Κεφάλαιο 9.3 – Πρώτος θερμοδυναμικός νόμος και εφαρμογή του σε ειδικές περιπτώσεις (σελ. 67-78) – Λύσεις

Κεφάλαιο 9.3 — Πρώτος θερμοδυναμικός νόμος και εφαρμογή του σε ειδικές περιπτώσεις (σελ. 67-78) — Λύσεις - Απαντήσεις

Άσκηση 2.9 (σελ. 67)

Σύμφωνα με τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο, το ποσό θερμότητας που απορροφά ή αποβάλλει ένα θερμοδυναμικό σύστημα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα 1) της μεταβολής .............. του συστήματος και 2) .............. που παράγει ή δαπανά το σύστημα. (Συμπληρώστε τις λέξεις που λείπουν).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρόκειται για την ακριβή διατύπωση του πρώτου θερμοδυναμικού νόμου \(Q=\Delta U+W\).

Λύση:

1. Το πρώτο κενό αναφέρεται στη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας \(\Delta U\).
2. Το δεύτερο κενό αναφέρεται στο έργο \(W\).

Απάντηση: 1) της εσωτερικής ενέργειας, 2) του έργου.

Άσκηση 2.10 (σελ. 67)

Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος: α) Αποτελεί μια έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. β) Αναφέρεται σε μονωμένα θερμοδυναμικά συστήματα. γ) Ισχύει μόνο στα αέρια. δ) Ισχύει μόνο στις αντιστρεπτές μεταβολές. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ο πρώτος νόμος \(Q=\Delta U+W\) είναι γενική διατύπωση της αρχής διατήρησης της ενέργειας για κάθε θερμοδυναμικό σύστημα, ανεξαρτήτως αν είναι μονωμένο, αέριο ή αν η μεταβολή είναι αντιστρεπτή.

Λύση:

1. β), γ), δ) είναι λανθασμένες: ο νόμος ισχύει για κάθε θερμοδυναμικό σύστημα (όχι μόνο μονωμένα ή αέρια) και σε κάθε μεταβολή (αντιστρεπτή ή μη).
2. α) είναι η σωστή περιγραφή: ο πρώτος νόμος είναι απλώς η αρχή διατήρησης της ενέργειας εφαρμοσμένη στη Θερμοδυναμική.

Απάντηση: Σωστή είναι η πρόταση (α).

Άσκηση 2.11 (σελ. 67)

Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης σε στοιχεία της δεξιάς. 1) Ισοβαρής αντιστρεπτή μεταβολή, 2) Ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή, 3) Ισόθερμη αντιστρεπτή μεταβολή, 4) Κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή, 5) Αδιαβατική αντιστρεπτή μεταβολή. α) \(W=nRT\ln(V_t/V_\alpha)\), β) \(W=\frac{p_\alpha+p_t}{2}\Delta V\), γ) \(W=p\Delta V\), δ) \(W=0\), ε) \(W=\frac{p_tV_t-p_\alpha V_\alpha}{1-\gamma}\), στ) Εμβαδόν που περικλείεται από την κλειστή γραμμή στο διάγραμμα \(p=f(V)\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Κάθε τύπος έργου προκύπτει άμεσα από τον ορισμό \(\Delta W=p\Delta V\) εφαρμοσμένο στη συγκεκριμένη μεταβολή (§9.3β). Η επιλογή (β) είναι ο γενικός τύπος μέσης πίεσης για ευθύγραμμο τμήμα σε διάγραμμα p-V και δεν αντιστοιχεί σε καμία από τις 5 ονομαστικές μεταβολές — είναι περισπασμός.

Λύση:

1. 1. Ισοβαρής → γ) \(W=p\Delta V\).
2. 2. Ισόχωρη → δ) \(W=0\) (αφού \(\Delta V=0\)).
3. 3. Ισόθερμη → α) \(W=nRT\ln(V_t/V_\alpha)\).
4. 4. Κυκλική → στ) εμβαδόν κλειστής καμπύλης.
5. 5. Αδιαβατική → ε) \(W=\dfrac{p_tV_t-p_\alpha V_\alpha}{1-\gamma}\).

Απάντηση: 1-γ, 2-δ, 3-α, 4-στ, 5-ε. (Η επιλογή β δε χρησιμοποιείται.)

Πρόσεξε:

• Η επιλογή (β) είναι σκόπιμος περισπασμός — δεν αντιστοιχεί σε καμία ονομαστική μεταβολή του προγράμματος.

Άσκηση 2.12 (σελ. 68)

Να συμπληρώσετε τα κενά: Το έργο ενός αερίου είναι θετικό όταν το αέριο .............. Στην .............. αντιστρεπτή εκτόνωση το έργο του αερίου είναι ίσο με την ελάττωση της εσωτερικής του ενέργειας. Στην .............. αντιστρεπτή εκτόνωση το έργο του αερίου είναι ίσο με τη θερμότητα που απορροφά το αέριο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συνδυάζει τη σύμβαση προσήμου του έργου με τις δύο ακραίες περιπτώσεις μεταβολής: αδιαβατική (\(W=-\Delta U\)) και ισόθερμη (\(W=Q\)).

Λύση:

1. Θετικό έργο ↔ εκτόνωση.
2. Στην αδιαβατική εκτόνωση, \(Q=0\Rightarrow W=-\Delta U\), δηλαδή το έργο ισούται με την ελάττωση της εσωτερικής ενέργειας.
3. Στην ισόθερμη εκτόνωση, \(\Delta U=0\Rightarrow Q=W\), δηλαδή το έργο ισούται με την απορροφούμενη θερμότητα.

Απάντηση: ...το αέριο εκτονώνεται. Στην αδιαβατική αντιστρεπτή εκτόνωση... Στην ισόθερμη αντιστρεπτή εκτόνωση...

