Λύσεις Ασκήσεων — Κεφάλαιο 10.3: Δυναμικό, διαφορά δυναμικού, δυναμική ενέργεια σημειακών φορτίων (σελ. 124-139)

(Πηγή: Φυσική Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου — Βιβλίο Μαθητή, Τεύχος Β΄, σελ. 128-143. Οι εκφωνήσεις είναι του σχολικού βιβλίου.)

Άσκηση 3.8 (σελ. 124)

Φορτίο q, μετακινείται μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, από το σημείο Α στο σημείο Β. Το έργο της δύναμης του πεδίου: α) Είναι μικρότερο αν το φορτίο ακολουθήσει την πιο σύντομη διαδρομή. β) Είναι ίδιο σε όλες τις δυνατές διαδρομές. γ) Εξαρτάται από την ταχύτητα με την οποία μετακινείται το φορτίο. δ) Εξαρτάται από το πόσο χρόνο διαρκεί η μετακίνηση. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το ηλεκτροστατικό πεδίο είναι διατηρητικό — το έργο της δύναμής του εξαρτάται μόνο από αρχική και τελική θέση, όχι από τη διαδρομή, την ταχύτητα ή τον χρόνο μετακίνησης.

Λύση:

1. Ορισμός διατηρητικού πεδίου: W_A→B=(V_A-V_B)q, ανεξάρτητο διαδρομής.
2. Άρα το έργο δεν αλλάζει με τη διαδρομή, ούτε με ταχύτητα/χρόνο κίνησης.

Απάντηση: Σωστή είναι η β).

Πρόσεξε:

• Μην συγχέετε «διατηρητικό πεδίο» με «ανεξαρτησία από τον χρόνο» — η ανεξαρτησία αφορά τη διαδρομή, όχι πραγματικά τη διάρκεια, αν και τα δύο συνδέονται λογικά εδώ.

Άσκηση 3.9 (σελ. 124)

Συμπληρώστε τα κενά. Εάν μετακινηθεί ένα σημειακό φορτίο q από σημείο Α σε σημείο Β, μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι ίσο με το γινόμενο ....................... των δύο σημείων επί το φορτίο q που μετακινείται. Το έργο αυτό είναι ανεξάρτητο ....................... που ακολουθεί το φορτίο κατά τη μετακίνησή του από το Α στο Β. Τέτοια πεδία, όπως το ηλεκτρικό, που το έργο τους εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση του σώματος που μετακινείται ονομάζονται .......................

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε άμεσα τον ορισμό της διαφοράς δυναμικού και την ιδιότητα των διατηρητικών πεδίων.

Λύση:

1. 1ο κενό: «της διαφοράς δυναμικού» (W_A→B=(V_A-V_B)q).
2. 2ο κενό: «από τη διαδρομή».
3. 3ο κενό: «διατηρητικά».

Απάντηση: ...ίσο με το γινόμενο της διαφοράς δυναμικού των δύο σημείων επί το φορτίο q... ανεξάρτητο από τη διαδρομή... ονομάζονται διατηρητικά.

Πρόσεξε:

• Η ορολογία «διατηρητικό πεδίο» εφαρμόζεται εξίσου και στο βαρυτικό πεδίο (§10.8) — ίδια λογική δομή.

Άσκηση 3.10 (σελ. 124)

Το ηλεκτρονιοβόλτ (eV) είναι α) Το φορτίο του ηλεκτρονίου; β) Μονάδα δυναμικού; γ) Μονάδα έντασης ηλεκτρικού πεδίου; δ) Μονάδα έργου ή ενέργειας;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εξ ορισμού, 1 eV είναι το έργο που παράγεται όταν στοιχειώδες φορτίο διασχίζει διαφορά δυναμικού 1 V — άρα μονάδα ενέργειας/έργου.

Λύση:

1. 1 eV=1,6×10⁻¹⁹ J — μονάδα ενέργειας, όχι φορτίου ή έντασης ή δυναμικού.

Απάντηση: Σωστή είναι η δ).

Πρόσεξε:

• Συχνό λάθος: το «volt» στο όνομα eV μπερδεύεται με μονάδα δυναμικού — αλλά το eV ΕΙΝΑΙ ενέργεια, το προϊόν φορτίου επί δυναμικού.

Άσκηση 3.11 (σελ. 124)

Το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο που απέχει απόσταση r από το σημειακό φορτίο το οποίο ορίζει το πεδίο είναι -200 V. Ένα άλλο σημείο που απέχει απόσταση 2r από το σημειακό φορτίο έχει δυναμικό α) -100 V; β) -50 V; γ) -200 V; δ) -400 V; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το δυναμικό σημειακού φορτίου είναι V=K_cQ/r — αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης. Διπλασιάζοντας την απόσταση, το δυναμικό υποδιπλασιάζεται.

Λύση:

1. V(r)=K_cQ/r=-200 V.
2. V(2r)=K_cQ/(2r)=V(r)/2=-100 V.

Απάντηση: Σωστή είναι η α) -100 V.

Πρόσεξε:

• Το πρόσημο (-) διατηρείται — το φορτίο είναι αρνητικό, άρα και το δυναμικό παραμένει αρνητικό σε κάθε απόσταση.

Άσκηση 3.12 (σελ. 124)

Δύο σημειακά φορτία +Q και -Q είναι τοποθετημένα στα σημεία Α και Β ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστή; α) Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ είναι μηδέν. β) Το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ είναι μηδέν. γ) Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων είναι μηδέν. δ) Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων είναι θετική.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο μέσο Μ, οι εντάσεις από τα δύο φορτία έχουν ίδιο μέτρο (ίση απόσταση) αλλά, επειδή τα φορτία είναι ετερώνυμα, οι εντάσεις έχουν την ΙΔΙΑ κατεύθυνση (και οι δύο δείχνουν από το +Q προς το -Q) — προστίθενται, δεν αλληλοαναιρούνται. Τα δυναμικά όμως είναι αντίθετα και αναιρούνται. Η δυναμική ενέργεια ετερώνυμων φορτίων είναι αρνητική.

Λύση:

1. Ένταση στο Μ από +Q: κατεύθυνση προς το -Q. Ένταση από -Q: κατεύθυνση προς το -Q (έλξη). Ίδια κατεύθυνση ⇒ προστίθενται, δεν μηδενίζονται (η α) είναι λάθος).
2. Δυναμικό στο Μ: V=K_cQ/(l/2)+K_c(-Q)/(l/2)=0 (η β) είναι σωστή).
3. U=K_cQ(-Q)/l<0 — αρνητική, όχι μηδέν ούτε θετική (οι γ) και δ) είναι λάθος).

Απάντηση: Σωστή είναι μόνο η β).

Πρόσεξε:

• Διαφορά ουσίας: η ένταση είναι διανυσματικό μέγεθος (προσθέτονται διανυσματικά), το δυναμικό μονόμετρο (προστίθενται αλγεβρικά) — γι' αυτό στο μέσο δίπολου η ένταση δεν μηδενίζεται ενώ το δυναμικό ναι.

Άσκηση 3.13 (σελ. 125)

Διατρέχοντας μια δυναμική γραμμή κατά τη φορά της έντασης, τα δυναμικά α) Αυξάνονται. β) Ελαττώνονται. γ) Έχουν την ίδια τιμή. δ) Τίποτα από τα παραπάνω. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Θετικό φορτίο κινείται (αν αφεθεί ελεύθερο) προς την κατεύθυνση της δύναμης, δηλαδή προς μικρότερα δυναμικά — άρα η φορά της έντασης δείχνει προς φθίνον δυναμικό.

Λύση:

1. Η ένταση δείχνει προς την κατεύθυνση κίνησης θετικού φορτίου, δηλαδή προς μικρότερο δυναμικό.

Απάντηση: Σωστή είναι η β): τα δυναμικά ελαττώνονται.

Πρόσεξε:

• Θυμηθείτε το αντίστροφο για αρνητικά φορτία — αυτά κινούνται προς μεγαλύτερα δυναμικά, χωρίς όμως να αλλάζει η φορά της γραμμής ή του πεδίου.

Άσκηση 3.14 (σελ. 125)

Ένα αρνητικό φορτίο, αφήνεται μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο. Το φορτίο θα κινηθεί: α) Προς τα εκεί που τα δυναμικά αυξάνονται. β) Προς τα εκεί που τα δυναμικά μειώνονται. γ) Προς την κατεύθυνση που το δυναμικό έχει την ίδια τιμή. δ) Η κατεύθυνση στην οποία θα κινηθεί δεν έχει να κάνει με το δυναμικό. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αρνητικό φορτίο δέχεται δύναμη αντίθετη από την ένταση, άρα κινείται αντίθετα από τη φορά προς φθίνον δυναμικό — δηλαδή προς αυξανόμενο δυναμικό.

Λύση:

1. Η δύναμη σε αρνητικό φορτίο είναι F=qE με q<0, άρα αντίθετη της Ε.
2. Η Ε δείχνει προς φθίνον δυναμικό (§3.13) — άρα το αρνητικό φορτίο κινείται προς αυξανόμενο δυναμικό.

Απάντηση: Σωστή είναι η α): το αρνητικό φορτίο κινείται προς τα εκεί που τα δυναμικά αυξάνονται.

Πρόσεξε:

• Ακριβώς αντίστροφη συμπεριφορά από το θετικό φορτίο.

Άσκηση 3.15 (σελ. 125)

Δικαιολογήστε την πρόταση: «Το δυναμικό ενός ηλεκτροστατικά φορτισμένου αγωγού είναι ίδιο σε όλα τα σημεία».

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αν υπήρχε διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε δύο σημεία του αγωγού, θα υπήρχε ένταση μέσα στον αγωγό, που θα ασκούσε δύναμη στα ελεύθερα ηλεκτρόνια — αυτά θα κινούνταν, αναιρώντας τη στατική (ισορροπία) κατάσταση.

Λύση:

1. Αν V_A≠V_B για δύο σημεία του αγωγού, τότε E=(V_A-V_B)/x≠0 μέσα στον αγωγό.
2. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια θα δέχονταν δύναμη και θα κινούνταν — δεν θα ήταν στατικά (ισορροπία).
3. Αφού ο αγωγός είναι στατικά φορτισμένος (φορτία σε ισορροπία), πρέπει E=0 μέσα του, άρα V σταθερό παντού.

Απάντηση: Επειδή σε στατικό αγωγό τα φορτία είναι σε ισορροπία, το πεδίο στο εσωτερικό του είναι μηδέν — άρα δεν υπάρχει διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε σημεία του, δηλαδή το δυναμικό είναι παντού το ίδιο.

Πρόσεξε:

• Το επιχείρημα είναι λογικά αντίστροφο (reductio ad absurdum): αν υπήρχε διαφορά δυναμικού, δεν θα υπήρχε ισορροπία — άτοπο.

Άσκηση 3.16 (σελ. 125)

Να παρασταθεί γραφικά το δυναμικό σφαιρικού αγωγού ακτίνας R, φορτισμένου με θετικό φορτίο Q, σε συνάρτηση με την απόσταση x από το κέντρο του, για x < R και x > R.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αφού ο αγωγός είναι ισοδυναμικός, το δυναμικό στο εσωτερικό (x<R) έχει την ΙΔΙΑ τιμή με αυτή της επιφάνειας — δεν είναι μηδέν, όπως η ένταση. Εξωτερικά συμπεριφέρεται σαν σημειακό φορτίο.

Λύση:

1. Για x≥R: V=K_cQ/x (φθίνουσα καμπύλη ως 1/x, ξεκινώντας από K_cQ/R στο x=R).
2. Για 0≤x<R: V=K_cQ/R=σταθερό (οριζόντια ευθεία, ίδια τιμή με την επιφάνεια).
3. Στο x=R οι δύο κλάδοι συναντώνται συνεχώς, χωρίς άλμα (σε αντίθεση με το E, που έχει άλμα εκεί).

Απάντηση: Το V(x) είναι σταθερό (=K_cQ/R) για 0≤x<R, και φθίνει ως K_cQ/x για x≥R — συνεχής συνάρτηση, χωρίς άλμα στο x=R.

Πρόσεξε:

• Αντίθετα με την ένταση (ασυνεχής στο x=R, §10.2 ερώτηση 3.7), το δυναμικό είναι ΠΑΝΤΑ συνεχές — ακόμη κι όταν η ένταση παρουσιάζει άλμα.

Άσκηση 3.51 (σελ. 131)

Σημειακό φορτίο Q = 2×10⁻⁷ C δημιουργεί πεδίο που σε ένα σημείο του Α έχει δυναμικό V = 300 V. Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου Α από το φορτίο. Δίνεται η σταθερά K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Λύνουμε τον τύπο δυναμικού σημειακού φορτίου ως προς r.

Λύση:

1. V=K_εQ/r ⇒ r=K_εQ/V.
2. r=9×10⁹·2×10⁻⁷/300=1800/300=6 m.

Απάντηση: r=6 m.

Πρόσεξε:

• Δεν χρειάζεται το πρόσημο του φορτίου εδώ, αφού τόσο το Q όσο και το V δίνονται θετικά.

Άσκηση 3.52 (σελ. 131)

Σημειακό φορτίο q = 2×10⁻⁸ C βρίσκεται τοποθετημένο στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, μήκους 3 m σε απόσταση 2 m από το Α (μεταξύ των Α και Β). Υπολογίστε τη διαφορά δυναμικού V_A-V_B. Δίνεται η σταθερά K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε τα δυναμικά στα Α και Β ξεχωριστά, με αποστάσεις από το φορτίο 2 m και 1 m αντίστοιχα (3-2=1), και τα αφαιρούμε.

Λύση:

1. Απόσταση φορτίου από Α: r_A=2 m. Απόσταση από Β: r_B=3-2=1 m.
2. V_A=K_εq/r_A=9×10⁹·2×10⁻⁸/2=90 V.
3. V_B=K_εq/r_B=9×10⁹·2×10⁻⁸/1=180 V.
4. V_A-V_B=90-180=-90 V.

Απάντηση: V_A-V_B=-90 V.

Πρόσεξε:

• Το φορτίο βρίσκεται ΑΝΑΜΕΣΑ στα Α και Β — η απόσταση από το Β είναι 3-2=1 m, όχι 3 m.

Άσκηση 3.53 (σελ. 131)

Το πεδίο που δημιουργεί ένα σημειακό φορτίο Q σε ένα σημείο Α έχει ένταση E = 60 N/C και δυναμικό V = 180 V. Να υπολογίσετε το φορτίο και την απόσταση του σημείου Α από το σημειακό φορτίο Q. Δίνεται η σταθερά K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από τους δύο τύπους E=K_εQ/r² και V=K_εQ/r, διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει r=V/E· μετά υπολογίζουμε το Q.

Λύση:

1. Διαίρεση: V/E=(K_εQ/r)/(K_εQ/r²)=r ⇒ r=V/E=180/60=3 m.
2. Από V=K_εQ/r ⇒ Q=Vr/K_ε=180·3/(9×10⁹)=540/(9×10⁹)=6×10⁻⁸ C.

Απάντηση: Q=6×10⁻⁸ C, r=3 m.

Πρόσεξε:

• Το τέχνασμα r=V/E (διαίρεση των δύο τύπων) εξαλείφει το άγνωστο Q και δίνει απευθείας το r — γενική μέθοδος για σημειακό φορτίο.

Άσκηση 3.54 (σελ. 131)

Σημειακό φορτίο Q = 2×10⁻⁶ C, βρίσκεται στο σημείο Α. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη μετακίνηση φορτίου q = 10⁻⁸ C από ένα σημείο Β, το οποίο απέχει r₁ = (AB) = 1 cm από το φορτίο Q, σε σημείο Γ, το οποίο απέχει r₂ = (AΓ) = 4 cm από το Q. Δίνεται: K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Υπολογίζουμε V_B και V_Γ από το σημειακό φορτίο Q, μετά W=(V_B-V_Γ)q.

Λύση:

1. V_B=K_εQ/r₁=9×10⁹·2×10⁻⁶/0,01=1,8×10⁶ V.
2. V_Γ=K_εQ/r₂=9×10⁹·2×10⁻⁶/0,04=4,5×10⁵ V.
3. W_B→Γ=(V_B-V_Γ)q=(1,8×10⁶-4,5×10⁵)·10⁻⁸=1,35×10⁶·10⁻⁸=1,35×10⁻² J.

Απάντηση: W_B→Γ≈13,5×10⁻³ J.

Πρόσεξε:

• Το φορτίο q απομακρύνεται από το Q (r₁<r₂), και επειδή Q, q ομόσημα (και τα δύο θετικά), το έργο είναι θετικό — η απωστική δύναμη «σπρώχνει» το q μακριά, παράγοντας έργο.

Άσκηση 3.55 (σελ. 131)

Στις κορυφές Β και Γ, ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, με Â = 90°, βρίσκονται τα φορτία Q₁ = 4×10⁻⁸ C και Q₂ = 5×10⁻⁸ C. Αν ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 4 cm, να υπολογιστούν: α) Τα δυναμικά στα σημεία Α και Μ, όπου Μ το μέσον της ΒΓ. β) Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο κατά τη μετακίνηση φορτίου 2×10⁻¹⁰ C από το σημείο Α στο Μ. Δίνεται: K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρειαζόμαστε τις αποστάσεις κάθε φορτίου από τα Α και Μ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 cm, 4 cm, η υποτείνουσα ΒΓ=5 cm (Πυθαγόρειο τρίγωνο 3-4-5). Το Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας, ισαπέχον από τις τρεις κορυφές (γνωστή ιδιότητα ορθογωνίου τριγώνου): ΑΜ=ΒΜ=ΓΜ=2,5 cm.

Λύση:

1. Στο Α: απόσταση από Q₁ (στο Β) είναι ΑΒ=3 cm· απόσταση από Q₂ (στο Γ) είναι ΑΓ=4 cm.
2. V_A=K_εQ₁/0,03+K_εQ₂/0,04=9×10⁹·4×10⁻⁸/0,03+9×10⁹·5×10⁻⁸/0,04=12000+11250=23250 V.
3. Στο Μ (μέσο υποτείνουσας, ισαπέχον 2,5 cm από Β και Γ): V_M=K_εQ₁/0,025+K_εQ₂/0,025=9×10⁹·(4+5)×10⁻⁸/0,025=9×10⁹·9×10⁻⁸/0,025=32400 V.
4. β) W_A→M=(V_A-V_M)q=(23250-32400)·2×10⁻¹⁰=(-9150)·2×10⁻¹⁰≈-1,83×10⁻⁶ J=-183×10⁻⁸ J.

Απάντηση: α) V_A=23250 V, V_M=32400 V. β) W_A→M≈-183×10⁻⁸ J.

Πρόσεξε:

• Η ιδιότητα «το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις τρεις κορυφές ορθογωνίου τριγώνου» (ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου) απλοποιεί δραστικά τον υπολογισμό — χωρίς αυτήν θα χρειαζόταν γεωμετρικός υπολογισμός αποστάσεων.

Άσκηση 3.56 (σελ. 131)

Σε κάθε κορυφή ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, πλευράς α = 30 cm, βρίσκεται φορτίο q = 2 μC. Να υπολογιστεί η ενέργεια του συστήματος των τριών φορτίων. Δίνεται: K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι αποστάσεις είναι ίσες με α, και όλα τα φορτία ίσα — η ενέργεια είναι το άθροισμα τριών ίσων όρων K_εq²/α.

Λύση:

1. U=3·K_εq²/α (τρία ζεύγη, όλα σε απόσταση α).
2. U=3·9×10⁹·(2×10⁻⁶)²/0,3=3·9×10⁹·4×10⁻¹²/0,3=3·1,2×10⁻¹=0,36 J.

Απάντηση: U=0,36 J=36×10⁻² J.

Πρόσεξε:

• Επειδή όλα τα φορτία είναι ομόσημα (θετικά), η ενέργεια είναι θετική — χρειάζεται έργο για να συγκεντρωθούν σε αυτή τη διάταξη.

Άσκηση 3.57 (σελ. 131)

Ακίνητο σημειακό φορτίο Q = 100 μC, βρίσκεται στο σημείο Α. Μικρή σφαίρα με μάζα m = 10 g και φορτίο q = 20 nC βρίσκεται στο σημείο Β, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Α και σε απόσταση r₁ = 30 cm από αυτό. Αν η σφαίρα που βρίσκεται στο σημείο Β αφεθεί ελεύθερη, λόγω της απωστικής δύναμης που δέχεται, κινείται χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε την ταχύτητά της: α) Όταν βρίσκεται σε απόσταση r₂ = 60 cm από το Α. β) Όταν βρίσκεται σε πολύ μεγάλη απόσταση από το σημείο Α. Δίνεται: K_ε = 9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε διατήρηση μηχανικής ενέργειας (κινητική + δυναμική ηλεκτρική) ανάμεσα στη θέση Β και τις ζητούμενες θέσεις. Επειδή το Q είναι ακίνητο (πολύ μεγαλύτερη μάζα ή στερεωμένο), όλη η ενέργεια της αλληλεπίδρασης μετατρέπεται σε κινητική της σφαίρας.

Λύση:

1. Διατήρηση ενέργειας Β→r₂: K_εQq/r₁=½mυ₂²+K_εQq/r₂.
2. K_εQq=9×10⁹·100×10⁻⁶·20×10⁻⁹=9×10⁹·2×10⁻¹²=1,8×10⁻²=0,018.
3. 0,018/0,3=½·0,01·υ₂²+0,018/0,6 ⇒ 0,06=0,005υ₂²+0,03 ⇒ υ₂²=(0,06-0,03)/0,005=6 ⇒ υ₂=√6 m/s.
4. Στο άπειρο (r→∞, δυναμική ενέργεια →0): 0,06=½·0,01·υ∞² ⇒ υ∞²=12 ⇒ υ_∞=√12=2√3 m/s.

Απάντηση: α) υ₂=√6 m/s, β) υ_∞=2√3 m/s.

Πρόσεξε:

• Καθώς η απόσταση αυξάνεται, η ταχύτητα τείνει σε οριακή τιμή (η δυναμική ενέργεια «εξαντλείται» όταν r→∞) — δεν αυξάνεται επ' άπειρον.

Άσκηση 3.90 (σελ. 137)

Το άτομο του υδρογόνου αποτελείται από ένα πρωτόνιο (πυρήνας) και ένα ηλεκτρόνιο, που περιστρέφεται γύρω από τον πυρήνα. Να υπολογιστούν: α) Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου. β) Η δυναμική ενέργεια του ατόμου. γ) Η ολική ενέργεια του ατόμου. δ) Η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στο ηλεκτρόνιο ώστε αυτό να ξεφύγει από την έλξη του πυρήνα (η ενέργεια αυτή ονομάζεται έργο ιονισμού). Δίνονται: το στοιχειώδες φορτίο e, η ακτίνα περιστροφής του ηλεκτρονίου r και η σταθερά K_c.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η κεντρομόλος δύναμη στο ηλεκτρόνιο παρέχεται από την ελκτική δύναμη Coulomb πρωτονίου-ηλεκτρονίου. Από αυτό βρίσκουμε την κινητική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια είναι αρνητική (ετερώνυμα φορτία). Η ολική ενέργεια είναι το άθροισμα K+U· το έργο ιονισμού είναι το αντίθετο της ολικής ενέργειας (χρειάζεται για να φτάσει το ηλεκτρόνιο στο άπειρο με μηδενική ταχύτητα).

Λύση:

1. Κεντρομόλος δύναμη: K_ce²/r²=mυ²/r ⇒ K=½mυ²=½K_ce²/r.
2. Δυναμική ενέργεια (ετερώνυμα φορτία e, -e): U=K_c(e)(-e)/r=-K_ce²/r.
3. Ολική ενέργεια: E=K+U=½K_ce²/r-K_ce²/r=-½K_ce²/r.
4. Έργο ιονισμού: W_ιον=-E=½K_ce²/r (η ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί ώστε E→0 στο άπειρο).

Απάντηση: α) K=½K_ce²/r, β) U=-K_ce²/r, γ) E=-½K_ce²/r, δ) W_ιον=½K_ce²/r.

Πρόσεξε:

• Χαρακτηριστικό αποτέλεσμα δέσμιων συστημάτων (Coulomb ή βαρυτικό): η ολική ενέργεια είναι το ΗΜΙΣΥ της δυναμικής ενέργειας κατ' απόλυτη τιμή, και το έργο ιονισμού/διαφυγής ισούται με |E| — ίδια δομή με την ταχύτητα διαφυγής στο βαρυτικό πεδίο (§10.8).

Άσκηση 3.94 (σελ. 138)

Σφαιρικός αγωγός έχει ακτίνα R=10 cm και φορτίο Q=-⅓×10⁻⁹ C. Κάποια στιγμή ένα ηλεκτρόνιο ξεφεύγει από την επιφάνειά της με μηδαμινή αρχική ταχύτητα. α) Να υπολογιστεί η ταχύτητά του όταν έχει φτάσει σε απόσταση r=30 cm από το κέντρο της σφαίρας. β) Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το ηλεκτρόνιο. Δίνονται: e=1,6×10⁻¹⁹ C, m_e=9×10⁻³¹ kg, K_c=9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο αγωγός είναι αρνητικά φορτισμένος, άρα το (αρνητικό) ηλεκτρόνιο απωθείται από την επιφάνειά του και επιταχύνεται καθώς απομακρύνεται. Εφαρμόζουμε διατήρηση ενέργειας (κινητική+δυναμική) ανάμεσα στην επιφάνεια (R) και τις ζητούμενες θέσεις, με δυναμική ενέργεια δύο αρνητικών φορτίων (θετική, φθίνουσα με την απόσταση).

Λύση:

1. Δυναμική ενέργεια αγωγού-ηλεκτρονίου: U(r)=K_cQ(-e)/r=K_c|Q|e/r (θετική, αφού Q και -e ομόσημα — και τα δύο αρνητικά).
2. Διατήρηση ενέργειας R→r: ½m_eυ²+U(r)=U(R) (K=0 στην αρχή).
3. ½m_eυ²=K_c|Q|e(1/R-1/r).
4. α) r=0,3 m: ½·9×10⁻³¹·υ²=9×10⁹·(1/3×10⁻⁹)·1,6×10⁻¹⁹·(1/0,1-1/0,3)=9×10⁹·0,333×10⁻⁹·1,6×10⁻¹⁹·(10-3,33)≈4,8×10⁻¹⁹·6,67≈3,2×10⁻¹⁸ J.
5. υ=√(2·3,2×10⁻¹⁸/9×10⁻³¹)≈√(7,1×10¹²)≈2,66×10⁶ m/s.
6. β) Μέγιστη ταχύτητα στο r→∞ (1/r→0): ½m_eυ_max²=K_c|Q|e/R=9×10⁹·0,333×10⁻⁹·1,6×10⁻¹⁹/0,1≈4,8×10⁻¹⁸ J ⇒ υ_max=√(2·4,8×10⁻¹⁸/9×10⁻³¹)≈3,26×10⁶ m/s.

Απάντηση: α) υ≈2,66×10⁶ m/s, β) υ_max≈3,26×10⁶ m/s.

Πρόσεξε:

• Επειδή αγωγός και ηλεκτρόνιο είναι ομόσημα (και τα δύο αρνητικά), η δύναμη είναι απωστική — το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται προς τα έξω, φτάνοντας μέγιστη ταχύτητα στο άπειρο.

Άσκηση 3.95 (σελ. 138)

Σώμα που έχει φορτίο Q=2×10⁻⁷ C είναι στερεωμένο στην κορυφή πλάγιου επιπέδου. Το σωματίδιο Σ έχει μάζα m=1 mg και φορτίο q=3×10⁻⁸ C. Το σωματίδιο Σ αφήνεται ελεύθερο σε ένα σημείο του πλάγιου επιπέδου που απέχει απόσταση d από το φορτισμένο σώμα. Υπολογίστε την ταχύτητά του τη στιγμή που θα φτάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου. Θεωρείστε ότι η κίνησή του γίνεται χωρίς τριβές. Εφαρμογή για l=3 m, d=1 m, φ=30°. Δίνονται: g=10 m/s² και K_c=9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Χρειάζεται το σχήμα του πλάγιου επιπέδου για να προσδιοριστεί η γεωμετρική σχέση ανάμεσα στο d (απόσταση από το φορτίο Q στην κορυφή) και τη θέση στη βάση (απόσταση l κατά μήκος του επιπέδου, ύψος h=l·ημφ). Εφαρμόζουμε διατήρηση μηχανικής ενέργειας με βαρυτική ΚΑΙ ηλεκτρική δυναμική ενέργεια.

Λύση:

1. Ύψος πλάγιου επιπέδου: h=l·ημφ=3·0,5=1,5 m.
2. Απόσταση σωματιδίου Σ από το Q στην κορυφή: d=1 m· στη βάση, η απόσταση από το Q είναι d+l=1+3=4 m (κατά μήκος του επιπέδου, με το Q στην κορυφή).
3. Διατήρηση ενέργειας (βαρυτική+ηλεκτρική, ομόσημα Q,q άρα απωστικά — ηλεκτρική PE φθίνουσα με απόσταση, άρα απελευθερώνει ενέργεια απομακρυνόμενο): mgh+K_cQq/d=½mυ²+K_cQq/(d+l).
4. ½mυ²=mgh+K_cQq(1/d-1/(d+l)).
5. mgh=10⁻⁶·10·1,5=1,5×10⁻⁵ J.
6. K_cQq=9×10⁹·2×10⁻⁷·3×10⁻⁸=9×10⁹·6×10⁻¹⁵=5,4×10⁻⁵.
7. K_cQq(1/d-1/(d+l))=5,4×10⁻⁵·(1-0,25)=5,4×10⁻⁵·0,75=4,05×10⁻⁵ J.
8. ½mυ²=1,5×10⁻⁵+4,05×10⁻⁵=5,55×10⁻⁵ ⇒ υ²=2·5,55×10⁻⁵/10⁻⁶=111 ⇒ υ≈10,5 m/s.

Ενδεικτική απάντηση: υ≈9,6-10,5 m/s (ανάλογα με την ακριβή γεωμετρική διάταξη του σχήματος — απαιτεί επιβεβαίωση από το σχήμα του βιβλίου).

Πρόσεξε:

• Χρειάζεται το σχήμα για να επιβεβαιωθεί αν το d μετριέται κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου ή κατακόρυφα, κάτι που επηρεάζει τον υπολογισμό — σημειώνεται ρητά ως αμφίβολο χωρίς οπτική επιβεβαίωση.
• Η μέθοδος (διατήρηση ενέργειας με ΔΥΟ δυναμικές ενέργειες, βαρυτική+ηλεκτρική) είναι το ουσιαστικό μάθημα της άσκησης.

Άσκηση 3.96 (σελ. 138)

Σφαιρικός αγωγός με ακτίνα R=10 cm και φορτίο Q=2×10⁻⁷ C, έχει μια λεπτή οπή, κατά μήκος μιας διαμέτρου. Σε απόσταση d=30 cm από το κέντρο της και στην προέκταση της ευθείας που ορίζει η οπή, αφήνεται σημειακό φορτίο, με μάζα m=0,5×10⁻⁶ kg και φορτίο q₁=-4×10⁻⁹ C, το οποίο κινείται προς το σφαίρα. Το φορτίο μπαίνει στην οπή και διαπερνά τη σφαίρα. Να υπολογιστεί η χρονική διάρκεια της κίνησης του φορτίου μέσα στην οπή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Μέσα στον αγωγό (εσωτερικά, r<R) το πεδίο είναι μηδέν (§10.2) — άρα το φορτίο κινείται εκεί με ΣΤΑΘΕΡΗ ταχύτητα (ομαλή κίνηση). Πρέπει πρώτα να βρούμε την ταχύτητα με την οποία φτάνει στην επιφάνεια (r=R), εφαρμόζοντας διατήρηση ενέργειας από d έως R (όπου υπάρχει έλξη, αφού Q>0, q₁<0 — ετερώνυμα).

Λύση:

1. Δυναμική ενέργεια: U(r)=K_cQq₁/r=9×10⁹·2×10⁻⁷·(-4×10⁻⁹)/r=-7,2×10⁻⁶/r (αρνητική, ετερώνυμα φορτία).
2. Διατήρηση ενέργειας d→R: ½mυ_d²+U(d)=½mυ_R²+U(R), με υ_d=0 (αφήνεται ελεύθερο):
3. U(d)=-7,2×10⁻⁶/0,3=-2,4×10⁻⁵ J. U(R)=-7,2×10⁻⁶/0,1=-7,2×10⁻⁵ J.
4. ½mυ_R²=U(d)-U(R)=-2,4×10⁻⁵-(-7,2×10⁻⁵)=4,8×10⁻⁵ J.
5. υ_R²=2·4,8×10⁻⁵/0,5×10⁻⁶=192 ⇒ υ_R≈13,86 m/s.
6. Μέσα στον αγωγό (μηδενικό πεδίο) το φορτίο διατηρεί την ταχύτητα υ_R σταθερή, διανύοντας τη διάμετρο 2R=0,2 m: t=2R/υ_R=0,2/13,86≈0,0144 s=14,4 ms.

Απάντηση: t≈14,4 ms.

Πρόσεξε:

• Το κρίσιμο βήμα είναι να αναγνωριστεί ότι ΜΕΣΑ στον αγωγό η κίνηση είναι ΟΜΑΛΗ (μηδενικό πεδίο), όχι επιταχυνόμενη — αλλιώς το πρόβλημα δεν λύνεται σωστά.

Άσκηση 3.97 (σελ. 138)

Δύο μικρές φορτισμένες σφαίρες που έχουν ίσα φορτία q και μάζες m και 2m αντίστοιχα, είναι ενωμένες με λεπτό νήμα και ισορροπούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση l μεταξύ τους. Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι σφαίρες αρχίζουν να κινούνται λόγω των απωστικών δυνάμεων που αναπτύσσονται μεταξύ τους. Να υπολογιστεί η ταχύτητα που θα έχει κάθε σφαίρα τη στιγμή που η απόσταση ανάμεσά τους θα έχει γίνει 2l. Δίνεται η σταθερά K_c.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμόζουμε διατήρηση ορμής (σύστημα απομονωμένο, αρχικά ακίνητο) και διατήρηση μηχανικής ενέργειας (δυναμική Coulomb, ομόσημα φορτία, απωστικά).

Λύση:

1. Διατήρηση ορμής: 0=mυ₁-2mυ₂ (αντίθετες κατευθύνσεις) ⇒ υ₁=2υ₂.
2. Διατήρηση ενέργειας: K_cq²/l=½mυ₁²+½(2m)υ₂²+K_cq²/(2l).
3. K_cq²/l-K_cq²/(2l)=K_cq²/(2l)=½mυ₁²+mυ₂².
4. Αντικαθιστούμε υ₁=2υ₂: K_cq²/(2l)=½m(2υ₂)²+mυ₂²=2mυ₂²+mυ₂²=3mυ₂².
5. υ₂²=K_cq²/(6lm) ⇒ υ₂=q√(K_c/(6lm)).
6. υ₁=2υ₂=2q√(K_c/(6lm)).

Απάντηση: Η σφαίρα μάζας m έχει ταχύτητα υ₁=2q√(K_c/(6lm)), η σφαίρα μάζας 2m έχει ταχύτητα υ₂=q√(K_c/(6lm)).

Πρόσεξε:

• Η ελαφρύτερη σφαίρα (m) αποκτά τη ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ταχύτητα, σύμφωνα με τη διατήρηση ορμής — λογικό αποτέλεσμα, ανάλογο έκρηξης/απώθησης.

Άσκηση 3.98 (σελ. 139)

Ένα σημειακό φορτίο Q=7×10⁻⁶ C είναι τοποθετημένο σε ύψος h=3,6 m από το έδαφος. Από το σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος h/2 από το έδαφος αφήνεται μια μικρή σφαίρα μάζας m=10⁻³ kg, που φτάνει στο έδαφος (στο σημείο Γ) με ταχύτητα υ=8 m/s. α) Είναι φορτισμένη η μικρή σφαίρα ή όχι; β) Αν υποθέσουμε ότι είναι φορτισμένη να υπολογιστεί το φορτίο της q. Δίνονται: K_c=9×10⁹ N·m²/C², g=10 m/s².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα ελέγχουμε αν η ελεύθερη πτώση (μόνο βαρύτητα) εξηγεί την τελική ταχύτητα. Αν όχι, υπάρχει και ηλεκτρική δύναμη — υπολογίζουμε το φορτίο από τη διατήρηση ενέργειας.

Λύση:

1. Ελεύθερη πτώση από h/2=1,8 m χωρίς ηλεκτρικές δυνάμεις: υ_βαρ=√(2g·h/2)=√(2·10·1,8)=√36=6 m/s.
2. Η πραγματική ταχύτητα (8 m/s) είναι ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ — άρα υπάρχει επιπλέον απωστική δύναμη: η σφαίρα ΕΙΝΑΙ φορτισμένη, με φορτίο ομόσημο του Q (απώθηση, άρα επιπλέον επιτάχυνση προς τα κάτω — μακριά από το Q).
3. Διατήρηση ενέργειας Α(h/2)→Γ(0): mg(h/2)+K_cQq/(h/2)=½mυ²+K_cQq/h.
4. mg(h/2)=10⁻³·10·1,8=1,8×10⁻² J. ½mυ²=½·10⁻³·64=3,2×10⁻² J.
5. K_cQq[1/(h/2)-1/h]=K_cQq/h=½mυ²-mg(h/2)=3,2×10⁻²-1,8×10⁻²=1,4×10⁻² J.
6. K_cQq=1,4×10⁻²·h=1,4×10⁻²·3,6=5,04×10⁻².
7. q=5,04×10⁻²/(K_cQ)=5,04×10⁻²/(9×10⁹·7×10⁻⁶)=5,04×10⁻²/(6,3×10⁴)≈8×10⁻⁷ C.

Απάντηση: α) Ναι, η σφαίρα είναι φορτισμένη (η ταχύτητα πρόσκρουσης είναι μεγαλύτερη από αυτή ελεύθερης πτώσης). β) q≈0,8×10⁻⁶ C, ομόσημο με το Q.

Πρόσεξε:

• Το κρίσιμο διαγνωστικό βήμα είναι η σύγκριση με την «καθαρή» ελεύθερη πτώση — χωρίς αυτό δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε αν η επιπλέον ταχύτητα οφείλεται σε ηλεκτρική δύναμη.

Άσκηση 3.99 (σελ. 139)

Η βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι οριζόντια και στις άκρες της βρίσκονται τα φορτία Q₁=Q₂=5×10⁻⁶ C. Από την κορυφή του τριγώνου που το επίπεδό του είναι κατακόρυφο αφήνεται σωματίδιο με μάζα m=5 mg και φορτίο q=-2×10⁻¹⁰ C. Να υπολογιστεί η ταχύτητά του τη στιγμή που περνώντας από το μέσο της βάσης ΒΓ. Δίνονται: Μήκος βάσης l=60 cm, ύψος τριγώνου h=40 cm, g=10 m/s², K_c=9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σωματίδιο πέφτει από την κορυφή Α προς το μέσο Μ της βάσης ΒΓ — κατακόρυφη πτώση ύψους h. Χρειάζεται η απόσταση της κορυφής από κάθε φορτίο (πλευρές του ισοσκελούς) και η απόσταση του Μ από κάθε φορτίο (μισό της βάσης).

Λύση:

1. Πλευρά ΑΒ=ΑΓ=√(h²+(l/2)²)=√(0,4²+0,3²)=√(0,16+0,09)=√0,25=0,5 m.
2. Απόσταση Μ από κάθε φορτίο: l/2=0,3 m.
3. Δυναμική ενέργεια στο Α: U_A=2·K_cQq/0,5 (δύο ίσα φορτία, ίδια απόσταση) — ετερώνυμα Q,q άρα αρνητική.
4. U_A=2·9×10⁹·5×10⁻⁶·(-2×10⁻¹⁰)/0,5=2·9×10⁹·(-10⁻¹⁵)/0,5=2·(-1,8×10⁻⁵)=-3,6×10⁻⁵ J.
5. U_M=2·K_cQq/0,3=2·9×10⁹·5×10⁻⁶·(-2×10⁻¹⁰)/0,3=2·(-3×10⁻⁵)=-6×10⁻⁵ J.
6. Διατήρηση ενέργειας: mgh+U_A=½mυ²+U_M.
7. mgh=5×10⁻⁶·10·0,4=2×10⁻⁵ J.
8. ½mυ²=mgh+U_A-U_M=2×10⁻⁵+(-3,6×10⁻⁵)-(-6×10⁻⁵)=2×10⁻⁵-3,6×10⁻⁵+6×10⁻⁵=4,4×10⁻⁵ J.
9. υ²=2·4,4×10⁻⁵/5×10⁻⁶=17,6 ⇒ υ≈4,2 m/s.

Απάντηση: υ≈4,2 m/s.

Πρόσεξε:

• Το σωματίδιο q είναι αρνητικό, τα Q₁,Q₂ θετικά — ελκτικές δυνάμεις, δυναμική ενέργεια αρνητική· καθώς πλησιάζει το Μ (μικρότερη απόσταση), η U γίνεται ΠΙΟ αρνητική, απελευθερώνοντας επιπλέον κινητική ενέργεια πέρα από τη βαρυτική.

Άσκηση 3.100 (σελ. 139)

Στη βάση του πλάγιου επιπέδου του σχήματος βρίσκεται στερεωμένο φορτίο Q=4×10⁻⁶ C. Σε απόσταση r=40 cm από το Q αφήνεται φορτισμένο σώμα με μάζα m=4×10⁻⁴ kg και φορτίο q=2×10⁻⁸ C (σχ. 3.59). Αν η κίνηση του σωματιδίου γίνεται χωρίς τριβές, να υπολογιστεί: α) Η μέγιστη απόσταση από το Q στην οποία θα φτάσει το σωματίδιο. β) Η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει όταν απομακρύνεται. Δίνονται: g=10 m/s², φ=30°, K_c=9×10⁹ N·m²/C².

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το σωματίδιο q και το Q είναι ομόσημα (απωστικά) — το σωματίδιο αρχικά επιταχύνεται προς τα πάνω στο πλάγιο επίπεδο (απομακρυνόμενο από το Q), μέχρι η βαρυτική συνιστώσα να υπερισχύσει και να το σταματήσει στιγμιαία (μέγιστη απόσταση), μετά επιστρέφει. Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται όταν η ολική δύναμη (ηλεκτρική-βαρυτική συνιστώσα) μηδενίζεται.

Λύση:

1. Στη θέση ισορροπίας δυνάμεων (μέγιστη ταχύτητα): K_cQq/x²=mgημφ (η ηλεκτρική απωστική δύναμη ισούται με τη συνιστώσα βάρους κατά το επίπεδο).
2. x²=K_cQq/(mgημφ)=9×10⁹·4×10⁻⁶·2×10⁻⁸/(4×10⁻⁴·10·0,5)=7,2×10⁻⁴/(2×10⁻³)=0,36 ⇒ x=0,6 m.
3. Μέγιστη απόσταση (μηδενική ταχύτητα, από διατήρηση ενέργειας r→x_max): mgημφ(x_max-r)=K_cQq(1/r-1/x_max).
4. Δοκιμάζοντας x_max=0,9 m: mgημφ·(0,9-0,4)=2×10⁻³·0,5=10⁻³ J· K_cQq(1/0,4-1/0,9)=7,2×10⁻⁴·(2,5-1,111)=7,2×10⁻⁴·1,389≈10⁻³ J — επαληθεύεται.
5. Μέγιστη ταχύτητα στο x=0,6 m: διατήρηση ενέργειας r=0,4→x=0,6: mgημφ(0,6-0,4)+½mυ_max²=K_cQq(1/0,4-1/0,6).
6. 2×10⁻³·0,2+½·4×10⁻⁴·υ²=7,2×10⁻⁴·(2,5-1,667)=7,2×10⁻⁴·0,833≈6×10⁻⁴.
7. 4×10⁻⁴+2×10⁻⁴υ²=6×10⁻⁴ ⇒ υ²=1 ⇒ υ=1 m/s.

Απάντηση: α) x_max=0,9 m, β) υ_max=1 m/s.

Πρόσεξε:

• Η μέγιστη ΤΑΧΥΤΗΤΑ δεν εμφανίζεται στη μέγιστη απόσταση (εκεί η ταχύτητα είναι μηδέν) — εμφανίζεται όπου η καθαρή δύναμη μηδενίζεται, δηλαδή όπου η επιτάχυνση αλλάζει πρόσημο.