Κεφάλαιο 2.2 – Μηχανικά Κύματα (σελ. 75-85) – Λύσεις

Κεφάλαιο 2.2 - Μηχανικά Κύματα (σελ. 75-85) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 2.1 (σελ. 75)

Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται α) από τη συχνότητα του ήχου. β) από την ένταση του ήχου. γ) από το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα. δ) από το μήκος κύματος. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος καθορίζεται αποκλειστικά από τις ιδιότητες (ελαστικότητα, πυκνότητα) του μέσου διάδοσης, όχι από χαρακτηριστικά του ίδιου του κύματος όπως η συχνότητα, το πλάτος (ένταση) ή το μήκος κύματος.

Λύση:

1. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδεται.
2. Συχνότητα, ένταση και μήκος κύματος είναι χαρακτηριστικά του κύματος/της πηγής, όχι του μέσου — δεν επηρεάζουν την ταχύτητα διάδοσης.
3. Άρα η ταχύτητα εξαρτάται από το υλικό (μέσο) διάδοσης.

Απάντηση: Σωστή είναι η (γ): εξαρτάται από το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα.

Πρόσεξε:

• Μην συγχέετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος (σταθερή για δεδομένο μέσο) με την ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου (μεταβάλλεται).

Άσκηση 2.2 (σελ. 75)

Τρεις πηγές Α, Β και Γ δημιουργούν ηχητικά κύματα στον αέρα (σχήμα 2.44: τρεις ημιτονοειδείς καμπύλες y(t) που ξεκινούν από την αρχή των αξόνων. Η Β έχει το μεγαλύτερο πλάτος και μεγαλύτερη συχνότητα από τη Γ, η Α έχει ενδιάμεσο πλάτος, η Γ έχει το μικρότερο πλάτος και τη μεγαλύτερη περίοδο). α) Ποιο κύμα έχει μεγαλύτερο πλάτος; β) Ποιο κύμα έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το πλάτος διαβάζεται απευθείας από το ύψος της καμπύλης y(t). Το μήκος κύματος συνδέεται με την περίοδο μέσω λ=υΤ (ίδιο υ αφού διαδίδονται στο ίδιο μέσο-αέρα), άρα μεγαλύτερη περίοδος (μικρότερη συχνότητα) σημαίνει μεγαλύτερο μήκος κύματος.

Λύση:

1. Από την περιγραφή, η καμπύλη Β έχει το μεγαλύτερο πλάτος.
2. Επειδή τα τρία κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο (αέρα), έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ. Από λ=υΤ, μεγαλύτερη περίοδος Τ (άρα μικρότερη συχνότητα) σημαίνει μεγαλύτερο μήκος κύματος.
3. Η καμπύλη Γ έχει τη μεγαλύτερη περίοδο (μικρότερη συχνότητα) από τις τρεις, άρα το κύμα Γ έχει το μεγαλύτερο μήκος κύματος.

Απάντηση: α) Μεγαλύτερο πλάτος έχει το κύμα Β. β) Μεγαλύτερο μήκος κύματος έχει το κύμα Γ (μεγαλύτερη περίοδος).

Άσκηση 2.3 (σελ. 75)

Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος τη στιγμή t1 (σχήμα 2.45, οριζόντιος άξονας x, κατακόρυφος y): σημείο Α κοντά στην κορυφή πρώτου λοφίου, Β σε ενδιάμεσο σημείο πάνω από τον άξονα, Γ στην πρώτη διέλευση από τον άξονα προς τα κάτω, Δ στο πρώτο κοίλωμα, Ε σε επόμενο λοφίο πάνω από τον άξονα. 1) Ποιο από τα Α, Β, Γ έχει τη στιγμή αυτή α) μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης; β) μεγαλύτερη επιτάχυνση; 2) Επιλέξτε δύο σημεία από τα Α,Β,Γ,Δ,Ε α) με διαφορά φάσης π, β) με διαφορά φάσης 2π, γ) που απέχουν απόσταση λ.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε ένα στιγμιότυπο αρμονικού κύματος, η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου είναι μέγιστη όταν το σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας (y=0) και μηδενική στα άκρα (κορυφή/κοίλωμα). Η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης (α=-ω²y) άρα μέγιστη στα άκρα. Διαφορά φάσης π αντιστοιχεί σε μισό μήκος κύματος (αντίθετη κίνηση), 2π σε ολόκληρο μήκος κύματος (ίδια κατάσταση κίνησης).

