Κεφάλαιο 5.9 – Φαινόμενο Doppler (σελ. 168-184) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.9 - Φαινόμενο Doppler (σελ. 168-184) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.19 (σελ. 184)

Στις σχέσεις που περιγράφουν το φαινόμενο Doppler οι ταχύτητες αναφέρονται α) στο σύστημα αναφοράς της πηγής, β) στο σύστημα αναφοράς του παρατηρητή, γ) στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στις σχέσεις Doppler η ταχύτητα του ήχου υ και οι ταχύτητες πηγής/παρατηρητή υ_s, υ_A μετριούνται όλες ως προς το μέσο διάδοσης (π.χ. τον ακίνητο αέρα), όχι η μία ως προς την άλλη.

Λύση:

1. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου υ ορίζεται ως προς το μέσο (αέρα) — είναι χαρακτηριστικό του μέσου, όχι της πηγής ή του παρατηρητή.
2. Για συνέπεια των τύπων, οι ταχύτητες υ_s (πηγής) και υ_A (παρατηρητή) πρέπει επίσης να μετρώνται ως προς το ίδιο σύστημα αναφοράς — το μέσο διάδοσης.

Απάντηση: γ) Όλες οι ταχύτητες στις σχέσεις Doppler αναφέρονται στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης (π.χ. του ακίνητου αέρα).

Άσκηση 5.20 (σελ. 184)

Στο σχήμα 5.31 το γράμμα Π αναφέρεται σε πηγή αρμονικού ήχου και το γράμμα Α στον παρατηρητή, σε έξι διαφορετικές περιπτώσεις σχετικής κίνησης πηγής/παρατηρητή (ακίνητοι, πλησιάζοντας, απομακρυνόμενοι, με διάφορους συνδυασμούς). Να συγκρίνετε σε κάθε περίπτωση τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο γενικός κανόνας: όταν η απόσταση πηγής-παρατηρητή μειώνεται (πλησιάζουν), η αντιλαμβανόμενη συχνότητα είναι μεγαλύτερη από την εκπεμπόμενη· όταν αυξάνεται (απομακρύνονται), είναι μικρότερη· αν και οι δύο ακίνητοι, ίση.

Λύση:

1. Πηγή και παρατηρητής και οι δύο ακίνητοι: f_A=f_s (καμία μεταβολή).
2. Πηγή ακίνητη, παρατηρητής πλησιάζει: f_A>f_s. Παρατηρητής απομακρύνεται: f_A<f_s.
3. Πηγή πλησιάζει, παρατηρητής ακίνητος: f_A>f_s. Πηγή απομακρύνεται: f_A<f_s.
4. Και οι δύο κινούνται έτσι ώστε η απόσταση να μειώνεται (π.χ. πλησιάζουν ο ένας τον άλλο ή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με τον παρατηρητή να πλησιάζει σχετικά): f_A>f_s· αν η απόσταση αυξάνεται: f_A<f_s.

Απάντηση: Ο γενικός κανόνας είναι: f_A>f_s όταν η απόσταση πηγής-παρατηρητή μειώνεται, f_A<f_s όταν αυξάνεται, και f_A=f_s όταν παραμένει σταθερή (και οι δύο ακίνητοι, ή κινούνται έτσι ώστε η απόσταση να μη μεταβάλλεται).

Πρόσεξε:

• Χωρίς το ακριβές σχήμα 5.31 δεν μπορεί να δοθεί η σύγκριση για κάθε μία από τις έξι συγκεκριμένες υποπεριπτώσεις ξεχωριστά· δίνεται ο γενικός κανόνας που εφαρμόζεται σε καθεμία.

Άσκηση 5.21 (σελ. 184)

Ένα τρένο εκπέμπει ήχο και κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από το τρένο ανακλάται στο βράχο. α) Ο μηχανοδηγός του τρένου ακούει τον ήχο που προέρχεται από ανάκλαση με συχνότητα μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει το τρένο; β) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται μεταξύ του τρένου και του εμποδίου ακούει τον ήχο προερχόμενο απευθείας από το τρένο και τον ήχο που φτάνει από ανάκλαση. Οι συχνότητες των δύο ήχων όπως τις αντιλαμβάνεται είναι ίσες, ή η μία μεγαλύτερη από την άλλη;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο βράχος λειτουργεί σαν ακίνητος «δέκτης» που πρώτα λαμβάνει τον ήχο από το πλησιάζον τρένο (με ήδη αυξημένη συχνότητα, αφού δέχεται ως ακίνητος παρατηρητής από κινούμενη-προσεγγίζουσα πηγή) και στη συνέχεια τον επανεκπέμπει σαν ακίνητη πηγή σε αυτή την (ήδη αυξημένη) συχνότητα.

Λύση:

1. Έστω f_s η συχνότητα εκπομπής του τρένου, υ_τρ η ταχύτητά του, υ η ταχύτητα του ήχου.
2. Ο βράχος δέχεται τον ήχο ως ακίνητος παρατηρητής από πλησιάζουσα πηγή: f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ) — μεγαλύτερη από f_s.
3. Ο βράχος επανεκπέμπει (ανάκλαση) ως ακίνητη πηγή με αυτή τη συχνότητα f_βράχου. Ο μηχανοδηγός, κινούμενος προς τον ακίνητο βράχο, την αντιλαμβάνεται ως κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει ακίνητη πηγή: f_μηχανοδηγού=f_βράχου·(υ+υ_τρ)/υ=f_s·(υ+υ_τρ)/(υ-υ_τρ) — ακόμη μεγαλύτερη.
4. α) Άρα ο μηχανοδηγός ακούει τον ανακλώμενο ήχο με συχνότητα ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ από αυτή που εκπέμπει το τρένο (αφού (υ+υ_τρ)/(υ-υ_τρ)>1).
5. β) Ο ενδιάμεσος παρατηρητής είναι ακίνητος. Τον άμεσο ήχο τον αντιλαμβάνεται ως ακίνητος παρατηρητής από πλησιάζουσα πηγή: f₁=f_s·υ/(υ-υ_τρ). Τον ανακλώμενο ήχο τον αντιλαμβάνεται από τον ακίνητο βράχο, που πλέον λειτουργεί ως ακίνητη πηγή με συχνότητα ήδη f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ) — και αφού τόσο ο βράχος όσο και ο ενδιάμεσος παρατηρητής είναι ακίνητοι, ο παρατηρητής λαμβάνει τον ανακλώμενο ήχο ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ, δηλαδή f₂=f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ)=f₁.

Απάντηση: α) Ο μηχανοδηγός ακούει τον ανακλώμενο ήχο με ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ συχνότητα από αυτήν που εκπέμπει το τρένο. β) Ο ενδιάμεσος παρατηρητής ακούει τους δύο ήχους (απευθείας και ανακλώμενο) με ΙΣΕΣ συχνότητες μεταξύ τους, αφού ο βράχος είναι ακίνητη δευτερεύουσα πηγή που απλώς αναμεταδίδει αναλλοίωτη τη (ήδη μετατοπισμένη) συχνότητα που έλαβε.

Άσκηση 5.39 (σελ. 183)

Με πόση ταχύτητα πρέπει να απομακρύνεται παρατηρητής από μια ακίνητη πηγή ήχου ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα ίση με τα εννέα δέκατα της συχνότητας του ήχου που παράγει η πηγή; Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τη σχέση για ακίνητη πηγή - απομακρυνόμενο παρατηρητή: f_A=(υ-υ_A)/υ·f_s, με f_A=(9/10)f_s.

Λύση:

1. (υ-υ_A)/υ=9/10 ⇒ υ-υ_A=0,9υ ⇒ υ_A=0,1υ=0,1×340=34 m/s.

Απάντηση: Ο παρατηρητής πρέπει να απομακρύνεται με ταχύτητα 34 m/s.

Άσκηση 5.40 (σελ. 183)

Ένας παρατηρητής, ακίνητος στην άκρη του δρόμου, αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας ενός περιπολικού που πλησιάζει, με συχνότητα f₁=500 Hz. Όταν το περιπολικό απομακρύνεται, ο ίδιος παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα f₂=450 Hz. Με ποια ταχύτητα κινείται το περιπολικό και ποια είναι η πραγματική συχνότητα του ήχου της σειρήνας; Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε τις δύο σχέσεις Doppler (πλησιάζον/απομακρυνόμενο περιπολικό, ακίνητος παρατηρητής) ως σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους f_s και υ_περ.

Λύση:

1. Πλησιάζον: f₁=υ/(υ-υ_περ)·f_s ⇒ 500=340/(340-υ_περ)·f_s.
2. Απομακρυνόμενο: f₂=υ/(υ+υ_περ)·f_s ⇒ 450=340/(340+υ_περ)·f_s.
3. Διαιρούμε: f₁/f₂=(340+υ_περ)/(340-υ_περ) ⇒ 500/450=10/9=(340+υ_περ)/(340-υ_περ).
4. 9(340+υ_περ)=10(340-υ_περ) ⇒ 3060+9υ_περ=3400-10υ_περ ⇒ 19υ_περ=340 ⇒ υ_περ=340/19≈17,9 m/s.
5. Από την πρώτη εξίσωση: f_s=500×(340-17,9)/340=500×322,1/340≈473,7 Hz.

Απάντηση: Το περιπολικό κινείται με ταχύτητα περίπου 17,9 m/s και η πραγματική συχνότητα της σειρήνας είναι περίπου 473,7 Hz.

Άσκηση 5.51 (σελ. 181)

Ένας μοτοσυκλετιστής που βρίσκεται σε απόσταση d=400 m από ηχητική πηγή συχνότητας 540 Hz αρχίζει να κινείται προς αυτή με σταθερή επιτάχυνση, ξεκινώντας από την ηρεμία. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται τη στιγμή που φτάνει στην πηγή είναι 603,5 Hz. Να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του και να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η συχνότητα που αντιλαμβάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την τελική συχνότητα βρίσκουμε την τελική ταχύτητα του μοτοσυκλετιστή (σχέση Doppler για ακίνητη πηγή-κινούμενο παρατηρητή που πλησιάζει), κι έπειτα από την εξίσωση υ²=2αd της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης βρίσκουμε την επιτάχυνση.

Λύση:

1. Σχέση Doppler (πλησιάζων παρατηρητής, ακίνητη πηγή): f_A=(υ+υ_A)/υ·f_s ⇒ 603,5=(340+υ_A)/340×540.
2. 340+υ_A=603,5×340/540≈380,0 ⇒ υ_A≈40,0 m/s (ταχύτητα μοτοσυκλετιστή τη στιγμή της άφιξης στην πηγή).
3. Ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση από ηρεμία: υ_A²=2αd ⇒ α=υ_A²/(2d)=40²/(2×400)=1600/800=2 m/s².
4. Αφού υ_A(t)=αt=2t (γραμμική συνάρτηση του χρόνου) και f_A(t)=(υ+υ_A(t))/υ·f_s=f_s+(f_s·α/υ)t, η αντιλαμβανόμενη συχνότητα αυξάνεται ΓΡΑΜΜΙΚΑ με τον χρόνο, από 540 Hz (t=0) έως 603,5 Hz τη στιγμή t=υ_A/α=40/2=20 s που φτάνει στην πηγή.

Απάντηση: Η επιτάχυνση είναι α=2 m/s². Η συχνότητα f_A(t) αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο, από 540 Hz σε t=0 έως 603,5 Hz σε t=20 s (ευθεία γραμμή στο διάγραμμα f_A-t με κλίση f_s·α/υ=540×2/340≈3,18 Hz/s).

Άσκηση 5.52 (σελ. 181)

Μια ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα 8 km/h και εκπέμπει ήχο συχνότητας 400 Hz. Ένας παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα 54 km/h, ακολουθεί την ηχητική πηγή (κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή). Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετατρέπουμε τις ταχύτητες σε m/s και εφαρμόζουμε τη γενική σχέση Doppler f_A=f_s(υ+υ_A)/(υ+υ_s), όπου υ_A μετριέται θετική όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή και υ_s θετική όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή (εδώ η πηγή κινείται μακριά από τον αρχικά πιο αργό παρατηρητή, ο παρατηρητής όμως είναι ταχύτερος και την πλησιάζει).

Λύση:

1. Μετατροπή μονάδων: υ_s=8 km/h=8/3,6≈2,222 m/s. υ_A=54 km/h=54/3,6=15 m/s.
2. Η πηγή κινείται μπροστά, απομακρυνόμενη από τον παρατηρητή (θετικό υ_s στον παρονομαστή, αφού «απομακρύνεται»)· ο παρατηρητής κινείται προς την πηγή, την πλησιάζει (θετικό υ_A στον αριθμητή).
3. f_A=f_s·(υ+υ_A)/(υ+υ_s)=400×(340+15)/(340+2,222)=400×355/342,222≈400×1,0373≈415 Hz.

Απάντηση: Ο παρατηρητής ακούει ήχο συχνότητας περίπου 415 Hz.

Άσκηση 5.53 (σελ. 181)

Σιδηροδρομικός υπάλληλος βρίσκεται στη μέση γέφυρας μήκους 1000 m, όταν βλέπει σε απόσταση 1500 m αμαξοστοιχία να πλησιάζει σφυρίζοντας. Η συχνότητα του ήχου που ακούει είναι 360 Hz ενώ η πραγματική συχνότητα είναι 340 Hz. Για να αποφύγει τον κίνδυνο κινείται ισοταχώς και καταφέρνει να φτάσει στην άκρη της γέφυρας τη στιγμή που φτάνει και η αμαξοστοιχία. Υπολογίστε τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο υπάλληλος στη διάρκεια της κίνησής του. Η ταχύτητα του ήχου είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα βρίσκουμε την ταχύτητα της αμαξοστοιχίας από την αρχική (στάσιμη) μέτρηση Doppler. Στη συνέχεια χρειάζεται η γεωμετρική σχέση μεταξύ της απόστασης που διανύει η αμαξοστοιχία και της απόστασης που διανύει ο υπάλληλος μέχρι να συναντηθούν στην άκρη της γέφυρας — το ακριβές σχήμα/η θέση αναφοράς της απόστασης 1500 m (από τον υπάλληλο ή από την άκρη της γέφυρας) δεν είναι πλήρως σαφής από το κείμενο της εκφώνησης όπως εξήχθη, οπότε η τελική αριθμητική τιμή επιβεβαιώνεται με επιφύλαξη.

Λύση:

1. Αρχική μέτρηση (υπάλληλος ακόμη ακίνητος, αμαξοστοιχία πλησιάζει): f₁=f_s·υ/(υ-υ_τρ) ⇒ 360=340×340/(340-υ_τρ) ⇒ 340-υ_τρ=340×340/360≈321,1 ⇒ υ_τρ≈18,9 m/s.
2. Η ταχύτητα του υπαλλήλου υ_υπ καθορίζεται από τη γεωμετρική συνθήκη ταυτόχρονης άφιξης στην άκρη της γέφυρας (υ_υπ ανάλογη της αναλογίας των αποστάσεων υπαλλήλου/αμαξοστοιχίας προς το κοινό σημείο συνάντησης) — απαιτεί το ακριβές σχήμα για μονοσήμαντο προσδιορισμό.
3. Κατά την κίνησή του ο υπάλληλος πλησιάζει την πηγή (κινείται προς την άκρη της γέφυρας όπου φτάνει η αμαξοστοιχία), άρα εφαρμόζεται η γενική σχέση f_A=f_s·(υ+υ_υπ)/(υ-υ_τρ) με τις τιμές f_s≈340 Hz και υ_τρ≈18,9 m/s υπολογισμένες παραπάνω.

Απάντηση: Η ταχύτητα της αμαξοστοιχίας είναι περίπου 18,9 m/s (υπολογισμός στέρεος). Η τελική συχνότητα κατά την κίνηση του υπαλλήλου υπολογίζεται περίπου στα 355-356 Hz βάσει εύλογης γεωμετρικής υπόθεσης για τις αποστάσεις, αλλά η ακριβής τιμή εξαρτάται από στοιχεία του σχήματος του βιβλίου που δεν διασώθηκαν πλήρως στην εξαγωγή κειμένου — χρειάζεται επιβεβαίωση ως προς την ακριβή γεωμετρία (ποια απόσταση αντιστοιχεί στα 1500 m).

Πρόσεξε:

• Η φαινομενική εκφώνηση στο εξαγόμενο κείμενο δεν προσδιορίζει με βεβαιότητα αν τα 1500 m μετριούνται από τον υπάλληλο ή από την άκρη της γέφυρας προς την αμαξοστοιχία — κρίσιμη λεπτομέρεια για την ακριβή λύση, δεν επιβεβαιώθηκε.