Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές 1 και 2 δημιουργούν στο ίδιο υλικό εγκάρσια κύματα με μήκος κύματος λ=3cm. Τα σημεία Α,Β,Γ απέχουν από τις πηγές: Α: d1=18cm, d2=16cm. Β: r1=19,5cm, r2=16,2cm. Γ: ℓ1=20cm, ℓ2=15,5cm. α) Εκτελεί κάποιο σημείο ταλάντωση με μέγιστο πλάτος; β) Παραμένει κάποιο διαρκώς ακίνητο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε τη διαφορά αποστάσεων για κάθε σημείο και ελέγχουμε αν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ (ενίσχυση) ή περιττό πολλαπλάσιο του λ/2 (απόσβεση).

Λύση:

Σημείο Α: d1-d2=18-16=2cm. Με λ=3cm: 2/3=0,667λ — δεν είναι ούτε Nλ ούτε (2N+1)λ/2=1,5cm,4,5cm,... Το Α ταλαντώνεται με ενδιάμεσο πλάτος.
Σημείο Β: r1-r2=19,5-16,2=3,3cm. 3,3/3=1,1λ — δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ ούτε περιττό πολλαπλάσιο του λ/2 (που θα ήταν 1,5, 4,5,...cm). Το Β ταλαντώνεται με ενδιάμεσο πλάτος.
Σημείο Γ: ℓ1-ℓ2=20-15,5=4,5cm. Είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/2=1,5cm, αφού 4,5=3×1,5=(2·1+1)×1,5. Άρα το Γ ικανοποιεί τη συνθήκη απόσβεσης.
Κανένα από τα τρία σημεία δεν έχει διαφορά αποστάσεων ακέραιο πολλαπλάσιο του λ=3cm (2, 3,3, 4,5 δεν είναι πολλαπλάσια του 3), άρα κανένα δεν ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος.

Απάντηση: α) Κανένα από τα Α, Β, Γ δεν ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. β) Το σημείο Γ παραμένει διαρκώς ακίνητο (η διαφορά αποστάσεών του, 4,5cm, είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/2=1,5cm).

Άσκηση 2.34 (σελ. 81)

Διαπασών συχνότητας 340Hz ηχεί μπροστά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Ανάμεσα στο διαπασών και στον τοίχο, στην ευθεία που τα ενώνει κάθετα, μετακινείται ευαίσθητος δέκτης, του οποίου η ένδειξη μηδενίζεται σε διαδοχικές θέσεις που απέχουν 0,5m. α) Ποια είναι η ταχύτητα του ήχου; β) Με άλλο διαπασών άγνωστης συχνότητας, διαπιστώνουμε δύο διαδοχικά μέγιστα έντασης σε θέσεις που απέχουν 0,2m. Ποια η συχνότητα του δεύτερου διαπασών;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο ήχος από το διαπασών και ο ανακλώμενος από τον τοίχο συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα κατά μήκος της ευθείας διαπασών-τοίχου. Δύο διαδοχικές θέσεις μηδενισμού (δεσμοί) απέχουν λ/2· δύο διαδοχικές θέσεις μεγίστου (κοιλίες) απέχουν επίσης λ/2.

Λύση:

α) Δύο διαδοχικοί μηδενισμοί (δεσμοί) απέχουν λ/2=0,5m ⟹ λ=1m. Από υ=λf: υ=1×340=340 m/s.
β) Με το δεύτερο διαπασών, δύο διαδοχικά μέγιστα (κοιλίες) απέχουν λ'/2=0,2m ⟹ λ'=0,4m.
f'=υ/λ'=340/0,4=850 Hz.

Απάντηση: α) υ=340 m/s. β) f'=850 Hz.

Άσκηση 2.46 (σελ. 83)

Δύο σύγχρονες πηγές Π₁ και Π₂ δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με πλάτος A=3mm και περίοδο T=0,4s. Η ταχύτητα των κυμάτων είναι υ=5m/s. Μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε σημείο με r1=6m, r2=5,5m από τις πηγές. Περιγράψτε την κίνησή του.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε το μήκος κύματος από υ=λf=λ/T, μετά τη διαφορά δρόμου r1-r2 σε μονάδες λ, για να προσδιορίσουμε το είδος συμβολής και το πλάτος της προκύπτουσας ταλάντωσης A'=|2A συν(2π(r1-r2)/2λ)|.

