Ένα τρένο κινείται με ταχύτητα u. Ένας επιβάτης κινείται από το πρώτο προς το τελευταίο βαγόνι του τρένου με ταχύτητα u, ως προς το τρένο. Ποια ταχύτητα έχει ο επιβάτης ως προς το έδαφος;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό ταχυτήτων Γαλιλαίου: υ(εδάφους)=υ'(τρένου)+u(τρένου ως προς έδαφος), προσέχοντας τη φορά κίνησης του επιβάτη μέσα στο τρένο (προς τα πίσω, δηλαδή αντίθετα της κίνησης του τρένου).

Λύση:

Θεωρούμε θετική τη φορά κίνησης του τρένου. Ο επιβάτης κινείται μέσα στο τρένο προς το τελευταίο βαγόνι, δηλαδή προς τα πίσω: υ'=-u (ως προς το τρένο).
Μετασχηματισμός Γαλιλαίου: υ=υ'+u=-u+u=0.

Απάντηση: Ο επιβάτης έχει ταχύτητα 0 ως προς το έδαφος — παραμένει ακίνητος ως προς το έδαφος τη στιγμή εκείνη, αφού κινείται μέσα στο τρένο με το ίδιο μέτρο ταχύτητας αλλά αντίθετη φορά από αυτήν του τρένου.

Άσκηση 5.14 (σελ. 183)

Πλοίο Α κινείται με ταχύτητα u. Από το ραντάρ του πλοίου γίνεται αντιληπτό άλλο πλοίο (Β) που κινείται ως προς το πρώτο με ταχύτητα u, σε κάθετη διεύθυνση. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του πλοίου Β ως προς την ακτή;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα του Β ως προς την ακτή είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του Β ως προς το Α (γνωστή από το ραντάρ) και της ταχύτητας του Α ως προς την ακτή. Οι δύο ταχύτητες είναι κάθετες μεταξύ τους.

Λύση:

Διανυσματική σχέση: υ⃗(Β,ακτής)=υ⃗(Β,Α)+υ⃗(Α,ακτής).
Τα δύο διανύσματα του αθροίσματος είναι κάθετα μεταξύ τους, με ίσο μέτρο u έκαστο.
Μέτρο αθροίσματος (Πυθαγόρειο θεώρημα): υ(Β,ακτής)=√(u²+u²)=u√2.

Απάντηση: Η ταχύτητα του πλοίου Β ως προς την ακτή έχει μέτρο u√2 (≈1,41u), σε διεύθυνση 45° μεταξύ των δύο αρχικών ταχυτήτων.

Άσκηση 5.15 (σελ. 183)

Ένας παρατηρητής, ακίνητος στο αδρανειακό σύστημα Σ, παρατηρεί σώμα μάζας m που επιταχύνεται. Από αδρανειακό σύστημα Σ' που κινείται ως προς το πρώτο με ταχύτητα u, δεύτερος παρατηρητής, ακίνητος ως προς το Σ', παρατηρεί επίσης το σώμα m. Για ποια από τα παρακάτω μεγέθη συμφωνούν οι δύο αδρανειακοί παρατηρητές: α) για τη θέση του σώματος, β) για την ταχύτητά του, γ) για την επιτάχυνσή του, δ) για τη δύναμη που δέχεται το σώμα, ε) για την ορμή του, στ) για τη μεταβολή της ορμής του;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου, θέση/ταχύτητα/ορμή εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς (διαφέρουν κατά όρους της σχετικής ταχύτητας u), ενώ επιτάχυνση, δύναμη (=m·α) και μεταβολή ορμής (=FΔt) είναι ίδιες σε όλα τα αδρανειακά συστήματα.

Λύση:

α) Θέση: διαφέρει (x'=x-ut), ΔΕΝ συμφωνούν.
β) Ταχύτητα: διαφέρει (υ'=υ-u), ΔΕΝ συμφωνούν.
γ) Επιτάχυνση: α'=dυ'/dt=dυ/dt=α (το u είναι σταθερό, η παράγωγός του μηδενίζεται) — ΣΥΜΦΩΝΟΥΝ.
δ) Δύναμη F=mα: αφού η μάζα και η επιτάχυνση είναι ίδιες σε όλα τα αδρανειακά συστήματα — ΣΥΜΦΩΝΟΥΝ.
ε) Ορμή p=mυ: αφού η ταχύτητα διαφέρει, διαφέρει και η ορμή — ΔΕΝ συμφωνούν.
στ) Μεταβολή ορμής Δp=mΔυ=mΔυ' (αφού Δυ=Δυ'-0, το σταθερό u αφαιρείται στη διαφορά) — ΣΥΜΦΩΝΟΥΝ.

Απάντηση: Οι δύο παρατηρητές συμφωνούν στην επιτάχυνση (γ), στη δύναμη (δ) και στη μεταβολή της ορμής (στ)· διαφωνούν στη θέση (α), στην ταχύτητα (β) και στην ορμή (ε).

Άσκηση 5.16 (σελ. 183)

Αν η ορμή συστήματος σωμάτων διατηρείται ως προς το αδρανειακό σύστημα Σ, θα διατηρείται και ως προς κάθε άλλο αδρανειακό σύστημα; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η διατήρηση της ορμής προκύπτει από τον 3ο νόμο του Newton (δράση-αντίδραση) και την απουσία εξωτερικών δυνάμεων· αφού οι δυνάμεις είναι αναλλοίωτες στους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου, το ίδιο ισχύει και για τη διατήρηση της ορμής.

Λύση:

Στο Σ: Σp(πριν)=Σp(μετά), αφού ΣF_εξωτ=0.
Σε άλλο αδρανειακό Σ' με σχετική ταχύτητα u: κάθε ταχύτητα μετασχηματίζεται ως υ'_i=υ_i-u, άρα Σp'=Σm_iυ'_i=Σm_iυ_i-uΣm_i=Σp-u·Σm.
Επειδή η ολική μάζα Σm παραμένει σταθερή στην κρούση (δεν αλλάζει), ο όρος u·Σm είναι ο ίδιος πριν και μετά.
Άρα: Σp'(πριν)=Σp(πριν)-uΣm και Σp'(μετά)=Σp(μετά)-uΣm. Αφού Σp(πριν)=Σp(μετά), έπεται Σp'(πριν)=Σp'(μετά).

Απάντηση: Ναι, θα διατηρείται. Αφού η ολική μάζα του συστήματος δεν μεταβάλλεται, η διατήρηση της ορμής σε ένα αδρανειακό σύστημα συνεπάγεται τη διατήρησή της σε κάθε άλλο αδρανειακό σύστημα (η ορμή μετασχηματίζεται κατά τον ίδιο σταθερό όρο u·Σm πριν και μετά).

Άσκηση 5.31 (σελ. 183)

Ένα ποταμόπλοιο κινείται με ταχύτητα υ₁=20 km/h ως προς το νερό. Το ρεύμα του ποταμού έχει ταχύτητα 5 km/h. Σε πόσο χρόνο θα κάνει το ποταμόπλοιο τη διαδρομή ΑΒΑ, όπου Α και Β δύο πόλεις που απέχουν 24 km μεταξύ τους;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ταχύτητα του πλοίου ως προς την όχθη είναι υ₁+υ_ρεύμα (κατάντη) ή υ₁-υ_ρεύμα (ανάντη). Υπολογίζουμε τον χρόνο διαδρομής σε κάθε κατεύθυνση χωριστά και τους αθροίζουμε.

Λύση:

Κατάντη (ίδια φορά με το ρεύμα): υ_κατ=υ₁+υ_ρ=20+5=25 km/h. Χρόνος: t₁=24/25=0,96 h.
Ανάντη (αντίθετη φορά): υ_αν=υ₁-υ_ρ=20-5=15 km/h. Χρόνος: t₂=24/15=1,6 h.
Συνολικός χρόνος: t=t₁+t₂=0,96+1,6=2,56 h.

Απάντηση: Το ποταμόπλοιο θα κάνει τη διαδρομή ΑΒΑ σε 2,56 h.

Άσκηση 5.32 (σελ. 183)

Ο πιλότος ενός αεροπλάνου που κινείται βόρεια με ταχύτητα 400 m/s, αντιλαμβάνεται με το ραντάρ του ένα άλλο αεροπλάνο που κινείται ανατολικά με ταχύτητα 300 m/s (ως προς τη Γη). Ποια είναι η ταχύτητα του δεύτερου αεροπλάνου, όπως καταγράφεται από το ραντάρ του πρώτου (δηλαδή ως προς το πρώτο αεροπλάνο);

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ένδειξη του ραντάρ δίνει τη σχετική ταχύτητα του δεύτερου αεροπλάνου ως προς το πρώτο: υ⃗(2,1)=υ⃗(2,Γη)-υ⃗(1,Γη). Παίρνουμε x=ανατολή, y=βορράς.

Λύση:

υ⃗(1,Γη)=(0, 400) m/s (βόρεια), υ⃗(2,Γη)=(300, 0) m/s (ανατολικά).
υ⃗(2,1)=υ⃗(2,Γη)-υ⃗(1,Γη)=(300-0, 0-400)=(300, -400) m/s.
Μέτρο: υ(2,1)=√(300²+400²)=√(90000+160000)=√250000=500 m/s.
Διεύθυνση (γωνία θ από τον άξονα y, δηλ. από τη νότια κατεύθυνση προς την ανατολή): εφθ=300/400=3/4.

Απάντηση: Το ραντάρ του πρώτου αεροπλάνου καταγράφει το δεύτερο να κινείται με ταχύτητα μέτρου 500 m/s, σε διεύθυνση νοτιοανατολικά με εφθ=4/3 ως προς τον νότιο άξονα (ισοδύναμα εφθ=3/4 ως προς την ανατολική κατεύθυνση).

Άσκηση 5.33 (σελ. 183)

Σε αδρανειακό σύστημα Σ ένας παρατηρητής παρατηρεί το φαινόμενο της κρούσης ενός σώματος μάζας m=2 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση x με ταχύτητα υ=6 m/s και συγκρούεται πλαστικά με άλλο ακίνητο σώμα μάζας M=4 kg. α) Υπολογίστε την ταχύτητα του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση, όπως τη μετράει ο παρατηρητής στο Σ. β) Δείξτε ότι και ένας παρατηρητής που κινείται κατά τη διεύθυνση x με ταχύτητα u=2 m/s, παρόλο που αντιλαμβάνεται διαφορετικά τις ταχύτητες των σωμάτων πριν και μετά την κρούση, συμφωνεί με τον πρώτο ότι η ορμή διατηρείται.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο Σ εφαρμόζουμε τη συνήθη διατήρηση ορμής πλαστικής κρούσης. Στο Σ' μετασχηματίζουμε όλες τις ταχύτητες (υ'=υ-u) και ελέγχουμε ξεχωριστά ότι Σp'(πριν)=Σp'(μετά).

Λύση:

α) Στο Σ: mυ=(m+M)V ⇒ V=mυ/(m+M)=2×6/6=2 m/s.
β) Στο Σ' (κινείται με u=2 m/s κατά x ως προς Σ), οι ταχύτητες μετασχηματίζονται: υ'(m,πριν)=υ-u=6-2=4 m/s. υ'(M,πριν)=0-u=-2 m/s. υ'(συσσωμάτωμα,μετά)=V-u=2-2=0 m/s.
Ορμή στο Σ' πριν: p'(πριν)=mυ'(m)+Mυ'(M)=2×4+4×(-2)=8-8=0.
Ορμή στο Σ' μετά: p'(μετά)=(m+M)×υ'(συσσωμ.)=6×0=0.
Αφού p'(πριν)=p'(μετά)=0, η ορμή διατηρείται και στο Σ', παρότι οι επιμέρους ταχύτητες που καταγράφει ο δεύτερος παρατηρητής είναι διαφορετικές από αυτές του πρώτου.

Απάντηση: α) Η ταχύτητα του συσσωματώματος στο Σ είναι V=2 m/s. β) Και στο Σ' η ορμή διατηρείται (0 πριν, 0 μετά), αν και οι επιμέρους τιμές των ταχυτήτων διαφέρουν από το Σ — επιβεβαιώνοντας ότι η διατήρηση της ορμής ισχύει σε κάθε αδρανειακό σύστημα.

Άσκηση 5.50 (σελ. 181)

Σε οριζόντιο δρόμο κινείται άνθρωπος με ταχύτητα υ₁ κρατώντας ομπρέλα, για να προφυλαχτεί από τη βροχή που πέφτει κατακόρυφα με ταχύτητα υ₂. Ποια είναι η κατάλληλη θέση της ομπρέλας για τη μεγαλύτερη δυνατή κάλυψη;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η ομπρέλα πρέπει να είναι κάθετη στη ταχύτητα της βροχής ΟΠΩΣ ΤΗΝ ΑΝΤΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ο περπατώντας άνθρωπος, δηλαδή κάθετη στην ταχύτητα της βροχής ως προς αυτόν, όχι ως προς το έδαφος.

Λύση:

Θέτουμε x=κατεύθυνση βάδισης, y=κατακόρυφος (προς τα κάτω θετική για τη βροχή).
Ταχύτητα βροχής ως προς έδαφος: υ⃗₂=(0, υ₂). Ταχύτητα ανθρώπου ως προς έδαφος: υ⃗₁=(υ₁, 0).
Ταχύτητα βροχής ως προς τον άνθρωπο (μετασχηματισμός Γαλιλαίου): υ⃗(βροχή,άνθρωπος)=υ⃗₂-υ⃗₁=(-υ₁, υ₂).
Η ομπρέλα πρέπει να είναι κάθετη σε αυτό το διάνυσμα (να «κοιτάζει» ακριβώς προς την κατεύθυνση από όπου φαινομενικά έρχεται η βροχή), δηλαδή να είναι κεκλιμένη προς τα εμπρός (προς την κατεύθυνση κίνησης) κατά γωνία θ από την κατακόρυφο, με εφθ=υ₁/υ₂ αν θ μετριέται από την κατακόρυφο, ισοδύναμα εφθ=υ₂/υ₁ αν θ μετριέται από την οριζόντια κατεύθυνση κίνησης.

Απάντηση: Η ομπρέλα πρέπει να είναι κεκλιμένη προς την κατεύθυνση κίνησης, κάθετα στη φαινομενική (σχετική ως προς τον άνθρωπο) ταχύτητα της βροχής, με εφθ=υ₂/υ₁ (θ από την οριζόντια διεύθυνση κίνησης).

Πρόσεξε:

Το ακριβές σημείο αναφοράς της γωνίας θ εξαρτάται από το σχήμα του βιβλίου· η ουσία της λύσης (κάθετη θέση στη σχετική ταχύτητα βροχής-ανθρώπου) παραμένει.

Προηγούμενο Στοιχείο

Επιστροφή στην Ενότητα

Επόμενο Στοιχείο