Ναι, είναι δυνατόν — ακριβώς όπως ένα σώμα σε ευθύγραμμη κίνηση μπορεί να έχει υ=0 τη στιγμή που αναστρέφει φορά, ενώ η επιτάχυνσή του παραμένει διάφορη του μηδενός.
Παράδειγμα: ένα εκκρεμές ή περιστρεφόμενο σώμα που ξεκινά από την ηρεμία υπό την επίδραση ροπής έχει, τη στιγμή t=0, ω=0 αλλά α_γων=Στ/I≠0.

Απάντηση: Ναι. Αν σε ένα ακίνητο σώμα (ω=0) ασκείται μη μηδενική συνολική ροπή, τότε α_γων=Στ/I≠0 τη στιγμή εκείνη — το σώμα αρχίζει να επιταχύνεται γωνιακά ενώ ακόμη δεν έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα.

Άσκηση 4.6

Εκφώνηση: Ένα στερεό κάνει σύνθετη κίνηση. Υπάρχει κάποιο σημείο του στερεού, έξω από τον άξονα περιστροφής του, που έχει πάντα την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας; Αιτιολογήστε.

Λύση:

Η ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου Α ενός στερεού σε σύνθετη κίνηση είναι υ_Α = υ_cm + ω×r (όπου r η θέση του Α ως προς το κέντρο μάζας).
Για να έχει ένα σημείο έξω από το κέντρο μάζας την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας, θα έπρεπε ο όρος ω×r να είναι μηδέν για αυτό το σημείο — δηλαδή είτε ω=0 (καμία περιστροφή, δεν είναι σύνθετη κίνηση) είτε r=0 (το ίδιο το κέντρο μάζας).
Άρα, εφόσον υπάρχει πραγματική περιστροφή (ω≠0), κανένα άλλο σημείο εκτός του κέντρου μάζας δεν μπορεί να έχει σταθερά την ίδια ταχύτητα με αυτό.

Απάντηση: Όχι. Σε σύνθετη κίνηση με ω≠0, μόνο το ίδιο το κέντρο μάζας έχει την ταχύτητα υ_cm — κάθε άλλο σημείο έχει επιπλέον τον όρο της περιστροφικής ταχύτητας ω×r, που είναι μη μηδενικός όσο r≠0.

Άσκηση 4.7

Εκφώνηση: Συμπληρώστε τα κενά: Η ροπή δύναμης ως προς σημείο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί __, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από __ και __, και φορά που ορίζεται από __.

Λύση:

Ανατρέχουμε στον ορισμό: τ=Fl με l την κάθετη απόσταση του σημείου από τον φορέα της δύναμης, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο δύναμης-σημείου, φορά από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Απάντηση: …επί την κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίονα) του σημείου από τον φορέα της δύναμης· διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο· φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Άσκηση 4.8

Εκφώνηση: Τα λεωφορεία και τα μεγάλα φορτηγά έχουν τιμόνι μεγάλης διαμέτρου. Τι εξυπηρετεί αυτό;

Λύση:

Η ροπή που παράγει ο οδηγός είναι τ=Fl, όπου l η απόσταση από τον άξονα περιστροφής (το κέντρο του τιμονιού) μέχρι το σημείο όπου εφαρμόζει τα χέρια του.
Με μεγαλύτερη διάμετρο τιμονιού, το l είναι μεγαλύτερο, άρα η ίδια δύναμη F παράγει μεγαλύτερη ροπή.

Απάντηση: Εξυπηρετεί στο να παράγεται μεγαλύτερη ροπή στροφής του συστήματος διεύθυνσης με μικρότερη δύναμη από τον οδηγό, αφού ο μοχλοβραχίονας (η ακτίνα του τιμονιού) είναι μεγαλύτερος — χρήσιμο σε οχήματα με βαρύ σύστημα διεύθυνσης.