Άσκηση 2.13 (σελ. 68)

Στο διάγραμμα του σχήματος 2.36 παριστάνεται μια ισόθερμη και μια αδιαβατική μεταβολή ορισμένης ποσότητας αερίου. Ποια καμπύλη αντιστοιχεί σε κάθε μεταβολή; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στο σημείο τομής των δύο καμπυλών, η αδιαβατική έχει πάντα μεγαλύτερη (κατ' απόλυτη τιμή) κλίση από την ισόθερμη, αφού η κλίση της αδιαβατικής είναι \(-\gamma p/V\) ενώ της ισόθερμης \(-p/V\), και \(\gamma>1\).

Λύση:

1. Οι δύο καμπύλες περνούν από το ίδιο σημείο (τέμνονται), άρα εκεί έχουν την ίδια πίεση και όγκο.
2. Η κλίση της ισόθερμης καμπύλης στο σημείο αυτό είναι ανάλογη του \(-p/V\), ενώ της αδιαβατικής ανάλογη του \(-\gamma p/V\), με \(\gamma>1\).
3. Άρα η αδιαβατική καμπύλη είναι πάντα πιο απότομη (μεγαλύτερη κλίση) από την ισόθερμη στο κοινό τους σημείο.

Απάντηση: Η πιο απότομη από τις δύο καμπύλες (αυτή με τη μεγαλύτερη κλίση στο σημείο τομής) είναι η αδιαβατική· η λιγότερο απότομη είναι η ισόθερμη.

Πρόσεξε:

• Χωρίς αριθμητικές τιμές στο διάγραμμα, η απάντηση στηρίζεται αποκλειστικά στη σύγκριση κλίσεων στο κοινό σημείο τομής.

Άσκηση 2.14 (σελ. 68)

Ένα αέριο, που αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση Α, μεταβαίνει στην κατάσταση Β με σταθερή πίεση και στη συνέχεια στην κατάσταση Γ, με σταθερό όγκο, όπως το σχήμα 2.37. 1. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διεργασία ΑΒ είναι: α) Θετική· β) Αρνητική· γ) Μηδέν; 2. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη διεργασία ΒΓ είναι: α) Θετική· β) Αρνητική· γ) Μηδέν; 3. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος κατά τη μετάβασή του από την κατάσταση Α στην Γ είναι: α) Θετική· β) Αρνητική· γ) Μηδέν; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Από το διάγραμμα: Α και Β έχουν ίδια πίεση με \(V_B>V_A\) (ισοβαρής εκτόνωση) → \(T_B>T_A\). Η ΒΓ είναι ισόχωρη με πτώση πίεσης → \(T_\Gamma<T_B\). Το σχήμα δείχνει το Α πάνω στην ισόθερμη \(T_1\) (την κατώτερη) και το Γ πάνω στην ίδια κατώτερη ισόθερμη \(T_1\), άρα \(T_\Gamma=T_A\).

Λύση:

1. 1. ΑΒ ισοβαρής εκτόνωση (\(V_B>V_A\) σε σταθερή πίεση) ⇒ \(T_B>T_A\) ⇒ \(\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}nR(T_B-T_A)>0\): θετική.
2. 2. ΒΓ ισόχωρη ψύξη (η πίεση μειώνεται στο ίδιο \(V\)) ⇒ \(T_\Gamma<T_B\) ⇒ \(\Delta U_{B\Gamma}<0\): αρνητική.
3. 3. Στο διάγραμμα τα σημεία Α και Γ βρίσκονται πάνω στην ίδια (κατώτερη) ισόθερμη καμπύλη \(T_1\), άρα \(T_\Gamma=T_A\) ⇒ \(\Delta U_{A\Gamma}=0\): μηδέν.

Απάντηση: 1) Θετική (α). 2) Αρνητική (β). 3) Μηδέν (γ), αφού τα σημεία Α και Γ βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερμη καμπύλη στο διάγραμμα, άρα \(T_A=T_\Gamma\).

Πρόσεξε:

• Η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή θερμοκρασίας, όχι από τον τρόπο (ισοβαρή ή ισόχωρη) που έγινε η μεταβολή.

Άσκηση 2.15 (σελ. 68)

Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. α) Στην ισόθερμη εκτόνωση αερίου ένα μέρος της θερμότητας που απορροφά το αέριο μετατρέπεται σε έργο. β) Στην ισοβαρή εκτόνωση, το έργο του αερίου είναι ίσο με το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο. γ) Στην ισόχωρη θέρμανση, η θερμότητα που απορροφά το αέριο είναι ίση με τη μεταβολή στην εσωτερική του ενέργεια. δ) Στην αδιαβατική εκτόνωση το έργο του αερίου είναι ίσο με τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Εφαρμογή του πρώτου νόμου σε κάθε ειδική μεταβολή (§9.3β): ισόθερμη \(Q=W\) (όλη η θερμότητα, όχι μέρος)· ισοβαρής \(W<Q\)· ισόχωρη \(Q=\Delta U\)· αδιαβατική \(W=-\Delta U\) (όχι \(+\Delta U\)).

Λύση:

1. α) Λάθος: στην ισόθερμη εκτόνωση ΟΛΗ η θερμότητα μετατρέπεται σε έργο (\(Q=W\)), όχι μέρος της.
2. β) Λάθος: στην ισοβαρή εκτόνωση \(Q=\Delta U+W\), άρα το έργο είναι μικρότερο της θερμότητας.
3. γ) Σωστό: στην ισόχωρη μεταβολή \(W=0\), άρα \(Q=\Delta U\).
4. δ) Λάθος: στην αδιαβατική μεταβολή \(W=-\Delta U\) (αντίθετο πρόσημο, όχι ίσο).

Απάντηση: Σωστή είναι η πρόταση (γ).

Πρόσεξε:

• Προσοχή στο πρόσημο της αδιαβατικής: \(W=-\Delta U\), όχι \(W=\Delta U\).

Άσκηση 2.16 (σελ. 68)

Ένα αέριο, που αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση \(p_A, V_A\), εκτονώνεται μέχρι ο όγκος του να γίνει \(V_B\). Να παρασταθούν σε κοινούς άξονες p-V μια ισόθερμη και μια αδιαβατική καμπύλη που οδηγούν από την αρχική κατάσταση στις τελικές καταστάσεις όγκου \(V_B\). Σε ποια από τις δύο μεταβολές το έργο που παράγει το αέριο είναι μεγαλύτερο;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Επειδή η αδιαβατική καμπύλη είναι πιο απότομη (πέφτει ταχύτερα) από την ισόθερμη ξεκινώντας από το ίδιο σημείο Α, βρίσκεται συνεχώς κάτω από αυτήν για \(V>V_A\), άρα περικλείει μικρότερο εμβαδόν.

Λύση:

1. Και οι δύο καμπύλες ξεκινούν από το ίδιο σημείο Α \((p_A,V_A)\).
2. Η αδιαβατική έχει μεγαλύτερη (κατ' απόλυτη τιμή) κλίση από την ισόθερμη σε κάθε κοινό σημείο, άρα βρίσκεται πάντα χαμηλότερα από αυτήν για \(V>V_A\).
3. Το έργο ισούται με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη· αφού η ισόθερμη καμπύλη βρίσκεται ψηλότερα σε όλο το διάστημα \([V_A,V_B]\), περικλείει μεγαλύτερο εμβαδόν.

Απάντηση: Το έργο είναι μεγαλύτερο στην ισόθερμη εκτόνωση, γιατί η ισόθερμη καμπύλη βρίσκεται πάνω από την αδιαβατική σε όλο το διάστημα εκτόνωσης.

Άσκηση 2.17 (σελ. 68)

Ένα αέριο μπορεί να μεταβεί από μια αρχική κατάσταση Α σε μια τελική κατάσταση Β, με δύο τρόπους. α) Με μια ισόθερμη μεταβολή και β) Με μια ισοβαρή εκτόνωση και μια ισόχωρη μεταβολή. Οι δύο τρόποι παριστάνονται στο σχήμα 2.38 με τους αριθμούς 1 και 2. Το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο είναι: α) Μεγαλύτερο κατά τη διαδρομή 1; β) Ίδιο και στις δύο περιπτώσεις; γ) Μεγαλύτερο κατά τη διαδρομή 2; Ποια από τις προτάσεις είναι ορθή; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας \(\Delta U_{AB}\) είναι ίδια και στις δύο διαδρομές (εξαρτάται μόνο από Α,Β). Συγκρίνουμε το έργο: στη διαδρομή 2, η ισοβαρής προσφέρει \(W_2=p_A(V_B-V_A)\), ενώ στη διαδρομή 1 (ισόθερμη) \(W_1=p_AV_A\ln(V_B/V_A)\). Για \(x=V_B/V_A>1\) ισχύει πάντα \(x-1>\ln x\), άρα \(W_2>W_1\).

Λύση:

1. Η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας \(\Delta U_{AB}\) είναι ίδια και στις δύο διαδρομές, αφού εξαρτάται μόνο από τις καταστάσεις Α και Β.
2. Στη διαδρομή 2 (ισοβαρής+ισόχωρη), όλο το έργο παράγεται στο ισοβαρές τμήμα: \(W_2=p_A(V_B-V_A)\) (το ισόχωρο τμήμα έχει \(W=0\)).
3. Στη διαδρομή 1 (ισόθερμη): \(W_1=p_AV_A\ln(V_B/V_A)\).
4. Θέτοντας \(x=V_B/V_A>1\), ισχύει η γνωστή ανισότητα \(x-1>\ln x\) για κάθε \(x\ne1\), άρα \(W_2>W_1\).
5. Αφού \(\Delta U\) είναι ίδιο και \(W_2>W_1\), από \(Q=\Delta U+W\) προκύπτει \(Q_2>Q_1\).

Απάντηση: Ορθή είναι η πρόταση (γ): το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο είναι μεγαλύτερο κατά τη διαδρομή 2 (ισοβαρής+ισόχωρη).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε τη γνωστή ανισότητα \(x-1>\ln x\) (για \(x\ne1\)) αντί να προσπαθήσετε να συγκρίνετε τα εμβαδά «με το μάτι».

Άσκηση 2.18 (σελ. 69)

Ένα αέριο αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση Α. Το αέριο μπορεί να μεταβεί στην κατάσταση Β με μία από τις μεταβολές που παριστάνονται στο διάγραμμα (σχ. 2.39). Να συγκρίνετε για τις τρεις διαδρομές α) το έργο που παράγει το αέριο, β) τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου, γ) το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το έργο ισούται με το εμβαδόν κάτω από κάθε καμπύλη· η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τα άκρα Α,Β (ίδια και για τις 3 διαδρομές)· η θερμότητα προκύπτει από \(Q=\Delta U+W\), άρα η κατάταξή της ακολουθεί την κατάταξη του έργου.

Λύση:

1. α) Το έργο κάθε διαδρομής ισούται με το εμβαδόν ανάμεσα στην αντίστοιχη καμπύλη και τον άξονα \(V\). Όσο ψηλότερα βρίσκεται μια καμπύλη, τόσο μεγαλύτερο εμβαδόν (άρα έργο) αντιστοιχεί σε αυτήν.
2. β) Η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας \(\Delta U_{AB}\) εξαρτάται αποκλειστικά από τις καταστάσεις Α και Β — είναι επομένως η ΙΔΙΑ και για τις τρεις διαδρομές.
3. γ) Από \(Q=\Delta U+W\), αφού το \(\Delta U\) είναι κοινό, η κατάταξη της θερμότητας \(Q\) ακολουθεί ακριβώς την κατάταξη του έργου \(W\): η διαδρομή με το μεγαλύτερο έργο απορροφά και το μεγαλύτερο ποσό θερμότητας.

Απάντηση: Το έργο διαφέρει ανάλογα με το εμβαδόν κάτω από κάθε καμπύλη (η ψηλότερη καμπύλη δίνει το μεγαλύτερο έργο). Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι ίδια και για τις τρεις διαδρομές, αφού εξαρτάται μόνο από τα άκρα Α, Β. Η απορροφούμενη θερμότητα ακολουθεί την ίδια κατάταξη με το έργο.

Πρόσεξε:

• Το \(\Delta U\) είναι το ΜΟΝΟ από τα τρία μεγέθη που παραμένει ίδιο ανεξάρτητα από τη διαδρομή — το έργο και η θερμότητα εξαρτώνται από τη διαδρομή.

Άσκηση 2.19 (σελ. 69)

Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; α) Στην ισόχωρη μεταβολή το έργο είναι μηδέν. β) Στην αδιαβατική εκτόνωση η τελική θερμοκρασία είναι μικρότερη της αρχικής. γ) Στην αδιαβατική εκτόνωση το έργο που παράγει το αέριο είναι ίσο με τη μείωση της εσωτερικής του ενέργειας. δ) Στην ισόθερμη μεταβολή η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον είναι μηδέν. ε) Στην κυκλική μεταβολή το έργο του αερίου είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραμμή στο διάγραμμα p-V.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Συγκεντρωτικός έλεγχος όλων των ειδικών μεταβολών του §9.3.

Λύση:

1. α) Σωστό: \(\Delta V=0\Rightarrow W=0\).
2. β) Σωστό: σε αδιαβατική εκτόνωση \(W>0\Rightarrow\Delta U=-W<0\), άρα η θερμοκρασία πέφτει.
3. γ) Σωστό: \(W=-\Delta U\), δηλαδή το έργο ισούται με την (θετική) μείωση της εσωτερικής ενέργειας.
4. δ) Λάθος: στην ισόθερμη μεταβολή \(\Delta U=0\) αλλά \(Q=W\ne0\) (εκτός αν \(\Delta V=0\)).
5. ε) Σωστό: ακριβώς ο ορισμός του έργου σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή.

Απάντηση: Σωστές είναι οι προτάσεις (α), (β), (γ) και (ε). Λανθασμένη είναι η (δ).

Άσκηση 2.40 (σελ. 73)

Αέριο με όγκο \(0{,}004\ \text{m}^3\) θερμαίνεται με σταθερή πίεση \(p=1{,}2\ \text{atm}\) μέχρι ο όγκος του να γίνει \(0{,}006\ \text{m}^3\). Υπολογίστε το έργο που παράγει το αέριο. Δίνεται \(1\ \text{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισοβαρής μεταβολή: \(W=p\Delta V\), με \(p\) σε SI.

Λύση:

1. \(p=1{,}2\times1{,}013\times10^5=1{,}2156\times10^5\ \text{N/m}^2\).
2. \(\Delta V=0{,}006-0{,}004=0{,}002\ \text{m}^3\).
3. \(W=p\Delta V=1{,}2156\times10^5\times0{,}002\approx243{,}1\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W\approx243{,}1\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Μετατρέψτε πάντα την πίεση σε \(\text{N/m}^2\) πριν τον υπολογισμό.

Άσκηση 2.41 (σελ. 73)

Δύο mol αερίου θερμαίνονται από τους \(27\ ^\circ\text{C}\) στους \(127\ ^\circ\text{C}\). Η θέρμανση του αερίου γίνεται με σταθερή πίεση. Υπολογίστε το έργο που παράγει το αέριο. Δίνεται \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε ισοβαρή μεταβολή, \(W=nR\Delta T\) (χωρίς να χρειάζεται να υπολογιστούν όγκοι).

Λύση:

1. \(\Delta T=127-27=100\ \text{K}\).
2. \(W=nR\Delta T=2\times8{,}314\times100=1662{,}8\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W\approx1663\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Το \(\Delta T\) σε βαθμούς Κελσίου είναι ίσο με το \(\Delta T\) σε Kelvin — δεν χρειάζεται μετατροπή των θερμοκρασιών σε Kelvin εδώ, μόνο της διαφοράς.

Άσκηση 2.42 (σελ. 73)

Δύο mol αερίου βρίσκονται σε θερμοκρασία \(27\ ^\circ\text{C}\). Διατηρώντας σταθερή τη θερμοκρασία συμπιέζουμε το αέριο ώστε η πίεσή του να διπλασιαστεί. Να υπολογιστεί το έργο του αερίου. Δίνονται \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\), \(\ln2=0{,}6931\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισόθερμη μεταβολή: διπλασιασμός πίεσης σημαίνει υποδιπλασιασμό όγκου (νόμος Boyle), οπότε \(V_2/V_1=1/2\).

Λύση:

1. \(T=27+273=300\ \text{K}\).
2. \(p_2=2p_1\Rightarrow V_2=V_1/2\Rightarrow V_2/V_1=1/2\).
3. \(W=nRT\ln(V_2/V_1)=2\times8{,}314\times300\times\ln(0{,}5)=-2\times8{,}314\times300\times0{,}6931\approx-3457{,}5\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W\approx-3458\ \text{J}\) (αρνητικό, αφού το αέριο συμπιέζεται).

Πρόσεξε:

• \(\ln(1/2)=-\ln2\) — προσέξτε το αρνητικό πρόσημο.

Άσκηση 2.43 (σελ. 73)

Το διάγραμμα (σχ. 2.41) παριστάνει τη μεταβολή ενός αερίου από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β, με ευθύγραμμο τμήμα από \((V_A=0{,}02\ \text{m}^3,\ p_A=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2)\) σε \((V_B=0{,}04\ \text{m}^3,\ p_B=3{,}587\times10^5\ \text{N/m}^2)\). Υπολογίστε το έργο του αερίου κατά τη μεταβολή αυτή.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Για ευθύγραμμο τμήμα σε διάγραμμα p-V, το έργο (εμβαδόν τραπεζίου) υπολογίζεται από τη μέση πίεση επί τη μεταβολή όγκου.

Λύση:

1. \(W=\dfrac{p_A+p_B}{2}(V_B-V_A)\).
2. \(\dfrac{p_A+p_B}{2}=\dfrac{1{,}013\times10^5+3{,}587\times10^5}{2}=2{,}3\times10^5\ \text{N/m}^2\).
3. \(W=2{,}3\times10^5\times(0{,}04-0{,}02)=2{,}3\times10^5\times0{,}02=4600\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W=4600\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Ο τύπος με τη μέση πίεση ισχύει μόνο επειδή το τμήμα Α-Β είναι ευθεία γραμμή στο διάγραμμα p-V· γενικά (καμπύλη γραμμή) απαιτεί ολοκλήρωση.

Άσκηση 2.44 (σελ. 73)

Ποσότητα αερίου καταλαμβάνει όγκο 10 L και έχει πίεση 1 atm. Το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του. Υπολογίστε το ποσό θερμότητας που απορρόφησε το αέριο. Δίνονται \(1\ \text{L}=10^{-3}\ \text{m}^3\), \(1\ \text{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\), \(\ln2=0{,}6931\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Στην ισόθερμη μεταβολή \(Q=W=p_1V_1\ln(V_2/V_1)\), αφού \(p_1V_1=nRT\).

Λύση:

1. \(V_1=10\ \text{L}=0{,}01\ \text{m}^3\), \(p_1=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\), \(V_2=2V_1\).
2. \(Q=W=p_1V_1\ln(V_2/V_1)=1{,}013\times10^5\times0{,}01\times\ln2\).
3. \(Q=1013\times0{,}6931\approx702{,}1\ \text{J}\).

Απάντηση: \(Q\approx702{,}1\ \text{J}\) (απορροφάται, αφού το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα).

Πρόσεξε:

• Δεν χρειάζεται να υπολογιστεί το \(n\) ξεχωριστά — χρησιμοποιήστε απευθείας \(p_1V_1\).

Άσκηση 2.45 (σελ. 73)

Αέριο βρίσκεται μέσα σε δοχείο που κλείνεται με έμβολο. Το αέριο καταλαμβάνει όγκο \(V_1=0{,}008\ \text{m}^3\), έχει θερμοκρασία \(T_1=300\ \text{K}\) και πίεση \(p_1=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\). Θερμαίνουμε το αέριο υπό σταθερή πίεση, μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει \(T_2=375\ \text{K}\). α) Υπολογίστε το έργο του αερίου. β) Αν κατά τη θέρμανσή του το αέριο απορρόφησε θερμότητα \(Q=709{,}1\ \text{J}\) υπολογίστε τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισοβαρής μεταβολή: χρησιμοποιούμε τον νόμο Gay-Lussac (\(V/T=\)σταθ.) για να βρούμε \(V_2\), μετά \(W=p\Delta V\), και τέλος τον πρώτο νόμο \(Q=\Delta U+W\).

Λύση:

1. \(V_2=V_1\dfrac{T_2}{T_1}=0{,}008\times\dfrac{375}{300}=0{,}01\ \text{m}^3\).
2. \(\Delta V=0{,}01-0{,}008=0{,}002\ \text{m}^3\).
3. \(W=p_1\Delta V=1{,}013\times10^5\times0{,}002\approx202{,}6\ \text{J}\).
4. \(\Delta U=Q-W=709{,}1-202{,}6=506{,}5\ \text{J}\).

Απάντηση: α) \(W\approx202{,}6\ \text{J}\). β) \(\Delta U\approx506{,}5\ \text{J}\).

Άσκηση 2.46 (σελ. 73)

0,2 mol αερίου συμπιέζονται ισόθερμα σε θερμοκρασία \(\theta=27\ ^\circ\text{C}\), ώστε ο όγκος του να ελαττωθεί στο μισό. Υπολογίστε το ποσό θερμότητας που αποβάλλει το αέριο. Δίνονται \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\), \(\ln2=0{,}6931\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Ισόθερμη συμπίεση: \(Q=W=nRT\ln(V_2/V_1)\) με \(V_2/V_1=1/2\), οπότε αρνητικό (θερμότητα αποβάλλεται).

Λύση:

1. \(T=27+273=300\ \text{K}\).
2. \(Q=nRT\ln(1/2)=-0{,}2\times8{,}314\times300\times0{,}6931\).
3. \(Q\approx-345{,}8\ \text{J}\).

Απάντηση: Το αέριο αποβάλλει \(|Q|\approx345{,}8\ \text{J}\).

Άσκηση 2.47 (σελ. 73)

Αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή του σχήματος 2.42: από \((V=0{,}02\ \text{m}^3,\ p=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2)\) λοξά προς \((V=0{,}04\ \text{m}^3,\ p=2{,}513\times10^5\ \text{N/m}^2)\), κάθετα προς τα κάτω στο \((0{,}04, 1{,}013\times10^5)\), οριζόντια πίσω στο αρχικό σημείο. Υπολογίστε το καθαρό ποσό θερμότητας που απορρόφησε.

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κυκλική μεταβολή, \(Q=W\) = εμβαδόν που περικλείει η κλειστή γραμμή στο διάγραμμα p-V. Το σχήμα είναι ορθογώνιο τρίγωνο.

Λύση:

1. Βάση τριγώνου: \(\Delta V=0{,}04-0{,}02=0{,}02\ \text{m}^3\).
2. Ύψος τριγώνου: \(\Delta p=2{,}513\times10^5-1{,}013\times10^5=1{,}5\times10^5\ \text{N/m}^2\).
3. \(Q=W=\text{εμβαδόν}=\dfrac{1}{2}\times0{,}02\times1{,}5\times10^5=1500\ \text{J}\).

Απάντηση: \(Q=1500\ \text{J}\) (απορροφάται καθαρά, αφού ο κύκλος διαγράφεται με φορά ρολογιού).

Πρόσεξε:

• Ελέγξτε τη φορά διαγραφής του κύκλου για το πρόσημο — εδώ είναι θετικό (δεξιόστροφα).

Άσκηση 2.57 (σελ. 75)

Ποσότητα αερίου βρίσκεται μέσα σε κύλινδρο και καταλαμβάνει όγκο \(V\). Το αέριο εκτονώνεται μέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του. Η εκτόνωση του αερίου μπορεί να γίνει με ισόθερμη ή με αδιαβατική ή με ισοβαρή μεταβολή. α) Να παραστήσετε γραφικά σε διάγραμμα p-V τις τρεις μεταβολές που μπορούν να οδηγήσουν το αέριο από την αρχική του κατάσταση στην τελική. β) Σε ποια από τις τρεις μεταβολές: i) Το αέριο παράγει περισσότερο έργο; ii) Το αέριο απορροφά το μικρότερο ποσό θερμότητας;

Σκέψη / Μεθοδολογία: Οι τρεις καμπύλες ξεκινούν από το ίδιο σημείο Α. Η ισοβαρής (οριζόντια, \(p=\)σταθ.) βρίσκεται πάντα πιο ψηλά από την ισόθερμη, η οποία με τη σειρά της βρίσκεται πιο ψηλά από την αδιαβατική (πιο απότομη πτώση, αφού \(\gamma>1\)).

Λύση:

1. Σε διάγραμμα p-V, από το κοινό σημείο Α: η ισοβαρής είναι οριζόντια ευθεία (η ψηλότερη καμπύλη για \(V>V_A\))· η ισόθερμη είναι υπερβολή \(p\propto1/V\)· η αδιαβατική είναι πιο απότομη υπερβολή \(p\propto1/V^\gamma\) (η χαμηλότερη).
2. i) Το έργο ισούται με το εμβαδόν κάτω από κάθε καμπύλη — η ισοβαρής (ψηλότερη καμπύλη σε όλο το διάστημα) δίνει το μεγαλύτερο έργο.
3. ii) Στην αδιαβατική μεταβολή \(Q=0\) εξ ορισμού — άρα απορροφά το μικρότερο (μηδενικό) ποσό θερμότητας.

Απάντηση: i) Το μεγαλύτερο έργο παράγεται στην ισοβαρή εκτόνωση. ii) Το μικρότερο (μηδενικό) ποσό θερμότητας απορροφάται στην αδιαβατική εκτόνωση.

Πρόσεξε:

• Οι τρεις καμπύλες έχουν κοινή αφετηρία Α αλλά διαφορετικά τελικά σημεία B (διαφορετικές τελικές πιέσεις/θερμοκρασίες), αφού ακολουθούν διαφορετικούς νόμους μεταβολής.

Άσκηση 2.59 (σελ. 75)

Κυλινδρικό δοχείο έχει τον άξονά του κατακόρυφο και κλείνεται, στο επάνω μέρος του, με έμβολο βάρους \(w\) και εμβαδού \(A\), έτσι ώστε το αέριο που περιέχει να έχει όγκο \(V\). Το αέριο θερμαίνεται έτσι ώστε η θερμοκρασία του, από \(\theta\), να γίνει \(\theta'\). Να υπολογιστεί το έργο που παράγεται από το αέριο. Η θέρμανση γίνεται σε χώρο που η ατμοσφαιρική πίεση είναι \(p_{\alpha\tau}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Το έμβολο ισορροπεί υπό βάρος + ατμοσφαιρική πίεση, άρα η πίεση του αερίου είναι σταθερή: \(p=p_{\alpha\tau}+w/A\) — ισοβαρής μεταβολή, με τον νόμο του Gay-Lussac για τον υπολογισμό του \(\Delta V\).

Λύση:

1. Ισορροπία εμβόλου: \(pA=p_{\alpha\tau}A+w\Rightarrow p=p_{\alpha\tau}+\dfrac{w}{A}\) — σταθερή, άρα ισοβαρής μεταβολή.
2. Νόμος Gay-Lussac: \(\dfrac{V}{273+\theta}=\dfrac{V'}{273+\theta'}\Rightarrow V'=V\dfrac{273+\theta'}{273+\theta}\).
3. \(\Delta V=V'-V=V\left(\dfrac{273+\theta'}{273+\theta}-1\right)=V\dfrac{\theta'-\theta}{273+\theta}\).
4. \(W=p\Delta V=\left(p_{\alpha\tau}+\dfrac{w}{A}\right)V\dfrac{\theta'-\theta}{273+\theta}\).

Απάντηση: \(W=V\left[p_{\alpha\tau}+\dfrac{w}{A}\right]\dfrac{\theta'-\theta}{273+\theta}\).

Πρόσεξε:

• Χρησιμοποιήστε πάντα απόλυτη θερμοκρασία (\(273+\theta\)) στον νόμο Gay-Lussac, όχι Κελσίου.

Άσκηση 2.60 (σελ. 76)

Κυλινδρικό δοχείο με αδιαβατικά τοιχώματα έχει τον άξονά του κατακόρυφο και κλείνεται με έμβολο πάνω στο οποίο βρίσκονται διάφορα σταθμά. Στο δοχείο περιέχονται \(V=1\ \text{m}^3\) υδρογόνου, σε θερμοκρασία \(\theta_1=27\ ^\circ\text{C}\) και πίεση \(p_1=125\times10^5\ \text{N/m}^2\). Αφαιρώντας σταθμά κάνουμε την πίεσή του ίση με \(p_2=10^5\ \text{N/m}^2\) (ατμοσφαιρική πίεση). Να υπολογιστούν: α) Ο όγκος και η θερμοκρασία του αερίου στην τελική κατάσταση. β) Το έργο που παράχθηκε κατά την εκτόνωσή του. Θεωρήστε κατά προσέγγιση \(\gamma=3/2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Αδιαβατική μεταβολή: χρησιμοποιούμε τον νόμο Poisson \(p_1V_1^\gamma=p_2V_2^\gamma\) για τον όγκο, την καταστατική εξίσωση για τη θερμοκρασία, και τη σχέση \(W=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{1-\gamma}\) για το έργο.

Λύση:

1. \(V_2=V_1\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{1/\gamma}=1\times125^{2/3}\). Επειδή \(125^{1/3}=5\), \(125^{2/3}=25\), άρα \(V_2=25\ \text{m}^3\).
2. Από \(\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}\): \(T_2=T_1\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=300\times\dfrac{10^5\times25}{125\times10^5\times1}=300\times0{,}2=60\ \text{K}\).
3. \(W=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{1-\gamma}=\dfrac{10^5\times25-125\times10^5\times1}{1-1{,}5}=\dfrac{25\times10^5-125\times10^5}{-0{,}5}=\dfrac{-100\times10^5}{-0{,}5}=2\times10^7\ \text{J}\).

Απάντηση: α) \(V_2=25\ \text{m}^3\), \(T_2=60\ \text{K}\). β) \(W=2\times10^7\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Το \(\gamma=3/2\) είναι δεδομένη (μη ρεαλιστική για διατομικό αέριο) προσέγγιση της άσκησης — χρησιμοποιήστε την ακριβώς όπως δίνεται.

Άσκηση 2.61 (σελ. 76)

Μια ποσότητα ιδανικού αερίου που αποτελείται από \(N=1{,}5\times10^{24}\) μόρια, βρίσκεται σε θερμοκρασία \(\theta_A=27\ ^\circ\text{C}\). Θερμαίνουμε το αέριο μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει \(\theta_B=127\ ^\circ\text{C}\): i) με σταθερό όγκο και ii) με σταθερή πίεση. Να υπολογιστούν σε κάθε περίπτωση: α) Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. β) Το έργο που παράγει το αέριο. γ) Η θερμότητα που προσφέρουμε στο αέριο. Δίνονται: \(R=8{,}314\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\), \(N_A=6{,}023\times10^{23}\) μόρια/mol και \(C_v=\frac{3}{2}R\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Πρώτα υπολογίζουμε \(n=N/N_A\) και \(\Delta T\). Το \(\Delta U=nC_v\Delta T\) είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις (εξαρτάται μόνο από \(T\)). Στην ισόχωρη \(W=0\)· στην ισοβαρή \(W=nR\Delta T\).

Λύση:

1. \(n=\dfrac{N}{N_A}=\dfrac{1{,}5\times10^{24}}{6{,}023\times10^{23}}\approx2{,}49\ \text{mol}\), \(\Delta T=127-27=100\ \text{K}\).
2. \(\Delta U=nC_v\Delta T=2{,}49\times\dfrac{3}{2}\times8{,}314\times100\approx3105{,}8\ \text{J}\) (ίδιο και στις δύο περιπτώσεις).
3. i) Ισόχωρη: \(W=0\), \(Q=\Delta U=3105{,}8\ \text{J}\).
4. ii) Ισοβαρής: \(W=nR\Delta T=2{,}49\times8{,}314\times100\approx2070{,}6\ \text{J}\), \(Q=\Delta U+W=3105{,}8+2070{,}6\approx5176{,}4\ \text{J}\).

Απάντηση: i) \(\Delta U=3105{,}8\ \text{J}\), \(W=0\), \(Q=3105{,}8\ \text{J}\). ii) \(\Delta U=3105{,}8\ \text{J}\), \(W=2070{,}6\ \text{J}\), \(Q=5176{,}4\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Το \(\Delta U\) είναι ΙΔΙΟ και στις δύο περιπτώσεις (ίδιο \(\Delta T\)) — μόνο το \(W\) και το \(Q\) διαφέρουν.

Άσκηση 2.64 (σελ. 77)

Ένα ιδανικό αέριο εκτελεί την κυκλική μεταβολή ΑΒΓΔΑ όπου ΑΒ ισόθερμη εκτόνωση, ΒΓ ισόχωρη ψύξη, ΓΔ ισοβαρή ψύξη, ΔΑ ισόχωρη θέρμανση. Αν είναι \(p_A=6\ \text{atm}\), \(V_A=22{,}4\ \text{L}\), \(T_A=546\ \text{K}\), \(V_B=3V_A\), \(T_\Gamma=273\ \text{K}\). α) Να αποδοθεί γραφικά η παραπάνω μεταβολή σε άξονες p-V, p-T, V-T. β) Να υπολογιστεί το έργο που παράγεται από το αέριο κατά τη διάρκεια αυτής της μεταβολής. Δίνονται \(\ln3=1{,}1\), \(1\ \text{L}\,\text{atm}=101\ \text{J}\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Προσδιορίζουμε πρώτα όλες τις καταστάσεις Α, Β, Γ, Δ, μετά υπολογίζουμε το έργο κάθε επιμέρους τμήματος (μηδέν στα ισόχωρα) και τα αθροίζουμε.

Λύση:

1. Β: ισόθερμη ΑΒ ⇒ \(T_B=T_A=546\ \text{K}\), \(V_B=3V_A=67{,}2\ \text{L}\), \(p_B=p_AV_A/V_B=6/3=2\ \text{atm}\).
2. Γ: ισόχωρη ΒΓ ⇒ \(V_\Gamma=V_B=67{,}2\ \text{L}\), \(T_\Gamma=273\ \text{K}\) (δίνεται), \(p_\Gamma=p_BT_\Gamma/T_B=2\times273/546=1\ \text{atm}\).
3. Δ: ισοβαρής ΓΔ ⇒ \(p_\Delta=p_\Gamma=1\ \text{atm}\)· ισόχωρη ΔΑ κλείνει τον κύκλο ⇒ \(V_\Delta=V_A=22{,}4\ \text{L}\).
4. \(W_{AB}=p_AV_A\ln(V_B/V_A)=6\times22{,}4\times\ln3=134{,}4\times1{,}1=147{,}84\ \text{L}\,\text{atm}=147{,}84\times101\approx14931{,}8\ \text{J}\).
5. \(W_{B\Gamma}=0\) (ισόχωρη). \(W_{\Gamma\Delta}=p_\Gamma(V_\Delta-V_\Gamma)=1\times(22{,}4-67{,}2)=-44{,}8\ \text{L}\,\text{atm}=-44{,}8\times101\approx-4524{,}8\ \text{J}\). \(W_{\Delta A}=0\).
6. \(W_{\text{ολ}}=14931{,}8-4524{,}8\approx10407\ \text{J}\).

Απάντηση: \(W_{\text{ολ}}\approx10407\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Το έργο υπολογίζεται αθροιστικά ανά τμήμα του κύκλου — μόνο η ισόθερμη και η ισοβαρής συνεισφέρουν, τα ισόχωρα έχουν \(W=0\).

Άσκηση 2.65 (σελ. 77)

Ένα mol ιδανικού αερίου φέρεται από την κατάσταση Α \((p_0, V_0)\) στην κατάσταση Β \((2p_0, 2V_0)\) με δύο τρόπους: α) Με μια ισόθερμη και μια ισοβαρή μεταβολή. β) Με μια ισόθερμη και μια ισόχωρη μεταβολή. Να υπολογιστούν τα Q και W σε κάθε περίπτωση. Δίνονται τα \(p_0\), \(V_0\), \(\ln2=0{,}6931\), \(C_v=3R/2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Σε κάθε διαδρομή εισάγουμε ένα ενδιάμεσο σημείο ώστε το πρώτο τμήμα να είναι ισόθερμο (στη θερμοκρασία \(T_A=p_0V_0/R\)) και το δεύτερο να καταλήγει στο Β. Υπολογίζουμε \(W\), \(\Delta U\) (με \(C_v\)) και \(Q=\Delta U+W\) σε κάθε τμήμα, μετά αθροίζουμε.

Λύση:

1. α) Ισόθερμη Α→Γ μέχρι \(p=2p_0\): \(V_\Gamma=p_0V_0/(2p_0)=V_0/2\). \(W_{A\Gamma}=p_0V_0\ln(1/2)=-0{,}6931p_0V_0=Q_{A\Gamma}\) (αφού \(\Delta U=0\)). Ισοβαρής Γ→Β σε \(p=2p_0\): \(W_{\Gamma B}=2p_0(2V_0-V_0/2)=3p_0V_0\). \(T_\Gamma=T_A=p_0V_0/R\), \(T_B=4p_0V_0/R\Rightarrow\Delta T=3p_0V_0/R\), \(\Delta U_{\Gamma B}=\frac{3}{2}R\Delta T=4{,}5p_0V_0\), \(Q_{\Gamma B}=4{,}5p_0V_0+3p_0V_0=7{,}5p_0V_0\).
2. Σύνολο α): \(W_\alpha=-0{,}6931p_0V_0+3p_0V_0\approx2{,}3\,p_0V_0\), \(Q_\alpha=-0{,}6931p_0V_0+7{,}5p_0V_0\approx6{,}8\,p_0V_0\).
3. β) Ισόθερμη Α→Δ μέχρι \(V=2V_0\): \(p_\Delta=p_0/2\). \(W_{A\Delta}=p_0V_0\ln2=0{,}6931p_0V_0=Q_{A\Delta}\). Ισόχωρη Δ→Β: \(W_{\Delta B}=0\), \(T_\Delta=T_A\), \(\Delta T=3p_0V_0/R\) (ίδιο όπως πριν), \(\Delta U_{\Delta B}=4{,}5p_0V_0=Q_{\Delta B}\).
4. Σύνολο β): \(W_\beta=0{,}6931p_0V_0\approx0{,}7\,p_0V_0\), \(Q_\beta=0{,}6931p_0V_0+4{,}5p_0V_0\approx5{,}2\,p_0V_0\).

Απάντηση: α) \(Q\approx6{,}8\,p_0V_0\), \(W\approx2{,}3\,p_0V_0\). β) \(Q\approx5{,}2\,p_0V_0\), \(W\approx0{,}7\,p_0V_0\).

Πρόσεξε:

• Το ενδιάμεσο σημείο κάθε διαδρομής προσδιορίζεται από τη συνθήκη ότι το δεύτερο τμήμα πρέπει να καταλήγει ακριβώς στο Β — προσέξτε ποια μεταβλητή («κλειδώνει») πρώτη.

Άσκηση 2.70 (σελ. 78)

Κυλινδρικό δοχείο, με αδιαβατικά τοιχώματα, έχει τον άξονά του κατακόρυφο, και κλείνεται στο επάνω μέρος του με αδιαβατικό έμβολο εμβαδού \(A=10\ \text{cm}^2\) και μάζας \(m=10\ \text{kg}\). Ο κύλινδρος περιέχει ιδανικό αέριο και βρίσκεται σε χώρο όπου η εξωτερική πίεση είναι \(p_{\alpha\tau}=1{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\). Μέσω μιας αντίστασης R που βρίσκεται μέσα στο δοχείο το αέριο θερμαίνεται αργά. Αν το ποσό θερμότητας που προσφέρεται μέσω της αντίστασης είναι \(Q=50\ \text{J}\) να υπολογιστεί: α) Η μετατόπιση του εμβόλου. β) Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Δίνονται: \(g=10\ \text{m/s}^2\), \(C_v=3R/2\).

Σκέψη / Μεθοδολογία: Η μεταβολή είναι ισοβαρής (πίεση αερίου = \(p_{\alpha\tau}+mg/A\), σταθερή). Για ισοβαρή μεταβολή ιδανικού αερίου, \(\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T\) και \(W=nR\Delta T\), άρα \(\Delta U=\frac{3}{2}W\). Συνδυάζοντας με \(Q=\Delta U+W\) βρίσκουμε το \(W\) χωρίς να χρειαστεί το \(n\).

Λύση:

1. Πίεση αερίου: \(p=p_{\alpha\tau}+\dfrac{mg}{A}=1{,}013\times10^5+\dfrac{10\times10}{10\times10^{-4}}=1{,}013\times10^5+10^5=2{,}013\times10^5\ \text{N/m}^2\).
2. Για ισοβαρή μεταβολή: \(\Delta U=nC_v\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T=\frac{3}{2}W\). Από \(Q=\Delta U+W=\frac{3}{2}W+W=\frac{5}{2}W\Rightarrow W=\frac{2}{5}Q=\frac{2}{5}\times50=20\ \text{J}\).
3. \(\Delta x=\dfrac{W}{pA}=\dfrac{20}{2{,}013\times10^5\times10\times10^{-4}}=\dfrac{20}{201{,}3}\approx0{,}0994\ \text{m}\approx0{,}1\ \text{m}\).
4. \(\Delta U=\frac{3}{2}W=\frac{3}{2}\times20=30\ \text{J}\).

Απάντηση: α) \(\Delta x\approx0{,}1\ \text{m}\). β) \(\Delta U=30\ \text{J}\).

Πρόσεξε:

• Η αντίσταση θερμαίνει το αέριο απευθείας (ηλεκτρική ενέργεια → θερμότητα \(Q\) στο αέριο) — δεν παραβιάζεται η υπόθεση των αδιαβατικών τοιχωμάτων, αφού η θερμότητα δεν περνά ΜΕΣΑ ΑΠΟ τα τοιχώματα.