Λύση:

1. Ταχύτητα ταλάντωσης: μέγιστη στη θέση ισορροπίας (y=0), μηδενική στα ακρότατα. Το Γ βρίσκεται στη διέλευση από τον άξονα, άρα το Γ έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης από τα Α,Β,Γ (το Β είναι ενδιάμεσα, όχι στο ακρότατο ούτε στη θέση ισορροπίας, άρα έχει ενδιάμεση ταχύτητα· το Α είναι κοντά στην κορυφή, άρα μικρή ταχύτητα).
2. Επιτάχυνση: α=-ω²y, μέγιστη κατά μέτρο στα ακρότατα (μέγιστη |y|). Το Α, κοντά στην κορυφή, έχει τη μεγαλύτερη επιτάχυνση από τα Α,Β,Γ.
3. Σημεία με διαφορά φάσης π: απέχουν λ/2 και κινούνται αντίθετα — π.χ. η κορυφή (Α) και το επόμενο κοίλωμα (Δ).
4. Σημεία με διαφορά φάσης 2π: απέχουν ολόκληρο λ — π.χ. τα Α και Ε (δύο διαδοχικές κορυφές).
5. Σημεία που απέχουν απόσταση λ: τα ίδια Α και Ε.

Απάντηση: 1α) Μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης έχει το Γ (θέση ισορροπίας). 1β) Μεγαλύτερη επιτάχυνση έχει το Α (κοντά στο ακρότατο). 2α) Α,Δ διαφέρουν κατά φάση π. 2β) Α,Ε διαφέρουν κατά φάση 2π. 2γ) Α,Ε απέχουν απόσταση λ.

Άσκηση 2.4 (σελ. 75)

Κατά μήκος δύο όμοιων χορδών 1 και 2 διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα. Το κύμα στη χορδή 1 έχει διπλάσια συχνότητα και μισό πλάτος από το κύμα στη χορδή 2. Ποιες προτάσεις είναι σωστές; α) Η ταχύτητα διάδοσης είναι ίδια στις δύο χορδές. β) Το μήκος κύματος στη χορδή 2 είναι διπλάσιο του μήκους κύματος στη χορδή 1. γ) Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη στα σωμάτια της χορδής 1. δ) Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη στα σωμάτια της χορδής 1.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Όμοιες χορδές σημαίνει ίδιες ελαστικές ιδιότητες, άρα ίδια ταχύτητα διάδοσης υ (ανεξάρτητη συχνότητας/πλάτους). Από λ=υ/f, με f1=2f2 προκύπτει λ1=λ2/2 δηλαδή λ2=2λ1. Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υmax=Aω=2πfA· με f1=2f2, A1=A2/2: υmax1=2π(2f2)(A2/2)=2πf2A2=υmax2 (ίσες!). Μέγιστη επιτάχυνση αmax=Aω²=A(2πf)²· με τους ίδιους συντελεστές: αmax1=(A2/2)(2π·2f2)²=(A2/2)·4·(2πf2)²=2A2(2πf2)²=2·αmax2 (διπλάσια στη χορδή 1).

Λύση:

1. Όμοιες χορδές → ίδιες ιδιότητες μέσου → ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και στις δύο. Η πρόταση (α) είναι σωστή.
2. Από υ=λf, ίδιο υ: λ1f1=λ2f2. Με f1=2f2: λ1(2f2)=λ2f2 ⟹ λ2=2λ1. Η πρόταση (β) είναι σωστή.
3. Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης: υmax=Aω=2πfA. Με A1=A2/2 και f1=2f2: υmax,1=2π(2f2)(A2/2)=2πf2A2=υmax,2. Οι μέγιστες ταχύτητες είναι ΙΣΕΣ, άρα η πρόταση (γ) είναι λάθος.
4. Μέγιστη επιτάχυνση: αmax=Aω²=A(2πf)². αmax,1=(A2/2)(2π·2f2)²=(A2/2)(4)(2πf2)²=2A2(2πf2)²=2αmax,2. Η μέγιστη επιτάχυνση στη χορδή 1 είναι διπλάσια, άρα η πρόταση (δ) είναι σωστή.

Απάντηση: Σωστές είναι οι (α), (β) και (δ). Η (γ) είναι λάθος — οι μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης είναι ίσες.

Πρόσεξε:

• Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται μόνο από το μέσο (ίδια σε όμοιες χορδές)· η μέγιστη ταχύτητα/επιτάχυνση ταλάντωσης εξαρτάται από A και ω=2πf — υπολογίστε τα προσεκτικά, μην υποθέσετε αναλογία.

Άσκηση 2.5 (σελ. 76)

Οι εξισώσεις (α) y=10⁻²ημ2π(2t-4x), (β) y=5×10⁻³ημ2π(4t-2x), (γ) y=2×10⁻²ημ2π(2t-3x) περιγράφουν τρία εγκάρσια αρμονικά κύματα σε διαφορετικά μέσα (μεγέθη στο S.I.). 1. Ποιο κύμα διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα; 2. Σε ποια περίπτωση τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται με μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνοντας κάθε εξίσωση με τη γενική μορφή y=Aημ2π(t/T - x/λ), ο συντελεστής του t είναι 1/T και του x είναι 1/λ, άρα υ=λ/T=(1/λ)⁻¹·(1/T)... πιο απλά, γράφοντας ως y=Aημ(ωt-kx), έχουμε υ=ω/k=λf. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι υmax=Aω.

Λύση:

1. (α): 2π(2t-4x) ⟹ f=2Hz, 1/λ=4 ⟹ λ=0,25m. υ=λf=0,25×2=0,5 m/s.
2. (β): 2π(4t-2x) ⟹ f=4Hz, 1/λ=2 ⟹ λ=0,5m. υ=λf=0,5×4=2 m/s.
3. (γ): 2π(2t-3x) ⟹ f=2Hz, 1/λ=3 ⟹ λ=1/3 m. υ=λf=(1/3)×2=2/3 m/s.
4. Μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης έχει το κύμα (β), με υ=2 m/s.
5. Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υmax=Aω=A·2πf: (α) 10⁻²·2π·2=4π×10⁻²≈0,126 m/s. (β) 5×10⁻³·2π·4=4π×10⁻²≈0,126 m/s. (γ) 2×10⁻²·2π·2=8π×10⁻²≈0,251 m/s.
6. Μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης έχει το κύμα (γ).

Απάντηση: 1. Μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης έχει το κύμα (β), υ=2 m/s. 2. Μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης έχουν τα μόρια στην περίπτωση (γ), υmax=8π×10⁻² m/s≈0,25 m/s.

Πρόσεξε:

• Μην συγχέετε την ταχύτητα διάδοσης υ=λf (χαρακτηριστικό του μέσου) με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υmax=Aω (εξαρτάται και από το πλάτος).

Άσκηση 2.29 (σελ. 80)

Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος χορδής. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σημείο της χορδής για να μετατοπιστεί από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας είναι 0,15s. Ποια είναι η συχνότητα του κύματος; Αν το μήκος κύματος είναι λ=1,2m, ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μετάβαση από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης στη θέση ισορροπίας αντιστοιχεί σε ένα τέταρτο της περιόδου (T/4), αφού σε μια πλήρη περίοδο το σημείο περνά δύο φορές από την ισορροπία και φτάνει δύο φορές σε ακρότατο.

Λύση:

1. T/4=0,15s ⟹ T=0,6s.
2. f=1/T=1/0,6=5/3 Hz≈1,67 Hz.
3. υ=λf=1,2×(5/3)=2 m/s.

Απάντηση: f=5/3 Hz≈1,67 Hz, υ=2 m/s.

Άσκηση 2.30 (σελ. 80)

Η εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος είναι y=3×10⁻²ημ(1320t-4x) (S.I.). Να υπολογίσετε: α) το μήκος κύματος λ, β) την ταχύτητα του κύματος υ, γ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων, δ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων με διαφορά φάσης 120°.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκρίνουμε με τη γενική μορφή y=Aημ(ωt-kx), όπου ω είναι ο συντελεστής του t και k=2π/λ ο συντελεστής του x.

Λύση:

1. Συγκρίνοντας με y=Aημ(ωt-kx): A=3×10⁻² m, ω=1320 rad/s, k=4 rad/m.
2. α) λ=2π/k=2π/4=π/2≈1,57 m.
3. β) υ=ω/k=1320/4=330 m/s.
4. γ) Μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης: υmax=Aω=3×10⁻²×1320=39,6 m/s.
5. δ) Απόσταση για διαφορά φάσης Δφ: Δx=(Δφ/2π)·λ=(120°/360°)×1,57=(1/3)×1,57≈0,523 m.

Απάντηση: α) λ≈1,57 m. β) υ=330 m/s. γ) υmax=39,6 m/s. δ) Δx≈0,523 m.

Άσκηση 2.31 (σελ. 80)

Η πηγή κυμάτων Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή μηδέν απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A=10cm και συχνότητας f=0,25Hz. Το κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο με υ=3m/s. α) Μετά από πόσο χρόνο θα αρχίσει να κινείται σημείο Β που απέχει x=60m από την Ο; β) Η απομάκρυνση του Β τη στιγμή t=21,5s;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σημείο Β καθυστερεί να ξεκινήσει την ταλάντωσή του κατά t1=x/υ. Στη συνέχεια εκτελεί την ίδια απλή αρμονική ταλάντωση με την πηγή, με χρονική υστέρηση t1: y_B(t)=Aημ[ω(t-t1)], όπου ω=2πf.

Λύση:

1. α) Χρόνος καθυστέρησης: t1=x/υ=60/3=20s.
2. β) Τ=1/f=4s, ω=2π/T=π/2 rad/s. Τη στιγμή t=21,5s, το Β ταλαντώνεται επί χρόνο t-t1=21,5-20=1,5s.
3. y_B=A ημ[ω(t-t1)]=10 ημ[(π/2)(1,5)]=10 ημ(0,75π)=10 ημ(135°).
4. ημ(135°)=√2/2, άρα y_B=10×(√2/2)=5√2 cm.

Απάντηση: α) t1=20s. β) y_B=5√2 cm (≈7,07 cm).

Άσκηση 2.53 (σελ. 85)

Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου (κατά τον ημιάξονα Οx) αρχίζει τη στιγμή t=0 να ταλαντώνεται με y=5ημ10πt (y σε cm, t σε s). Η ταλάντωση διαδίδεται με υ=20cm/s. α) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. β) Να παρασταθούν γραφικά οι φάσεις των σημείων του μέσου συναρτήσει της απόστασης x, τη στιγμή t1=1s. γ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t1.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής βρίσκουμε A, ω, T· από υ=λf βρίσκουμε το λ· η εξίσωση κύματος προκύπτει αντικαθιστώντας στη γενική μορφή y=Aημ2π(t/T-x/λ).

Λύση:

1. Από y=5ημ10πt: A=5cm, ω=10π rad/s ⟹ T=2π/ω=2π/10π=0,2s ⟹ f=1/T=5Hz.
2. λ=υT=20×0,2=4cm (ή λ=υ/f=20/5=4cm).
3. Εξίσωση κύματος: y=Aημ2π(t/T-x/λ)=5ημ2π(t/0,2-x/4)=5ημ2π(5t-x/4) (x,y σε cm, t σε s) — ισοδύναμα y=5ημ(10πt-πx/2).
4. Η φάση κάθε σημείου τη στιγμή t1=1s είναι φ(x)=2π(5×1-x/4)=10π-πx/2 — γραμμική συνάρτηση του x με κλίση -π/2 (φθίνουσα ευθεία).
5. Το στιγμιότυπο τη στιγμή t1=1s δίνεται από y(x)=5ημ(10π-πx/2)=5ημ(-πx/2) (αφού 10π είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π) — δηλαδή ημιτονοειδής καμπύλη πλάτους 5cm και μήκους κύματος 4cm, με y(0)=0 φθίνουσα αρχικά.

Απάντηση: α) y=5ημ2π(5t-x/4) (x,y σε cm, t σε s). β) Η φάση μεταβάλλεται γραμμικά με το x: φ(x)=10π-πx/2. γ) Στιγμιότυπο: y(x)=5ημ(-πx/2) — ημιτονοειδές, A=5cm, λ=4cm.