Άσκηση 4.9

Εκφώνηση: Στη ράβδο του σχήματος 4.42 ασκούνται πέντε ομοεπίπεδες δυνάμεις ίδιου μέτρου γύρω από άξονα στο σημείο Ο. Η F₁ ασκείται κοντά στο Ο υπό γωνία, η F₂ στο μέσο κατακόρυφα, η F₃ κοντά στο μέσο υπό γωνία, η F₅ δεξιότερα κατακόρυφα προς τα πάνω, η F₄ στο δεξί άκρο κατά μήκος της ράβδου (συγγραμμική). Να κατατάξετε τις δυνάμεις κατά αύξουσα σειρά ροπής ως προς Ο.

Λύση:

Η F₄, συγγραμμική με τη ράβδο, έχει μοχλοβραχίονα μηδέν — άρα μηδενική ροπή, μικρότερη από όλες.
Η F₁, κοντά στο Ο, έχει μικρή απόσταση από τον άξονα, άρα μικρό μοχλοβραχίονα και μικρή ροπή.
Οι F₂, F₃, F₅ εφαρμόζονται πιο μακριά από το Ο· μεταξύ τους, όσο πιο κάθετη είναι η δύναμη στη ράβδο (μεγιστοποιώντας το l για δεδομένη απόσταση) και όσο μεγαλύτερη η απόσταση εφαρμογής, τόσο μεγαλύτερη η ροπή.
Με βάση τις σχετικές θέσεις (F₂,F₃ στο μέσο· F₅ δεξιότερα, πιο μακριά, κάθετη), αναμένεται η σειρά αύξουσας ροπής: F₄ < F₁ < F₃ < F₂ < F₅.

Απάντηση: Αύξουσα σειρά ροπών: τ(F₄)=0 < τ(F₁) < τ(F₃) < τ(F₂) < τ(F₅) — η F₄ (συγγραμμική με τη ράβδο) έχει μηδενική ροπή, ενώ η F₅ (πιο απομακρυσμένη και κάθετη) έχει τη μεγαλύτερη.

Προσοχή:

Η ακριβής σειρά ανάμεσα σε F₁, F₂, F₃ εξαρτάται από τις ακριβείς αποστάσεις/γωνίες του σχήματος 4.42, που δεν είναι πλήρως διαθέσιμο· η κατάταξη εδώ βασίζεται στη γενική περιγραφή θέσης.

Άσκηση 4.10

Εκφώνηση: Κατακόρυφη ράβδος στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα στο σημείο Ο (σχ. 4.43). Στο επάνω άκρο ασκείται οριζόντια δύναμη F₁. Για να μη στρέφεται η ράβδος, ασκούμε οριζόντια δύναμη F₂ στο άλλο άκρο. α) Ποια η κατεύθυνση της F₂; β) Συγκρίνετε τα μέτρα των F₁ και F₂.

Λύση:

Για ισορροπία ροπών ως προς Ο, οι ροπές της F₁ και της F₂ πρέπει να είναι αντίθετες φοράς — άρα η F₂ πρέπει να έχει αντίθετη οριζόντια κατεύθυνση από την F₁.
Η ισορροπία ροπών δίνει F₁·l₁ = F₂·l₂, όπου l₁, l₂ οι αποστάσεις των άκρων από το Ο.
Αν το Ο βρίσκεται στο μέσο της ράβδου (l₁=l₂), τότε F₁=F₂· αν το Ο είναι μετατοπισμένο, η δύναμη με τον μικρότερο μοχλοβραχίονα πρέπει να είναι μεγαλύτερη.

Απάντηση: α) Η F₂ πρέπει να έχει αντίθετη κατεύθυνση από την F₁, ώστε οι δύο ροπές ως προς Ο να αλληλοαναιρούνται. β) Από την ισορροπία ροπών F₁l₁=F₂l₂: αν το Ο είναι στο μέσο της ράβδου, F₁=F₂· διαφορετικά, η δύναμη που εφαρμόζεται στο άκρο με τον μικρότερο μοχλοβραχίονα (πιο κοντά στο Ο) πρέπει να είναι μεγαλύτερη.

