Κεφάλαιο 6.4 – Χωροχρόνος — Λύσεις (σελ. 216-218)
Κεφάλαιο 6.4 - Χωροχρόνος (σελ. 216-218) — Λύσεις
Άσκηση 6.3 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.217.6.3)
Εκφώνηση: Συγκρίνετε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται για μετρήσεις μήκους και χρόνου από παρατηρητές σε συστήματα αναφοράς των οποίων η σχετική ταχύτητα είναι c. Με ποια έννοια, από την άποψη αυτή, το c γίνεται οριακή ταχύτητα;
Σκέψη: Εξετάζουμε τι συμβαίνει στους τύπους διαστολής χρόνου και συστολής μήκους όταν υ→c.
Λύση:
- Στη διαστολή χρόνου, Δt=Δt0/√(1-υ²/c²): καθώς υ→c, ο παρονομαστής →0, άρα Δt→∞.
- Στη συστολή μήκους, l=l0√(1-υ²/c²): καθώς υ→c, l→0.
- Άρα για υ=c οι σχέσεις γίνονται μαθηματικά απροσδιόριστες/άπειρες — δεν έχουν φυσικό νόημα για σώμα με μάζα.
Απάντηση: Καθώς η σχετική ταχύτητα u δύο συστημάτων πλησιάζει το c, ο χρόνος ενός φαινομένου (μετρημένος από το «ακίνητο» σύστημα) τείνει στο άπειρο, ενώ το μήκος ενός αντικειμένου (στη διεύθυνση κίνησης) τείνει στο μηδέν. Και οι δύο σχέσεις περιέχουν τον παράγοντα 1/√(1-u²/c²) ή √(1-u²/c²), που «χαλάει» μαθηματικά για u=c. Το c είναι οριακή ταχύτητα με την έννοια ότι κανένα σώμα με μη μηδενική μάζα δεν μπορεί να φτάσει ή να ξεπεράσει αυτή την ταχύτητα, αφού κάτι τέτοιο θα απαιτούσε άπειρη ενέργεια και θα οδηγούσε σε φυσικά χωρίς νόημα αποτελέσματα (άπειρη διαστολή χρόνου, μηδενικό μήκος).
Πρόσεξε:
- Το c είναι όριο μόνο για σώματα με μάζα· σωματίδια με μηδενική μάζα ηρεμίας (φωτόνια) κινούνται ΠΑΝΤΑ με ακριβώς c.
Άσκηση 6.12 (κωδ. GEL3.FYS.BM.X.219.6.12)
Εκφώνηση: Βαγόνι κινείται με ταχύτητα u, που πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Στο μέσον του βαγονιού παράγονται ταυτόχρονα δύο φωτεινοί παλμοί, που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση x (διεύθυνση κίνησης) σε αντίθετες κατευθύνσεις, φτάνοντας στις πλευρές A (μπροστά) και B (πίσω). Ποιες από τις προτάσεις είναι ορθές; α) Παρατηρητής μέσα στο βαγόνι βρίσκει ότι οι δύο παλμοί φτάνουν ταυτόχρονα στις A και B. β) Ο ίδιος παρατηρητής βρίσκει ότι ο παλμός προς B φτάνει πρώτος. γ) Παρατηρητής ακίνητος στον σταθμό βρίσκει ότι φτάνουν ταυτόχρονα. δ) Ο παρατηρητής στον σταθμό βρίσκει ότι ο παλμός προς A κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα από τον προς B. ε) Ο παρατηρητής στον σταθμό βρίσκει ότι ο παλμός προς B φτάνει πρώτος.
Σκέψη: Για τον επιβάτη (πηγή ακίνητη ως προς αυτόν, ίσες αποστάσεις προς Α και Β) ισχύει απλή συμμετρία. Για τον παρατηρητή του σταθμού εφαρμόζουμε το 2ο αξίωμα: η ταχύτητα του φωτός είναι c προς κάθε κατεύθυνση, ανεξάρτητα από την κίνηση της πηγής — αλλάζει όμως η απόσταση που πρέπει να διανύσει κάθε παλμός, αφού το βαγόνι (άρα και τα Α, Β) μετακινείται όσο διαδίδεται το φως.
Λύση:
- Για τον επιβάτη: η πηγή είναι ακριβώς στο μέσο, ίσες αποστάσεις προς Α και Β, ταχύτητα φωτός ίδια και προς τις δύο κατευθύνσεις ⇒ ταυτόχρονη άφιξη. Η (α) είναι σωστή, η (β) λάθος.
- Για τον παρατηρητή του σταθμού: το Β (πίσω τοίχωμα) κινείται ΠΡΟΣ τον παλμό που πάει προς τα εκεί, μειώνοντας την απόσταση που πρέπει να διανύσει· το Α (μπροστινό τοίχωμα) απομακρύνεται από τον παλμό που το κυνηγά, αυξάνοντας την απόσταση.
- Επειδή όμως και οι δύο παλμοί κινούνται με την ΙΔΙΑ ταχύτητα c (2ο αξίωμα) — άρα η (δ) είναι λάθος — αλλά ο παλμός προς Β έχει μικρότερη απόσταση να διανύσει, φτάνει πρώτος. Η (ε) είναι σωστή, η (γ) λάθος.
Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (α) και (ε). Για τον επιβάτη του βαγονιού οι δύο παλμοί φτάνουν ταυτόχρονα στα Α και Β (συμμετρία, ίδια απόσταση, ίδια ταχύτητα φωτός). Για τον παρατηρητή στον σταθμό όμως ΔΕΝ φτάνουν ταυτόχρονα: ο παλμός προς Β (που «κυνηγάει» ένα τοίχωμα που πλησιάζει) φτάνει πρώτος, αφού διανύει μικρότερη απόσταση — ενώ και οι δύο παλμοί εξακολουθούν να κινούνται με ακριβώς την ίδια ταχύτητα c, όχι διαφορετική. Αυτό είναι το κλασικό παράδειγμα σχετικότητας του ταυτόχρονου.
Πρόσεξε:
- Μην πέσετε στην παγίδα της (δ): η ταχύτητα του φωτός ΔΕΝ αλλάζει ποτέ — αλλάζει μόνο η απόσταση που πρέπει να διανυθεί.