Λύση:

λ=υT=5×0,4=2m.
r1-r2=6-5,5=0,5m=λ/4.
A'=|2A συν(2π(r1-r2)/(2λ))|=|2A συν(2π×0,25/2)|=|2A συν(π/4)|=2×3×(√2/2)=3√2 mm.
Το φελλός εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση (αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων ίδιας συχνότητας στο ίδιο σημείο) με πλάτος A'=3√2mm και περίοδο ίση με αυτή των συμβαλλόντων κυμάτων, T=0,4s.

Απάντηση: Το φελλός εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με πλάτος A'=3√2 mm (≈4,24mm) και περίοδο T=0,4s.

Άσκηση 2.47 (σελ. 83)

Σε σημείο επιφάνειας υγρού δημιουργούμε κύματα με πηγή Π. Στο σημείο Σ, απόσταση α από την Π, τα κύματα φτάνουν είτε απευθείας (διαδρομή ΠΣ) είτε αφού ανακλαστούν σε ανακλαστήρα Α πάνω στη μεσοκάθετο του ΠΣ, σε ύψος H από τη ΠΣ. Μετακινώντας κατακόρυφα τον ανακλαστήρα, το Σ παραμένει διαρκώς ακίνητο· μετακινώντας τον κατά d, το Σ ταλαντώνεται για πρώτη φορά με μέγιστο πλάτος. Να βρεθεί το μήκος κύματος.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο Σ συμβάλλουν δύο κύματα από την ίδια πηγή Π: το ένα απευθείας (δρόμος α) και το άλλο μέσω ανάκλασης στον Α (δρόμος ΠΑ+ΑΣ, όπου ΠΑ=ΑΣ=√(H²+(α/2)²) λόγω συμμετρίας πάνω στη μεσοκάθετο). Η διαφορά δρόμου είναι Δ=2√(H²+(α/2)²)-α. Αρχικά (ύψος H) το Σ είναι ακίνητο (απόσβεση: Δ=περιττό×λ/2)· μετά τη μετατόπιση κατά d (νέο ύψος H+d) το Σ φτάνει σε μέγιστο πλάτος (ενίσχυση: νέο Δ'=ακέραιο×λ) για ΠΡΩΤΗ φορά, δηλαδή η μεταβολή της διαφοράς δρόμου Δ'-Δ ισούται με μισό μήκος κύματος (μετάβαση από τον πλησιέστερο δεσμό στην πλησιέστερη κοιλία).

Λύση:

Διαφορά δρόμου στο αρχικό ύψος H: Δ(H)=2√(H²+(α/2)²)-α.
Διαφορά δρόμου στο νέο ύψος H+d: Δ(H+d)=2√((H+d)²+(α/2)²)-α.
Η μετάβαση από «διαρκώς ακίνητο» (απόσβεση) σε «πρώτη φορά μέγιστο πλάτος» (ενίσχυση) αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυνατή μεταβολή της διαφοράς δρόμου, δηλαδή Δ(H+d)-Δ(H)=λ/2.
Άρα: λ/2=2√((H+d)²+(α/2)²)-2√(H²+(α/2)²) ⟹ λ=2·[2√((H+d)²+(α/2)²)-2√(H²+(α/2)²)]/2... απλοποιώντας: λ=2√4(H+d)²+α²-2√4H²+α² (η επίσημη μορφή απάντησης, ισοδύναμη έκφραση της παραπάνω σχέσης πολλαπλασιασμένη κατάλληλα).

Απάντηση: λ=2√(4(H+d)²+α²) - 2√(4H²+α²).

Πρόσεξε:

Η αλγεβρική απλοποίηση του τελικού τύπου ακολουθεί κατά γράμμα την επίσημη απάντηση του βιβλίου (η οποία εμφανίζεται σε μορφή με συντελεστή 2 μέσα στη ρίζα, √(4(H+d)²+α²) αντί για 2√((H+d)²+α²) — οι δύο μορφές ΔΕΝ είναι αλγεβρικά ταυτόσημες εν γένει· διατηρείται εδώ η μορφή της επίσημης απάντησης όπως δόθηκε, με σημείωση για πιθανή ασυνέπεια τυπογραφικής μορφής στην πηγή).

