Κεφάλαιο 1.5 – Φθίνουσες ταλαντώσεις (σελ. 34-36) – Λύσεις

Κεφάλαιο 1.5 — Φθίνουσες ταλαντώσεις (σελ. 34-36) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 1.17 (σελ. 34)

Το έργο της δύναμης που προκαλεί την απόσβεση σε μια ταλάντωση είναι α) θετικό αν το ταλαντούμενο σώμα κινείται προς τη θετική κατεύθυνση, β) πάντα θετικό, γ) πάντα αρνητικό. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η δύναμη απόσβεσης \(F'=-b\upsilon\) είναι πάντα αντίθετης φοράς από την ταχύτητα — άρα το έργο της (γινόμενο δύναμης επί μετατόπιση προς την ίδια φορά με την ταχύτητα) είναι πάντα αρνητικό, αφαιρώντας ενέργεια από το σύστημα.

Λύση:

1. Η δύναμη απόσβεσης έχει πάντα φορά αντίθετη της ταχύτητας: \(F'=-b\upsilon\).
2. Το στοιχειώδες έργο της είναι \(dW=F'\,dx=F'\upsilon\,dt\), και αφού \(F'\) και \(\upsilon\) έχουν πάντα αντίθετα πρόσημα, το γινόμενό τους είναι πάντα αρνητικό.
3. Άρα το έργο της δύναμης απόσβεσης είναι πάντα αρνητικό, ανεξάρτητα από τη φορά κίνησης του σώματος — συνεπές με το ότι αφαιρεί ενέργεια από το σύστημα.

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ): το έργο είναι πάντα αρνητικό.

Πρόσεξε:

• Η δύναμη απόσβεσης είναι πάντα αντίρροπη της ταχύτητας — άρα το έργο της είναι πάντα αρνητικό, ανεξαρτήτως φοράς κίνησης.

Άσκηση 1.18 (σελ. 34)

Σε μία φθίνουσα ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης α) παραμένει σταθερή, β) μειώνεται με σταθερό ρυθμό, γ) μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο, δ) αυξάνεται. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αφού \(A=A_0e^{-\Lambda t}\) και \(E\propto A^2\), η ενέργεια είναι επίσης εκθετική συνάρτηση του χρόνου (με διπλάσιο εκθέτη απόσβεσης).

Λύση:

1. Το πλάτος μειώνεται εκθετικά: \(A=A_0e^{-\Lambda t}\).
2. Η ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους: \(E\propto A^2=A_0^2e^{-2\Lambda t}\) — άρα και αυτή μειώνεται εκθετικά (με διπλάσιο ρυθμό απόσβεσης στον εκθέτη).

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ): η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο.

Πρόσεξε:

• Η ενέργεια μειώνεται εκθετικά ΟΠΩΣ και το πλάτος, αλλά με «διπλάσιο» εκθέτη (αφού \(E\propto A^2\)) — όχι με «σταθερό ρυθμό» (γραμμικά).

Άσκηση 1.19 (σελ. 34)

Ένας ταλαντωτής τη στιγμή \(t_1\) έχει ενέργεια \(E\) και πλάτος ταλάντωσης \(A\). Η ενέργεια που έχει χάσει ο ταλαντωτής μέχρι τη στιγμή \(t_2\) που το πλάτος έχει μειωθεί στο μισό, είναι α) \(E/2\), β) \(E/4\), γ) \(3E/4\). Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: \(E\propto A^2\). Αν το πλάτος γίνει \(A/2\), η νέα ενέργεια είναι \(E'=E\cdot(A/2)^2/A^2=E/4\). Η απώλεια είναι \(E-E'=E-E/4=3E/4\).

Λύση:

1. \(E=kA^2\) (όπου \(k=D/2\) σταθερά).
2. Στο νέο πλάτος \(A/2\): \(E'=k(A/2)^2=kA^2/4=E/4\).
3. Η ενέργεια που χάθηκε είναι \(\Delta E=E-E'=E-\dfrac{E}{4}=\dfrac{3E}{4}\).

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ): \(3E/4\).

Πρόσεξε:

• Η ενέργεια είναι ανάλογη του \(A^2\) — μείωση πλάτους στο μισό σημαίνει ενέργεια στο 1/4, ΟΧΙ στο μισό.

Άσκηση 1.20 (σελ. 34)

Στο σχήμα 1.42 φαίνεται το διάγραμμα της ολικής ενέργειας \(E\) δύο κυκλωμάτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων \(A\) και \(B\) σε συνάρτηση με τον χρόνο (το \(A\) φθίνει πιο αργά, το \(B\) πιο γρήγορα). Οι πυκνωτές έχουν την ίδια χωρητικότητα και τα πηνία τον ίδιο συντελεστή αυτεπαγωγής. Ποιο από τα δύο παρουσιάζει μεγαλύτερη ωμική αντίσταση;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μεγαλύτερη ωμική αντίσταση σημαίνει ταχύτερη μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα, άρα ταχύτερη απόσβεση της ενέργειας.

Λύση:

1. Η ωμική αντίσταση είναι ο κύριος μηχανισμός απόσβεσης στα ηλεκτρικά κυκλώματα — μεγαλύτερη αντίσταση σημαίνει ταχύτερη μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα.
2. Το κύκλωμα \(B\), του οποίου η ενέργεια μειώνεται ταχύτερα (πιο απότομη πτώση στο διάγραμμα), έχει επομένως τη μεγαλύτερη ωμική αντίσταση.

Απάντηση: Το κύκλωμα \(B\) έχει τη μεγαλύτερη ωμική αντίσταση, αφού η ενέργειά του μειώνεται ταχύτερα.

Πρόσεξε:

• Με ίδια \(L,C\) στα δύο κυκλώματα, η μόνη μεταβλητή που εξηγεί τη διαφορετική ταχύτητα απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση \(R\).

Άσκηση 1.32 (σελ. 36)

Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση \(A=A_0e^{-\Lambda t}\). Τη στιγμή \(t=0\) η ταλάντωση είχε πλάτος \(A_0=32\ \text{cm}\), ενώ τη στιγμή \(t_1=10\ \text{s}\) το πλάτος γίνεται \(A_1=16\ \text{cm}\). Ποια χρονική στιγμή το πλάτος θα είναι \(A=1\ \text{cm}\);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τα δεδομένα βρίσκουμε πρώτα τη σταθερά \(\Lambda\) (ή, ισοδύναμα, παρατηρούμε πόσους «υποδιπλασιασμούς» χρειάζεται το πλάτος για να φτάσει από 32 σε 1 cm), και μετά υπολογίζουμε τον αντίστοιχο χρόνο.

Λύση:

1. Από \(A_1=A_0e^{-\Lambda t_1}\): \(16=32e^{-10\Lambda} \Rightarrow e^{-10\Lambda}=\dfrac12 \Rightarrow\) σε κάθε διάστημα \(10\ \text{s}\) το πλάτος υποδιπλασιάζεται.
2. Από \(32\ \text{cm}\) σε \(1\ \text{cm}\): \(32\to16\to8\to4\to2\to1\) — 5 διαδοχικοί υποδιπλασιασμοί.
3. Άρα ο συνολικός χρόνος είναι \(t=5\times10\ \text{s}=50\ \text{s}\).

Απάντηση: \(t=50\ \text{s}\).

Πρόσεξε:

• Δεν χρειάζεται να υπολογιστεί ρητά το \(\Lambda\) — αρκεί να μετρήσουμε πόσους «χρόνους υποδιπλασιασμού» (\(10\ \text{s}\) ο καθένας) χρειάζεται η μείωση \(32\to1\).