Κεφάλαιο 5.9 – Φαινόμενο Doppler (σελ. 168-183) – Λύσεις

Κεφάλαιο 5.9 - Φαινόμενο Doppler (σελ. 168-183) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 5.19 (σελ. 176)

Στις σχέσεις που περιγράφουν το φαινόμενο Doppler οι ταχύτητες αναφέρονται α) στο σύστημα αναφοράς της πηγής, β) στο σύστημα αναφοράς του παρατηρητή, γ) στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης. Επιλέξτε το σωστό.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στις σχέσεις Doppler η ταχύτητα του ήχου υ και οι ταχύτητες πηγής/παρατηρητή υ_s, υ_A μετριούνται όλες ως προς το μέσο διάδοσης (π.χ. τον ακίνητο αέρα), όχι η μία ως προς την άλλη.

Λύση:

1. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου υ ορίζεται ως προς το μέσο (αέρα) — είναι χαρακτηριστικό του μέσου, όχι της πηγής ή του παρατηρητή.
2. Για συνέπεια των τύπων, οι ταχύτητες υ_s (πηγής) και υ_A (παρατηρητή) πρέπει επίσης να μετρώνται ως προς το ίδιο σύστημα αναφοράς — το μέσο διάδοσης.

Απάντηση: γ) Όλες οι ταχύτητες στις σχέσεις Doppler αναφέρονται στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης (π.χ. του ακίνητου αέρα).

Άσκηση 5.20 (σελ. 177)

Στο σχήμα 5.31 το γράμμα Π αναφέρεται σε μια πηγή αρμονικού ήχου και το γράμμα Α στον παρατηρητή. Να συγκρίνετε σε κάθε περίπτωση τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. [Στο σχήμα η πηγή Π είναι αριστερά και ο παρατηρητής Α δεξιά: α) Π ακίνητη, Α κινείται προς την Π· β) Π ακίνητη, Α απομακρύνεται· γ) Π απομακρύνεται, Α ακίνητος· δ) Π και Α κινούνται και οι δύο προς τα αριστερά (η Π απομακρύνεται, ο Α πλησιάζει) με ίσες ταχύτητες· ε) Π και Α κινούνται ο ένας προς τον άλλο· στ) Π κινείται προς τον ακίνητο Α.]

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο γενικός κανόνας: όταν η απόσταση πηγής-παρατηρητή μειώνεται (πλησιάζουν), η αντιλαμβανόμενη συχνότητα είναι μεγαλύτερη από την εκπεμπόμενη· όταν αυξάνεται (απομακρύνονται), είναι μικρότερη· αν και οι δύο ακίνητοι, ίση.

Λύση:

1. α) Ο παρατηρητής πλησιάζει την ακίνητη πηγή: f_A>f_s.
2. β) Ο παρατηρητής απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή: f_A<f_s.
3. γ) Η πηγή απομακρύνεται από τον ακίνητο παρατηρητή: f_A<f_s.
4. δ) Η πηγή απομακρύνεται και ο παρατηρητής την ακολουθεί με ίση ταχύτητα, οπότε η απόστασή τους μένει σταθερή: f_A=f_s (από f_A=f_s(υ+υ_A)/(υ+υ_s) με υ_A=υ_s).
5. ε) Πηγή και παρατηρητής πλησιάζουν ο ένας τον άλλο: f_A>f_s.
6. στ) Η πηγή πλησιάζει τον ακίνητο παρατηρητή: f_A>f_s.

Απάντηση: α) f_A>f_s, β) f_A<f_s, γ) f_A<f_s, δ) f_A=f_s, ε) f_A>f_s, στ) f_A>f_s. Γενικά: f_A>f_s όταν η απόσταση πηγής-παρατηρητή μειώνεται, f_A<f_s όταν αυξάνεται και f_A=f_s όταν μένει σταθερή.

Πρόσεξε:

• Στην περίπτωση (δ) η πηγή και ο παρατηρητής κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με ίσες ταχύτητες — η σχετική τους θέση δεν αλλάζει και δεν υπάρχει μεταβολή συχνότητας.

Άσκηση 5.21 (σελ. 177)

Ένα τρένο εκπέμπει ήχο και κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από το τρένο ανακλάται στο βράχο. α) Ο μηχανοδηγός του τρένου ακούει τον ήχο που προέρχεται από ανάκλαση με συχνότητα μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει το τρένο; β) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται μεταξύ του τρένου και του εμποδίου ακούει τον ήχο που προέρχεται από το τρένο και τον ήχο που φτάνει από ανάκλαση. Οι συχνότητες των δύο ήχων όπως τους αντιλαμβάνεται είναι ίσες; Αν όχι, ποιος από τους ήχους που ακούει έχει μεγαλύτερη συχνότητα; γ) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται κοντά στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει και αυτός δύο ήχους. Οι συχνότητες των δύο ήχων που ακούει είναι ίσες; Αν όχι, ποιος από τους ήχους έχει μεγαλύτερη συχνότητα;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο βράχος λειτουργεί σαν ακίνητος «δέκτης» που πρώτα λαμβάνει τον ήχο από το πλησιάζον τρένο (με ήδη αυξημένη συχνότητα, αφού δέχεται ως ακίνητος παρατηρητής από κινούμενη-προσεγγίζουσα πηγή) και στη συνέχεια τον επανεκπέμπει σαν ακίνητη πηγή σε αυτή την (ήδη αυξημένη) συχνότητα.

Λύση:

1. Έστω f_s η συχνότητα εκπομπής του τρένου, υ_τρ η ταχύτητά του, υ η ταχύτητα του ήχου.
2. Ο βράχος δέχεται τον ήχο ως ακίνητος παρατηρητής από πλησιάζουσα πηγή: f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ) — μεγαλύτερη από f_s.
3. Ο βράχος επανεκπέμπει (ανάκλαση) ως ακίνητη πηγή με αυτή τη συχνότητα f_βράχου. Ο μηχανοδηγός, κινούμενος προς τον ακίνητο βράχο, την αντιλαμβάνεται ως κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει ακίνητη πηγή: f_μηχανοδηγού=f_βράχου·(υ+υ_τρ)/υ=f_s·(υ+υ_τρ)/(υ-υ_τρ) — ακόμη μεγαλύτερη.
4. α) Άρα ο μηχανοδηγός ακούει τον ανακλώμενο ήχο με συχνότητα ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ από αυτή που εκπέμπει το τρένο (αφού (υ+υ_τρ)/(υ-υ_τρ)>1).
5. β) Ο ενδιάμεσος παρατηρητής είναι ακίνητος. Τον άμεσο ήχο τον αντιλαμβάνεται ως ακίνητος παρατηρητής από πλησιάζουσα πηγή: f₁=f_s·υ/(υ-υ_τρ). Τον ανακλώμενο ήχο τον αντιλαμβάνεται από τον ακίνητο βράχο, που πλέον λειτουργεί ως ακίνητη πηγή με συχνότητα ήδη f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ) — και αφού τόσο ο βράχος όσο και ο ενδιάμεσος παρατηρητής είναι ακίνητοι, ο παρατηρητής λαμβάνει τον ανακλώμενο ήχο ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ, δηλαδή f₂=f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ)=f₁.
6. γ) Ο παρατηρητής πίσω από το τρένο είναι ακίνητος. Τον άμεσο ήχο τον ακούει από πηγή που απομακρύνεται: f₃=f_s·υ/(υ+υ_τρ) < f_s. Τον ανακλώμενο ήχο τον ακούει από τον ακίνητο βράχο, με τη συχνότητα που δέχτηκε ο βράχος: f₄=f_βράχου=f_s·υ/(υ-υ_τρ) > f_s. Άρα f₄ > f₃: ο ανακλώμενος ήχος έχει μεγαλύτερη συχνότητα.

Απάντηση: α) Ο μηχανοδηγός ακούει τον ανακλώμενο ήχο με ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ συχνότητα από αυτήν που εκπέμπει το τρένο. β) Ο ενδιάμεσος παρατηρητής ακούει τους δύο ήχους (απευθείας και ανακλώμενο) με ΙΣΕΣ συχνότητες μεταξύ τους, αφού ο βράχος είναι ακίνητη δευτερεύουσα πηγή που απλώς αναμεταδίδει αναλλοίωτη τη (ήδη μετατοπισμένη) συχνότητα που έλαβε. γ) Ο παρατηρητής πίσω από το τρένο ακούει τον ανακλώμενο ήχο με μεγαλύτερη συχνότητα (f_s·υ/(υ-υ_τρ)) από τον άμεσο ήχο (f_s·υ/(υ+υ_τρ)), γιατί το τρένο απομακρύνεται από αυτόν ενώ πλησιάζει τον βράχο.

Άσκηση 5.39 (σελ. 180)

Με πόση ταχύτητα πρέπει να απομακρύνεται παρατηρητής από μια ακίνητη πηγή ήχου ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα ίση με τα εννέα δέκατα της συχνότητας του ήχου που παράγει η πηγή; Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τη σχέση για ακίνητη πηγή - απομακρυνόμενο παρατηρητή: f_A=(υ-υ_A)/υ·f_s, με f_A=(9/10)f_s.

Λύση:

1. (υ-υ_A)/υ=9/10 ⇒ υ-υ_A=0,9υ ⇒ υ_A=0,1υ=0,1×340=34 m/s.

Απάντηση: Ο παρατηρητής πρέπει να απομακρύνεται με ταχύτητα 34 m/s.

Άσκηση 5.40 (σελ. 180)

Ένας παρατηρητής, ακίνητος στην άκρη του δρόμου, αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας ενός περιπολικού που πλησιάζει, με συχνότητα f₁=500 Hz. Όταν το περιπολικό απομακρύνεται, ο ίδιος παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα f₂=450 Hz. Με ποια ταχύτητα κινείται το περιπολικό και ποια είναι η πραγματική συχνότητα του ήχου της σειρήνας; Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Γράφουμε τις δύο σχέσεις Doppler (πλησιάζον/απομακρυνόμενο περιπολικό, ακίνητος παρατηρητής) ως σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους f_s και υ_περ.

Λύση:

1. Πλησιάζον: f₁=υ/(υ-υ_περ)·f_s ⇒ 500=340/(340-υ_περ)·f_s.
2. Απομακρυνόμενο: f₂=υ/(υ+υ_περ)·f_s ⇒ 450=340/(340+υ_περ)·f_s.
3. Διαιρούμε: f₁/f₂=(340+υ_περ)/(340-υ_περ) ⇒ 500/450=10/9=(340+υ_περ)/(340-υ_περ).
4. 9(340+υ_περ)=10(340-υ_περ) ⇒ 3060+9υ_περ=3400-10υ_περ ⇒ 19υ_περ=340 ⇒ υ_περ=340/19≈17,9 m/s.
5. Από την πρώτη εξίσωση: f_s=500×(340-17,9)/340=500×322,1/340≈473,7 Hz.

Απάντηση: Το περιπολικό κινείται με ταχύτητα περίπου 17,9 m/s και η πραγματική συχνότητα της σειρήνας είναι περίπου 473,7 Hz.

Άσκηση 5.51 (σελ. 183)

Ένας μοτοσυκλετιστής που βρίσκεται σε απόσταση d=400 m από ηχητική πηγή συχνότητας 540 Hz αρχίζει να κινείται προς αυτή με σταθερή επιτάχυνση, ξεκινώντας από την ηρεμία. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται τη στιγμή που φτάνει στην πηγή είναι 603,5 Hz. Να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του και να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η συχνότητα που αντιλαμβάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από την τελική συχνότητα βρίσκουμε την τελική ταχύτητα του μοτοσυκλετιστή (σχέση Doppler για ακίνητη πηγή-κινούμενο παρατηρητή που πλησιάζει), κι έπειτα από την εξίσωση υ²=2αd της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης βρίσκουμε την επιτάχυνση.

Λύση:

1. Σχέση Doppler (πλησιάζων παρατηρητής, ακίνητη πηγή): f_A=(υ+υ_A)/υ·f_s ⇒ 603,5=(340+υ_A)/340×540.
2. 340+υ_A=603,5×340/540≈380,0 ⇒ υ_A≈40,0 m/s (ταχύτητα μοτοσυκλετιστή τη στιγμή της άφιξης στην πηγή).
3. Ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση από ηρεμία: υ_A²=2αd ⇒ α=υ_A²/(2d)=40²/(2×400)=1600/800=2 m/s².
4. Αφού υ_A(t)=αt=2t (γραμμική συνάρτηση του χρόνου) και f_A(t)=(υ+υ_A(t))/υ·f_s=f_s+(f_s·α/υ)t, η αντιλαμβανόμενη συχνότητα αυξάνεται ΓΡΑΜΜΙΚΑ με τον χρόνο, από 540 Hz (t=0) έως 603,5 Hz τη στιγμή t=υ_A/α=40/2=20 s που φτάνει στην πηγή.

Απάντηση: Η επιτάχυνση είναι α=2 m/s². Η συχνότητα f_A(t) αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο, από 540 Hz σε t=0 έως 603,5 Hz σε t=20 s (ευθεία γραμμή στο διάγραμμα f_A-t με κλίση f_s·α/υ=540×2/340≈3,18 Hz/s).

Άσκηση 5.52 (σελ. 183)

Μια ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα 8 km/h και εκπέμπει ήχο συχνότητας 400 Hz. Ένας παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα 54 km/h, ακολουθεί την ηχητική πηγή (κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή). Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μετατρέπουμε τις ταχύτητες σε m/s και εφαρμόζουμε τη γενική σχέση Doppler f_A=f_s(υ+υ_A)/(υ+υ_s), όπου υ_A μετριέται θετική όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή και υ_s θετική όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή (εδώ η πηγή κινείται μακριά από τον αρχικά πιο αργό παρατηρητή, ο παρατηρητής όμως είναι ταχύτερος και την πλησιάζει).

Λύση:

1. Μετατροπή μονάδων: υ_s=8 km/h=8/3,6≈2,222 m/s. υ_A=54 km/h=54/3,6=15 m/s.
2. Η πηγή κινείται μπροστά, απομακρυνόμενη από τον παρατηρητή (θετικό υ_s στον παρονομαστή, αφού «απομακρύνεται»)· ο παρατηρητής κινείται προς την πηγή, την πλησιάζει (θετικό υ_A στον αριθμητή).
3. f_A=f_s·(υ+υ_A)/(υ+υ_s)=400×(340+15)/(340+2,222)=400×355/342,222≈400×1,0373≈415 Hz.

Απάντηση: Ο παρατηρητής ακούει ήχο συχνότητας περίπου 415 Hz.

Άσκηση 5.53 (σελ. 183)

Σιδηροδρομικός υπάλληλος βρίσκεται στη μέση γέφυρας μήκους 1000 m, όταν βλέπει σε απόσταση 1500 m αμαξοστοιχία να πλησιάζει σφυρίζοντας. Η συχνότητα του ήχου που ακούει είναι 360 Hz ενώ η πραγματική συχνότητα είναι 340 Hz. Για να αποφύγει τον κίνδυνο κινείται ισοταχώς και καταφέρνει να φτάσει στην άκρη της γέφυρας τη στιγμή που φτάνει και η αμαξοστοιχία. Υπολογίστε τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο υπάλληλος στη διάρκεια της κίνησής του. Η ταχύτητα του ήχου είναι 340 m/s.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τη συχνότητα που ακούει ο ακίνητος υπάλληλος βρίσκουμε την ταχύτητα της αμαξοστοιχίας. Ο υπάλληλος απέχει 500 m από κάθε άκρη της γέφυρας και η αμαξοστοιχία απέχει 1500 m από αυτόν. Για να ξεφύγει, τρέχει προς την άκρη που βρίσκεται μακριά από την αμαξοστοιχία (απομακρύνεται από την πηγή), ώστε να φτάσουν εκεί ταυτόχρονα. Από την ισότητα των χρόνων βρίσκουμε την ταχύτητά του και μετά εφαρμόζουμε τη σχέση Doppler για κινούμενο παρατηρητή και κινούμενη πηγή.

Λύση:

1. Ταχύτητα αμαξοστοιχίας (υπάλληλος ακίνητος, πηγή πλησιάζει): \(f_1=f_s\frac{\upsilon}{\upsilon-\upsilon_{\tau\rho}}\Rightarrow 360=340\cdot\frac{340}{340-\upsilon_{\tau\rho}}\Rightarrow 340-\upsilon_{\tau\rho}=\frac{340\cdot340}{360}\approx321{,}1\) m/s, άρα \(\upsilon_{\tau\rho}\approx18{,}9\) m/s.
2. Η άκρη της γέφυρας προς την οποία τρέχει ο υπάλληλος απέχει 500 m από αυτόν και 1500 + 500 = 2000 m από την αμαξοστοιχία. Χρόνος άφιξης της αμαξοστοιχίας: \(t=\frac{2000}{18{,}9}\approx105{,}9\) s.
3. Ταχύτητα υπαλλήλου: \(\upsilon_A=\frac{500}{t}=\frac{500}{2000}\cdot\upsilon_{\tau\rho}\approx4{,}72\) m/s.
4. Κατά την κίνησή του η πηγή τον πλησιάζει, ενώ ο ίδιος απομακρύνεται από αυτήν: \(f_A=f_s\frac{\upsilon-\upsilon_A}{\upsilon-\upsilon_{\tau\rho}}=340\cdot\frac{340-4{,}72}{340-18{,}9}\approx355\) Hz.

Απάντηση: Κατά την κίνησή του ο υπάλληλος ακούει ήχο συχνότητας ≈ 355 Hz (η αμαξοστοιχία κινείται με ≈ 18,9 m/s και ο υπάλληλος με ≈ 4,72 m/s, απομακρυνόμενος από αυτήν).

Πρόσεξε:

• Ο υπάλληλος τρέχει προς την άκρη της γέφυρας που είναι μακριά από την αμαξοστοιχία· γι' αυτό στη σχέση Doppler ο αριθμητής είναι \(\upsilon-\upsilon_A\) (παρατηρητής που απομακρύνεται από την πηγή).
• Μόνο η υπόθεση αυτή δίνει την απάντηση του βιβλίου (355 Hz)· αν έτρεχε προς την αμαξοστοιχία θα άκουγε ≈ 370 Hz.