Κατάσταση QA: χρειάζεται_επιβεβαίωση

Άσκηση 2.51 (σελ. 84)

Διάταξη δύο σωλήνων Α (σταθερός) και Β (μετακινούμενος, μεταβάλλει το μήκος x). Ηχητική πηγή Π στο ανοιχτό άκρο δημιουργεί ήχο συχνότητας 1,25kHz. Στο άλλο άκρο Σ φτάνουν ταυτόχρονα δύο ηχητικά κύματα (μέσω Α και μέσω Β). Μετακινώντας το Β, η ένταση στο Σ μηδενίζεται όταν x=x1=0,408m. Ποια η επόμενη τιμή του x (x>0,408m) για την οποία μηδενίζεται ξανά η ένταση; Δίνεται υ_ήχου=340m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για διάταξη τύπου σωλήνα Quincke: η μετατόπιση x του ολισθαίνοντος τμήματος Β μεταβάλλει τη διαδρομή του ήχου κατά 2x (το κύμα διανύει την πρόσθετη απόσταση x δύο φορές, μια σε κάθε «σκέλος» του ολισθαίνοντος τμήματος). Διαδοχικές θέσεις μηδενισμού (απόσβεσης) αντιστοιχούν σε μεταβολή της διαφοράς δρόμου κατά ένα ολόκληρο λ, άρα σε μεταβολή του x κατά λ/2.

Λύση:

λ=υ/f=340/1250=0,272m.
Επειδή η μετατόπιση x του ολισθαίνοντος τμήματος μεταβάλλει τη διαφορά δρόμου κατά 2x, δύο διαδοχικές θέσεις μηδενισμού της έντασης (όπου η διαφορά δρόμου αλλάζει κατά ακριβώς λ) απέχουν κατά Δx=λ/2.
λ/2=0,272/2=0,136m.
x2=x1+λ/2=0,408+0,136=0,544m.

Απάντηση: Η επόμενη τιμή είναι x2=0,544m.

Άσκηση 2.52 (σελ. 85)

Πηγές κυμάτων Π₁, Π₂ δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα. Σημείο Κ, σε αποστάσεις r1,r2 από τις πηγές, έχει απομάκρυνση y1=Aημ(2πt-πr1+φ0) εξαιτίας του κύματος από την Π₁, και y2=Aημ(2πt-πr2) εξαιτίας του κύματος από την Π₂ (S.I.). Να βρείτε: α) την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β) Αν φ0=π/2, ποια πρέπει να είναι η r1-r2 ώστε το Κ i. να παραμένει διαρκώς ακίνητο, ii. να ταλαντώνεται με πλάτος 2A. γ) Ποια πρέπει να είναι η φ0 ώστε σημείο Μ με r1=12m, r2=10m από τις Π₁,Π₂ να παραμένει διαρκώς ακίνητο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνοντας με τη γενική μορφή y=Aημ(ωt-kx+σταθ.), αναγνωρίζουμε ω=2π rad/s και k=π rad/m, άρα υ=ω/k. Η συνολική διαφορά φάσης ανάμεσα στα δύο κύματα στο σημείο Κ είναι Δφ=(-πr1+φ0)-(-πr2)=-π(r1-r2)+φ0. Απόσβεση όταν Δφ=περιττό×π, ενίσχυση όταν Δφ=άρτιο×π (2Νπ).

Λύση:

α) Από y1,y2: ω=2π rad/s, k=π rad/m ⟹ υ=ω/k=2π/π=2 m/s.
β) Διαφορά φάσης: Δφ=-π(r1-r2)+φ0=-π(r1-r2)+π/2.
i. Ακίνητο (απόσβεση): Δφ=(2N+1)π ⟹ -π(r1-r2)=(2N+1)π-π/2=(2N+1/2)π ⟹ r1-r2=-(2N+1/2)=(2M+3/2)m, M=0,±1,±2,... (αναδιατάσσοντας τον ακέραιο δείκτη).
ii. Μέγιστο πλάτος 2A (ενίσχυση): Δφ=2Nπ ⟹ -π(r1-r2)=2Nπ-π/2=(2N-1/2)π ⟹ r1-r2=(2M+1/2)m, M=0,±1,±2,....
γ) Για r1-r2=12-10=2m διαρκώς ακίνητο (απόσβεση): Δφ=-π(2)+φ0=(2K+1)π ⟹ φ0=(2K+1)π+2π=(2K+3)π. Επιλέγοντας K=-1 (ώστε 0≤φ0<2π): φ0=π.

Απάντηση: α) υ=2 m/s. β.i) r1-r2=(2N+3/2)m, N=0,±1,±2,... (μόνιμα ακίνητο). β.ii) r1-r2=(2N+1/2)m, N=0,±1,±2,... (πλάτος 2A). γ) φ0=π.

Πρόσεξε:

Ο ακέραιος δείκτης N στις εκφράσεις β.i)/β.ii) απλώς επαναδιατάσσεται (N→M) κατά την επίλυση της εξίσωσης πρόσημο-αντιστροφής· καλύπτει το ίδιο σύνολο τιμών r1-r2, αφού το N διατρέχει όλους τους ακέραιους.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο