Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πεδίο στο κέντρο πλήρους κυκλικού αγωγού ακτίνας R είναι B=(μ0/4π)(2πΙ/R). Ένας ημικυκλικός αγωγός είναι το μισό του κύκλου, άρα δημιουργεί το μισό πεδίο.

Λύση:

Πλήρης κύκλος ακτίνας R: B_κύκλου=(μ0/4π)(2πΙ/R)=μ0Ι/(2R).
Ο ημικυκλικός αγωγός αντιστοιχεί στο μισό της περιμέτρου, άρα δημιουργεί το μισό πεδίο του πλήρους κύκλου (τα ΔΒ όλων των στοιχειωδών τμημάτων έχουν ίδια κατεύθυνση, οπότε η αναλογία περνά απευθείας στο άθροισμα).

Απάντηση: B=μ0Ι/(4R).

Πρόσεξε:

Μη συγχέετε το πεδίο ημικυκλίου (μ0Ι/4R) με αυτό πλήρους κύκλου (μ0Ι/2R) — είναι ακριβώς το μισό.

Άσκηση 4.36 (σελ. 173)

[ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ] Ο ευθύγραμμος αγωγός του σχήματος 4.37 διαρρέεται από ρεύμα έντασης I=10 A. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο B που δημιουργεί τμήμα Δl, του αγωγού μήκους Δl=0,2 cm (το Δl να θεωρηθεί στοιχειώδες) στα σημεία Α και Γ. Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A. [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η άσκηση απαιτεί απευθείας εφαρμογή της σχέσης ΔΒ=(μ0/4π)(IΔl/r²)sinθ σε στοιχειώδες τμήμα, στα δύο σημεία Α (πάνω από το Δl, σε απόσταση 3 cm, θ=90°) και Γ (σε απόσταση r=√(3²+4²)=5 cm από το Δl, με γωνία θ διαφορετική του 90°) — ακριβώς ο τύπος υπολογισμού («σχέση 4.2»/ΔΒ σε στοιχειώδες τμήμα) που εξαιρείται ρητά από την εξεταστέα ύλη του §11.3.

Λύση:

Στο σημείο Α (κατακόρυφα πάνω από το Δl, απόσταση r=3 cm=0,03 m, θ=90° αφού το Α είναι στην κάθετο του Δl): ΔΒ_Α=(μ0/4π)(IΔl/r²)sinθ=10⁻⁷×(10×0,002)/(0,03²)×1=10⁻⁷×0,02/0,0009≈0,222×10⁻⁵ T.
Στο σημείο Γ (r=√(3²+4²)=5 cm=0,05 m, με γωνία θ τέτοια ώστε sinθ=3/5=0,6, από τη γεωμετρία ορθογωνίου τριγώνου 3-4-5): ΔΒ_Γ=10⁻⁷×0,02/(0,05²)×0,6=10⁻⁷×0,02×0,6/0,0025≈0,048×10⁻⁵ T.

Απάντηση: ΔΒ_Α≈0,22×10⁻⁵ T, ΔΒ_Γ≈0,048×10⁻⁵ T (εκτός εξεταστέας ύλης — απευθείας εφαρμογή σχέσης Biot-Savart σε στοιχειώδες τμήμα).

Πρόσεξε:

Αυτή η άσκηση χρησιμοποιεί ακριβώς τον τύπο υπολογισμού («σχέση 4.2», απευθείας ΔΒ από στοιχειώδες τμήμα) που είναι ρητά εκτός εξεταστέας ύλης για το §11.3 — διατηρείται μόνο ενδεικτικά.

Άσκηση 4.37 (σελ. 173)

Ο αγωγός του σχήματος 4.38 αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα μεγάλου μήκους και ένα ημικυκλικό, ακτίνας R. Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ο αγωγός στο σημείο O, κέντρο του ημικυκλίου, όταν διαρρέεται από ρεύμα έντασης I.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κατεύθυνση των δύο ευθύγραμμων τμημάτων περνά από το κέντρο O του ημικυκλίου (η προέκτασή τους διέρχεται από το O), άρα κάθε στοιχειώδες τμήμα τους έχει Δl παράλληλο με το διάνυσμα θέσης προς το O (θ=0 ή 180°) — δε συνεισφέρουν πεδίο στο O. Μόνο το ημικυκλικό τμήμα συνεισφέρει.

Λύση:

Για τα δύο ευθύγραμμα τμήματα: κάθε στοιχειώδες Δl τους βρίσκεται πάνω στην ευθεία που περνά από το O, άρα η γωνία θ ανάμεσα σε Δl και στο διάνυσμα r (προς το O) είναι 0° ή 180° — sinθ=0, οπότε ΔΒ=0 για κάθε τμήμα τους.
Άρα μόνο το ημικυκλικό τμήμα συνεισφέρει πεδίο στο O, όπως στην άσκηση 4.4: B_ημικυκλίου=μ0Ι/(4R).

Απάντηση: B=μ0Ι/(4R) (μόνο το ημικυκλικό τμήμα συνεισφέρει· τα ευθύγραμμα τμήματα δε συνεισφέρουν πεδίο στο O).

Πρόσεξε:

Τα ευθύγραμμα τμήματα δε συνεισφέρουν επειδή είναι ευθυγραμμισμένα με το διάνυσμα θέσης προς το O, όχι επειδή απέχουν πολύ.

Άσκηση 4.38 (σελ. 173)

Ο αγωγός του σχήματος 4.39 διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και αποτελείται από δύο ομόκεντρα ημικυκλικά τμήματα, ακτίνων α και β, που είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με δύο ακτινικά ευθύγραμμα τμήματα. Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο των ημικυκλικών τμημάτων.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Τα δύο ακτινικά ευθύγραμμα τμήματα δε συνεισφέρουν πεδίο στο κοινό κέντρο O (Δl παράλληλο στο r). Τα δύο ημικύκλια συνεισφέρουν πεδία με αντίθετη φορά ρεύματος ως προς το O (το ρεύμα «πηγαίνει» στο ένα και «γυρίζει» στο άλλο), οπότε τα πεδία τους είναι αντίθετης φοράς και αφαιρούνται.

Λύση:

Τα ακτινικά τμήματα δε συνεισφέρουν πεδίο στο O (ίδιος λόγος με την άσκηση 4.37).
Το ημικύκλιο ακτίνας α δημιουργεί πεδίο B_α=μ0Ι/(4α), το ημικύκλιο ακτίνας β πεδίο B_β=μ0Ι/(4β), με αντίθετες φορές (το ρεύμα διαρρέει το κλειστό κύκλωμα με αντίθετη φορά περιστροφής ως προς το O στα δύο τόξα).
Το ολικό πεδίο είναι η διαφορά: B=B_β-B_α=μ0Ι/(4β)-μ0Ι/(4α)=μ0Ι(α-β)/(4αβ), οπότε σε μέτρο B=μ0Ι(β-α)/(4αβ).

Απάντηση: B=μ0Ι(β-α)/(4αβ) (θεωρώντας β>α).

Πρόσεξε:

Τα δύο ημικύκλια δίνουν πεδία αντίθετης φοράς στο κοινό κέντρο — αφαιρούνται, δεν προστίθενται.

Άσκηση 4.57 (σελ. 177)

[ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ] Κυκλικός αγωγός έχει ακτίνα r=3 cm και διαρρέεται από ρεύμα I=10 A. Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ο αγωγός σε σημείο Α που βρίσκεται πάνω σε ευθεία κάθετη στο επίπεδο του κύκλου, που διέρχεται από το κέντρο Ο και απέχει απόσταση d=4 cm από το Ο. (Υπόδειξη: αναλύστε το ΔΒ σε συνιστώσες.) Δίνεται μ0=4π×10⁻⁷ Tm/A. [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η άσκηση αυτή απαιτεί ρητά ανάλυση του ΔΒ σε ορθές συνιστώσες — ακριβώς ο τύπος υπολογισμού που εξαιρείται από την εξεταστέα ύλη του §11.3 (μαζί με τη σχέση 4.2). Παρατίθεται μόνο ενδεικτικά, ως πληροφοριακό υλικό.

Λύση:

Κάθε στοιχειώδες ΔΒ, λόγω στοιχειώδους τμήματος του κύκλου, έχει μέτρο ΔΒ=(μ0/4π)(IΔl/ρ²) με ρ²=r²+d² (απόσταση από το τμήμα ως το Α) και είναι κάθετο στο ρ.
Αναλύοντας το ΔΒ σε συνιστώσα παράλληλη στον άξονα και κάθετη σ' αυτόν, οι κάθετες συνιστώσες αλληλοαναιρούνται λόγω συμμετρίας γύρω από τον άξονα, ενώ οι παράλληλες προστίθενται.
Η παράλληλη συνιστώσα είναι ΔΒ·(r/ρ), οπότε αθροίζοντας: B=(μ0/4π)(2πrI/ρ²)(r/ρ)=(μ0/4π)(2πIr²)/(r²+d²)^{3/2}.
Αντικαθιστώντας r=0,03 m, d=0,04 m, I=10 A, μ0=4π×10⁻⁷: ρ²=r²+d²=0,0025, ρ³=0,000125, B=(10⁻⁷)(2π·10·0,0009)/0,000125≈0,452×10⁻⁴ T.

Απάντηση: B≈0,452×10⁻⁴ T (εκτός εξεταστέας ύλης — απαιτεί ανάλυση ΔΒ σε συνιστώσες).

Πρόσεξε:

Η μέθοδος ανάλυσης ΔΒ σε συνιστώσες είναι ρητά εκτός εξεταστέας ύλης για το §11.3 — η άσκηση διατηρείται μόνο ως παράδειγμα, όχι για εξέταση.

Άσκηση Δραστ.1 (σελ. 166)

Χρησιμοποιήστε ένα λεπτό καλώδιο για να δημιουργήσετε ένα κατακόρυφο ορθογώνιο πλαίσιο, με μία ή περισσότερες σπείρες. Στο κέντρο του πλαισίου τοποθετήστε μια πυξίδα, με τη βελόνα παράλληλη στο επίπεδο του πλαισίου. Συνδέστε το σύρμα σε μπαταρία 4,5 V. Η βελόνα στρέφεται. Τυλίξτε ακόμα μία φορά το σύρμα ώστε να προσθέσετε μια σπείρα. Τι παρατηρείτε για τη γωνία που στράφηκε τώρα η βελόνα; Τι εμποδίζει τη βελόνα να τοποθετηθεί κάθετα στο επίπεδο του πλαισίου; [ΕΚΤΟΣ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πεδίο στο κέντρο πλαισίου Ν σπειρών είναι Ν φορές το πεδίο μίας σπείρας (οι συνεισφορές προστίθενται). Η βελόνα προσανατολίζεται σύμφωνα με τη συνισταμένη του μαγνητικού πεδίου της Γης και του πεδίου του πλαισίου — δεν μπορεί να γίνει ακριβώς κάθετη στο πλαίσιο επειδή πάντα υπάρχει και η συνιστώσα του γήινου πεδίου.

Λύση:

Προσθέτοντας σπείρα, το πεδίο στο κέντρο αυξάνεται αναλογικά με τον αριθμό σπειρών (B∝N) — η γωνία στροφής της βελόνας αυξάνεται.
Η βελόνα δεν μπορεί να γίνει ακριβώς κάθετη στο πλαίσιο επειδή πάντα δέχεται και την επίδραση του (σταθερού) μαγνητικού πεδίου της Γης, που έχει άλλη διεύθυνση — η τελική διεύθυνση της βελόνας είναι η συνισταμένη των δύο πεδίων.

Απάντηση: Με περισσότερες σπείρες, η γωνία στροφής της βελόνας αυξάνεται (το πεδίο στο κέντρο είναι ανάλογο του αριθμού σπειρών). Η βελόνα δεν μπορεί να γίνει τελείως κάθετη στο πλαίσιο, γιατί δέχεται πάντα και τη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου της Γης.

Πρόσεξε:

Πειραματική δραστηριότητα — η απάντηση περιγράφει την αναμενόμενη ποιοτική παρατήρηση, όχι αριθμητικό αποτέλεσμα.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο