: α) Η F₂ πρέπει να έχει την ίδια κατεύθυνση με την F₁: αφού τα σημεία εφαρμογής βρίσκονται εκατέρωθεν του Ο, ομόρροπες οριζόντιες δυνάμεις δίνουν ροπές αντίθετης φοράς. β) F₁l₁ = F₂l₂ και, επειδή η ράβδος εκτείνεται περισσότερο κάτω από το Ο (l₂ > l₁), F₂ < F₁.

Προσοχή:

• Η φορά της ροπής δεν εξαρτάται μόνο από την κατεύθυνση της δύναμης αλλά και από την πλευρά του άξονα στην οποία ασκείται.

Άσκηση 4.11

Εκφώνηση: Οριζόντια ράβδος στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο Ο. Στα άκρα ασκούνται οι κάθετες δυνάμεις F₁, F₂. Η ράβδος ισορροπεί. Η απόσταση της F₁ από το Ο είναι τα 2/3 του μήκους της ράβδου. Το μέτρο της F₂ είναι: α) F₁/2 β) 2F₁/3 γ) F₁/3 δ) 2F₁ ε) 3F₁/2 στ) 3F₁.

Λύση:

• Η ράβδος έχει μήκος L· η F₁ εφαρμόζεται στο ένα άκρο σε απόσταση 2L/3 από το Ο, άρα η F₂ εφαρμόζεται στο άλλο άκρο σε απόσταση L−2L/3=L/3 από το Ο.
• Ισορροπία ροπών ως προς Ο: F₁·(2L/3) = F₂·(L/3).
• Λύνοντας: F₂ = 2F₁.

Απάντηση: F₂ = 2F₁ (επιλογή δ).

Άσκηση 4.39

Εκφώνηση: Η ράβδος του σχήματος 4.55 έχει αμελητέο βάρος και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος σ' αυτή. Στη ράβδο ασκούνται οι δυνάμεις F₁ = 20 N, F₂ = 2 N και F₃ = 10 N. Να υπολογίσετε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο ως προς το σημείο Ο. Δίνονται: x = 2 m και φ = 30°. (Στο σχήμα: η F₁ ασκείται στο αριστερό άκρο, σε απόσταση 2x από το Ο, με φορά προς τα κάτω και αριστερά, σχηματίζοντας γωνία φ με τη ράβδο· η F₂ ασκείται κατακόρυφα προς τα πάνω σε απόσταση x αριστερά του Ο· η F₃ ασκείται κατακόρυφα προς τα κάτω σε απόσταση x δεξιά του Ο.)

Λύση:

• F₁: η κάθετη στη ράβδο συνιστώσα είναι F₁ημφ = 20·ημ30° = 10 N (προς τα κάτω) και ασκείται σε απόσταση 2x = 4 m αριστερά του Ο. Τείνει να στρέψει τη ράβδο αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού: τ₁ = +10·4 = +40 N·m.
• F₂: ασκείται προς τα πάνω σε απόσταση x = 2 m αριστερά του Ο και τείνει να στρέψει τη ράβδο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού: τ₂ = −2·2 = −4 N·m.
• F₃: ασκείται προς τα κάτω σε απόσταση x = 2 m δεξιά του Ο και τείνει επίσης να στρέψει τη ράβδο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού: τ₃ = −10·2 = −20 N·m.
• Αλγεβρικό άθροισμα: Στ = 40 − 4 − 20 = 16 N·m, με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού.

Απάντηση: Στ = 16 N·m (με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού).

Προσοχή:

• Για τη λοξή δύναμη F₁ μετράει μόνο η κάθετη στη ράβδο συνιστώσα της (F₁ημφ)· η παράλληλη στη ράβδο συνιστώσα περνά από τον άξονα και δεν δίνει ροπή.

Άσκηση 4.40

Εκφώνηση: Βαρούλκο πηγαδιού: τύμπανο ακτίνας R₁=20 cm με χειρολαβή μήκους R₂=0,5 m. Η χειρολαβή τυλίγει σκοινί που έλκει φορτίο βάρους 150 N. Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναμη στη χειρολαβή ώστε να ανεβαίνει το φορτίο.

Λύση:

• Ισορροπία ροπών ως προς τον άξονα: F·R₂ = W·R₁.
• F = W·R₁/R₂ = 150·0,20/0,5.

Απάντηση: F = 60 N.

Προσοχή:

• Η ελάχιστη δύναμη αντιστοιχεί σε οριακή ισορροπία (F ίση, όχι μεγαλύτερη, από την απαιτούμενη ροπή)· για πραγματική ανύψωση χρειάζεται F ελαφρώς μεγαλύτερη από 60 N.