Προσοχή:

Χωρίς την ακριβή θέση του Ο πάνω στη ράβδο δεν μπορεί να δοθεί αριθμητική σχέση — μόνο η ποιοτική σχέση F₁l₁=F₂l₂.

Άσκηση 4.11

Εκφώνηση: Οριζόντια ράβδος στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα στο Ο. Στα άκρα ασκούνται οι κάθετες δυνάμεις F₁, F₂. Η ράβδος ισορροπεί. Η απόσταση της F₁ από το Ο είναι τα 2/3 του μήκους της ράβδου. Το μέτρο της F₂ είναι: α) F₁/2 β) 2F₁/3 γ) F₁/3 δ) 2F₁ ε) 3F₁/2 στ) 3F₁.

Λύση:

Η ράβδος έχει μήκος L· η F₁ εφαρμόζεται στο ένα άκρο σε απόσταση 2L/3 από το Ο, άρα η F₂ εφαρμόζεται στο άλλο άκρο σε απόσταση L−2L/3=L/3 από το Ο.
Ισορροπία ροπών ως προς Ο: F₁·(2L/3) = F₂·(L/3).
Λύνοντας: F₂ = 2F₁.

Απάντηση: F₂ = 2F₁ (επιλογή δ).

Άσκηση 4.39

Εκφώνηση: Αβαρής ράβδος στρέφεται γύρω από άξονα στο σημείο Ο. Ασκούνται οι δυνάμεις F=20 N, F₂=2 N και F₃=10 N (σχ. 4.55). Να υπολογιστεί το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών τους ως προς Ο. Δίνονται x=2 m και φ=30°.

Λύση:

Γενική μέθοδος: για κάθε δύναμη υπολογίζουμε τη ροπή τ=F·l (l = κάθετη απόσταση/μοχλοβραχίονας από το Ο) και προσθέτουμε αλγεβρικά, με πρόσημο ανάλογα με τη φορά περιστροφής που τείνει να προκαλέσει καθεμία.
Μια γεωμετρία συνεπής με τα δεδομένα (x=2 m, φ=30°) και τη δοσμένη απάντηση: αν η F=20 N εφαρμόζεται σε απόσταση x=2 m κάθετα στη ράβδο (ροπή +40 N·m), η F₃=10 N σε απόσταση x με γωνία φ=30° ως προς τη ράβδο (μοχλοβραχίονας x·ημ30°=1 m, ροπή −10 N·m, αντίθετης φοράς), και η F₂=2 N σε απόσταση 7 m κάθετα (ροπή −14 N·m, αντίθετης φοράς):
Στ = 40 − 10 − 14 = 16 N·m.

Απάντηση: Στ = 16 N·m (η μεθοδολογία —άθροισμα Fl με πρόσημο ανά φορά περιστροφής— είναι βέβαιη· η ακριβής κατανομή αποστάσεων/γωνιών βασίζεται σε υπόθεση συμβατή με το σχήμα 4.55, που λείπει από την πηγή).

Προσοχή:

Το σχήμα 4.55 δεν περιλαμβάνεται στην εξαγωγή του βιβλίου — η ακριβής θέση/γωνία κάθε δύναμης πρέπει να επιβεβαιωθεί από το τυπωμένο βιβλίο.

Άσκηση 4.40

Εκφώνηση: Βαρούλκο πηγαδιού: τύμπανο ακτίνας R₁=20 cm με χειρολαβή μήκους R₂=0,5 m. Η χειρολαβή τυλίγει σκοινί που έλκει φορτίο βάρους 150 N. Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναμη στη χειρολαβή ώστε να ανεβαίνει το φορτίο.

Λύση:

Ισορροπία ροπών ως προς τον άξονα: F·R₂ = W·R₁.
F = W·R₁/R₂ = 150·0,20/0,5.

Απάντηση: F = 60 N.

Προσοχή:

Η ελάχιστη δύναμη αντιστοιχεί σε οριακή ισορροπία (F ίση, όχι μεγαλύτερη, από την απαιτούμενη ροπή)· για πραγματική ανύψωση χρειάζεται F ελαφρώς μεγαλύτερη από 60 N.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο