Εκφώνηση: Ομογενής ράβδος μάζας M=3 kg και μήκους L=40 cm στρέφεται με ω=10 rad/s γύρω από άξονα στο ένα άκρο της, κάθετο σ' αυτήν. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια της ράβδου. Δίνεται I_cm=ML²/12 (ως προς το κέντρο μάζας).

Λύση:

I_άκρου=I_cm+M(L/2)²=ML²/12+ML²/4=ML²/3 (γνωστό αποτέλεσμα).
I_άκρου=3·0,4²/3=3·0,16/3=0,16 kg·m².
K=½Iω²=½·0,16·10²=½·0,16·100=8 J.

Απάντηση: K = 8 J.

Άσκηση 4.51

Εκφώνηση: Ομογενής δίσκος μάζας M=8 kg και ακτίνας R κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου υ=5 m/s. Βρείτε την κινητική ενέργεια του δίσκου. Δίνεται I=½MR².

Λύση:

K=½Mυ²+½·(½MR²)·(υ/R)²=½Mυ²+¼Mυ²=(3/4)Mυ².
K=(3/4)·8·5²=(3/4)·8·25=150 J.

Απάντηση: K = 150 J.

Άσκηση 4.53

Εκφώνηση: Ομογενής δίσκος μάζας m=40 kg και ακτίνας R=20 cm στρέφεται με συχνότητα 5 Hz γύρω από τον άξονά του. α) Πόσο έργο απαιτείται για να ακινητοποιηθεί; β) Ποια η μέση ισχύς της ροπής που πρέπει να ασκηθεί για ακινητοποίηση σε 5 s; Δίνεται I=½mR², π²≈10.

Λύση:

I=½·40·0,2²=½·40·0,04=0,8 kg·m². ω=2πf=2π·5=10π rad/s.
K=½Iω²=½·0,8·(10π)²=0,4·100π²=40π²≈40·10=400 J.
α) Το απαιτούμενο έργο (από την πέδη/τριβή) ισούται με 400 J (αφαιρεί όλη την κινητική ενέργεια).
β) Μέση ισχύς: P=W/t=400/5=80 W.

Απάντηση: α) W = 400 J. β) P_μέση = 80 W.

Άσκηση 4.66

Εκφώνηση: Στην περιφέρεια ακίνητης τροχαλίας ακτίνας 20 cm είναι τυλιγμένο σκοινί. Ασκώντας στο σκοινί οριζόντια δύναμη 400π N περιστρέφουμε την τροχαλία. Όταν αυτή έχει κάνει 4 περιστροφές, έχει γωνιακή ταχύτητα ω=8π rad/s. Υπολογίστε τη μάζα της τροχαλίας. Δίνεται I=½mR².

Λύση:

s=4·2πR=8π·0,2=1,6π m.
W=F·s=400π·1,6π=640π² J.
Θεώρημα έργου-ενέργειας: 640π²=½·(½mR²)·ω²=¼m·0,2²·(8π)²=¼m·0,04·64π²=0,64mπ².
m=640π²/(0,64π²)=1000... έλεγχος: 640/0,64=1000 — αυτό δεν ταιριάζει με τη δοσμένη απάντηση 50 kg, άρα επαναλαμβάνουμε τον υπολογισμό του έργου μέσω ροπής και γωνίας: W=τθ=F·R·θ, με θ=4·2π=8π rad.
W=400π·0,2·8π=640π² J (ίδιο αποτέλεσμα)· εναλλακτικά ελέγχουμε: ½Iω²=¼mR²ω²=¼m·0,04·64π²=0,64π²m. Εξισώνοντας: 640π²=0,64π²m ⇒ m=1000 kg — τιμή μη ρεαλιστική, άρα πιθανή απόκλιση στα δεδομένα της πηγής.

Απάντηση: Με αυστηρή εφαρμογή του θεωρήματος έργου-ενέργειας στα δοσμένα numeric στοιχεία προκύπτει m=1000 kg, τιμή που αποκλίνει σημαντικά από τη δοσμένη απάντηση του βιβλίου (50 kg) — πιθανή απόκλιση/λάθος στα αριθμητικά δεδομένα της πηγής (π.χ. στη δύναμη ή στον αριθμό περιστροφών). Η μεθοδολογία (W=Fs=τθ=½Iω²) είναι η σωστή γενική προσέγγιση.

Προσοχή:

Ο υπολογισμός με τα δεδομένα της πηγής (F=400π N, R=0,2 m, 4 περιστροφές, ω=8π rad/s) δεν αναπαράγει τη δοσμένη απάντηση 50 kg· πιθανή ασυνέπεια στα εξαγόμενα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος. Χρειάζεται επιβεβαίωση από το τυπωμένο βιβλίο.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο