Κεφάλαιο 12.2 – Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή (σελ. 211-222) – Λύσεις

Κεφάλαιο 12.2 — Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή (σελ. 211-222) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.1 (σελ. 211)

Ένας κυκλικός βρόχος βρίσκεται μέσα στο ομογενές μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ηλεκτρομαγνήτης. Βρείτε τι προσανατολισμό πρέπει να έχει ο βρόχος ώστε η μαγνητική ροή που τον διαπερνά να είναι α) μέγιστη, β) ελάχιστη.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ροή είναι \(\Phi_B=BA\,\text{συν}\theta\), όπου \(\theta\) η γωνία μεταξύ του καθέτου στο επίπεδο του βρόχου και του \(\vec B\).

Λύση:

1. Μέγιστη ροή (\(\Phi=BA\)) όταν \(\theta=0\), δηλαδή όταν το επίπεδο του βρόχου είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές (η κάθετος στο επίπεδο είναι παράλληλη στο \(\vec B\)).
2. Ελάχιστη ροή (\(\Phi=0\)) όταν \(\theta=90^\circ\), δηλαδή όταν το επίπεδο του βρόχου είναι παράλληλο στις δυναμικές γραμμές (περιέχει τις γραμμές του πεδίου).

Απάντηση: Μέγιστη ροή: επίπεδο βρόχου κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Ελάχιστη (μηδενική) ροή: επίπεδο βρόχου παράλληλο στις δυναμικές γραμμές.

Πρόσεξε:

• Η γωνία \(\theta\) στο \(\Phi=BA\,\text{συν}\theta\) μετριέται από την ΚΑΘΕΤΟ στο επίπεδο, όχι από το ίδιο το επίπεδο.

Άσκηση 5.2 (σελ. 211)

Συμπληρώστε τις προτάσεις: Όταν πλησιάσουμε ένα ραβδόμορφο μαγνήτη σε ένα πηνίο, έτσι ώστε οι άξονές τους να συμπίπτουν, μεταβάλλεται ....................... που διέρχεται από τις σπείρες του πηνίου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να δημιουργηθεί στο πηνίο ........................ . Το φαινόμενο ονομάζεται ................. .

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για ανάκληση των βασικών όρων του πειράματος-εισαγωγής του §12.2.

Λύση:

1. Μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από τις σπείρες του πηνίου.
2. Δημιουργείται στο πηνίο ηλεκτρικό ρεύμα (τάση/ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή).
3. Το φαινόμενο ονομάζεται ηλεκτρομαγνητική επαγωγή.

Απάντηση: ...η μαγνητική ροή... ηλεκτρεγερτική δύναμη (ρεύμα) από επαγωγή... ηλεκτρομαγνητική επαγωγή.

Άσκηση 5.3 (σελ. 211)

Ένα συρμάτινο πλαίσιο βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ηλεκτρομαγνήτης. Να αναφέρετε δύο τρόπους με τους οποίους μπορεί να δημιουργηθεί ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή στο πλαίσιο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ροή \(\Phi=BA\,\text{συν}\theta\) μεταβάλλεται είτε αλλάζοντας το \(B\), είτε αλλάζοντας το \(A\) ή τη γωνία \(\theta\) (κίνηση/περιστροφή του πλαισίου).

Λύση:

1. 1ος τρόπος: μεταβάλλουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου \(B\) (π.χ. μεταβάλλοντας το ρεύμα του ηλεκτρομαγνήτη), κρατώντας το πλαίσιο ακίνητο.
2. 2ος τρόπος: κρατάμε το πεδίο σταθερό και κινούμε (ή στρέφουμε) το πλαίσιο, ώστε να μεταβάλλεται το εμβαδόν ή η γωνία που ορίζει με τις δυναμικές γραμμές.

Απάντηση: α) Μεταβολή της έντασης του πεδίου με το πλαίσιο ακίνητο. β) Μετακίνηση/περιστροφή του πλαισίου μέσα στο σταθερό πεδίο (μεταβολή εμβαδού ή προσανατολισμού).

Άσκηση 5.4 (σελ. 211)

Αν η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια που ορίζει ένας αγωγός αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, η ηλεκτρεγερτική δύναμη που δημιουργείται στον αγωγό: α) αυξάνεται; β) μειώνεται; ή γ) μένει σταθερή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(E_{\text{επ}}=N\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|\) — σταθερός ρυθμός μεταβολής σημαίνει σταθερό λόγο \(\Delta\Phi/\Delta t\).

Λύση:

1. Αφού ο ρυθμός μεταβολής \(\Delta\Phi/\Delta t\) είναι σταθερός, και η \(E_{\text{επ}}\) που ισούται με αυτόν (επί \(N\)) παραμένει σταθερή.

Απάντηση: γ) Μένει σταθερή.

Πρόσεξε:

• Δεν έχει σημασία ότι η ροή αυξάνεται — σημασία έχει ο ΡΥΘΜΟΣ μεταβολής της.

Άσκηση 5.5 (σελ. 211)

Στο διάγραμμα \(E_{\text{επ}}=f(t)\) του σχήματος 5.40 παριστάνεται γραφικά η ηλεκτρεγερτική δύναμη που επάγεται σε ένα κύκλωμα. Τι εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται ανάμεσα στη γραμμή του διαγράμματος και τον άξονα του χρόνου;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αφού \(E_{\text{επ}}=N\left|\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\right|\), το ολοκλήρωμα (εμβαδόν) \(\int E_{\text{επ}}\,\mathrm{d}t\) ισούται με \(N|\Delta\Phi|\).

Λύση:

1. Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη \(E_{\text{επ}}(t)\) σε ένα χρονικό διάστημα ισούται με \(\int E_{\text{επ}}\,dt=N|\Delta\Phi_B|\), δηλαδή με τη (επί \(N\)) συνολική μεταβολή της μαγνητικής ροής στο διάστημα αυτό.

Απάντηση: Το εμβαδόν εκφράζει τη συνολική μεταβολή της μαγνητικής ροής (επί τον αριθμό σπειρών \(N\)) στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα.

Πρόσεξε:

• Δεν πρόκειται για φορτίο — το φορτίο προκύπτει αν διαιρέσουμε επιπλέον με την αντίσταση \(R\).

Άσκηση 5.6 (σελ. 211)

Το συνολικό φορτίο που μετακινείται σε κλειστό κύκλωμα, λόγω του φαινομένου της επαγωγής, εξαρτάται από α) την χρονική διάρκεια του φαινομένου, β) το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η μαγνητική ροή, γ) την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα, δ) την ωμική αντίσταση που παρουσιάζει το κύκλωμα. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την (5.4): \(\Delta q=N\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}\) — το φορτίο εξαρτάται μόνο από τη συνολική μεταβολή της ροής και την αντίσταση, όχι από τη διάρκεια ή τον ρυθμό.

Λύση:

1. Η σχέση \(\Delta q=N|\Delta\Phi|/R\) δείχνει ότι το φορτίο δεν εξαρτάται ούτε από τη διάρκεια (α) ούτε από τον ρυθμό μεταβολής (β) — αυτά επηρεάζουν μόνο πόσο γρήγορα μετακινείται το φορτίο, όχι το συνολικό ποσό.
2. Η ένταση (γ) είναι συνέπεια, όχι ανεξάρτητη αιτία.
3. Η ωμική αντίσταση (δ) εμφανίζεται άμεσα στον παρονομαστή της σχέσης — άρα καθορίζει το ποσό του φορτίου.

Απάντηση: δ) Την ωμική αντίσταση που παρουσιάζει το κύκλωμα.

Πρόσεξε:

• Το φορτίο \(\Delta q=N|\Delta\Phi|/R\) είναι ανεξάρτητο από τη διάρκεια — δείτε Παράδειγμα 5.1.

Άσκηση 5.7 (σελ. 211)

Στο σχήμα 5.41 φαίνονται οι διαδοχικές θέσεις ενός μεταλλικού δακτυλίου. Ο δακτύλιος περνάει από ένα μαγνητικό πεδίο (η περιοχή με το γαλάζιο χρώμα) που οι δυναμικές του γραμμές είναι κάθετες στο επίπεδο του δακτυλίου. Σε ποια ή σε ποιες από τις οκτώ φάσεις της κίνησης, που παριστάνονται στο σχήμα, αναπτύσσεται ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή στο δακτύλιο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η επαγόμενη Η.Ε.Δ. εμφανίζεται μόνο όσο μεταβάλλεται η ροή, δηλαδή όσο το εμβαδόν του δακτυλίου που βρίσκεται εντός της περιοχής του πεδίου αλλάζει.

Λύση:

1. Όσο ο δακτύλιος βρίσκεται ολόκληρος εκτός της περιοχής του πεδίου, \(\Phi=0\) σταθερά — δεν αναπτύσσεται Η.Ε.Δ.
2. Όσο ο δακτύλιος βρίσκεται ολόκληρος μέσα στην περιοχή του πεδίου, \(\Phi=BA\) σταθερά — δεν αναπτύσσεται Η.Ε.Δ.
3. Μόνο στις φάσεις κατά τις οποίες ο δακτύλιος διασχίζει το όριο της περιοχής (μέρος του εντός, μέρος εκτός — είτε εισέρχεται είτε εξέρχεται) το εμβαδόν επικάλυψης, άρα και η ροή, μεταβάλλεται συνεχώς, και αναπτύσσεται Η.Ε.Δ. από επαγωγή.

Απάντηση: Ηλεκτρεγερτική δύναμη αναπτύσσεται μόνο στις φάσεις όπου ο δακτύλιος βρίσκεται εν μέρει μέσα στην περιοχή του πεδίου (κατά την είσοδο και την έξοδό του) — όχι όταν είναι εξ ολοκλήρου εντός ή εκτός του πεδίου.

Πρόσεξε:

• Το κριτήριο είναι αν ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΤΑΙ η ροή, όχι αν ο δακτύλιος βρίσκεται «μέσα» στο πεδίο.

Άσκηση 5.8 (σελ. 212)

Ακίνητος κυκλικός αγωγός βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Αν το μέτρο Β του μαγνητικού πεδίου μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, στον αγωγό α) δημιουργείται σταθερή ηλεκτρεγερτική δύναμη, β) δημιουργείται ηλεκτρεγερτική δύναμη που μεταβάλλεται με τον χρόνο, γ) δεν δημιουργείται ηλεκτρεγερτική δύναμη. Ποια απάντηση είναι ορθή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(E_{\text{επ}}=A\left|\dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|\)· αν \(B(t)\) είναι εκθετική συνάρτηση, τότε και η παράγωγός της είναι εκθετική — όχι σταθερή.

Λύση:

1. Εφόσον το \(B\) μεταβάλλεται, υπάρχει επαγόμενη Η.Ε.Δ. — απορρίπτεται η (γ).
2. Η παράγωγος μιας εκθετικά φθίνουσας συνάρτησης \(B(t)=B_0e^{-kt}\) είναι επίσης εκθετική συνάρτηση του χρόνου (\(-kB_0e^{-kt}\)), όχι σταθερά — άρα η \(E_{\text{επ}}=A|\mathrm{d}B/\mathrm{d}t|\) μεταβάλλεται με τον χρόνο.

Απάντηση: β) Δημιουργείται ηλεκτρεγερτική δύναμη που μεταβάλλεται με τον χρόνο.

Πρόσεξε:

• Μόνο όταν ο ρυθμός μεταβολής \(\mathrm{d}B/\mathrm{d}t\) είναι σταθερός (γραμμική μεταβολή του \(B\)) προκύπτει σταθερή \(E_{\text{επ}}\).

Άσκηση 5.9 (σελ. 212)

Πού οφείλεται το φαινόμενο της επαγωγής στην περίπτωση που ένας αγωγός κινείται μέσα σε σταθερό μαγνητικό πεδίο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην περίπτωση κινούμενου αγωγού, η αιτία δεν είναι μεταβολή του \(B\) αλλά η δύναμη Lorentz στα ελεύθερα φορτία του αγωγού.

Λύση:

1. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού συμμετέχουν στην κίνησή του και δέχονται δύναμη Lorentz \(\vec F=q\vec\upsilon\times\vec B\).
2. Η δύναμη αυτή τα μετακινεί προς το ένα άκρο του αγωγού, δημιουργώντας συσσώρευση φορτίου (διαχωρισμό θετικού/αρνητικού) και άρα διαφορά δυναμικού στα άκρα του.

Απάντηση: Οφείλεται στη δύναμη Lorentz που δέχονται τα ελεύθερα φορτία του κινούμενου αγωγού μέσα στο μαγνητικό πεδίο, η οποία τα μετακινεί προς τα άκρα του και δημιουργεί διαφορά δυναμικού.

Πρόσεξε:

• Εδώ ΔΕΝ μεταβάλλεται το πεδίο· η επαγωγή εξηγείται μικροσκοπικά μέσω της δύναμης Lorentz, όχι απευθείας μέσω ΔΦ/Δt.

Άσκηση 5.34 (σελ. 217)

Κυκλικός αγωγός εμβαδού \(A=10^{-1}\ \mathrm{m^2}\) τοποθετείται με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου \(B=0{,}2\ \mathrm{T}\). Να βρεθεί η ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που δημιουργείται στον αγωγό αν μέσα σε χρόνο \(\Delta t=10^{-2}\ \mathrm{s}\) α) το πεδίο μηδενίζεται, β) το πεδίο διπλασιάζεται, γ) η φορά του πεδίου αντιστρέφεται, δ) το πεδίο παραμένει σταθερό και ο αγωγός στρέφεται κατά \(90^\circ\) ώστε να γίνει παράλληλος με τις δυναμικές γραμμές.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε περίπτωση υπολογίζουμε \(\Delta\Phi=|\Phi_{\text{τελ}}-\Phi_{\text{αρχ}}|\) και εφαρμόζουμε \(E_{\text{επ}}=\Delta\Phi/\Delta t\) (N=1).

Λύση:

1. α) \(\Phi_{\text{αρχ}}=BA=0{,}02\ \mathrm{Wb}\), \(\Phi_{\text{τελ}}=0 \Rightarrow \Delta\Phi=0{,}02\ \mathrm{Wb} \Rightarrow E_{\text{επ}}=0{,}02/10^{-2}=2\ \mathrm{V}\).
2. β) \(\Phi_{\text{τελ}}=2BA=0{,}04\ \mathrm{Wb} \Rightarrow \Delta\Phi=0{,}02\ \mathrm{Wb} \Rightarrow E_{\text{επ}}=2\ \mathrm{V}\) (ίδια μεταβολή μέτρου με το (α)).
3. γ) \(\Phi_{\text{τελ}}=-BA \Rightarrow \Delta\Phi=|-BA-BA|=2BA=0{,}04\ \mathrm{Wb} \Rightarrow E_{\text{επ}}=0{,}04/10^{-2}=4\ \mathrm{V}\).
4. δ) \(\Phi_{\text{αρχ}}=BA=0{,}02\ \mathrm{Wb}\), \(\Phi_{\text{τελ}}=0\) (παράλληλο στις γραμμές) \(\Rightarrow \Delta\Phi=0{,}02\ \mathrm{Wb} \Rightarrow E_{\text{επ}}=2\ \mathrm{V}\).

Απάντηση: α) 2 V β) 2 V γ) 4 V δ) 2 V.

Πρόσεξε:

• Στην αντιστροφή φοράς (γ) η μεταβολή είναι \(2BA\), όχι \(BA\) — το πεδίο δεν περνά από το μηδέν σε μία μόνο φορά.

Άσκηση 5.35 (σελ. 217)

Κυκλικός αγωγός ακτίνας \(r=10/\sqrt\pi\ \mathrm{cm}\) έχει αντίσταση \(R=2\ \Omega\). Ο αγωγός τοποθετείται με το επίπεδό του κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο που αυξάνεται με σταθερό ρυθμό \(\Delta B/\Delta t=0{,}2\ \mathrm{T/s}\). Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον κυκλικό αγωγό και η θερμική ισχύς που αναπτύσσεται σ' αυτόν.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(A=\pi r^2\) με \(r=0{,}1/\sqrt\pi\ \mathrm m \Rightarrow A=0{,}01\ \mathrm{m^2}\) (καθαρός αριθμός λόγω της επιλογής του \(r\)). Μετά, \(E_{\text{επ}}=A\,\Delta B/\Delta t\), \(I=E_{\text{επ}}/R\), \(P=I^2R\).

Λύση:

1. \(A=\pi r^2=\pi\left(\dfrac{0{,}1}{\sqrt\pi}\right)^2=\pi\cdot\dfrac{0{,}01}{\pi}=0{,}01\ \mathrm{m^2}\).
2. \(E_{\text{επ}}=A\left|\dfrac{\Delta B}{\Delta t}\right|=0{,}01\times0{,}2=2\times10^{-3}\ \mathrm{V}\).
3. \(I=\dfrac{E_{\text{επ}}}{R}=\dfrac{2\times10^{-3}}{2}=1\times10^{-3}\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{mA}\).
4. \(P=I^2R=(10^{-3})^2\times2=2\times10^{-6}\ \mathrm{W}\).

Απάντηση: \(I=1\ \mathrm{mA}\), \(P=2\times10^{-6}\ \mathrm{W}=2\ \mu\mathrm{W}\).

Πρόσεξε:

• Η ιδιόμορφη τιμή \(r=10/\sqrt\pi\ \text{cm}\) επιλέγεται ακριβώς ώστε το \(\pi\) να απλοποιείται στο \(A=\pi r^2\).

Άσκηση 5.36 (σελ. 217)

Η μαγνητική ροή που διέρχεται από κλειστό συρμάτινο πλαίσιο αντίστασης \(R=10\ \Omega\) μεταβάλλεται με τον χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος 5.52. Να γίνουν, με την ίδια κλίμακα χρόνου, τα διαγράμματα: α) της ηλεκτρεγερτικής δύναμης από επαγωγή που αναπτύσσεται στο πλαίσιο, β) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πλαίσιο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα του διαγράμματος \(\Phi(t)\), η κλίση δίνει τη (σταθερή στο τμήμα αυτό) \(E_{\text{επ}}=|\Delta\Phi/\Delta t|\)· το πρόσημο/φορά καθορίζεται από τον κανόνα Lenz. Στη συνέχεια \(I=E_{\text{επ}}/R\).

Λύση:

1. Σε κάθε χρονικό διάστημα όπου το \(\Phi(t)\) είναι ευθύγραμμο τμήμα με κλίση \(\lambda\), η \(E_{\text{επ}}(t)\) είναι σταθερή και ίση με \(|\lambda|\) — άρα το διάγραμμα \(E_{\text{επ}}\)-\(t\) είναι διαδοχή οριζόντιων επιπέδων (βηματική συνάρτηση), με ύψος όσο η απόλυτη τιμή της κλίσης κάθε τμήματος.
2. Όπου το \(\Phi(t)\) είναι σταθερό (οριζόντιο τμήμα), \(E_{\text{επ}}=0\).
3. Το διάγραμμα \(I\)-\(t\) έχει ακριβώς την ίδια μορφή με το \(E_{\text{επ}}\)-\(t\), απλώς με τις τιμές διαιρεμένες με \(R=10\ \Omega\) (ίδιο σχήμα, διαφορετική κλίμακα στον κατακόρυφο άξονα).

Απάντηση: Τα διαγράμματα \(E_{\text{επ}}(t)\) και \(I(t)\) είναι βηματικές συναρτήσεις, με ύψος σε κάθε τμήμα ίσο με την (απόλυτη τιμή της) κλίση του αντίστοιχου τμήματος του \(\Phi(t)\) — το \(I(t)\) προκύπτει από το \(E_{\text{επ}}(t)\) διαιρώντας με \(R=10\ \Omega\).

Πρόσεξε:

• Απαιτεί το σχήμα 5.52 (αριθμητικές τιμές κλίσεων) για πλήρη αριθμητική απεικόνιση· η μέθοδος περιγράφεται πλήρως παραπάνω.

Άσκηση 5.37 (σελ. 217)

Κυκλικό πλαίσιο ακτίνας \(r=2\ \mathrm{cm}\) με \(N=100\) σπείρες έχει αντίσταση \(R=25\ \Omega\). Το πλαίσιο βρίσκεται ολόκληρο μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, με το επίπεδο των σπειρών κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Στα άκρα του συνδέεται βαλλιστικό γαλβανόμετρο αντίστασης \(R'=45\ \Omega\). Απομακρύνουμε το πλαίσιο από το πεδίο και το φορτίο που κινήθηκε είναι \(183{,}4\ \mu\mathrm{C}\). Να υπολογιστεί το μέτρο \(B\) του πεδίου.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το γαλβανόμετρο συνδέεται σε σειρά με το πλαίσιο, οπότε \(R_{\text{ολ}}=R+R'\). Χρησιμοποιούμε \(\Delta q=N\dfrac{|\Delta\Phi|}{R_{\text{ολ}}}=N\dfrac{BA}{R_{\text{ολ}}}\) (αφού η τελική ροή είναι μηδέν).

Λύση:

1. \(A=\pi r^2=\pi(0{,}02)^2=1{,}2566\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}\).
2. \(R_{\text{ολ}}=R+R'=25+45=70\ \Omega\).
3. Από \(\Delta q=N\dfrac{BA}{R_{\text{ολ}}}\): \(B=\dfrac{\Delta q\,R_{\text{ολ}}}{NA}=\dfrac{183{,}4\times10^{-6}\times70}{100\times1{,}2566\times10^{-3}}\approx0{,}102\ \mathrm{T}\).

Απάντηση: \(B\approx0{,}1\ \mathrm{T}\).

Πρόσεξε:

• Το γαλβανόμετρο είναι σε σειρά με το πλαίσιο — η συνολική αντίσταση του κυκλώματος είναι \(R+R'\), όχι μόνο \(R\).

Άσκηση 5.38 (σελ. 217)

Ένα μακρύ σωληνοειδές έχει 200 σπείρες/cm και διαρρέεται από ρεύμα \(I=4\ \mathrm{A}\). Στο εσωτερικό του υπάρχει κυκλικό πλαίσιο με 100 σπείρες και διάμετρο \(d=2\ \mathrm{cm}\), κάθετο στον άξονα του σωληνοειδούς. Το ρεύμα στο σωληνοειδές μηδενίζεται σε χρόνο \(\Delta t=0{,}02\ \mathrm{s}\). Υπολογίστε τη μέση ηλεκτρεγερτική δύναμη που επάγεται στο πλαίσιο. Δίνονται \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{Tm/A}\), \(\pi^2=10\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πεδίο μέσα σε μακρύ σωληνοειδές είναι \(B=\mu_0nI\) (n σε σπείρες/m). Το πλαίσιο «βλέπει» αυτό το πεδίο σαν εξωτερικό ομογενές πεδίο· η επαγόμενη Η.Ε.Δ. προκύπτει από τη μεταβολή του \(B\) έως το μηδέν.

Λύση:

1. \(n=200\ \text{σπείρες/cm}=20000\ \text{σπείρες/m}\), \(r=0{,}01\ \mathrm m \Rightarrow A=\pi r^2=\pi\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}\).
2. \(B_{\text{αρχ}}=\mu_0nI=4\pi\times10^{-7}\times20000\times4=3{,}2\pi\times10^{-2}\ \mathrm T\).
3. Η αρχική ροή ανά σπείρα του πλαισίου: \(\Phi=B_{\text{αρχ}}A=3{,}2\pi\times10^{-2}\times\pi\times10^{-4}=3{,}2\pi^2\times10^{-6}=3{,}2\times10\times10^{-6}=3{,}2\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}\) (χρησιμοποιώντας \(\pi^2=10\)).
4. Συνολική μεταβολή ροής στο πλαίσιο (N=100 σπείρες, το ρεύμα μηδενίζεται): \(N|\Delta\Phi|=100\times3{,}2\times10^{-5}=3{,}2\times10^{-3}\ \mathrm{Wb}\).
5. \(E_{\text{επ}}=\dfrac{N|\Delta\Phi|}{\Delta t}=\dfrac{3{,}2\times10^{-3}}{0{,}02}=0{,}16\ \mathrm V\).

Απάντηση: \(E_{\text{επ}}\approx0{,}16\ \mathrm V\).

Πρόσεξε:

• Το \(\pi^2=10\) δίνεται ακριβώς για να απλοποιηθεί το γινόμενο \(\mu_0\cdot A\) που περιέχει \(\pi\times\pi\).

Άσκηση 5.58 (σελ. 222)

Ένα κλειστό κυκλικό πλαίσιο με ακτίνα \(r=8\ \mathrm{cm}\) και \(N\) σπείρες έχει κατασκευαστεί από χάλκινο σύρμα διατομής \(s=0{,}1\ \mathrm{cm^2}\). Το πλαίσιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο \(B=2\times10^{-5}\ \mathrm T\) με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Το πλαίσιο στρέφεται κατά \(180^\circ\), με άξονα περιστροφής μια διάμετρό του. Να υπολογιστεί το φορτίο που θα περάσει από μία διατομή του σύρματος. Δίνεται η ειδική αντίσταση του χαλκού \(\rho=1{,}6\times10^{-6}\ \Omega\,\mathrm{cm}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετά από στροφή \(180^\circ\) η ροή αντιστρέφει πρόσημο, οπότε \(\Delta\Phi=2BA\) ανά σπείρα. Η αντίσταση του σύρματος \(R=\rho L/s\) με \(L=N\cdot2\pi r\) (συνολικό μήκος σύρματος). Στο \(\Delta q=N\Delta\Phi/R\) ο αριθμός σπειρών \(N\) απλοποιείται.

Λύση:

1. \(A=\pi r^2=\pi(0{,}08)^2=0{,}02011\ \mathrm{m^2}\) (χρησιμοποιείται και σε cm: \(A=\pi(8)^2=201{,}1\ \mathrm{cm^2}\)).
2. Μήκος σύρματος: \(L=N\cdot2\pi r=N\times2\pi\times8=50{,}27N\ \mathrm{cm}\).
3. \(R=\rho\dfrac{L}{s}=1{,}6\times10^{-6}\times\dfrac{50{,}27N}{0{,}1}=8{,}04\times10^{-4}N\ \Omega\).
4. \(\Delta q=N\dfrac{2BA}{R}=N\dfrac{2\times2\times10^{-5}\times0{,}02011}{8{,}04\times10^{-4}N}\) — το \(N\) απλοποιείται.
5. \(\Delta q=\dfrac{8{,}04\times10^{-7}}{8{,}04\times10^{-4}}\approx1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm C=1\ \mathrm{mC}\).

Απάντηση: \(\Delta q\approx1\times10^{-3}\ \mathrm C=1\ \mathrm{mC}\) — ανεξάρτητο από τον (άγνωστο) αριθμό σπειρών \(N\).

Πρόσεξε:

• Αν και το \(N\) δεν δίνεται, απλοποιείται στη σχέση φορτίου — δεν χρειάζεται να είναι γνωστό.